数 学 试 题（理）
第 I 卷（选择题，共 60 分）
一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，计 60 分；在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的。)
1. 设全集 U={1，2，3，4，5}，集合 M={1，4}，N={1，3，5}，则 N ( UM)= （ ）
A．{1，3} B．{1，5} C．{3，5} D.{4，5}
2. 已知 i 是虚数单位，m，n R，且 ，则 = （ ）
A．－1 B．1 C．－I D．i
3. a、b、c 是空间三条直线，给出下列四个命题，其中真命题的个数是 （ ）
①如果 a⊥b，b⊥c，则 a∥c；
②如果 a、b 是异面直线，b、c 是异面直线，则 a、c 也是异面直线；
③如果 a、b 相交，b、c 相交，则 a、c 相交；
④如果 a、b 共面，b、c 共面，则 a、c 也共面。
A．3 B．2 C．1 D．0
4. 若 x，2x+2，3x+3 是某个等比数列的连续三项，则 x= （ ）
A．－4 B．－1 C．1 或 4 D．－1 或－4
5. 已知| |=6， 与 的夹角为 ，且( + )•( ﹣ )=－72，| |为 （ ）
A．4 B．5 C．6 D．14
6. 在期中考试中，高三某班 50 名学生化学成绩的平均分为 85 分、方差为 8.2，
该班某位同学知道自己的化学成绩为 95，则下列四个数中不可能是该班化学
成绩的是 （ ）
A．65 B．75 C．90 D．100
7. 函数 的零点个数为 （ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
8. 若 x、y∈R*，且 xy=1+(x+y)，则 （ ）
A． 有最大值为 B． 有最大值为
C． 有最小值为 D． 有最小值为
9. 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一卦由六爻组成．其中有
一种起卦方法称为“金钱起卦法”，其做法为：取三枚相同的钱币合于双手中，
上下摇动数下使钱币翻滚摩擦，再随意抛撒钱币到桌面或平盘等硬物上，如
此重复六次，得到六爻．若三枚钱币全部正面向上或全部反面向上，就称为
变爻．若每一枚钱币正面向上的概率为 ，则一卦中恰有两个变爻的概率为 （ ）
1m i ni+ = + m ni
m ni
+
−
1 ln , 0( ) 3 4, 0
x xf x x x
− += +
＞
＜
x y+ 21+ 2（ ） xy 21+ 2（ ）
x y+ 2(1 2)+ xy 2(1 2)+
2
1A． B． C． D．
10. 设 是等差数列 的前 n 项和， ，则 的值为 （ ）
A． B． C． D．
11. 若 ，曲线 表示 （ ）
A．焦点在 x 轴上的双曲线 B．焦点在 y 轴上的双曲线
C．焦点在 x 轴上的椭圆 D．焦点在 y 轴上的椭圆
12. 已 知 是 定 义 在 R 上 的 函 数 ， 是 的 导 函 数 ， 且 满 足
，设 ，若不等式 对于任意的实
数 t 恒成立，则实数 m 的取值范围是 （ ）
A．(－ ，0)∪(4，+ ) B．(0，1)
C．(－ ，－2) (2，+ ) D．(－2，2)
第 II 卷（非选择题，共 90 分）
二、填空题（共 4 小题,共 20 分）
13. 学完解析几何和立体几何后，某同学发现自己家碗的侧面可以看做抛物线的
一部分曲线围绕其对称轴旋转而成，碗底的直径 2m，碗口的直径 2n，高度是
.他很想知道抛物线的方程，决定把抛物线的顶点确定为
原点，对称轴确定为 x 轴，建立如图所示的平面直角坐标
系，请你通过对碗的相关数据的测量以及进一步的计算，
帮助他求出抛物线的方程．算出的抛物线标准方程为
_________．
14. 已 知 为 R 上 增 函 数 ， 且 对 任 意 ， 都 有
，则 =_______．
15. 一 个 母 线 长 为 2 的 圆 锥 侧 面 展 开 图 为 一 个 半 圆 ， 则 此 圆 锥 的 体 积 为
________．
16. 已知 loga ＞0，若 ，则实数 x 的取值范围为______．
三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。共 6 小题,共 70 分）
17. （本小题满分 10 分）如图，M，N，K 分别是正方体 ABCD－
A1B1C1D1 的棱 AB，CD，C1D1 的中点．
（1）求证：AN∥平面 A1MK；
4
1
64
15
729
240
4096
1215
nS { }na 5 2 83 )S a a= +（
3
5
a
a
6
1
3
1
5
3
6
5
90 θ ＜ ＜180 2 2 sin 1x y θ− =
( )f x ( )f x′ ( )f x
( ) ( ) 0f x f x′ + ＜ ( ) ( )xg x e f x= ⋅ 2(1 ) ( )g t g mt+ ＜
h
( )f x x R∈
[ ( ) 3 ] 4xf f x − = (2)f（2）求证：平面 A1B1C 平面 A1MK．
18. （本小题满分 12 分）万众瞩目的第 14 届全国冬季运动运会(简称“十四冬”)于
2020 年 2 月 16 日在呼伦贝尔市盛大开幕，期间正值我市学校放寒假，寒假结
束后，某校工会对全校 100 名教职工在“十四冬”期间每天收看比赛转播的时
间作了一次调查，得到如图频数分布直方图：
（1）若将每天收看比赛转播时间不低于 3 小时的教职工定义为“冰雪迷”，
否则定义为“非冰雪迷”，请根据频率分布直方图补全 2×2 列联表；
并判断能否有 90%把握认为该校教职工是否为“冰雪迷”与“性别”有
关；
（2）在全校“冰雪迷”中按性别分层抽样抽取 6 名，再从这 6 名“冰雪迷”
中选取 2 名作冰雪运动知识讲座．记其中女职工的人数为 ξ，求的 ξ
分布列与数学期望．
附表及公式：
19. （本小题满分 12 分）锐角 ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，
c，设向量 ， ，已知 ，且 ．
（1）求角 B；
（2）求 ABC 面积的最大值及此时另外两个边 a，c 的长．
20. （本小题满分 12 分）如图所示，某小区为美化环境，准备在小区内草坪的一
侧修建一条直路 OC，另一侧修建一条休闲大道，已知休闲大道的前一段 OD
是 函 数 图 象 的 一 部 分 ， 后 一 段 DBC 是 函 数
dcbandbcadcba
bcadnk +++=++++
−= ，
))()()((
)( 2
2
(2, )m c= ( cos sin ,cos )2
bn C A B= − 3b = m n⊥
( 0)y kx k= ＞， 的 图 象 ， 图 象 的 最 高 点 为
， ，垂足为 F．
（1）求函数 y=Asin( x+ )的解析式；
（2）若在草坪内修建如图所示的矩形儿童游乐园 PMFE，问点 P 落在线段
OD 上何处时，儿童乐园的面积最大？
21. （本小题满分 12 分）已知两定点 ， ，点 M 是平面内的动
点，且 ，记 M 的轨迹是 C.
（1）求曲线 C 的方程；
（ 2 ）过 点 F1(1 ，0) 引 直 线 l 交 曲 线 C 于 Q ，N 两 点 ，设
，点 Q 关于 x 轴的对称点为 R，证明：直线
NR 过定点．
22. （本小题满分 12 分）设函数 ．
（1）当 时，求函数 的极值；
（2）当 时，讨论函数 的单调性．
（理科）数学理科答案
一、单选题（共 12 小题,共 120 分）
1. C 2. D 3. D 4.A 5. A 6.A
7. B 8. B 9. D 10.D 11.A 12. D
二．填空题（共 4 小题,共 20 分）
13. 设方程为 ，则将点 ，
代入抛物线方程可得 ，可得
∴抛物线方程为 ．
14. 根据题意得， 为常数，设 ，则 ，
sin( )( )2y A x A
πω φ ω φ= + ＞0, ＞0, ＜ [4,8]x∈
8 35 3B（ ， ） DF OC⊥
1 ,03A（－ ） ）（ 0,3
1B
4AB AM BA BM+ + + =
）且＞ 10( ≠= λλλFNQF
21( ) ln ( )2
af x x ax x a R
−= + − ∈
1a = ( )f x
2a≥ ( )f x
）＞0(22 ppxy = ),( ma ),( nha +
)(2,2 22 hapnpam +==
h
mnp
22
2
−=
xh
mny
22
2 −=
xxf 3)( − mxf x =− 3)( 4)( =mf；
∴ ，易知该方程有唯一解， ；
∴ ；∴ ；
15.由题意可知，圆锥的底面周长为 .
∴ 圆锥的高
∴ 圆锥的体积
16.由 ，得 ．
由 ,得 ．
∴实数 的取值范围为 ．
三．解答题（共 7 小题,共 70 分）
17.（1）证明：连接 KN，由于 K、N 为 CD，C1D1、CD 的中点，
所以 KN 平行且等于 AA1，
AA1KN 为平行四边形⇒AN∥A1K，而 A1K⊂平面 A1MK，
AN⊄平面 A1MK，从而 AN∥平面 A1MK．
（2）解：连接 BC1，由于 K、M 为 AB、C1D1 的中点，
所以 KC1 与 MB 平行且相等，
从而 KC1MB 为平行四边形，所以 MK∥BC1，
而 BC1⊥B1C，BC1⊥A1B1，从而 BC1⊥平面 A1B1C，
所以：
18.（1）解：将每天收看比赛转播时间不低于 3 小时的教职工定义为“冰雪
迷”，否则定义为“非冰雪迷”，
根据频率分布直方图补全 2×2 列联表：
mxf x += 3)(
43 =+ mx 1=m
13)( += xxf 10)2( =f
1222
12 =×⋅= rr ，得ππ
3=h
ππ
3
3313
1 2 =×××=V
02
1log ＞a 10 ＜＜a
1log 12 −=≥ aaa x
2
101-log2 ≤≤ xx ＜，即
x ]2
1,0(
MKACBACBAMKMKBC
CBABC
1111111
1
1111 面面面∥
面 ⊥⇒⊥⇒
⊥
∴有 的把握认为该校教职工是否为“冰雪迷”与“性别”有关．
（2）解：在全校“冰雪迷”中按性别分层抽样抽取 6 名，
则抽中男教工： 人，抽中女教工： 人，
从这 6 名“冰雪迷”中选取 2 名作冰雪运动知识讲座．记其中女职工的人数
为 ，则 的可能取值为 0，1，2，
,
，
，
∴ 的分布列为：
数学期望 ．
19.（1）解 ∵ ，∴ ，
即
，
，＞） 706.2778.240604060
2020-2040(100
))()()((
)( 22
2 ≈×××
××=++++
−=
dbcadcba
bcadnk
0090
460
406 =× 260
206 =×
ξ ξ
15
6)0( 2
5
2
4 ===
C
CP ξ
15
8)1( 2
6
1
2
1
4 ===
C
CCP ξ
15
1)2( 2
6
2
2 ===
C
CP ξ
ξ
3
2
15
1215
8115
60)( =×+×+×=ξE
nm ⊥ 0=⋅nm
ABcCb sin2coscos =+
ABCRCBR sin2cossin2cossin2 =+
ACBR sin2)sin(2 =+ AAR sin2sin2 =
22 =∴ R
(2)解：
∵三角形为锐角三角形
∴
∴当 即 时， 取得最大值 ；
此时
20. 解：对于函数 ,由图象，可知 ，
将 代入 中，
得 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ．
(2)解：在 中，令 ，得 ，所以 ，
从而得线段 OD 对应的函数为 ，
设点 ，
则矩形 的面积 ，
3sin2 == BRb 2
3sin =∴ B
20
π＜＜B 3
π=∴b
4
3)62sin(2
3sin)3
2sin(3
sinsin3sin2sin24
3
4
3sin2
1
+−=−=
=⋅⋅===
ππ
CCC
CACRARacBacs
26
2-3
20
20 ππ
ππ
π
＜＜即
＜＜
＜＜
C
C
C
262
ππ =−C 3
π=C S 4
33
3
π=== CBA 3===∴ cba
)sin( ϕω += xAy 65-84
22,3
38 πππω =×===
）（TA
)3
38,5(B )6sin(3
38 ϕπ += xy
Zkk ∈+=+ ,226
5 ππϕπ
Zkk ∈−= ,32
ππϕ
2
πϕ＜
3
πϕ −=
]8,4[),36sin(3
38 ∈−= xxy
ππ
)36sin(3
38 ππ −= xy 4=x 4=y )4,4(D
)40( ≤≤= xxy
)40)(,( ＜＜tttP
PMFE )40(4)4( 2 ＜＜tttttS +−=−=所以当 时， 最大，此时点 的坐标为(2，2)．
即点 为线段 的中点时，儿童乐园的面积最大．
21.（1）：解：两定点 ，
点 是平面内的动点，且 ，
设 ，可得 ，
上式表示 到两点 的距离之和为 4，由 ，
可得 的轨迹为以 为焦点的椭圆，
方程为 ；
(2）证明：当 为椭圆的上顶点 ，直线 的方程为 ，联立
椭圆方程 ，
解得 ，即有 ，直线 的方程为 ，
可令 ,可得 ，直线 过定点(4，0)。
下面证明一般情况，设直线 ，则 ，
联立方程 ,可得 ，
解得 ，
( ，注意到 ，即 )，
设 ，可得 ,于是
， ，又 ，则 ，
,
解得
2=t S P
P OD
)0,3
1(),0,3
1( BA −
M 4=+++ BMBAAMAB
),( yxM 4)1()1( 2222 =+−+++ yxyx
M )0,1(),0,1(− 24＞
M )0,1(),0,1(−
134
22
=+ yx
Q )3,0( l )1(3 −−= xy
1243 22 =+ yx
)3,0(),5
33,8
5( −− RN 4
3=RNk RN 34
3 −= xy
0=y 4=x RN
),(),,(,1: 2211 yxNyxQmyxl += ),( 11 yxR −
1243 22 =+ yx 0)1144,096)43( 222 ＞（△ +==−++ mmyym
2212
2
22
2
1 34
9,34
463,34
463
myym
mmym
mmy +−=+
++−=+
+−−=
221 34
6
m
myy +−=+ )(32 2121 yyymy += 2211 323 yymyy =+−
PFFNRF 111 βα += )0,3(),1(),1( 2211 βα +−=−− yxyx
βα 3)1(1 21 +−=− xx 21 yy α=− NFQF 11 λ= 21 yy α=−
βα 31 += ymymy
1
2
1
3
2, ym
y
y =−== βλα所以 ，
则 三点共线，因此直线 经过定点 ．
22. （1） 解：函数的定义域为(0，+∞)，
当 时，
令 ，得 ．
当 时， ；当 时， ,
∴ 在 上单调递减，在 单调递增，
∴ ，无极大值．
（2） 解： ,
当 ，即 时， ， 在 上是减函数；
当 ，即 时，令 ，得 或 ，令
, ，
当 ， 时与已知矛盾，舍，
综上，当 时， 在 调递减；当 时，f(x)在 和 上
单调递减，在 上单调递增.
1
1189
181189
3
23
2
2
2
211 =
++−
−++=+−=+
mm
mmm
y
ymyyβα
PNR ,, PN )0,4(P
1=a x
x
xxfxxxf 111)(,ln)( ' −=−==−=
0)(' =xf 1=x
10 ＜＜x 0)(' ＜xf 1＞x 0)(' ＞xf
)(xf )1,0( ),1( +∞
1)1()( == fxf 极小值
x
xaxa
x
xxa
xaxaxf
)1)(1
1)(1()1](1)1[(1)1()('
−−−−
=−+−=−+−=
11
1 =−a 2=a 0)1()(
2
' ≤−−=
x
xxf )(xf ),0( +∞
11
1 ＜−a 2＞a 0)(' ＜xf 1
10 −ax＜＜ 1＞x
0)(' ＞xf 11
1 ＜＜xa −
11
1 ＞−a 2＜a
2=a )(xf ),0( +∞ 2＞a )1
1,0( −a ),1( +∞
)1,1
1( −a
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