2020年高考真题-数学（江苏卷）（解析版）

绝密★启用前 2020 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数学Ⅰ 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．本试卷共 4 页，均为非选择题(第 1 题~第 20 题，共 20 题)。本卷满分为 160 分， 考试时间为 120 分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在 试卷及答题卡的规定位置. 3．请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否 相符. 4．作答试题，必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在 其他位置作答一律无效. 5．如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗. 参考公式： 柱体的体积 ，其中 是柱体的底面积， 是柱体的高． 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．请把答案填写在答题 卡相应位置上． 1.已知集合 ，则 _____. 【答案】 【解析】 【分析】 根据集合 交集即可计算. 【详解】∵ , ∴ 故答案为： . 【点睛】本题考查了交集及其运算，是基础题型． 的 V Sh= S h { 1,0,1,2}, {0,2,3}A B= − = A B = { }0,2 { }1,0,1,2A = − { }0,2,3B = { }0,2A B = { }0,22.已知 是虚数单位，则复数 的实部是_____. 【答案】3 【解析】 【分析】 根据复数的运算法则，化简即可求得实部的值. 【详解】∵复数 ∴ ∴复数的实部为 3. 故答案为：3. 【点睛】本题考查复数的基本概念，是基础题． 3.已知一组数据 的平均数为 4，则 的值是_____. 【答案】2 【解析】 【分析】 根据平均数的公式进行求解即可． 【详解】∵数据 的平均数为 4 ∴ ，即 . 故答案为：2. 【点睛】本题主要考查平均数的计算和应用，比较基础． 4.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷 2 次，观察向上的点数，则点数和为 5 的概率是_____. 【答案】 【解析】 【分析】 分别求出基本事件总数，点数和为 5 的种数，再根据概率公式解答即可． 【详解】根据题意可得基本事件数总为 个. 点数和为 5 的基本事件有 ， ， ， 共 4 个. ∴出现向上的点数和为 5 的概率为 . i (1 i)(2 i)z = + − ( )( )1 2z i i= + − 22 2 3z i i i i= − + − = + 4,2 ,3 ,5,6a a− a 4,2 ,3 ,5,6a a− 4 2 3 5 6 20a a+ + − + + = 2a = 1 9 6 6 36× = ( )1,4 ( )4,1 ( )2,3 ( )3,2 4 1 36 9P = =故答案为： . 【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是 基础题． 5.如图是一个算法流程图，若输出 的值为 ，则输入 的值是_____. 【答案】 【解析】 【分析】 根据指数函数的性质，判断出 ，由此求得 的值. 【详解】由于 ，所以 ，解得 . 故答案为： 【点睛】本小题主要考查根据程序框图输出结果求输入值，考查指数函数的性质，属于基础 题. 6.在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线 ﹣ =1(a＞0)的一条渐近线方程为 y= x，则该 双曲线的离心率是____. 【答案】 【解析】 【分析】 根据渐近线方程求得 ，由此求得 ，进而求得双曲线的离心率. 【详解】双曲线 ，故 .由于双曲线的一条渐近线方程为 ，即 1 9 y 2− x 3− 1y x= + x 2 0x > 1 2y x= + = − 3x = − 3− 2 2 x a 2 5 y 5 2 3 2 a c 2 2 2 15 x y a − = 5b = 5 2y x=，所以 ，所以双曲线的离心率为 . 故答案为： 【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线，考查双曲线离心率的求法，属于基础题. 7.已知 y=f(x)是奇函数，当 x≥0 时， ，则 f(-8)的值是____. 【答案】 【解析】 【分析】 先求 ，再根据奇函数求 【详解】 ，因为 为奇函数，所以 故答案为： 【点睛】本题考查根据奇函数性质求函数值，考查基本分析求解能力，属基础题. 8.已知 = ，则 的值是____. 【答案】 【解析】 【分析】 直接按照两角和正弦公式展开，再平方即得结果. 【详解】 故答案为： 【点睛】本题考查两角和正弦公式、二倍角正弦公式，考查基本分析求解能力，属基础题. 9.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边 长为 2 cm，高为 2 cm，内孔半轻为 0.5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是____cm. 5 22 b aa = ⇒ = 2 2 4 5 3c a b= + = + = 3 2 c a = 3 2 ( ) 2 3f x x= 4− (8)f ( 8)f − 2 3(8) 8 4f = = ( )f x ( 8) (8) 4f f− = − = − 4− 2sin ( )4 π α+ 2 3 sin 2α 1 3 2 22 2 1sin ( ) ( cos sin ) (1 sin 2 )4 2 2 2 π α α α α+ = + = + 1 2 1(1 sin 2 ) sin 22 3 3 α α∴ + = ∴ = 1 3【答案】 【解析】 【分析】 先求正六棱柱体积，再求圆柱体积，相减得结果. 【详解】正六棱柱体积为 圆柱体积为 所求几何体体积为 故答案为： 【点睛】本题考查正六棱柱体积、圆柱体积，考查基本分析求解能力，属基础题. 10.将函数 y= 的图象向右平移 个单位长度，则平移后的图象中与 y 轴最近的对称 轴的方程是____. 【答案】 【解析】 【分析】 先根据图象变换得解析式，再求对称轴方程，最后确定结果. 【详解】 当 时 故答案为： 【点睛】本题考查三角函数图象变换、正弦函数对称轴，考查基本分析求解能力，属基础题. 11.设{an}是公差为 d 的等差数列，{bn}是公比为 q 的等比数列．已知数列{an+bn}的前 n 项和 12 3 2 π− 236 2 2=12 34 × × × 21( ) 22 2 ππ ⋅ = 12 3 2 π− 12 3 2 π− πsin(2 )43 x﹢ π 6 5 24x π= − 3sin[2( ) ] 3sin(2 )6 4 12y x x π π π= − + = − 72 ( ) ( )12 2 24 2 kx k k Z x k Z π π π ππ− = + ∈ ∴ = + ∈ 1k = − 5 24x π= − 5 24x π= −，则 d+q 的值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】 结合等差数列和等比数列前 项和公式的特点，分别求得 的公差和公比，由此求得 . 【详解】设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ，根据题意 . 等差数列 的前 项和公式为 ， 等比数列 的前 项和公式为 ， 依题意 ，即 ， 通过对比系数可知 ，故 . 故答案为： 【点睛】本小题主要考查等差数列和等比数列的前 项和公式，属于中档题. 12.已知 ，则 的最小值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】 根据题设条件可得 ，可得 ，利用基本不等式即可求解. 【详解】∵ 2 2 1( )n nS n n n += − + − ∈N 4 n { } { },n na b d q+ { }na d { }nb q 1q ≠ { }na n ( ) 2 1 1 1 2 2 2n n n d dP na d n a n −  = + = + −   { }nb n ( )1 1 11 1 1 1 n n n b q b bQ qq q q − = = − +− − − n n nS P Q= + 2 2 1 1 12 1 2 2 1 1 n nb bd dn n n a n qq q  − + − = + − − +  − −  1 1 12 12 2 11 d da q b q  =   − = −  =   = − − ⇒ 1 1 2 0 2 1 d a q b =  = =  = 4d q+ = 4 n 2 2 45 1( , )x y y x y R+ = ∈ 2 2x y+ 4 5 4 2 2 1 5 yx y −= 4 2 2 2 2 2 2 1 1 4+ 55 5 y yx y yy y −+ = + = 2 2 45 1x y y+ =∴ 且 ∴ ，当且仅当 ，即 时 取等号. ∴ 的最小值为 . 故答案为： . 【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用.利用基本不等式求最值时，一定要正确理 解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要 看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立 （主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用 或 时等号能否同时成立）. 13.在△ABC 中， D 在边 BC 上，延长 AD 到 P，使得 AP=9，若 （m 为常数），则 CD 的长度是________． 【答案】 【解析】 【分析】 根据题设条件可设 ，结合 与 三点共线，可求得 ，再根据勾股定理求出 ，然后根据余弦定理即可求解. 【详解】∵ 三点共线， ∴可设 ， ∵ ， ∴ ，即 ， 0y ≠ 4 2 2 1 5 yx y −= 4 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 4 1 4 4+ 25 5 55 5 5 y y yx y yy y y −+ = + = ≥ ⋅ = 2 2 1 4 55 y y = 2 23 1,10 2x y= = 2 2x y+ 4 5 4 5 ≥ ≤ 4 3 =90AB AC BAC= = °， ，∠ ， 3( )2PA mPB m PC= + −   18 5 ( )0PA PDλ λ= >  3 2PA mPB m PC = + −      , ,B D C λ BC , ,A D P ( )0PA PDλ λ= >  3 2PA mPB m PC = + −      3 2PD mPB m PCλ  = + −      3 2 mmPD PB PCλ λ  −  = +  若 且 ，则 三点共线， ∴ ，即 ， ∵ ，∴ ， ∵ , , ， ∴ ， 设 ， ，则 ， . ∴根据余弦定理可得 ， ， ∵ ， ∴ ，解得 ， ∴ 的长度为 . 当 时， ， 重合，此时 的长度为 ， 当 时， ， 重合，此时 ，不合题意，舍去. 故答案为：0 或 . 【点睛】本题考查了平面向量知识的应用、余弦定理的应用以及求解运算能力，解答本题的 关键是设出 ． 14.在平面直角坐标系 xOy 中，已知 ，A，B 是圆 C： 上的两个动点， 满足 ，则△PAB 面积的最大值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】 根据条件得 ,再用圆心到直线距离表示三角形 PAB 面积，最后利用导数求最大值. 【详解】 设圆心 到直线 距离为 ，则 0m ≠ 3 2m ≠ , ,B D C 3 2 1 mm λ λ  −  + = 3 2 λ = 9AP = 3AD = 4AB = 3AC = 90BAC∠ = ° 5BC = CD x= CDA θ∠ = 5BD x= − BDA π θ∠ = − 2 2 2 cos 2 6 AD CD AC x AD CD θ + −= =⋅ ( ) ( ) ( ) 22 2 2 5 7cos 2 6 5 xAD BD AB AD BD x π θ − −+ −− = =⋅ − ( )cos cos 0θ π θ+ − = ( ) ( ) 25 7 06 6 5 xx x − −+ =− 18 5x = CD 18 5 0m = 3 2PA PC=  ,C D CD 0 3 2m = 3 2PA PB=  ,B D 12PA = 18 5 ( )0PA PDλ λ= >  3( 0)2P ， 2 21( ) 362x y+ − = PA PB= 10 5 PC AB⊥ PA PB PC AB= ∴ ⊥ C AB d 2 3 1| |=2 36 ,| | 14 4AB d PC− = + =所以 令 （负值舍去） 当 时， ；当 时， ，因此当 时， 取最大值，即 取 最大值为 ， 故答案为： 【点睛】本题考查垂径定理、利用导数求最值，考查综合分析求解能力，属中档题. 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分，请在答题卡指定区域内作答，解答时 应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AB⊥AC，B1C⊥平面 ABC，E，F 分别是 AC，B1C 的中点． （1）求证：EF∥平面 AB1C1； （2）求证：平面 AB1C⊥平面 ABB1． 【答案】（1）证明详见解析；（2）证明详见解析. 【解析】 【分析】 （1）通过证明 ，来证得 平面 . （2）通过证明 平面 ，来证得平面 平面 . 【详解】（1）由于 分别是 的中点，所以 . 由于 平面 , 平面 ，所以 平面 . （2）由于 平面 ， 平面 ，所以 . 2 2 21 2 36 ( 1) (36 )( 1)2PABS d d d d≤ ⋅ − + = − +  2 2 2(36 )( 1) (0 6) 2( 1)( 2 36) 0 4y d d d y d d d d′= − + ≤ < ∴ = + − − + = ∴ = 0 4d≤ < 0y′ > 4 6d≤ < 0y′ ≤ 4d = y PABS 10 5 10 5 1//EF AB //EF 1 1AB C AB ⊥ 1AB C 1AB C ⊥ 1ABB ,E F 1,AC B C 1//EF AB EF ⊂/ 1 1AB C 1AB ⊂ 1 1AB C //EF 1 1AB C 1B C ⊥ ABC AB Ì ABC 1B C AB⊥由于 ，所以 平面 , 由于 平面 ，所以平面 平面 . 【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查面面垂直的证明，属于中档题. 16.在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 ． （1）求 的值； （2）在边 BC 上取一点 D，使得 ，求 的值． 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 【分析】 （1）利用余弦定理求得 ，利用正弦定理求得 . （2）根据 的值，求得 的值，由（1）求得 的值，从而求得 的值，进而求得 的值. 【详解】（1）由余弦定理得 ，所以 . 1,AB AC AC B C C⊥ ∩ = AB ⊥ 1AB C AB Ì 1ABB 1AB C ⊥ 1ABB 3, 2, 45a c B= = = ° sinC 4cos 5ADC∠ = − tan DAC∠ 5sin 5C = 2tan 11DAC∠ = b sinC cos ADC∠ sin ADC∠ cosC sin ,cosDAC DAC∠ ∠ tan DAC∠ 2 2 2 22 cos 9 2 2 3 2 52b a c ac B= + − = + − × × × = 5b =由正弦定理得 . （2）由于 ， ，所以 . 由于 ，所以 ，所以 所以 . 由于 ，所以 . 所以 . 【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角恒等变换，属于中档题. 17.某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底 O 在水平线 MN 上、 桥 AB 与 MN 平行， 为铅垂线( 在 AB 上).经测量，左侧曲线 AO 上任一点 D 到 MN 的 距离 (米)与 D 到 的距离 a(米)之间满足关系式 ；右侧曲线 BO 上任一点 F 到 MN 的距离 (米)与 F 到 的距离 b(米)之间满足关系式 .已知点 B 到 的距离为 40 米. sin 5sinsin sin 5 c b c BCC B b = ⇒ = = 4cos 5ADC∠ = − ,2ADC π π ∠ ∈   2 3sin 1 cos 5ADC ADC∠ = − ∠ = ,2ADC π π ∠ ∈   0, 2C π ∈   2 2 5cos 1 sin 5C C= − = ( )sin sinDAC DACπ∠ = − ∠ ( )sin ADC C= ∠ + ∠ sin cos cos sinADC C ADC C= ∠ ⋅ + ∠ ⋅ 3 2 5 4 5 2 5 5 5 5 5 25  = × + − × =   0, 2DAC π ∠ ∈   2 11 5cos 1 sin 25DAC DAC∠ = − ∠ = sin 2tan cos 11 DACDAC DAC ∠∠ = =∠ OO′ O′ 1h OO′ 2 1 1 40h a= 2h OO′ 3 2 1 6800h b b= − + OO′（1）求桥 AB 的长度； （2）计划在谷底两侧建造平行于 的桥墩 CD 和 EF，且 CE 为 80 米，其中 C，E 在 AB 上 (不包括端点).桥墩 EF 每米造价 k(万元)、桥墩 CD 每米造价 (万元)(k>0).问 为多少米时， 桥墩 CD 与 EF 的总造价最低? 【答案】（1）120 米（2） 米 【解析】 【分析】 （1）根据 A,B 高度一致列方程求得结果； （2）根据题意列总造价的函数关系式，利用导数求最值，即得结果. 【详解】（1）由题意得 米 （2）设总造价为 万元， ，设 ， (0 舍去) 当 时， ；当 时， ，因此当 时， 取最 小值， 答：当 米时，桥墩 CD 与 EF 的总造价最低. 【点睛】本题考查实际成本问题、利用导数求最值，考查基本分析求解能力，属中档题. 18.在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 的左、右焦点分别为 F1，F2，点 A 在 椭圆 E 上且在第一象限内，AF2⊥F1F2，直线 AF1 与椭圆 E 相交于另一点 B． OO′ 3 2 k O E′ 20O E′ = 2 31 1| | 40 6 40 | | 8040 800O A O A′ ′= − × + × ∴ = | | | | | | 80 40 120AB O A O B′ ′∴ = + = + = ( )f x 21| | 80 16040O O′ = × = | |O E x′ = 3 21 3 1( ) (160 6 ) [160 (80 ) ],(0 40)800 2 40f x k x x k x x= + − + − − < < 3 2 21 3 3 6( ) (160 ), ( ) ( ) 0 20800 80 800 80f x k x x f x k x x x′∴ = + − ∴ = − = ∴ = 0 20x< < ( ) 0f x′ < 20 40x< < ( ) 0f x′ > 20x = ( )f x 20O E′ = 2 2 : 14 3 x yE + =（1）求△AF1F2 的周长； （2）在 x 轴上任取一点 P，直线 AP 与椭圆 E 的右准线相交于点 Q，求 的最小值； （3）设点 M 在椭圆 E 上，记△OAB 与△MAB 的面积分别为 S1，S2，若 S2=3S1，求点 M 的坐 标． 【答案】（1）6；（2）-4；（3） 或 . 【解析】 【分析】 （1）根据椭圆定义可得 ，从而可求出 的周长； （2）设 ，根据点 在椭圆 上，且在第一象限， ，求出 ，根 据准线方程得 点坐标，再根据向量坐标公式，结合二次函数性质即可出最小值； （3）设出设 ，点 到直线 的距离为 ，由点 到直线 的距离与 ，可推出 ，根据点到直线的距离公式，以及 满足椭圆方程，解方程 组即可求得坐标. 【详解】（1）∵椭圆 的方程为 ∴ , 由椭圆定义可得： . ∴ 的周长为 （2）设 ，根据题意可得 . ∵点 在椭圆 上，且在第一象限， ∴ ∵准线方程为 OP QP⋅  ( )2,0M 2 12,7 7  − −   1 2 4AF AF+ = 1 2AF F△ ( )0 ,0P x A E 2 1 2AF F F⊥ 31, 2A     Q ( )1 1,M x y M AB d O AB 2 13S S= 9 5d = ( )1 1,M x y E 2 2 14 3 x y+ = ( )1 1,0F − ( )2 1,0F 1 2 4AF AF+ = 1 2AF F△ 4 2 6+ = ( )0 ,0P x 0 1x ≠ A E 2 1 2AF F F⊥ 31, 2A     4x =∴ ∴ ，当且仅当 时取等号. ∴ 的最小值为 . （3）设 ，点 到直线 的距离为 . ∵ ， ∴直线 的方程为 ∵点 到直线 的距离为 ， ∴ ∴ ∴ ① ∵ ② ∴联立①②解得 ， . ∴ 或 . 【点睛】本题考查了椭圆的定义，直线与椭圆相交问题、点到直线距离公式的运用，熟悉运 用公式以及根据 推出 是解答本题的关键. 19.已知关于 x 的函数 与 在区间 D 上恒有 ． （1）若 ，求 h(x)的表达式； ( )4, QQ y ( ) ( ) ( ) ( )2 0 0 0 0 0,0 4, 4 2 4 4QOP QP x x y x x x⋅ = ⋅ − − = − = − − ≥ −  0 2x = OP QP⋅  4− ( )1 1,M x y M AB d 31, 2A     ( )1 1,0F − 1AF ( )3 14y x= + O AB 3 5 2 13S S= 2 1 1 3 13 3 2 5 2S S AB AB d= = × × × = ⋅ 9 5d = 1 13 4 3 9x y− + = 2 2 1 1 14 3 x y+ = 1 1 2 0 x y =  = 1 1 2 7 12 7 x y  = −  = − ( )2,0M 2 12,7 7  − −   2 13S S= 9 5d = ( ), ( )y f x y g x= = ( ) ( , )h x kx b k b= + ∈R ( ) ( ) ( )f x h x g x≥ ≥ ( ) ( )2 22 2 ( )f x x x g x x x D= + = − + = ∞−∞ +， ， ，（2）若 ，求 k 的取值范围； （3）若 求证： ． 【答案】（1） ；（2） ；（3）证明详见解析 【解析】 【分析】 （1）求得 与 的公共点，并求得过该点的公切线方程，由此求得 的表达式. （2）先由 ，求得 的一个取值范围，再由 ，求得 的另一 个取值范围，从而求得 的取值范围. （3）先由 ，求得 的取值范围，由方程 的两个根，求得 的表达式，利用导数证得不等式成立. 【详解】（1）由题设有 对任意的 恒成立. 令 ，则 ，所以 . 因此 即 对任意的 恒成立， 所以 ，因此 . 故 . （2）令 ， . 又 . 若 ，则 在 上递增，在 上递减，则 ，即 ，不符合题意. 当 时， ，符合题意. 当 时， 在 上递减，在 上递增，则 ， 即 ，符合题意. 综上所述， . 2 1 ln ,( ) ( ) ( ) (0 )x x g k x h kx k Df x x x= − + = = − = + ∞， ， ， ( )4 2 2 2 4 2( ) 2 ( ) (4 8 ( ) 4 3 0 )2 2f x x x g x x h x t t x t t t= − = − = − − + ( ) 01F = ( ) 1xF x k x −′ = ⋅ k 0< ( )F x ( )0,1 ( )1,+¥ ( ) ( )1 0F x F≤ = ( ) ( ) 0h x g x− ≤ 0k = ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0,F x h x g x h x g x= − = = 0k > ( )F x ( )0,1 ( )1,+¥ ( ) ( )1 0F x F≥ = ( ) ( ) 0h x g x− ≥ 0k ≥由 当 ，即 时， 在 为增函数， 因为 ， 故存在 ，使 ，不符合题意. 当 ，即 时， ，符合题意. 当 ，即 时，则需 ，解得 . 综上所述， 的取值范围是 . （3）因为 对任意 恒成立， 对任意 恒成立， 等价于 对任意 恒成立. 故 对任意 恒成立 令 ， 当 ， ， 此时 ， 当 ， ， 但 对任意的 恒成立. 等价于 对任意的 恒成立. 的两根为 ， 则 ， 所以 . 令 ，则 . 构造函数 ， ， ( ) ( ) ( )2 1f x h x x x kx k− = − + − − ( ) ( )2 1 1 0x k x k= − + + + ≥ 1 02 kx += < 1k < − ( )2 1 1y x k x k= − + + + ( )0,+¥ ( ) ( )0 0 1 0f h k− = + < ( )0 0,x ∈ +∞ ( ) ( ) 0f x h x− < 1 02 kx += = 1k = − ( ) ( ) 2 0f x h x x− = ≥ 1 02 kx += > 1k > − ( ) ( )21 4 1 0k k∆ = + − + ≤ 1 3k− < ≤ k [ ]0,3k ∈ ( )4 2 3 4 2 22 4 3 2 4 8x x t t x t t x− ≥ − − + ≥ − [ , ] [ 2, 2]x m n∈ ⊂ − ( )4 2 3 4 22 4 3 2x x t t x t t− ≥ − − + [ , ] [ 2, 2]x m n∈ ⊂ − ( )2 2 2( ) 2 3 2 0x t x tx t− + + − ≥ [ , ] [ 2, 2]x m n∈ ⊂ − 2 22 3 2 0x tx t+ + − ≥ [ , ] [ 2, 2]x m n∈ ⊂ − 2 2( ) 2 3 2M x x tx t= + + − 20 1t< < 28 8 0, 1 1t t∆ = − + > − < − < 2 2 1 7n m t− ≤ + < + < 21 2t≤ ≤ 28 8 0t∆ = − + ≤ ( )2 3 4 24 8 4 3 2x t t x t t− ≥ − − + [ , ] [ 2, 2]x m n∈ ⊂ − ( ) ( )( )2 3 2 24 4 3 4 2 0x t t x t t− − + + − ≤ [ , ] [ 2, 2]x m n∈ ⊂ − ( ) ( )( )2 3 2 24 4 3 4 2 0x t t x t t− − + + − = 1 2,x x 4 2 3 1 2 1 2 3 2 8, 4 t tx x t t x x − −+ = − ⋅ = ( )2 1 2 1 2 1 2= 4n m x x x x x x− − = + − 6 4 25 3 8t t t= − + + [ ]2 , 1,2t λ λ= ∈ 3 25 3 8n m λ λ λ− = − + + ( ) [ ]( )3 25 3 8 1,2P λ λ λ λ λ= − + + ∈ ( ) ( )( )23 10 3 3 3 1P λ λ λ λ λ′ = − + = − −所以 时， ， 递减， . 所以 ，即 . 【点睛】本小题主要考查利用的导数求切线方程，考查利用导数研究不等式恒成立问题，考 查利用导数证明不等式，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题. 20.已知数列 的首项 a1=1，前 n 项和为 Sn．设 λ 与 k 是常数，若对一切正整数 n， 均有 成立，则称此数列为“λ–k”数列． （1）若等差数列 是“λ–1”数列，求 λ 的值； （2）若数列 是“ ”数列，且 an＞0，求数列 的通项公式； （3）对于给定的 λ，是否存在三个不同的数列 为“λ–3”数列，且 an≥0?若存在，求 λ 的取 值范围；若不存在，说明理由， 【答案】（1）1 （2） （3） 【解析】 【分析】 （1）根据定义得 ，再根据和项与通项关系化简得 ，最后根据数 列不为零数列得结果； （2）根据定义得 ，根据平方差公式化简得 ，求得 ， 即得 ； （3）根据定义得 ，利用立方差公式化简得两个方程，再根据方程解的个 数确定参数满足的条件，解得结果 【详解】（1） （2） [ ]1,2λ ∈ ( ) 0P λ′ < ( )P λ ( ) ( )max 1 7P Pλ = = ( )max 7n m− = 7n m− ≤ { } *( )∈na n N 1 1 1 1 1k k kn n nS S aλ+ +− = { }na { }na 3 23 − { }na { }na 2 1, 1 3 4 , 2n n na n− ==  ⋅ ≥ 0 1λ< < +1 1n n nS S aλ +− = 1 1n na aλ+ += 1 1 1 2 2 2 +1 +1 3 ( )3n n n nS S S S− = − +1=4n nS S nS na 1 1 1 3 3 3 +1 1n n nS S aλ +− = +1 1 1 1 1 11 0 1n n n n n nS S a a a a aλ λ λ+ + + +− = ∴ = = ∴ ≡ ∴ =/ 1 1 2 2 1 10 0n n n n na S S S S+ +> ∴ > ∴ − >， （3）假设存在三个不同的数列 为 数列. 或 或 ∵对于给定的 ，存在三个不同的数列 为 数列，且 或 有两个不等的正 根. 可转化为 ，不妨设 ，则 有两个不等正根，设 . ① 当 时， ，即 ，此时 1 1 1 2 2 2 +1 +1 3 ( )3n n n nS S S S− = − 1 1 1 1 1 1 22 2 2 2 2 2 +1 +1 +1 1( ) ( )( )3n n n n n nS S S S S S∴ − = − + 1 1 1 1 1 1 12 2 2 2 2 2 +1 +1 +1 +1 1 ( ) =2 =4 43 n n n n n n n n n nS S S S S S S S S −∴ − = + ∴ ∴ ∴ = 1 1 1S a= = 14n nS −= 1 2 24 4 3 4 , 2n n n na n− − −∴ = − = ⋅ ≥ 2 1, 1 3 4 , 2n n na n− =∴ =  ⋅ ≥ { }na " 3"λ − 1 1 1 1 1 3 33 3 3 3 3 +1 1 +1 +1( ) ( )n n n n n n nS S a S S S Sλ λ+− = ∴ − = − 1 1 3 3 +1n nS S∴ = 1 1 2 2 1 1 2 33 3 3 3 3 3 +1 +1 +1( ) ( )n n n n n nS S S S S Sλ− = + + +1n nS S∴ = 2 2 1 1 3 3 33 3 3 3 +1 +1( 1) ( 1) ( 2) 0n n n nS S S Sλ λ λ− + − + + = λ { }na " 3"λ − 0na ≥ 1, 1 0, 2n na n =∴ =  ≥ ( )2 2 1 1 3 3 33 3 3 3 +1 +1( 1) ( 1) ( 2) 0 1n n n nS S S Sλ λ λ λ− + − + + = ≠ ( )2 2 1 1 3 3 33 3 3 3 +1 +1( 1) ( 1) ( 2) 0 1n n n nS S S Sλ λ λ λ− + − + + = ≠ ( ) 2 1 3 33 3 3+1 +1 2 1 3 3 ( 1) ( 2)( 1) 0 1n n n n S S S S λ λλ λ− ++ − + = ≠ ( ) 1 3 1 0n n S x xS +  = >    ( )3 2 3 3( 1) ( 2) ( 1) 0 1x xλ λ λ λ− + + + − = ≠ ( ) ( )3 2 3 3( 1) ( 2) ( 1) 0 1f x x xλ λ λ λ= − + + + − = ≠ 1λ < 3 2 3 2 3( 2) 4( 1) 0 0 4λ λ λ∆ = + − − > ⇒ < < 0 1λ< −对 1λ > 3 2 3 2 3( 2) 4( 1) 0 0 4λ λ λ∆ = + − − > ⇒ < < 31 4λ< < ( ) 30 1 0f λ= − > 3 3 ( 2) 02( 1)x λ λ += −   + + ≤ 2 1x∴− ≤ < − 1 0x− ≤ ≤ 20 3x< ≤ 22, 3  −   5AO=2，E 为 AC 的中点． （1）求直线 AB 与 DE 所成角的余弦值； （2）若点 F 在 BC 上，满足 BF= BC，设二面角 F—DE—C 的大小为 θ，求 sinθ 的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 （1）建立空间直角坐标系，利用向量数量积求直线向量夹角，即得结果； （2）先求两个平面法向量，根据向量数量积求法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角关系 得结果. 详解】 （1）连 以 为 轴建立空间直角坐标系，则 【 1 4 15 15 2 39 13 ,CO BC CD BO OD CO BD= = ∴ ⊥ , ,OB OC OA , ,x y z (0,0,2), (1,0,0), (0,2,0), ( 1,0,0) (0,1,1)A B C D E− ∴ 1 15(1,0, 2), (1,1,1) cos , 155 3 AB DE AB DE −∴ = − = ∴ < >= = −   从而直线 与 所成角的余弦值为 （2）设平面 一个法向量为 令 设平面 一个法向量为 令 因此 【点睛】本题考查利用向量求线线角与二面角，考查基本分析求解能力，属中档题. 25.甲口袋中装有 2 个黑球和 1 个白球，乙口袋中装有 3 个白球．现从甲、乙两口袋中各任取 一个球交换放入另一口袋，重复 n 次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为 Xn，恰有 2 个黑球 的概率为 pn，恰有 1 个黑球的概率为 qn． （1）求 p1·q1 和 p2·q2； （2）求 2pn+qn 与 2pn-1+qn-1 的递推关系式和 Xn 的数学期望 E(Xn)(用 n 表示) ． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 （1）直接根据操作，根据古典概型概率公式可得结果； （2）根据操作，依次求 ，即得递推关系，构造等比数列求得 ，最后根据数 学期望公式求结果. AB DE 15 15 DEC 1 ( , , ),n x y z= 1 1 2 00(1,2,0), 00 x yn DCDC x y zn DE  + =⋅ = = ∴  + + =⋅ =      11 2, 1 ( 2,1,1)y x z n= ∴ = − = ∴ = − DEF 2 1 1 1( , , ),n x y z= 1 12 2 1 1 1 7 1 001 7 1( , ,0), 4 24 4 2 0 0 x yn DFDF DB BF DB BC n DE x y z  + =⋅ = = + = + = ∴ ⋅ =  + + =         1 1 1 27 2, 5 (2, 7,5)y x z n= − ∴ = = ∴ = − 1 2 6 1cos , 6 78 13 n n −∴ < >= = −  12 2 39sin 1313 θ = = 1 1 2 2 1 2 7 16, ,3 3 27 27p q p q= = = =； ； ( )1 1 1 22 2 +3 3n n n np q p q− −+ = + n np q， 2 n np q+【详解】（1） ， ， （2） ， ， 因此 ， 从而 ， 即 . 又 的分布列为 0 1 2 故 . 【点睛】本题考查古典概型概率、概率中递推关系、构造法求数列通项、数学期望公式，考 查综合分析求解能力，属难题. 1 1 1 3 1 2 3 2,3 3 3 3 3 3p q × ×= = = =× × 2 1 1 1 3 1 2 1 1 2 2 7+ +3 3 3 3 3 3 3 9 27p p q × ×= × × = × × =× × 2 1 1 2 3 1 1 2 2 2 2 2 5 16+ 0 +3 3 3 3 3 3 3 9 27q p q × × + ×= × × + = × × =× × 1 1 1 1 1 3 1 2 1 2+ +3 3 3 3 3 9n n n n np p q p q− − − − × ×= × × =× × 1 1 1 1 1 2 3 1 1 2 2 3 2 1 2+ (1 ) +3 3 3 3 3 3 9 3n n n n n nq p q p q q− − − − − × × + × ×= × × + − − × = −× × × 1 1 2 1 22 +3 3 3n n n np q p q− −+ = + 1 1 1 1 1 2 12 (2 + ) , 2 1 (2 + 1)3 3 3n n n n n n n np q p q p q p q− − − −+ = + ∴ + − = − 1 1 1 1 12 1 (2 + 1) , 2 13 3n n n nn np q p q p q−+ − = − ∴ + = + nX nX P 1 n np q− − nq np 1( ) 2 1 3n n n nE X p q= + = +