2020年高考真题-数学（天津卷）（解析版）

绝密★启用前 2020 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数 学 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用 时 120 分钟．第Ⅰ卷 1 至 3 页，第Ⅱ卷 4 至 6 页． 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并 在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在 试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 祝各位考生考试顺利！ 第 I 卷 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 2．本卷共 9 小题，每小题 5 分，共 45 分． 参考公式： 如果事件 与事件 互斥，那么 ． 如果事件 与事件 相互独立，那么 ． 球的表面积公式 ，其中 表示球的半径． 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.设全集 ，集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 A B ( ) ( ) ( )∪ = +P A B P A P B A B ( ) ( ) ( )P AB P A P B= 24S Rπ= R { 3, 2, 1,0,1,2,3}U = − − − { 1,0,1,2}, { 3,0,2,3}A B= − = − ( )UA B =  { 3,3}− {0,2} { 1,1}− { 3, 2, 1,1,3}− − −首先进行补集运算，然后进行交集运算即可求得集合的运算结果. 【详解】由题意结合补集的定义可知： ，则 . 故选：C. 【点睛】本题主要考查补集运算，交集运算，属于基础题. 2.设 ，则“ ”是“ ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可. 【详解】求解二次不等式 可得： 或 ， 据此可知： 是 的充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】本题主要考查二次不等式的解法，充分性和必要性的判定，属于基础题. 3.函数 的图象大致为（ ） A B. . { }U 2, 1,1B = − − ( ) { }U 1,1A B = −  a∈R 1a > 2a a> 2a a> 1a > 0a < 1a > 2a a> 2 4 1 xy x = +C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数 的图象. 【详解】由函数的解析式可得： ，则函数 为奇函数，其图象 关于坐标原点对称，选项 CD 错误； 当 时， ，选项 B 错误. 故选：A. 【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从 函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的 奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、 筛选选项． 4.从一批零件中抽取 80 个，测量其直径（单位： ），将所得数据分为 9 组： ，并整理得到如下频率分布直方图，则 在被抽取的零件中，直径落在区间 内的个数为（ ） ( ) ( )2 4 1 xf x f xx −− = = −+ ( )f x 1x = 4 2 01 1y = = >+ mm [5.31,5.33),[5.33,5.35), ,[5.45,5.47],[5.47,5.49] [5.43,5.47)A. 10 B. 18 C. 20 D. 36 【答案】B 【解析】 【分析】 根据直方图确定直径落在区间 之间的零件频率，然后结合样本总数计算其个数即 可. 【 详 解 】 根 据 直 方 图 ， 直 径 落 在 区 间 之 间 的 零 件 频 率 为 ： ， 则区间 内零件的个数为： . 故选：B. 【点睛】本题主要考查频率分布直方图的计算与实际应用，属于中等题. 5.若棱长为 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 求出正方体的体对角线的一半，即为球的半径，利用球的表面积公式，即可得解. 【详解】这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半， [ )5.43,5.47 [ )5.43,5.47 ( )6.25 5.00 0.02 0.225+ × = [ )5.43,5.47 80 0.225 18× = 2 3 12π 24π 36π 144π即 ， 所以，这个球的表面积为 . 故选：C. 【点睛】本题考查正方体的外接球的表面积的求法，求出外接球的半径是本题的解题关键， 属于基础题.求多面体的外接球的面积和体积问题，常用方法有：（1）三条棱两两互相垂直时， 可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外 接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中 点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分 别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心. 6.设 ，则 的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 利用指数函数与对数函数的性质，即可得出 的大小关系. 【详解】因为 ， ， ， 所以 . 故选：D. 【点睛】本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指 数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围. 比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法： （1）利用指数函数的单调性： ，当 时，函数递增；当 时，函数递减； ( ) ( ) ( )2 2 2 2 3 2 3 2 3 32R + + = = 2 24 4 3 36S Rπ π π= = × = 0.8 0.7 0.7 13 , , log 0.83a b c − = = =   , ,a b c a b c< < b a c< < b c a< < c a b< < , ,a b c 0.73 1a = > 0.8 0.8 0.71 3 33b a − = = > =   0.7 0.7log 0.8 log 0.7 1c = < = 1c a b< < < xy a= 1a > 0 1a< 0 1a< < C 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 2 4y x= (0, )b l C l l C 2 2 14 4 x y− = 2 2 14 yx − = 2 2 14 x y− = 2 2 1x y− = ( )1,0 l 1yx b + = b− by xa = ± bb a − = − 1bb a − × = − ,a b ( )1,0 l 1yx b + = b− by xa = ± bb a − = − 1bb a − × = − 0, 0a b> > 1, 1a b= = D ( ) sin 3f x x π = +   ( )f x 2π 2f π     ( )f x siny x= 3 π ( )y f x=其中所有正确结论的序号是 A. ① B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】B 【解析】 【分析】 对所给选项结合正弦型函数的性质逐一判断即可. 【详解】因为 ，所以周期 ，故①正确； ，故②不正确； 将函数 的图象上所有点向左平移 个单位长度，得到 的图象， 故③正确. 故选：B. 【点晴】本题主要考查正弦型函数的性质及图象的平移，考查学生的数学运算能力，逻辑分 析那能力，是一道容易题. 9.已知函数 若函数 恰有 4 个零点，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由 ，结合已知，将问题转化为 与 有 个不同交点，分 三种情况，数形结合讨论即可得到答案. 【详解】注意到 ，所以要使 恰有 4 个零点，只需方程 恰有 3 个 ( ) sin( )3f x x π= + 2 2T π πω= = 5 1( ) sin( ) sin 12 2 3 6 2f π π π π= + = = ≠ siny x= 3 π sin( )3y x π= + 3, 0,( ) , 0. x xf x x x = − (0) 0g = ( )g x ( )| 2 | | | f xkx x − =实根 即可， 令 ，即 与 的图象有 个不同交点. 因为 ， 当 时，此时 ，如图 1， 与 有 个不同交点，不满足题意； 当 时，如图 2，此时 与 恒有 个不同交点，满足题意； 当 时，如图 3，当 与 相切时，联立方程得 ， 令 得 ，解得 （负值舍去），所以 . 综上， 的取值范围为 . 故选：D. 【点晴】本题主要考查函数与方程的应用，考查数形结合思想，转化与化归思想，是一道中 ( )h x = ( ) | | f x x | 2 |y kx= − ( )( ) | | f xh x x = 3 2 , 0( )( ) 1, 0 x xf xh x x x  >= =  2y kx= − 2y x= 2 2 0x kx− + = 0∆ = 2 8 0k − = 2 2k = 2 2k > k ( ,0) (2 2, )−∞ +∞档题. 绝密★启用前 2020 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数 学 第Ⅱ卷 注意事项： 1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上． 2．本卷共 11 小题，共 105 分． 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．试题中包含两个空的，答 对 1 个的给 3 分，全部答对的给 5 分． 10. 是虚数单位，复数 _________． 【答案】 【解析】 【分析】 将分子分母同乘以分母的共轭复数，然后利用运算化简可得结果. 【详解】 . 故答案为： . 【点睛】本题考查复数的四则运算，属于基础题. 11.在 的展开式中， 的系数是_________． i 8 2 i i − =+ 3 2i− ( )( ) ( )( ) 8 28 15 10 3 22 2 2 5 i ii i ii i i − −− −= = = −+ + − 3 2i− 5 2 2x x  +   2x【答案】10 【解析】 【分析】 写出二项展开式的通项公式，整理后令 的指数为 2，即可求出． 【 详 解 】 因 为 的 展 开 式 的 通 项 公 式 为 ，令 ，解得 ． 所以 的系数为 ． 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查二项展开式的通项公式的应用，属于基础题． 12.已知直线 和圆 相交于 两点．若 ，则 的 值为_________． 【答案】5 【解析】 【分析】 根据圆的方程得到圆心坐标和半径，由点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离 ，进 而利用弦长公式 ，即可求得 ． 【详解】因为圆心 到直线 的距离 ， 由 可得 ，解得 ． 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查圆的弦长问题，涉及圆的标准方程和点到直线的距离公式，属于基础 题． 13.已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为 和 ．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、 乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为 _________． x 5 2 2x x  +   ( )5 5 3 1 5 52 2 2 0,1,2,3,4,5 r r r r r r rT C x C x rx − − +  = = ⋅ ⋅ =   5 3 2r− = 1r = 2x 1 5 2 10C × = 10 3 8 0x y− + = 2 2 2 ( 0)x y r r+ = > ,A B | | 6AB = r d 2 2| | 2AB r d= − r ( )0,0 3 8 0x y− + = 8 4 1 3 d = = + 2 2| | 2AB r d= − 2 26 2 4r= − = 5r 5 1 2 1 3【答案】 (1). (2). 【解析】 【分析】 根据相互独立事件同时发生的概率关系，即可求出两球都落入盒子的概率；同理可求两球都 不落入盒子的概率，进而求出至少一球落入盒子的概率. 【详解】甲、乙两球落入盒子的概率分别为 ， 且两球是否落入盒子互不影响， 所以甲、乙都落入盒子 概率为 ， 甲、乙两球都不落入盒子的概率为 ， 所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为 . 故答案为： ； . 【点睛】本题主要考查独立事件同时发生的概率，以及利用对立事件求概率，属于基础题. 14.已知 ，且 ，则 的最小值为_________． 【答案】4 【解析】 【分析】 根据已知条件，将所求的式子化为 ，利用基本不等式即可求解. 【详解】 ， , ，当且仅当 =4 时取等号， 结合 ,解得 ，或 时，等号成立. 故答案为： 【点睛】本题考查应用基本不等式求最值，“1” 合理变换是解题的关键，属于基础题. 的 的 1 6 2 3 1 1,2 3 1 1 1 2 3 6 × = 1 1 1(1 ) (1 )2 3 3 − × − = 2 3 1 6 2 3 0, 0a b> > 1ab = 1 1 8 2 2a b a b + + + 8 2 a b a b + + + 0, 0, 0a b a b> > ∴ + > 1ab = 1 1 8 8 2 2 2 2 ab ab a b a b a b a b ∴ + + = + ++ + 8 82 42 2 a b a b a b a b + += + ≥ × =+ + a b+ 1ab = 2 3, 2 3a b= − = + 2 3, 2 3a b= + = − 415.如图，在四边形 中， ， ，且 ，则实数 的值为_________，若 是线段 上的动点， 且 ，则 的最小值为_________． 【答案】 (1). (2). 【解析】 【分析】 可得 ，利用平面向量数量积的定义求得 的值，然后以点 为坐标原点， 所在直线为 轴建立平面直角坐标系，设点 ，则点 （其中 ）， 得出 关于 的函数表达式，利用二次函数的基本性质求得 的最小值. 【详解】 ， ， ， ， 解得 ， 以点 为坐标原点， 所在直线为 轴建立如下图所示的平面直角坐标系 ， ABCD 60 , 3B AB°∠ = = 6BC = 3, 2AD BC AD ABλ= ⋅ = −    λ ,M N BC | | 1MN = DM DN⋅  1 6 13 2 120BAD∠ =  λ B BC x ( ),0M x ( )1,0N x + 0 5x≤ ≤ DM DN⋅  x DM DN⋅  AD BCλ=   //AD BC∴ 180 120BAD B∴∠ = − ∠ =  cos120AB AD BC AB BC ABλ λ⋅ = ⋅ = ⋅       1 36 3 92 2 λ λ = × × × − = − = −   1 6 λ = B BC x xBy, ∵ ，∴ 的坐标为 , ∵又∵ ,则 ，设 ，则 （其中 ）， ， ， ， 所以，当 时， 取得最小值 . 故答案为： ； . 【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，考查平面向量数量积的定义与坐标运算，考查计 算能力，属于中等题. 三、解答题：本大题共 5 小题，共 75 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算 步骤． 16.在 中，角 所对的边分别为 ．已知 ． （Ⅰ）求角 的大小； （Ⅱ）求 的值； （Ⅲ）求 的值． 【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） ；（Ⅲ） . 【解析】 【分析】 ( )6 6,0BC C= ∴ ， 3, 60AB ABC= ∠ = ° A 3 3 3,2 2A       1 6AD BC=  5 3 3,2 2D       ( ),0M x ( )1,0N x + 0 5x≤ ≤ 5 3 3,2 2DM x  = − −     3 3 3,2 2DN x  = − −     ( ) 2 225 3 3 3 21 134 22 2 2 2 2DM DN x x x x x    ⋅ = − − + = − + = − +            2x = DM DN⋅  13 2 1 6 13 2 ABC , ,A B C , ,a b c 2 2, 5, 13a b c= = = C sin A sin 2 4A π +   4C π = 2 13sin 13A = 17 2sin 2 4 26A π + =  （Ⅰ）直接利用余弦定理运算即可； （Ⅱ）由（Ⅰ）及正弦定理即可得到答案； （Ⅲ）先计算出 进一步求出 ，再利用两角和的正弦公式计算即可. 【详解】（Ⅰ）在 中，由 及余弦定理得 ， 又因为 ，所以 ； （Ⅱ）在 中，由 ， 及正弦定理，可得 ； （Ⅲ）由 知角 为锐角，由 ，可得 ， 进而 ， 所以 . 【点晴】本题主要考查正、余弦定理解三角形，以及三角恒等变换在解三角形中的应用，考 查学生的数学运算能力，是一道容易题. 17.如图，在三棱柱 中， 平面 ， ， 点 分别在棱 和棱 上，且 为棱 的中点． sin ,cos ,A A sin 2 ,cos2A A ABC 2 2, 5, 13a b c= = = 2 2 2 8 25 13 2cos 2 22 2 2 5 a b cC ab + − + −= = = × × (0, )C π∈ 4C π = ABC 4C π = 2 2, 13a c= = 22 2sin 2sin 13 a CA c × = = = 2 13 13 a c< A 2 13sin 13A = 2cos 1 sinA A= − = 3 13 13 212 5sin2 2sin cos ,cos2 2cos 113 13A A A A A= = = − = 12 2 5 2sin(2 ) sin2 cos cos2 sin4 4 4 13 2 13 2A A A π π π+ = + = × + × = 17 2 26 1 1 1ABC A B C− 1CC ⊥ , , 2ABC AC BC AC BC⊥ = = 1 3CC = ,D E 1AA 1CC 1 2,AD CE M= = 1 1A B（Ⅰ）求证： ； （Ⅱ）求二面角 的正弦值； （Ⅲ）求直线 与平面 所成角的正弦值． 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ） ；（Ⅲ） . 【解析】 【分析】 以 为原点，分别以 的方向为 轴， 轴， 轴的正方向建立空间直角坐标系. （Ⅰ）计算出向量 和 的坐标，得出 ，即可证明出 ； （Ⅱ）可知平面 的一个法向量为 ，计算出平面 的一个法向量为 ，利用空间 向量法计算出二面角 的余弦值，利用同角三角函数的基本关系可求解结果； （Ⅲ）利用空间向量法可求得直线 与平面 所成角的正弦值. 【详解】依题意，以 为原点，分别以 、 、 的方向为 轴、 轴、 轴的正方向 建立空间直角坐标系（如图）， 1 1C M B D⊥ 1B B E D− − AB 1DB E 30 6 3 3 C 1, ,CA CB CC   x y z 1C M 1B D 1 1 0C M B D⋅ =  1 1C M B D⊥ 1BB E CA 1B ED n 1B B E D− − AB 1DB E C CA CB 1CC x y z可得 、 、 、 、 、 、 、 、 . （Ⅰ）依题意， ， ， 从而 ，所以 ； （Ⅱ）依题意， 是平面 的一个法向量， ， ． 设 为平面 的法向量， 则 ，即 ， 不妨设 ，可得 ． ， ． 所以，二面角 的正弦值为 ； （Ⅲ）依题意， ． 由（Ⅱ）知 为平面 的一个法向量，于是 ( )0,0,0C ( )2,0,0A ( )0,2,0B ( )1 0,0,3C ( )1 2,0,3A ( )1 0,2,3B ( )2,0,1D ( )0,0,2E ( )1,1,3M ( )1 1,1,0C M = ( )1 2, 2, 2B D = − − 1 1 2 2 0 0C M B D⋅ = − + =  1 1C M B D⊥ ( )2,0,0CA = 1BB E ( )1 0,2,1EB = ( )2,0, 1ED = − ( ), ,n x y z= 1DB E 1 0 0 n EB n ED  ⋅ = ⋅ =     2 0 2 0 y z x z + =  − = 1x = ( )1, 1,2n = − 2 6cos , 62 6C CA n A C n A n ⋅< >= = = ⋅ ×       2 30sin , 1 cos , 6CA n CA n∴ < >= − < > =    1B B E D− − 30 6 ( )2,2,0AB = − ( )1, 1,2n = − 1DB E． 所以，直线 与平面 所成角的正弦值为 . 【点睛】本题考查利用空间向量法证明线线垂直，求二面角和线面角的正弦值，考查推理能 力与计算能力，属于中档题. 18.已知椭圆 的一个顶点为 ，右焦点为 ，且 ， 其中 为原点． （Ⅰ）求椭圆 方程； （Ⅱ）已知点 满足 ，点 在椭圆上（ 异于椭圆的顶点），直线 与以 为 圆心的圆相切于点 ，且 为线段 的中点．求直线 的方程． 【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） ，或 ． 【解析】 【分析】 （Ⅰ）根据题意，并借助 ，即可求出椭圆的方程； （Ⅱ）利用直线与圆相切，得到 ，设出直线 的方程，并与椭圆方程联立，求出 点坐标，进而求出 点坐标，再根据 ，求出直线 的斜率，从而得解. 【详解】（Ⅰ） 椭圆 的一个顶点为 ， ， 由 ，得 ， 又由 ，得 ， 所以，椭圆的方程为 ； （Ⅱ） 直线 与以 为圆心的圆相切于点 ，所以 ， 根据题意可知，直线 和直线 的斜率均存在， 的 4 3cos , 32 2 6 AB nAB n AB n ⋅ −< >= = = − ×⋅      AB 1DB E 3 3 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > (0, 3)A − F | | | |OA OF= O C 3OC OF=  B B AB C P P AB AB 2 2 118 9 x y+ = 1 32y x= − 3y x= − 2 2 2a b c= + CP AB⊥ AB B P CP AB⊥ AB  ( )2 2 2 2 1 0x y a ba b + = > > ( )0, 3A − ∴ 3b = OA OF= 3c b= = 2 2 2a b c= + 2 2 2 83 13a = + = 2 2 118 9 x y+ =  AB C P CP AB⊥ AB CP设直线 的斜率为 ，则直线 的方程为 ，即 ， ，消去 ，可得 ，解得 或 . 将 代入 ，得 ， 所以，点 的坐标为 ， 因为 为线段 的中点，点 的坐标为 ， 所以点 的坐标为 ， 由 ，得点 的坐标为 ， 所以，直线 的斜率为 ， 又因为 ，所以 ， 整理得 ，解得 或 . 所以，直线 的方程为 或 . 【点睛】本题考查了椭圆标准方程的求解、直线与椭圆的位置关系、直线与圆的位置关系、 中点坐标公式以及直线垂直关系的应用，考查学生的运算求解能力，属于中档题.当看到题目 中出现直线与圆锥曲线位置关系的问题时，要想到联立直线与圆锥曲线的方程. 19.已知 为等差数列， 为等比数列， ． （Ⅰ）求 和 的通项公式； （Ⅱ）记 的前 项和为 ，求证： ； AB k AB 3y kx+ = 3y kx= − 2 2 3 118 9 y kx x y = − + = y ( )2 22 1 12 0k x kx+ − = 0x = 2 12 2 1 kx k = + 2 12 2 1 kx k = + 3y kx= − 2 2 2 12 6 3 2 1 2 13 ky k k kk= ⋅ − −=+ + B 2 2 2 12 6 3,2 1 2 1 k k k k  −  + +  P AB A ( )0, 3− P 2 2 6 3,2 1 2 1 k k k −   + +  3OC OF=  C ( )1,0 CP 2 2 2 3 0 32 1 6 2 6 112 1 CP k k k k k k − −+ = − +−+ = CP AB⊥ 2 3 12 6 1k k k ⋅ = −− + 22 3 1 0k k− + = 1 2k = 1k = AB 1 32y x= − 3y x= − { }na { }nb ( ) ( )1 1 5 4 3 5 4 31, 5 , 4a b a a a b b b= = = − = − { }na { }nb { }na n nS ( )2 * 2 1n n nS S S n+ +< ∈N（Ⅲ）对任意的正整数 ，设 求数列 的前 项和． 【答案】（Ⅰ） ， ；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ） . 【解析】 【分析】 (Ⅰ)由题意分别求得数列的公差、公比，然后利用等差、等比数列的通项公式得到结果； (Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论首先求得数列 前 n 项和，然后利用作差法证明即可； (Ⅲ)分类讨论 n 为奇数和偶数时数列的通项公式，然后分别利用指数型裂项求和和错位相减求 和计算 和 的值，据此进一步计算数列 的前 2n 项和即可. 【详解】(Ⅰ)设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 q. 由 ， ，可得 d=1. 从而 的通项公式为 . 由 ， 又 q≠0，可得 ，解得 q=2， 从而 的通项公式为 . (Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可得 ， 故 ， ， 从而 ， 所以 . (Ⅲ)当 n 奇数时， ，为 n ( ) 2 1 1 3 2 , , , . n n n n n n n a b na ac a nb + − +  − =    为奇数 为偶数 { }nc 2n na n= 12n nb −= 4 6 5 4 2 1 9 4 9 n n n n +− −+ × { }na 2 1 1 n k k c − = ∑ 2 1 n k k c = ∑ { }nc { }na d { }nb 1 1a = ( )5 4 35a a a= − { }na na n= ( )1 5 4 31, 4b b b b= = − 2 4 4 0q q− + = { }nb 12n nb −= ( 1) 2n n nS += 2 1 ( 1)( 2)( 3)4n nS S n n n n+ = + + + ( ) ( )2 22 1 1 1 24nS n n+ = + + 2 2 1 1 ( 1)( 2) 02n n nS S S n n+ +− = − + + < 2 2 1n n nS S S+ +< ( ) 1 1 1 2 3 2 (3 2)2 2 2 ( 2) 2 n n n n n n n n a b nc a a n n n n − + − + − −= = = −+ +当 n 为偶数时， ， 对任意的正整数 n，有 ， 和 ① 由①得 ② 由①②得 ， 由于 ， 从而得： . 因此， . 所以，数列 的前 2n 项和为 . 【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，分组求和法，指数型裂项求和，错位相减求和 等，属于中等题. 20.已知函数 ， 为 的导函数． （Ⅰ）当 时， （i）求曲线 在点 处的切线方程； （ii）求函数 的单调区间和极值； （Ⅱ）当 时，求证：对任意的 ，且 ，有 1 1 1 2 n n n n a nc b − + −= = 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 12 1 2 1 2 1 k k nn n k k k c k k n − − = =  = − = − + − +  ∑ ∑ 2 2 3 1 1 1 2 1 1 3 5 2 3 2 1 4 4 4 4 4 4 n n k k n n k k k n nc − = = − − −= = + + + + +∑ ∑  2 2 3 14 1 1 1 3 5 2 3 2 1 4 4 4 4 4 4 n k n n k n nc + = − −= + + + + +∑  2 2 1 1 1 2 113 1 2 2 2 1 1 2 14 4 14 4 4 4 4 4 41 4 nn k n n n k n nc + + =  − − − = + + + − = − − − ∑  1 1 2 11 1 2 1 2 2 1 1 2 1 1 5 6 54 4 1 4 4 3 3 4 4 4 4 12 3 41 4 n n n n n n n n + +  −  − − +  − − = − × − − × = − ×− 2 1 5 6 5 9 9 4 n k n k nc = += − ×∑ 2 2 1 2 1 1 1 4 6 5 4 2 1 9 4 9 nn n n k k k n k k k nc c c n− = = = += + = − −+ ×∑ ∑ ∑ { }nc 4 6 5 4 2 1 9 4 9 n n n n +− −+ × 3( ) ln ( )f x x k x k R= + ∈ ( )f x′ ( )f x 6k = ( )y f x= (1, (1))f 9( ) ( ) ( )g x f x f x x ′= − + 3k − 1 2, [1, )x x ∈ +∞ 1 2x x>． 【答案】（Ⅰ）（i） ；（ii） 的极小值为 ，无极大值；（Ⅱ）证明见解 析. 【解析】 【分析】 (Ⅰ) (i)首先求得导函数的解析式，然后结合导数的几何意义求解切线方程即可； (ii)首先求得 的解析式，然后利用导函数与原函数的关系讨论函数的单调性和函数的极 值即可； （Ⅱ）首先确定导函数的解析式，然后令 ，将原问题转化为与 有关的函数，然后构造 新函数，利用新函数的性质即可证得题中的结论. 【详解】(Ⅰ) (i) 当 k=6 时， ， .可得 ， ， 所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即 . (ii) 依题意， . 从而可得 ， 整理可得： ， 令 ，解得 . 当 x 变化时， 的变化情况如下表： 单调递减 极小值 单调递增 ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 22 f x f x f x f x x x ′ ′+ −> − 9 8y x= − ( )g x (1) 1g = ( )g x′ 1 2 x tx = t ( ) 3 6lnf x x x= + ( ) 2 6' 3f x x x = + ( )1 1f = ( )' 1 9f = ( )y f x= ( )( )1, 1f ( )1 9 1y x− = − 9 8y x= − ( ) ( )3 2 33 6ln , 0,g x x x x xx = − + + ∈ +∞ ( ) 2 2 6 3' 3 6g x x x x x = − + − 3 2 3( 1) ( 1)( ) x xg x x ′ − += ( )' 0g x = 1x = ( ) ( )' ,g x g x x ( )0,1 1x = ( )1,+¥ ( )'g x − 0 + ( )g x所以，函数 g(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，+∞)； g(x)的极小值为 g(1)=1，无极大值. （Ⅱ）证明：由 ，得 . 对任意的 ，且 ，令 ，则 . ① 令 . 当 x>1 时， ， 由此可得 在 单调递增，所以当 t>1 时， ，即 . 因为 ， ， ， 所以 . ② 由(Ⅰ)(ii)可知，当 时， ，即 ， 故 ③ 3( ) lnf x x k x= + 2( ) 3 kf x x x ′ = + 1 2, [1, )x x ∈ +∞ 1 2x x> 1 2 ( 1)x t tx = > ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )1 2 1 2 1 22x x f x f x f x f x′ ′− + − − ( ) 2 2 3 3 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 3 3 2 ln xk kx x x x x x kx x x    = − + + + − − +        3 3 2 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 3 3 2 lnx x xx x x x x x k kx x x  = − − + + − −    ( )3 3 2 2 13 3 1 2lnx t t t k t tt  = − + − + − −   1( ) 2ln , [1, )h x x x xx = − − ∈ +∞ 2 2 1 2 1( ) 1 1 0h x x x x ′  = + − = − >   ( )h x [ )1,+∞ ( ) ( )1h t h> 1 2ln 0t tt − − > 2 1x ≥ 3 2 33 3 1 ( 1) 0t t t t− + − = − > 3k ≥ − ( ) ( )3 3 2 3 2 2 1 13 3 1 2ln 3 3 1 3 2lnx t t t k t t t t t t tt t    − + − + − − − − − − −  +      3 2 33 6ln 1t t t t = − + + − 1t > ( ) ( )1g t g> 3 2 33 6ln 1t t t t − + + > 3 2 33 6ln 1 0t t t t − + + − >由①②③可得 . 所以，当 时，任意的 ，且 ，有 . 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知 识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用． ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )1 2 1 2 1 22 0x x f x f x f x f x′ ′− + − − > 3k ≥ − [ )1 2, 1,x x ∈ +∞ 1 2x x> ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 22 f x f x f x f x x x ′ ′+ −> −