河南省南阳市2019-2020高二数学（理）下学期六校第二次联考试题（Word版附答案）

2020 年南阳春期六校第二次联考 高二年级数学试题（理科） 考生注意： 1. 本试卷分选择题和非选择题两部分.满分 150 分，考试时间 120 分钟. 2. 答题前，考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3. 考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的 答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区 域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4. 本卷命题范围：北师大版选修 2-2（50%），选修 2-3 第一章、第二章（50%）. 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的. 1. 在复平面内，复数 的共轭复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 若函数 ，则 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 根据历年气象统计资料，某地四月份某日刮东风的概率为 ，下雨的概率为 ，既刮东风又下雨的概 率为 ，则在下雨条件下刮东风的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 已知随机变量 服从二项分布 ，则 （ ） A. 11 B. 12 C. 18 D. 36 5. 5 人排成一排，其中甲、乙相邻，且甲，乙均不与丙相邻的排法共有（ ） A. 12 种 B. 24 种 C. 36 种 D. 48 种 6. 已知函数 的图象在点 处的切线与直线 平行，则 （ ） A. 1 B. C. D. -1 7. 设 ，则 （ ） ( )2 11 1 i − − ( ) 2 1f x x x = − ( )' 1f = 3 10 11 30 4 15 9 11 8 11 8 9 2 5 X 18, 2B     ( )3 1E X − = ( ) x x af x e += ( )( )1, 1f 2 0x ey− + = a = e− e ( )2 8 2 10 0 1 2 101 (4 3) (2 1) (2 1) (2 1)x x a a x a x a x+ − = + − + − +⋅⋅⋅+ − 1 2 10a a a+ +⋅⋅⋅+ =A. B. C. D. 2 8. 已知函数 ， ，则 的极大值点为（ ） A. B. C. D. 9. 盒中有 10 个螺丝钉，其中有 3 个是坏的，现从盒中随机地抽取 4 个，那么概率是 的事件为（ ） A. 恰有 1 个是坏的 B. 4 个全是好的 C. 恰有 2 个是好的 D. 至多有 2 个是坏的 10. 我国即将进入双航母时代，航母编队的要求是每艘航母配 2~3 艘驱逐舰，1~2 艘核潜艇.船厂现有 5 艘驱 逐舰和 3 艘核潜艇全部用来组建航母编队，则不同组建方法种数为（ ） A . 30 B. 60 C. 90 D. 120 11. 某同学进行投篮训练，在甲、乙、丙三个不同的位置投中的概率分别 ， ， ，该同学站在这三个 不同的位置各投篮一次，恰好投中两次的概率为 ，则 的值为（ ） A. B. C. D. 12. 已知函数 ，若 ， ， ， 则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13. 已知复数 ，且 ，则 ______. 14. 已知随机变量 服从正态分布 ，若 ，则 ______. 15. 的展开式中含 项的系数为______.（用数字作答） 16. 甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）.根据前 期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为 0.7，客场取胜的概率 为 0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以 获胜的概率是______. 3 4 3 4 − 5 4 1( ) cos2 2f x x x π = + +   ,2 2x π π ∈ −   ( )f x 6 π− 3 π− 6 π 3 π 3 10 1 3 1 2 p 7 18 p 1 4 1 3 2 3 3 4 2( ) 2 ln 3f x x a x= + + [ )( )1 2 1 2, 4,x x x x∀ ∈ +∞ ≠ [ ]2,3a∃ ∈ ( ) ( )2 1 1 2 2f x f x mx x − ,3 3x π π ∈ −   ( )' 0f x < ( )f x ,2 3 π π − −   ,3 2 π π     ,3 3 π π −   ( )f x 3 π− 1 3 3 7 4 10 1 2 C C C = 4 7 4 10 1 6 C C = 2 2 3 7 4 10 3 10 C C C = 1 3 2 10 > 2 5C另一组 2 艘，有 种方法.分到两艘航母共有 种不同方法. 11. C 在甲、乙、丙处投中分别记为事件 ， ， ，恰好投中两次为事件 ， ， 发生， 故恰好投中两次的概率 ，解得 . 12. D 设 ，因为 ，所以 . 记 ， 则 在 上 单 调 递 增 ， 故 在 上 恒 成 立 ， 即 在 上恒成立，整理得 且在 上恒成立.因为 ，所以函 数 在 上单调递增，故有 .因为 ，所以 ，即 . 二、填空题 13. -6 14. 0.4 15. 16. 0.245 13. -6 ， ， ， ， . 14. 0.4 因为 ，所以 . 15. 的 展 开 式 的 通 项 ， 令 ， . 16. 0.245 甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”. 设甲队主场取胜的概率为 0.7，客场取胜的概率为 0.5，且各场比赛结果相互独立， 甲队以 获胜包含的情况有： ①前 5 场比赛中，第一场负，另外 4 场全胜，其概率为： ， ②前 5 场比赛中，第二场负，另外 4 场全胜，其概率为： ， ③前 5 场比赛中，第三场负，另外 4 场全胜，其概率为： ， ④前 5 场比赛中，第四场负，另外 4 场全胜，其概率为： ， 则甲队以 获胜的概率为： 1 3C 2 1 2 2 5 3 2 2 120C C A A = A B C ABC ABC ABC 1 1 1 1 1 1 7(1 ) 1 13 2 3 2 3 2 18P p p p   = × − + × − × + − × × =       2 3p = 1 2x x> ( ) ( )2 1 1 2 2f x f x mx x − + ( ) ( ) 2g x f x mx= + ( )g x ( )0,+∞ ( )' 0g x ≥ [ )4,+∞ 22 2 0ax mx + + ≥ [ )4,+∞ am x x − ≤ + [ )4,+∞ [ ]2,3a∈ ay x x = + [ )4,+∞ 4 4 am− ≤ + [ ]2,3a∃ ∈ max 194 4 4 am  − ≤ + =   19 4m ≥ − 63 8 13 1iz ii −+ = = − − 4z i= − − 4a = − 1b = − 2 6a b+ = − ( 2) ( 6) 0.3P Pξ ξ< = > = (2 6) 1 2 0.3 0.4P ξ< < = − × = 63 8 91 2x x  −   9 9 2 1 9 9 1 1 2 2 r r r r rr rT C x C xx − − +    = − = −       4r = 4 4 5 9 1 63 2 8T C x x = − =   4:1 1 0.3 0.7 0.5 0.5 0.7 0.03675p = × × × × = 2 0.7 0.3 0.5 0.5 0.7 0.03675p = × × × × = 3 0.7 0.7 0.5 0.5 0.7 0.08575p = × × × × = 3 0.7 0.7 0.5 0.5 0.7 0.08575p = × × × × = 4:1. 三、解答题 17. 解析：（1）若 为纯虚数，则 ， 所以 ，故 ， ， . （2）若 在复平面内对应的点在第四象限，则 ， 得 . 18. 解：（1） ， 则 ， 解得 . 经检验，当 时， 在 处取得极值. （2）由题意可知， 对 恒成立， 则 对 恒成立. ∵当 时， ， ∴ ，即 的取值范围为 . 19. 解：（1）因为 的通项是 ， 所以常数项是 . （2） 的通项为 ， 则第 6 项与第 7 项分别为 和 ， 它们的系数分别为 和 . 因为第 6 项与第 7 项的系数互为相反数，所以 ，则 . 1 2 3 4 0.03675 0.03675 0.08575 0.08575 0.245p p p p p= + + + = + + + = z 2 0 1 0 a a a  − =  − ≠ 0a = z i= z i= − 1z z⋅ = z 2 0 1 0 a a a  − > − + ( ) 2' 3 2f x x ax= − ( )' 3 27 6 0f a= − = 9 2a = 9 2a = ( )f x 3x = ( ) 2' 3 2 0f x x ax= − ≤ [ ]2, 1x∈ − − 3 2a x≤ [ ]2, 1x∈ − − [ ]2, 1x∈ − − 3 33,2 2x  ∈ − −   3a ≤ − a ( ], 3−∞ − 91 xx  −   9 3 92 1 9 9 1 ( ) ( 1) r rr r rr rT C x C xx − − +  = − = −   ( )66 7 9 1 84T C= − = 1 n xx  −   3 2 1 1 ( ) ( 1) n r r nr r r r r n nT C x C xx − − +  = − = −   15 5 2 6 n nT C x −= − 6 9 7 n nT C x −= 5 nC− 6 nC 5 6 n nC C= 11n =因为 的各项系数的绝对值之和与 的各项系数之和相等， 令 ，得 的各项系数的绝对值之和为 . 20. 解：（1）由 ， 即 ，① 所以 ， 由①得 ，② ①-②，得 . 当 时， ， ； 当 时， ， ； 当 时， ， . （2）由（1）猜想 . 下面用数学归纳法证明： ①当 时，由（1）可知猜想成立； ② 假 设 时 猜 想 成 立 ， 即 ， 此 时 ， ， 当 时， ， 整理得 ， 所以当 时猜想成立. 综上所述：对任意 ， 成立. 21. 解：（1）记“该甲、乙、丙三项新技术被攻克”分别为事件 ， ， ， 则 ， ， ， 111 xx  −   111 xx  +   1x = 111 xx  −   112 2048= ( ) 242 5n n S n nf a + = + 22 2 5 2n nS a n n+ = + + 1 2a = 2 1 12 2 ( 1) 5( 1) 2( 2)n nS a n n n− −+ = − + − + ≥ 12 2( 2)n na a n n−= + + ≥ 2n = 2 12 1 2a a= + + 2 3a = 3n = 3 22 3 2a a= + + 3 4a = 4n = 4 32 4 2a a= + + 4 5a = 1na n= + 1n = n k= 1ka k= + 22 2 5 2k kS a k k+ = + + ( ) 2 21 35 22 2 2k k kS k k a k= + + − = + 1n k= + 2 1 1 1 3 2 2k k k k kS S a k a+ + += + = + + 2( 1) 3 ( 1)2 2 k k += + + ( )1 1 1ka k+ = + + 1n k= + *n N∈ 1na n= + A B C 3( ) 5P A = 2( ) 3P B = 1( ) 2P C =该科研团队获得 60 万科研经费的概率为 . （2） 所有可能的取值为 0，20，40，60，80，100，120， ， ， ， ， ， ， . 所以随机变量 的分布列为 0 20 40 60 80 100 120 所以 （万）. 22. 解：（1） ， 令 ，得 . 令 ，得 . 则 ， ，且 在 上单调递增， ， 且当 时， ；当 时， ， 则 ，且单调递增区间为 ，单调递减区间为 . （2）因为 ，所以 . 令 ，则 ，易知 在 上单调递增. 又 ， ， 则存在唯一的 ，使得 ， 且当 时， ；当 时， ， 则函数 在 上单调递减，在 上单调递增， ( ) ( ) 3 1 1 2 2 1 5 3 2 5 3 2P ABC P ABC = × × + ×+ × 1 2 7 10 15 30 = + = X 2 1 1 1( 0) ( ) 5 3 2 15P X P ABC= = = × × = 2 1 1 1( 20) ( ) 5 3 2 15P X P ABC= = = × × = 2 2 1 2( 40) ( ) 5 3 2 15P X P ABC= = = × × = 7( 60) 30P X = = 3 1 1 1( 80) ( ) 5 3 2 10P X P ABC= = = × × = 3 2 1 1( 100) ( ) 5 3 2 5P X P ABC= = = × × = 3 2 1 1( 120) ( ) 5 3 2 5P X P ABC= = = × × = X X P 1 15 1 15 2 15 7 30 1 10 1 5 1 5 1 1 2 7( ) 0 20 40 6015 15 15 30E X = × + × + × + × 1 1 1 21880 100 12010 5 5 3 + × + × + × = ( ) ( )( ) ( )1 2' 1 4 0 3xf x f e f x x−= − − + ( ) ( )( ) ( )1' ' 1 4 0 6xf x f e f x−⇒ = − − + 1x = ( )0 2f = 0x = ( ) ( )( ) ( )10 ' 1 4 ' 1 2 4f f e f e−= − ⇒ = + ( ) 22 2 3xf x e x x= − + ( )' 2 2 6xf x e x= − + ( )'f x x R∈ ( )' 0 0f = ( ),0x∈ −∞ ( )' 0f x < ( )0,x∈ +∞ ( )' 0f x > ( ) 22 2 3xf x e x x= − + ( )0,+∞ ( ),0−∞ ( ) 22 3 2 2f x x x m≤ + + + 21 5 12 2 xe x x m+ − − ≤ 21 5( ) 12 2 xh x e x x= + − − ( ) 5' 2 xh x e x= + − ( )'h x x R∈ 1' 2 02h e  = − ( )h x ( )0, x−∞ ( )0 ,x +∞所以 . 又 ， ，即 ， 则 . 因为 ，所以 . 因为存在实数 ，使得 成立， 所以 ，又 ，则整数 的最小值为 0. ( ) 0 2 min 0 0 0 1 5( ) 12 2 xh x h x e x x= = + − − ( )0' 0h x = 0 0 5 02 xe x+ − = 0 0 5 2 xe x= − + ( ) 2 min 0 0 0 0 5 1 5( ) 12 2 2h x h x x x x= = − + − − ( )2 0 0 1 7 32 x x= − + 0 1 3,2 4x  ∈   ( )min 0 27 1( ) ,32 8h x h x  = ∈ − −   x ( ) 22 3 2 2f x x x m≤ + + + ( )minm h x≥ m Z∈ m