洛阳市 2019——2020 学年高二质量检测
数学试卷（理）
本试卷分第 I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共 150 分.第 I 卷 1 至 2 页，第 I 卷 3 至 4 页.
考试时间 120 分钟.
第 I 卷（选择题，共 60 分）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上.
2.考试结束，将答题卡交回.
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的.
1.已知 a 是实数， 是实数，则 的值为（ ）
A. B. C.0 D.
2.已知命题 ， ，下列 形式正确的是（ ）
A. ，使得 B. ，使得
C. ， D. ，
3.设某大学的女生体重 y（单位：kg）与身高 x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据
，用最小二乘法建立的回归方程为 ，则下列结论中不正确的是
（ ）
A.y 与 x 具有正的线性相关关系
B.回归直线过样本点的中心
C.若该大学某女生身高增加 lcm，则其体重约增加 0.85kg.
D.若该大学某女生身高为 170cm，则可断定其体重必为 58.79kg
4.已知向量 ， ，且 .若 x，y 满足不等式 ，则 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
1
a i
i
+
− cos 3
aπ
1
2
1
2
− 3
2
:p x∀ ∈R 2 1 0x x− + ≥ p¬
0:p x¬ ∃ ∈R 2
0 0 1 0x x− + ≥ 0:p x¬ ∃ ∈R 2
0 0 1 0x x− + <
:p x¬ ∀ ∈R 2 1 0x x− + < :p x¬ ∀ ∈R 2 1 0x x− + ≤
( )( ), 1,2,3, ,i ix y i n= ⋅⋅⋅ 0.85 85.71y x= −
( ),x y
( ),3a x z= + ( )2,b y z= − a b⊥
0
0
1
x
y
x y
≥
≥
+ ≤
z
[ ]0,2 [ ]2,3− [ ]2,3 [ ]0,35.以双曲线 的右焦点 F 为圆心，a 为半径的圆恰好与双曲线的两条渐近线相切，
则该双曲线的离心率为（ ）
A. B. C.2 D.3
6. 的展开式中常数项为（ ）
A.30 B.15 C.－15 D.30
7.已知 ， ， ，则 的最大值为（ ）
A. B. C.4 D.8
8.设随机变量 服从正态分布 ，若 ，则函数 没有极值点
的概率是（ ）
A.0.2 B.0.3 C.0.7 D.0.8
9.若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
10.回文数是从左到右与从右到左读都一样的正整数，如 2，11，242，6776，83238 等设 n 位回文数的个数
为 （n 为正整数），如 11 是 2 位回文数，则（ ）
A. B. C. D.
11.已知函数 满足 ，当 时， ，若 ， ，
，则 a，b，c 的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
12.已知点 P 在抛物线 上，过点 P 作抛物线 的切线 ， ，切点分别为 M，N，
若 ，且 ，则 C 的准线方程为（ ）
( )2 2
2 2 1 0, 0x y a ba b
− = > >
2 3
619
3
x
x
−
0a > 0b > 8ab = 2 2log loga b⋅
3
2
9
4
η ( )21,N σ ( )1 0.2P η < − = ( ) 3 2 21
3 x xf x x η= + +=
( )13
0
( ) 3f x x f x dx= + ∫ ( )1
0
f x dx =∫
1
8
− 1
8
1
4
− 1
4
na
2 10a = 3 10a = 4 90a = 5 90a =
( )f x ( ) ( )f x f x− = 0x > ( ) ln 1
x
xf x e
+= ( )1.32a f= ( )0.64b f=
1
2
2log 3c f
=
c a b< < c b a< < b c a< < a b o< <
( )2: 0C y mx m= ≠ 2 2x y= 1l 2l
( )1,1G 0GP GM GN+ + = A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分）
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13.曲线 在 处的切线方程为________.
14.我国古代数学名著《九章算术》记载：“勾股各自乘，并之，为弦实”，用符号表示为
，把 a，b，c 叫做勾股数，下列给出几组勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，
25；9，40，41，以此类推，可猜测第 5 组勾股数为 x，y，z（ ），则 y=_______.
15.在西非肆虐的“埃博拉病毒”的传播速度很快，这已经成为全球性的威胁，为了考察某种埃博拉病毒疫
苗的效果，现随机抽取 100 只小鼠进行试验，得到如下列联表：
感染 未感染 总计
服用 10 40 50
未服用 20 30 50
总计 30 70 100
参考公式：
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
参照附表，在犯错误的概率最多不超过________（填百分比）前提下，可认为“该种疫苗由预防埃博拉病
毒感染的效果”
16.已知函数 ，下面四个结论：①函数 在其定义域上为增函数；②对于任意的
，都有 ；③ 有且仅有两个零点；④若 在点 处的切线也是 的
切线，则 必是 的零点，其中所有正确的结论序号是________.
三、解答题：本大题共 6 个小题，共 70 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
17，（本小题满分 10 分）
已知 的三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 .
（1）求角 C；
1
4x = − 1
4x = 2
2x = 2
2x = −
lny x x= ( )1,0
( )2 2 2 *, ,a b c a b c+ = ∈N
x y z< <
( )
( )( )( )( )
2
2 n ad bcK a b c d a c b d
−= + + + +
( )2P K k>
( ) 1
1
x xf x e x
+= − − ( )f x
0a < ( ) 1f a > − ( )f x xy e= ( )0
0 , xx e lny x=
0x ( )f x
ABC△ ( )( ) ( )sin sin 3 sina c A C a b B+ − = −（2）若 ， 的面积为 ，求 c.
18.（本小题满分 12 分）
已知数列 的前 n 项和为 ， ，若数列 是公比为 2 的等比数列.
（1）求数列 的通项公式；
（2） ，求数列 的前 n 项和 .
19.（本小题满分 12 分）
在四棱锥 中，底面 是矩形，平面 平面 ， ，M 是 的中点，
， .
（1）求证： ；
（2）若 ，求二面角 的余弦值.
20.（本小题满分 12 分）
已知椭圆 的离心率为 ，点 在椭圆上，斜率为 k 的直线 1 过点
且与椭圆交于 C，D 两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）设 ， 分别为直线 ， 的斜率，当 k 变动时， 是否为定值？说明理由.
21.（本小题满分 12 分）
某制造企业根据长期检测结果，发现生产产品的一项质量指标值服从正态分布 ，并把质量指标值
在 内的产品称为优等品，质量指标值在 内的产品称为一等品，其余范围内
的产品作为废品处理.优等品与一等品统称为正品，现从该企业生产的产品中随机抽取 1000 件，测得产品质
量指标值的样本数据统计如下图：
4a = ABC△ 4 3
3
{ }na nS 1 1a = { }1nS +
{ }na
( ) *1
1 1
,1
n
n
n n
ab na S
+
+ +
= ∈− N { }nb nT
S ABCD− ABCD ABCD ⊥ SBC SB SC= BC
1AB = 2BC =
AM SD⊥
2SM = B SA D− −
( )2 2
2 2 1 0x y a ba b
+ = > > 3
3
( )0, 2A − ( )0,1E
1k 2k AC AD 1k 2k
( )2,N µ σ
( ),µ σ µ σ− + ( ), 2µ σ µ σ+ +（1）根据频率分布直方图，求样本平均数 ；
（2）根据大量的产品检测数据，得出样本数据的方差的近似值为 100，用样本平均数 作为 的近似值，
用样本标准差 s 作为 的估计值，求该厂生产的产品为正品的概率；参考数据：若随机变量 服从正态分
布 ，则
， ，
.
（3）假如企业包装时要求把 3 件优等品 件一等品装在同一个箱子甲，质检员每次从箱子中随机取出 3 件
产品进行检验，记取出 3 件产品中优等品的件数为 X，求 X 的分布列以及数学期望.
22，（本小题满分 12 分）
已知曲线 在 处的切线方程为 .
（1）求 a 和 b 的值；
（2）若 时， ，求实数 m 的取值范围.
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数学试卷参考答案（理）
一、选择题
1-5 ABDDA 6-10 BBCAC 11-12 DA
二、填空题
13. 14.60 15.5% 16.②③④
三、解答题
17.（1）∵ ，
由正弦定理得 ，…………………………………………………………………………2 分
x
x µ
σ ξ
( )2,N µ σ
( ) 0.6827P µ σ ξ µ σ− < ≤ + ≈ ( )2 2 0.9545P µ σ ξ µ σ− < ≤ + ≈
( )3 3 0.9973P µ σ ξ µ σ− < ≤ + ≈
( ) xf x xe ax b= − + 0x = 1y x= − +
0x > ( ) lnf x x x m≥ − +
1y x= −
( )( ) ( )sin sin 3 sina c A B a b B+ − = −
( )2 2 3a c a b b− = −即 ，………………………………………………………………………………………3 分
由余弦定理得 .…………………………………………………………4 分
∵ ，∴ .……………………………………………………………………………………5 分
（2）∵ ， 面积为 ，
∴ ，即 ，………………………………………………………………6 分
∴ .………………………………………………………………………………………………………7 分
由余弦定理得 ，……………………………9 分
∴ .……………………………………………………………………………………………………10 分
18.（1）∵ ，∴ .………………………………………………………………………1 分
∵数列 是公比为 2 的等比数列，
∴ ，…………………………………………………………………………………………2
分
∴ .……………………………………………………………………………………………………3 分
当 时， ，
∴ .……………………………………………………………………5 分
显然 适合上式，∴ .…………………………………………………………………6 分
（2）由（1）知 ， ，…………………………………………………………………8 分
∴ ，…………………………………10 分
∴
2 2 2 3a b c ab+ − =
2 2 2 3 3cos 2 2 2
a b c abC ab ab
+ −= = =
0 C π< <
6C
π=
4a = ABC△ 4 3
3
1 4 3sin2 3ab C = 1 1 4 342 2 3b× × =
4 3
3b =
2 2 2 16 4 3 3 162 cos 16 2 43 3 2 3c a b ab C= + − = + − × × × =
4 3
3c =
1 1a = 1 11 1 2S a+ = + =
{ }1nS +
11 2 2 2n n
nS −+ = ⋅ =
2 1n
nS = −
2n ≥ 1
1 2 1n
nS −
− = −
( )1 1
1 2 1 2 1 2n n n
n n na S S − −
−= − = − − − =
1 1a = ( )1 *2n
na n−= ∈N
1 2n
na + = 1
1 2 1n
nS +
+ = −
( ) ( )( ) ( )*1
11
1 1
2 1 1
1 2 1 2 12 1 2 1
n
n
n n nn n
n n
ab na S
+
++
+ +
= = = − ∈− − −− − N
1 2n nT b b b= + + +.…………………………………………………………………………………………………12 分
19.（1）∵ ，M 是 的中点，
∴ .……………………………………………………………………………………………………1 分
∵平面 平面 ，∴ 平面 .…………………………………………………………2 分
∵ 平面 ，∴ .…………………………………………………………………………3 分
∵ 是矩形，M 是 的中点， ， ，
∴ ，∴ 平面 .…………………………………………………………………………4 分
∵ 平面 ，∴ .……………………………………………………………………………5 分
（2）由（1）知 平面 .……………………………………………………………………………6 分
过点 M 作 ，交 于 N，则 ， ， 两两垂直.以 M 为坐标原点，以 ， ，
的方向分别为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间坐标系 ，…………………………………………7 分
则 ， ， ， ， . ， ，
.………………………………………………………………………………………………8 分
设平面 的法向量为 ，
则 ，∴ ，可得 .…………………………………………9 分
设平面 的法向量为 ，
则 ，∴ ，可得 .…………………………………………10 分
∴ ，…………………………………………………………………11 分
故二面角 的余弦值为 .………………………………………………………………………12 分
2 2 2 3 1
1 1 1 1 1 1
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1n n+
= − + − + + − − − − − − −
1
11 2 1n+= − −
SB SC= BC
SM BC⊥
ABCD ⊥ SBC SM ⊥ ABCD
AB ⊂ ABCD SM AM⊥
ABCD BC 1AB = 2BC =
AM MD⊥ AM ⊥ SMD
SD ⊂ SMD AM SD⊥
SM ⊥ ABCD
MN AB∥ AD MN MC MS MN MC MS
O xyz−
( )0,0,0M ( )0, 1,0B − ( )1,1,0D ( )0,0, 2S ( )1, 1,0A − ( )0, 1, 2SB = − − ( )0,2,0AD =
( )1,1, 2AS = −
BAS ( )1 1 1, ,n x y z=
0
0
n SB
n AS
⋅ =
⋅ =
1 1
1 1 1
2 0
2 0
y z
x y z
− − =
− + + =
( )0, 2,1n = −
DAS ( )2 2 2, ,n x y z=
0
0
m AD
m AS
⋅ =
⋅
=
2
2 2 2
2 0
2 0
y
x y z
=− + + =
( )2,0,1m =
1 1cos , | | | | 33 3
n mn m n m
⋅< >= = =⋅ ⋅
B SA D− − 1
3
−20.（1）设椭圆的半焦距为 c.
∵椭圆的离心率为 ，点 在椭圆上，
∴ .………………………………………………………………………………………………3 分
解得 ， ， .…………………………………………………………………………………4
分
∴椭圆的方程为 .……………………………………………………………………………………5 分
（2）当 k 变动时， 为定值－2.……………………………………………………………………………6 分
证明如下：设直线 l 的方程为 .
由 得 .………………………………………………………………7 分
设 ， ，则 ， .……………………………………8 分
因为 ，所以 ， ，……………………………………………………………9 分
所以 ……………………………………………………………10 分
3
3
( )0, 2A −
2 2 2
3
3
2
c
a
b
a b c
=
=
+ =
6a = 2b = 2c =
2 2
16 4
x y+ =
1 2k k
1y kx= +
2 2
16 4
1
x y
y kx
+ =
= +
( )2 23 2 6 9 0k x kx+ + − =
( )1 1,C x y ( )2 2,D x y 1 2 2
6
3 2
kx x k
+ = − + 1 2 2
9
3 2x x k
= − +
( )0, 2A − 1
1
1
2yk x
+= 2
2
2
2yk x
+=
( )( )1 21 2
1 2
1 2 1 2
3 32 2 kx kxy yk k x x x x
+ ++ += ⋅ =.……………………………………………12 分
21.解：（1）由频率分布直方图可知，
.…………………………………………………………2 分
（2）由题意可知，样本方差 ，故 ，………………………………………………3 分
所以质量指标值 ，……………………………………………………………………………4 分
该厂生产的产品为正品的概率
.……………………………………………………………………………5 分
（3）X 的可能取值为 0，1，2，3，则
， ，
， .………………………………………………………9 分
所以 X 的分布列为
X 0 1 2 3
P
数学期望 .……………………………………………………12 分
22.解：（1）∵ ，
∴ .………………………………………………………………………………………1 分
由曲线 在 处的切线方程为 得
( )2 2
1 2 1 2 2
1 2
2
63 93 9 3 2 29
3 2
kkk x x k x x kkx x
k
⋅ − + + + + + = = + = −
− +
46 56 56 66 66 760.010 10 0.020 10 0.045 102 2 2x
+ + += × × + × × + × ×
76 86 86 960.020 10 0.005 10 702 2
+ ++ × × + × × =
2 100s = 2 10sσ ≈ =
( )270,10Y N
( ) ( ) ( )60 90 60 70 70 90P P Y P Y P Y= < < = < < + < <
( )1 0.6827 0.9545 0.81862
= + =
( ) 0 3
3 5
3
8
50 28
C CP X C
= = = ( ) 1 2
3 5
3
8
151 28
C CP X C
= = =
( ) 2 1
3 5
3
8
152 56
C CP X C
= = = ( ) 3 0
3 5
3
8
13 56
C CP X C
= = =
5
28
15
28
15
56
1
56
( ) 5 15 15 1 90 1 2 328 28 56 56 8E X = × + × + × + × =
( ) xf x xe ax b= − +
( ) ( )1 xf x x e a′ = + −
( ) xf x xe ax b= − + 0x = 1y x= − +.……………………………………………………………………………………………3 分
解得 ， .………………………………………………………………………………………………4 分
（2）∵ 时， ，
∴ ， 恒成立.………………………………………………………………………5 分
令 ， ，则 .………………………………………………………6 分
.…………………………………………………………………7 分
令 ， ，则 ，
所以 在 上单调递增.………………………………………………………………………………8 分
∵ ， ，
∴ 存在唯一的零点 ， ，
∴ ，从而 .………………………………………………………………………………9 分
∵ 时， ，
∴当 时， ，当 时， ，
∴函数 在 上单调递减，在 上单调递增，……………………………………………10
分
∴ ，…………………………………………………11
分
∴ 即为 ，
∴实数 m 的取值范围是 .………………………………………………………………………………12 分
( )
( )
0 1
0 1 1
f b
f a
= = ′ = − = −
2a = 1b =
0x > ( ) lnf x x x m≥ − +
ln 1xm xe x x≤ − − + 0x >
( ) ln 1xg x xe x x= − − + 0x > ( )minm g x≤
( ) ( ) ( )( )1 111 1
x
x x xe
g x x e x x
+ −′ = + − − =
( ) 1xh x xe= − 0x > ( ) ( )1 0xh x x e= + >
( )h x ( )0,+∞
1 1 1 02 2h e = −
( )h x 0
1 ,12x ∈
( )0 0h x =
0
0 1xx e = 0 0ln 0x x+ =
0x > 1 0x + >
( )00x x∈ ， ( ) 0g x′ < ( )0 ,x x∈ +∞ ( ) 0g x′ >
( )g x ( )00 x， ( )0 ,x +∞
( ) ( ) 0
0 0 0 0min ln 1 1 0 1 2xg x g x x e x x= = − − + = − + =
( )minm g x≤ 2m ≤
( ],2−∞
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