江苏省连云港市2019-2020高一数学下学期期末调研试题（Word版附答案）

2019～2020 学年第二学期高一期末调研考试 数学试题 一、单项选择题（本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给 出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1． 2．不等式 的解集是 3．若从甲，乙，丙， 丁 4 位同学中选出 3 名代表参加学校会议，则甲被 选中的概率是 4．某校为了了解教科研工作开展状况与教师年龄之间的关系，将该校不小 于 35 岁的 80 名教师按年龄分组，分组区间为[35，40)， [40，45)， [45， 50)，[50，55）， [5，60]， 由此得到频率分布直方图如图，则这 80 名教师中 年龄小于 45 岁的人数有 A． 45 B． 46 C． 48 D． 50 5．过圆 上一点 M（－1．2）作圆的切线 l，则 l 的方程是 2 2cos sin8 8 π π− = 2 2 2 2. B. C. D. 4 4 2 2A − − 2 8x > A. ( 2 2,2 2) B. ( , 2 2) (2 2, ) C. ( 4 2,4 2) D. ( , 4 2) (4 2, ) − −∞ − ∪ +∞ − −∞ − ∪ +∞ 1 1 2 3 A. B. C. 4 3 D.3 4 2 2 5x y+ =6．两条平行直线 与 的距离是 7．如图，在三校锥 S－ABC 中， SB＝SC＝AB＝AC＝BC＝4， SA＝2 3，则异面直线 SB 与 AC 所成角的余弦值是 8．圆 的圆心为 C，直线 l 过点(0，3)且与圆 C 交于 A，B 两点，若△ABC 的面积为 3，则满足条件的直线 l 的条数为 A． 1 В． 2 C． 3 D．4 二、多项选择题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，在每小题给 出的选项中，有多项是符合题目要求．全选对的得 5 分，部分选对的得 3 分， 有选错的得 0 分） 9．在 4 件产品中，有一等品 2 件，二等品 1 件（一等品与二等品都是正 品），次品 1 件，现从中任取 2 件，则下列说法正确的是 A．两件都是一等品的概率是1 3 0 A. 2 3 0 B. 2 5 0 C. 2 5 0 D. 2 5=x y x y x y x y+ − = − + = − − = + − 6 4 5 0x y− + = 3 2y x= 13 13 5 13 5 13. B. c. D. 13 26 13 26A 1 1 1 1 B. C. D. 8 8 4 4.A − − 2 2 2 2 2 0x y x y+ − − − =B．两件中有 1 件是次品的概率是1 2 C．两件都是正品的概率是1 3 D．两件中至少有 1 件是一等品的概率是5 6 10．关于异面直线 a， b，下列四个命题正确的有 A．过直线 a 有且仅有一个平面 β，使 b⊥β B．过直线 a 有且仅有一个平面 β，使 b//β C．在空间存在平面 β，使 a//β， b//β D．在空间不存在平面 β，使 a⊥β， b⊥β 11．正方体的外接球与内切球上各有一个动点 M， N，若线段 MN 的最小 值为 ，则 A．正方体的外接球的表面积为 12π B．正方体的内切球的体积为π 3 C．正方体的棱长为 1 D．线段 MN 的最大值为 12．瑞士著名数学家欧拉在 1765 年提出定理：三角形的外心、重心、垂心 位于同一直线上．这条直线被后人称为三角形的“欧拉线” ．在平面直角坐标系 中作△ABC，AB＝AC＝4，点 B(－1，3)，点 C(4，－2)，且其“欧拉线”与圆 M： 相切，则下列结论正确的是 A．圆 M 上点到直线 的最小距离为 2 2 B．圆 M 上点到直线 的最大距离为 3 2 C．若点（x，y ）在圆 M 上，则 的最小值是 D．圆 与圆 M 有公共点，则 a 的取值范围是 三、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，把正确答案填在 题中横线上） 13．已知两点 A（3，2）， B（8，12），则直线 AB 的一般式方程为 ________ 3 1− 3 1+ 2 2 2( 3)x y r− + = 3 0x y− + = 3 0x y− + = 3x y+ 3 2 2− 2 2( 1) ( ) 8x a y a− − + − = [1 2 2,1 2 2]− +14．用半圆形纸片卷成一个圆锥筒，该圆锥筒的高为 3，则半圆形纸片的 半径为________ 15．设 ，用 t 的代数式表示 cos2x＝________，用 t 的代数式表示 cos3x＝________ 16．在△ABC 中，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，面积为 S，且 满足 ，b＋c＝2，则 S 的最大值是________ 四、解答题（本大题共 6 个小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过 程或演算步骤） 17． （本小题满分 10 分） 在△ABC 中，角 A， B， C 对边分别为 a，b， c，若 (1)求 c 的值； (2)求 sinC 的值． 18． （本小题满分 12 分） 已知 ． (1)求 tanβ： (2)求 sin2α． 19． （本小题满分 12 分） 已知函数 （其中 a∈R）． （1）当 a＝－1 时，解关于 x 的不等式 f（x）＜0； （2）若 f（x）≥－1 的解集为 R，求实数 a 的取值范围． 20． （本小题满分 12 分） 如图，在正方体 中， E 为棱 DD1 的中点，求证： (1) BD1∥平面 EAC； (2)平面 EAC⊥平面 AB1C． cos x t= 2 2( )a b c S− − = 60 , 1, 3ABCA b S°= = =  1tan( ) , tan 23 α β α+ = = − 2( ) ( 3) 2f x ax a x= + − + 1 1 1 1ABCD A B C D−21． (本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C： （1）若圆 C 与 x 轴相切，求实数 a 的值； （2）若 M， N 为圆 C 上不同的两点，过点 M， N 分别作圆 C 的切线 ，若 与 相交于点 P，圆 C 上异于 M， N 另有一点 Q，满足 ，若直线： ： 上存在唯一的一个点 T，使得 ，求实数 a 的值． 22． （本小题满分 12 分） 已知梯形 ABCD 中， ，如 图（1）所示．现将△ABC 沿边 BC 翻折至△A'BC ，记二面角 A'—BC—D 的大 小为 θ． (1)当 θ＝90°时，如图(2)所示，过点 B 作平面与 A‘D 垂直，分别交 于点 E，F，求点 E 到平面 的距离； （2）当 时，如图（3）所示，求二面角 的正切值 2 2 24 2 0x y x ay a+ + − + = 1 2,l l 1l 2l 60MON °= 1l 6 0x y− − = 2TP OC=  1, 60 , 90 , 45AB A ABC CBD° ° °= ∠ = ∠ = ∠ = ,AC A D′ ′ A BF′ 30θ °= A CD B′ − −2019～2020 学年第二学期高一期末调研考试 数学参考答案 一、单项选择题（每小题 5 分，共 40 分） 1. C 2．B 3．D 4．C 5．B 6．D 7．A 8．D 二、多项选择题（每小题 5 分，共 20 分） 9．BD 10．BCD 11．AD 12．ACD 三、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分） 13．2x－y－4=0 14．2 15． (2 分+3 分) 16． 四、解答题（本大题共 6 个小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分 10 分） 解：（1）在 中， ， 所以 ，所以 ；…………………………3 分 （2）在 中，由余弦定理得： 所以 ，所以 ，……………………7 分 在 中，由正弦定理得： ， 所以 ．………………………………………………10 分 18．（本小题满分 12 分） 解：（1） ， 因为 ， ，所以 ………………6 分 （2） ，…………10 分 因为 ，所以 .………………………………12 分 19．（本小题满分 12 分） 解：（1）当 时，由 得， ， 所以 ，所以不等式的解集为 ；……4 分 2 32 1 4 3t t t− −， 4 17 ABC∆ 1 sin 32ABCS bc A∆ = = 1 3 32 2b c× × × = 4c = ABC∆ 2 2 2 2 cosa b c bc A= + − 2 2 11 4 2 1 4 132a = + − × × × = 13a = ABC∆ sin sin a c A C = sin 2 39sin 13 c AC a = = tan( ) tantan = tan( ) 1 tan( )tan α β αβ α β α α β α + −+ − = + + 1tan( ) 3 α β+ = tan 2α = − tan =7β 2 2 2 2sin cos 2tansin 2 2sin cos sin cos tan 1 α α αα α α α α α= = =+ + tan 2α = − 4sin 2 5 α = − 1a = − ( ) 0f x < 2 4 2 0x x− − + < 2 4 2 0x x+ − > ( 6 2) ( 6 2 )−∞ − − − + ∞， ，（2）因为 解集为 ，所以 在 恒成立， 当 时，得 ，不合题意；………………6 分 当 时，由 在 恒成立， 得 ，………………………10 分 所以 ……………………12 分 20． （本小题满分 12 分） 证明：（1）连接 BD 交 AC 与 O，连接 OE， 因为 O 是 BD 中点， 是棱 的中点， 所以 OE∥BD1，又 BD1 平面 ，OE⊂平面 ， 所以 ∥平面 ；………………………6 分 （2）方法一：连接 ,设正方体边长为 1 在△ 中, , 是 中点，得 , 同 理 , 故 为 所成二面角的平 面角, 在△ 中, , , 得 故 故平面 平面 ………………………12 分 法二：连接 ,在正方体 中， 面 ， 面 ,得 是正方形，得 ,又 , 得 面 , 面 ,故 ∥ 得 ， ( ) 1f x −≥ R 2 ( 3) 2 1ax a x+ − + −≥ R 0a = 3 2 1x− + −≥ 0a > 2 ( 3) 3 0ax a x+ − + ≥ R 2 0 ( 3) 12 0 a a a >  − − ≤ 9 6 2 9 6 2a− +≤ ≤ E 1DD ⊄ EAC EAC 1BD EAC 1 1B O B E， AEC EA EC= O AC OE AC⊥ 1OB AC⊥ 1EOB∠ 1E AC B− − 1EOB 3 2OE = 1 6 2B O = 1 3 2B E = 2 2 2 1 1OE B E B O+ = 1=90EOB∠ ° EAC ⊥ 1AB C 1A B 1 1 1 1ABCD A B C D− 1 1A D ⊥ 1 1ABB A 1AB ⊂ 1 1ABB A 1 1A D ⊥ 1AB 1 1ABB A 1A B ⊥ 1AB 1 1 1 1A B A D A= 1AB ⊥ 1 1A BD 1BD ⊂ 1 1A BD 1AB ⊥ 1BD OE 1BD 1OE AB⊥ A1 B1 B1D1 A B CD E O在△ 中, , 是 中点，得 又 ,得 面 ， 平面 故平面 平面 .………………………12 分 21．（本小题满分 12 分） 解：（1）圆 的方程可以化为： ， 所以圆心 ，半径为 2, 因为圆 与 轴相切，所以 ，所以 .………………………4 分 （2）因为点 在圆 上，且 ， 所以 ， 因为 分别是圆 的切线， 所以 ，即点 在以 为圆心， 为半径的圆上， 所以点 的轨迹方程为 ，………………………6 分 设 ， ， 由 得， 所以 ，即 ，所以 ，……………8 分 因为直线 上一存在唯一点 ，使得 ， 所以 只有一组解，………………………10 分 所以 ，所以 .………………………12 分 22．（本小题满分 12 分） 解：（1）因为平面 平面 ，平面 平面 ， ， 平面 ， 所以 平面 ，又 平面 ，所以 ， 因为 ， ，所以 又 ， ， AEC EA EC= O AC OE AC⊥ 1AB AC A= OE ⊥ 1AB C OE ⊂ EAC EAC ⊥ 1AB C C 2 2( 2) ( ) 4x y a+ + − = ( 2 )C a− ， C x | | 2a = 2a = ± M N， C 60MQN∠ =  120MCN∠ =  PM PN， C 4PC = P C 4 P 2 2( 2) ( ) 16x y a+ + − = 0 0( )T x y， ( )P m n， 2TP OC=  0 0( ) 2( 2 )m x n y a− − = −， ， 0 0 4 2 m x n y a − = −  − = 0 0 4 2 m x n y a = −  = + 2 2 0 0( 2) ( ) 16x y a− + + = l 6 0x y− − = T 2TP OC=  2 2 0 0 0 0 ( 2) ( ) 16 6 0 x y a x y  − + + = − − = | 2 6| 4 2 a+ − = 4 4 2a = ± 'A BC ⊥ BCD 'A BC  BCD BC= CD BC⊥ CD ⊂ BCD CD ⊥ 'A BC BE ⊂ 'A BC CD BE⊥ 'A D BEF⊥ 平面 BE BEF⊂ 平面 'A D BE⊥ 'CD A D D= ' 'CD A D A CD⊂， 平面所以 ，又 ，所以 ，………………………2 分 在 中， ， 又 ， ， ， 所以 ，又 ，所以 ， 在 中， ，所以 ， 在 中， ，………………………4 分 设点 到平面 的距离为 ，因为 ，所以 ， 所以 ；……………………………………………………………6 分 （2）过点 作直线 // ，过 作 交 于点 ．因为 ，所以 ， 又因为 ，所以 就是二面角 的平面角， 所以 ，因为 ，所以 ，……………………8 分 过点 作 交 于点 ，连接 ， 因为 ， ， ，所以 ， 又 ，所以 又因为 ， ， 所以 ，………………10 分 因为 ，所以 ， 因为 ，所以 ， 所以 是二面角 的平面角， 在 中， ， 所以二面角 的正切值为 ．…………………………………12 分 'BE A CD⊥ 平面 ' 'A C A CD⊂ 平面 'BE A C⊥ 'Rt A BC∆ 3= 2 A B BCBE A C ′ ⋅= ′ 'A BC BCD⊥平面 平面 'A BC BCD BC=平面 平面 'A B BC⊥ ' 'A B A BC⊂ 面 'A B BCD⊥ 平面 BD BCD⊂ 平面 'A B BD⊥ 'Rt A BD∆ 6 7 A B BDBF A D ′ ⋅= =′ 2 2 1' 7 A F A B A F′ ′= − = Rt BEF∆ 2 2 3 2 7 EF BF BE= − = E A BF′ d ' 'A BEF E A BFV V− − = ' 1 1'3 3BEF A BFS A F S d∆ ∆ ⋅ = ⋅ 6 8d = B l CD 'A 'A H l⊥ l H CD BC⊥ l BC⊥ 'A B BC⊥ 'A BH∠ 'A BC D− − ' 30A BH∠ = ° ' 1A B = 1' 2A H = H HQ CD⊥ CD Q 'A Q 'BC A B⊥ BC l⊥ 'l A B B= 'BC A BH⊥ 平面 BC BCD⊂ 平面 'BCD A BH⊥平面 平面 'BCD A BH l=平面 平面 'A H l⊥ ' 'A H A BH⊂ 平面 'A H BCD⊥ 平面 HQ CD⊥ 'CD A HQ⊥ 平面 ' 'A Q A CD⊂ 平面 'CD A Q⊥ 'A QH∠ A CD B′− − 'Rt A QH∆ ' 3tan ' 6 A HA QH HQ ∠ = = A CD B′− − 3 6 A′ B C D Q H l