2019/2020 学年度第二学期高一年级期终考试
数学试题
（总分 150 分，考试时间 120 分钟）
注意事项：
1．本试卷考试时间为 120 分钟，试卷满分 150 分，考试形式闭卷
2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．
3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用 0．5 毫米黑色墨水签字笔填
写在试卷及答题卡上．
一、单选题： （本大题共 8 小题，每小题 5 分，计 40 分，每小题给出的
四个选项中，只有一项是符合要求的，请在答题纸的指定位置填涂答案选
项．）
1．已知集合 ，则集合 A∩B＝
2．某校高一、高二、高三年级各有学生数分别为 800、 1000、 800 （单
位：人），现用分层抽样的方法抽取一个容量为 n 的样本了解网课学习情况，
样本中高一学生的人数为 48 人，那么此样本的容量 n 为
A． 108
B． 96
C． 156
D． 208
3．从 3 名男生， 2 名女生中任选 2 人参加抗疫志愿服务活动，则选中的
是 1 男 1 女的概率为
4．若直线 与直线 平行，则实数 a 的值为
5．在疫情冲击下，地摊经济有利于缓解部分失业人群的燃眉之急， 2020
年 5 月底中央开始鼓励地摊经济，某地摊的日盈利 y （单位：百元）与当天的
平均气温 x （单位： ℃）之间有如下数据：
{ | 2 1}, { 2, 1,0,1,2}A x x B= − < < = − −
A. {0} B. { 1,0} C. {0,1} D. { 1,0,1}− −
1 3 2 3. B. C. D. 10 10 5 5A
1 0x ay+ + = 4 2 0ax y+ + =
22 B. 0 2. C. D.A ±−若 y 与 x 具有线性相关关系，则 y 与 x 的线性回归方程 必过的点
为
A． (22，3) B． (22，5)
C． (24，3) D． (24，5)
6．与圆 和圆 都相切的直线
共有
A． 1 条
B． 2 条
C． 3 条
D． 4 条
7．若一个圆锥的母线长为 4，且其侧面积为其轴截面面积的 4 倍，则该圆
锥的高为
8．设函数 若存在 且 ，使得
成立，则实数 a 的取值范围为
二、多选题： （本大题共 4 小题，每小题 5 分，计 20 分，在每小题给出
的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 3
分，有选错的得 0 分，请在答题纸的指定位置填涂答案选项．)
9．设函数 ，则下列结论正确的是
A．f（x）的最小正周期为 π
B． y＝f（x）的图像关于直线 x＝π
8对称
C． f（x）的最大值为 2
D． y＝f（x）的图像关于点（7π
8 ，0）对称
10．在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，若
， ，则下列结论正确的是
ˆy bx a= +
2 2 4 4 7 0x y x y+ + − + = 2 2 4 10 13 0x y x y+ − − + =
3 2 A. B. C. D. 2 3 2
π π ππ
1, 0( ) log ( 2), 0a
ax xf x x x
− − ≤= + > 1 2,x x R∈ 1 2x x≠
1 2( ) ( )f x f x=
1 1 1 1 A. ( , ) [1, ) B. [ ,1) C. (0, ) D. (0, ) (1, )2 2 2 2
−∞ ∪ +∞ ∪ +∞
( ) sin 2 cos2f x x x= +
2 2 210, sina a b c ab C= + − = cos sina B b A c+ =11．已知边长为 2 的菱形 ABCD 中， ，现沿着 BD 将葵形折
起，使得 ，则下列结论正确的是
A． AC⊥BD
B．二面角 A—BD—C 的大小为π
3
C．点 A 到平面 BCD 的距离为3
2
D．直线 AD 与平面 BCD 所成角的正切值为 3
12．设函数 f（x）是定义在实数集 R 上周期为 2 的偶函数，当
时， ．若直线 y＝x＋a 与函数 y＝f（x）的图像在[0，2]内恰有
两个不同的公共点，则实数 a 的值可为
三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，计 20 分，不需写出解答过
程，请把答案写在答题纸的指定位置上）
13．若 ，则 ________
14．古希腊数学家阿基米德的整碑上刻着一个圆柱，此陶柱内有一个内切
球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，如图所示，相传这个图形表达了阿基
米德最引以为豪的发现，我们不妨称之为“阿氏球柱体” ，若在装满水的阿氏球
柱体中放入其内切球（溢出部分水），则“阿氏球桂体”中剩下的水的体积与圆
柱体积的比值为________
6 A. tan 2 B. C. 2 34 .2 DC A Ab BCb
π= ∆= = =或 的面积为
2
3ABC
π∠ =
3AC =
0 1x≤ ≤
2( ) 1 1f x x= − −
1 1 A. B. 0 C. D. 1 24 2
− − −
tan 2α = 2 2sin cosα α− =15．已知点 P 在圆 上，点 A(6，0) ， M 为 AP 的中点，
O 为坐标原点，则 tan∠MOA 的最大值为________
16．如图，在矩形 ABCD 中， AB＝3， AD＝4，圆 M 为△BCD 的内切
圆，点 P 为圆上任意一点， 且 ，则 的最大值为
________
四、解答题（本大题共 6 小题，计 70 分，解答应写出必要的文字说明，证
明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）
17． （本小题满分 10 分）
已知 A，B，C 三点的坐标分别为
(1)若 ，求角 α 的值；
(2)若 ，求 的值．
18．（本小题满分 12 分）
某市为了解疫情过后制造业企业的复工复产情况，随机调查了 100 家企
业，得到这些企业 4 月份较 3 月份产值增长率 x 的频率分布表如下：
（1）估计制造业企业中产值增长率不低于 60%的企业比例及产值负增长的
企业比例；
（2）求制造业企业产值增长率的平均数与方差的估计值（同一组中的数据
用该组区间的中点值为代表）．
19． (本小題满分 12 分)
如图，在四棱锥 P—ABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，
，侧面 PAB⊥底面 ABCD，
2 2:( 4) 4C x y− + =
AP AB ADλ µ= + λ µ+
3(3,0), (0,3), (cos ,sin ), ( , )2 2A B C
π πα α α ∈
| | | |AC BC=
1AC BC⋅ = − 22sin sin 2
1 tan
α α
α
+
+
120BCD °∠ = 2 2, 2PB AB AC PA= = = =(1)求证： BD⊥平面 PAC；
(2)过 AC 的平面交 PDF 点 M，若 ，求三棱锥 P—AMB 的
体积．
20．（本小题满分 12 分）
设函数
（1）若函数 y＝f（x）的图象关于原点对称，求函数 的零点
x；
（2）若函数 在 的最大值为－2，求实数 a 的
值．
21． （本小题满分 12 分）
在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c， 且
．
（1）若△ABC 为锐角三角形，求 的取值范围；
（2）若 b＝2，且 ，求△ABC 面积的最小值．
22． （本小题满分 12 分）
在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆心在 x 轴上的圆 C 经过点 A（3，0），
且被 y 轴截得的弦长为 ．经过坐标原点 O 的直线 l 与圆 C 交于 M，N 两点
（1）求当满足 时对应的直线 l 的方程；
（2）若点 P（－3，0），直线 PM 与圆 C 的另一个交点为 R，直线 PN 与
圆 C 的另一个交点为 T，分别记直线 l、直线 RT 的斜率为 ，求证：
为定值．
1
2M PAC P ACDV V− −=
( ) 2 2 ( )x xf x a a R−= ⋅ − ∈
3( ) ( ) 2g x f x= +
( ) ( ) 4 2x xh x f x −= + + [0,1]x∈
cos (1 cos )a C c A= +
c
a
[ , ]4 2B
π π∈
2 3
2 0OM ON+ =
1 2,k k 1 2k k+2019/2020 学年度第二学期高一年级期终考试
数 学 参 考 答 案
一、单选题：（本大题共 8 小题，每小题 5 分，计 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合要求的，请在答题纸的指定位置填涂答案选项.）
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
二、多选题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，计 20 分.在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分，请在答题纸
的指定位置填涂答案选项.）
9. 10. 11. 12.
三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，计 20 分. 不需写出解答过程，请把答案写在答
题纸的指定位置上）
13. 14. 15. 16.
四、解答题（本大题共 6 小题，计 70 分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，
请把答案写在答题纸的指定区域内）
17. 解：（1） ………………………2
分
，
由 得
又 … ………………………4 分
（2）由 ，得 …………………6
B C D A A C A D
DCBA DBA CBA DB
5
3
3
1
12
6
6
11
)3sin,(cos),sin,3(cos −αα=α−α= BCAC
α−=α+−α=∴ cos610sin)3(cos 22AC
( ) ( ) α−=−α+α= sin6103sincos 22BC BCAC = αα cossin =
)2
3,2(
ππα ∈ πα
4
5=∴
1−=⋅ BCAC 1)3(sinsincos)3(cos −=−+− αααα分
…………………………………8 分
又 ，
所以
……………………………10 分
18．解：(1)制造业企业中产值增长率不低于 60％的企业比例为 ，产值负
增长的企业比例 ，
所以制造业企业中产值增长率不低于 60％的企业比例 ，产值负增长的企业比例
.………4 分
(2) 100 家制造业企业产值增长率的平均数为
， ………………………8
分
方差为
所以制造业企业产值增长率的平均数为 ，方差的估计值为 ………………………12
分
19．解：（1）证明：在 中，因为 ，
所以 ，所以 …………………2
分
又因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面
所 以 平 面 ， 又 因 为 平 面 ， 所 以
， ……………4 分
又因为底面 ABCD 是平行四边形， ，所以底面 ABCD 是菱形，
所 以 又 因 为 平 面 ， 所 以 平 面
……………8 分
（2）因为 ，所以 是 的中点，
………………1
2 分
20. 解： 的图象关于原点对称，
，
， 即 ，
............................3 分
3
2cossin =+∴ αα
9
5cossin2 −=⋅∴ αα
2 22sin sin 2 2sin 2sin cos 5= 2sin cossin1 tan 91 cos
α α α α α α ααα
α
+ + = ⋅ = −+ +
22sin sin 2 =1 tan
α α
α
+
+ 9
5−
4%100%100
4 =×
13%100%100
13 =×
4%
13%
( )[ ] 20.007.0405.0803.03501.04001.013100
1 =×+×+×+×+−×
( )2 2 2 2 21 13 0.10 0.20 40 (0.10 0.20) 35 (0.30 0.20) 8 (0.50 0.20) 4 (0.70 0.20)100
× − − + × − + × − + × − + × −
0364.0=
20.0 0364.0
PAB∆ 22,2 === PBABPA
222 ABPAPB += ABPA ⊥
⊥PAB ABCD PAB ABABCD = ⊂PA PAB
⊥PA ABCD ⊂BD ABCD
BDPA ⊥
°=∠== 120,2 BCDACAB
,ACBD ⊥ ⊂= PCPAAACPA ,, PAC ⊥BD
PAC
ACDPPACM VV −− =
2
1 M PB
3
3
3
1
2
1
2
1
2
1 =⋅⋅⋅===== ∆−−−−− PASVVVVV ABDABDPPBDAMBDAPBMAAMBP
)(xf
0)()( =+−∴ xfxf
02222 =−⋅+−⋅∴ −− xxxx aa 0)22()1( =+⋅−∴ − xxa
1=∴a（注：若用赋值法求解，没有检验，扣 1 分）
令 ，
则 ，
，又 ，
所 以 函 数 的 零 点 为
. ....................................................................6 分
（2） ，
令 ，
，
对称轴 ，
① 当 ，即 时，
，
； ..........................................................................................10
分
② 当 ，即 时，
，
（舍）；
综上：实数 a 的值为 . ..................................................................12
分
21. （1）解：在 中，由正弦定理可得
， ,
,
，
又 为 的 内 角 ， ， 即
， ..............................................2 分
，又 为锐角三角形，
， ，
又 ，
. ...................................................
6 分
（2）解：在 中，由正弦定理可得
，
02
322)( =+−= −xxxg
02)2(3)2(2 2 =−⋅+⋅ xx
0)122()22( =−⋅⋅+∴ xx 02 >x
1−=∴x
)(xg
10 −=x
]1,0[2422)( ∈++−⋅= −− xaxh xxxx ，
]2,1[2 ∈= tx
]2,1[)( 2 ∈+= tattxh ，
20
at −=
2
3
2
≤− a 3−≥a
224)2()(max −=+== ahth
3−=∴a
2
3
2
>− a 3−
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