上海中学2019-2020高一数学下学期期末试题（Word版附答案）

第 1 页 共 7 页 上海中学高一下期末数学试卷 2020.6 一、填空题 1．在数列 中，若 ， ，则 ． 2．在首项为 2020，公比为 的等比数列中，最接近于 1 的项是第 项． 3．等差数列 的前 15 项和为 90，则 ． 4．等比数列 满足 ．则 ． 5．等差数列 的前 项和为 ， ， ，则 取最大值时 ． 6．数列 由 确定，则 中第 10 个 3 是该数列的第 项． 7．已知方程 在区间 内有两个相异的解 ，则 的取值范围 是 ． 8．在数列 中， ， ，则 ． 9． ． 10．对于数列 ，当 为奇数时， ；当 为偶数时， ，则这个数列的 前 项之和为 ． 11．一个数字生成器，生成规则如下：第 1 次生成一个数 ，以后每次生成的结果是将上一 次生成的每一个数 生成两个数，一个是 ，另一个是 ．若 ，前 次生成的所 有数中不同的数的个数为 ，则 ． 12 ． 若 数 列 ， 满 足 ， ， 若 对 任 意 的 ， 都 有 ， ，设 ，则无穷数列 的 所有项的和为 ． 二、选择题 { }na 1 1a = 1 13 3 n na a+ = + na = 1 2 { }na 8a = { }na 7 8 9 27a a a = 3 1 3 2 3 3 3 15log log log loga a a a+ + + + = { }na n nS 1 0a > 4 9S S= nS n = { }na 2 , ( ),n n n n a na n ∗ = ∈  N 为奇数 为偶数 { }na cos2 3sin 2 1x x k+ = + [0, ]2 π ,α β k { }na 1 1a = 1 ( )1 n n n aa na ∗ + = ∈+ N na = 1 1 1 1lim 1 3 2 4 3 5 ( 2)n n n→∞  + + + + = × × × +  { }na n 5 1na n= + n 22 n na = 2n x x x− 3x + 1x = n nT nT = { }na { }nb 1 1a = 1 1b = n ∗∈N 2 2 1n n n n na a b a b+ = + + + 2 2 1n n n n nb a b a b+ = + − + 1 1 1( )3n n n n c a b = + { }nc第 2 页 共 7 页 13．用数学归纳法证明“ ”，从“ 到 ”， 左边需增添的因式为（ ） A． B． C． D． 14．“ ”是“ 依次成等比数列”的（ ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．既不充分也不必要 D．充分必要 15．等差数列 的公差 不为零，等比数列 的公比 是小于 1 的正有理数，若 ， ，且 是正整数，则 的值可以为（ ） A． B． C． D． 16． 为实数构成的等比数列 的前 项和，则 中（ ） A．任一项均不为 0 B．必有一项为 0 B．至多有有限项为 0 D．或无一项为 0，或无穷多项为 0 三、解答题 17．有三个数 依次成等比数列，其和为 21，且 依次成等差效列，求 ． 18．解下列三角方程： （1） ； （2） ； （3） ． 19．己知等差数列 满足 ， ． ( 1)( 2) ( ) 2 1 3 (2 1)nn n n n n+ + + = ⋅ ⋅ −  n k= 1n k= + 2 1k + 2(2 1)k + 2 1 1 k k + + 2 3 1 k k + + 2b ac= , ,a b c { }na d { }nb q 1a d= 2 1b d= 2 2 2 1 2 3 1 2 3 a a a b b b + + + + q 1 7 1 7 − 1 2 1 2 − nS { }na n { }nS , ,a b c , , 9a b c− , ,a b c 24cos 4cos 1 0x x− + = 2sin 3sin cos 1 0x x x+ + = sin 2 12(sin cos ) 12 0x x x− − + = { }na 2 0a = 6 8 10a a+ = −第 3 页 共 7 页 （1）求数列 的通项公式；（2）求数列 的前 项和 ． 20．已知数列 的前 项和为 ，且 是 6 和 的等差中项． （1）求数列 的通项公式和前 项和 ； （2）若对任意的 ，都有 ，求 的最小值． 21．对于实数 ，将满足“ 且 为整数”的实数 称为实数 的小数部分，用记 号 表示，对于实数 ，无穷数列 满足如下条件： ， 其中 ． （1）若 ，求数列 ； （2）当 时，对任意的 ，都有 ，求符合要求的实数 构成的集合 ． （3）若 是有理数，设 （ 是整数， 是正整数， 、 互质），问对于大于 的任意 正整数 ，是否都有 成立，并证明你的结论． 参考答案 { }na 1{ }2 n n a − n nS { }na n nS 2 nS na { }na n nS n ∗∈N [ , ]nS s t∈ t s− x 0 1y n ∗∈N na a= a A a pa q = p q p q q n 0na =第 4 页 共 7 页 一、填空题 1． 2．12 3．6 4．15 5．6 或 7 6．1536 7． 8． 9． 10． 11． 12．1 【第 10 题解析】分组求和： ． 【第 11 题解析】第 1 次生成的数为“1”；第 2 次生成的数为“ 、4”；第 3 次生成的数为 “1、2、 、7”；第 4 次生成的数为“ 、4、 、5、4、 、 、10”；… 可观察出： ， ， ， ， ，…，当 时， 是公差为 4 的等差数列，∴ ． 【第 12 题解析】 由 题 意 ， ， ∴ 是 首 项 为 2 ， 公 比 为 2 的 等 比 数 列 ， ∴ ，而 ，可得 ， 从而 ，其各项和为 ． 二、选择题 13．B 14．B 15．C 16．D 【第 15 题解析】 ， 符合，选 C． 【第 16 题解析】 ， 当 时， 有无穷多项为 0；否则， 无一项为 0，选 D． 三、解答题 3 2n − [0,1) 1 n 3 4 2 15 2 2nn n ++ + − 1, 1 3, 2 4 6, 3, n n n n n ∗ =  =  − ∈ N≥ 2 1 3 2 1 2 4 2( ) ( )n n nS a a a a a a−= + + + + + + +  2 1(6 10 4) 2(1 2 ) 5 2 22 1 2 n nn n n n ++ − −= + = + + −− 1− 4− 1− 2− 1− 7− 1 1T = 2 3T = 3 6T = 4 10T = 5 14T = 3n≥ { }nT 1, 1 3, 2 4 6, 3, n n T n n n n ∗ = = =  − ∈ N≥ 1 1 2( )n n n na b a b+ ++ = + { }n na b+ 2n n na b+ = 2 2 2 1 1 ( ) ( ) 2n n n n n n n na b a b a b a b+ +⋅ = + − + = ⋅ 12n n na b −⋅ = 1 1 1 1 2( )3 3 3 n n n n n n n n n n a bc a b a b += + = ⋅ =⋅ 1 2 3 111 1 3 c q = =− − 2 2 2 2 2 2 1 2 3 2 2 2 1 2 3 (2 ) (3 ) 14 (1 ) 1 a a a d d d b b b d q q q q + + + += =+ + + + + + 1 2q = 1 1 , 1 (1 ), 0, 11 n n na q S a q q qq = = − ≠ ≠ − 1q = − { }nS { }nS第 5 页 共 7 页 17．由题意，可设 ，于是 ， 从而，可得 或 ． 18．（1）即 ； （2）即 ， 两边同除 ，可得 ，∴ 或 ， ∴ ； （3）令 ， ，则 ， 从而 ，即 ，解得 或 （舍）， 再由 ，∴ 或 ， ∴ 或 ． 19．（1） ；（2）由错位相减法，可得 ． 20．（1）由题意， ①，令 ，可得 ， ②， ②-①，得 ，即 ，∴ 是首项为 2，公比为 的等比数列， ∴ ， ； （2）① 为奇数时， ， 关于 单调递减且 恒成立， 此时， ； ② 为偶数时， ， 关于 单调递增且 恒成立， 此时， ； ∴ ， ，于是 ． 21． , 9a b d c b d= − − = + 2 9 3 12 4 ( )( 9) 3 12 a b c b b b d b d b d d + + − = = = ⇒ − + + = = = −  或 1, 4, 16a b c= = = 16, 4, 1a b c= = = 2 1(2cos 1) 0 cos 2 ( )2 3x x x k k ππ− = ⇒ = ⇒ = ± ∈Z 2 2 2sin 3sin cos sin cos 0x x x x x+ + + = 2cos x 22tan 3tan 1 0x x+ + = 1tan 2x = − tan 1x = − 1arctan ( )2 4x k x k k ππ π= − = − ∈Z或 sin cos 2 sin 4t x x x π = − = −   [ 2, 2]t ∈ − 2sin 2 1x t= − 21 12 12 0t t− − + = 2 12 13 0t t+ − = 1t = 13t = − 22 sin 1 sin4 4 2x x π π   − = ⇒ − =       24 4x k π ππ− = + 32 ( )4 4x k k π ππ− = + ∈Z 2 2x k ππ= + 2 ( )x k kπ π= + ∈Z 2na n= − + 12n n nS −= 4 6n nS a= + 1n = 1 2a = 1 14 6n nS a+ += + 1 14 n n na a a+ += − 1 1 3n na a+ = − { }na 1 3 − 112 3 n na − = ⋅ −   16 3 1 1 4 2 2 3 n n n aS −+  = = + ⋅ −   n 13 1 1 2 2 3 n nS − = + ⋅   nS n 3 2nS > 1 3 22 nS S< =≤ n 13 1 1 2 2 3 n nS − = − ⋅   nS n 3 2nS < 2 4 3 3 2nS S=