江西省新余市2019-2020高二数学（理）下学期期末试题（Word版附答案）

高二数学试题卷（理科） 第 1 页 (共 14 页) 新余市 2019—2020 学年度下学期期末质量检测 高二数学试题卷（理科） 说明：1．本卷共有三个大题，22个小题，全卷满分150分,考试时间120分钟． 2．本卷分为试题卷和答题卷，答案要求写在答题卷上，在试题卷上作答不给分． 一、选择题（本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.） 1. 设 ，则 ( ▲ ) A. B. C. D. 2.“ ”是“方程 表示双曲线”的( ▲ ) A.充分不必要条件 B.充要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 3.用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个角不大于 ;”时,应假设(　▲　) A.三角形的三个内角都不大于 B.三角形的三个内角都大于 C.三角形的三个内角至多有一个大于 D.三角形的三个内角至少有两个大于 4、抛物线 : ( )的焦点为 ,点 是 上一点, ,则 ( ▲ ) A. B. C. D. 5.由 与 轴围成的封闭图形绕 轴旋转一周所得旋转体的体积是( ▲ ) A. B. C. D. 6.函数 的图象大致是（ ▲ ） 2 lnx xy x =高二数学试题卷（理科） 第 2 页 (共 14 页) A． B． C． D． 7.我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有:“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割, 则与圆周合体而无所失矣,”其体现的是一种无限与有限的转化过程,比如在 中“ ”.即代表无限次重复,但原式却是个定值 ,这可以通过方程 确定出来 ,类似地不难得到 ( ▲ ) A. B. C. D. 8.已知函数 ， ， ，…， ， ，那么 （ ▲ ） A. B. C. D. 9.已知函数 满足 ,且 的导数 ,则不等式 的 解集为( ▲ ) A. B. C. D. 10.直三棱柱 中, , , 分别是 , 的中点, , 则 与 所成角的余弦值为( ▲ ) A. B. C. D. 11. 设双曲线 的左、右焦点分别为 F1，F2，过点 F2 的直线分别交 双曲线左、右两支于点 P，Q，点 M 为线段 PQ 的中点，若 P，Q，F1 都在以 M 为圆心的圆上，且 ，则双曲线 C 的离心率为( ▲ ) ( )2 2 2 2 1 0 0x yC a ba b − =： ＞ ， ＞ 1 0PQ MF⋅ = 高二数学试题卷（理科） 第 3 页 (共 14 页) A． B．2 C． D．2 12. 若对任意的 ， ， ， 恒成立，则 a 的最小值为 ( ▲ ) A． B． C． D． 二、填空题(每小题 5 分,共 4 小题 20 分) 13.函数 在 处有极值，则曲线 在原点处的切线方程 是 ▲▲▲_. 14.已知直线 与平面 垂直,直线 的一个方向向量为 ,向量 与平面 平 行,则 _▲▲▲. 15．已知 是函数 y＝f（x）的导函数，定义 为 的导函数，若方程 ＝0 有实数解 x0，则称点（x0，f（x0））为函数 y＝f（x）的拐点，经研究发现，所有的三次函数 f （x）＝ax3+bx2+cx+d（a≠0）都有拐点，且都有对称中心，其拐点就是对称中心，设 g（x）＝ x3﹣ax2+bx-5，若点（1，-3）是函数 y=g（x）的“拐点”也是函数 g（x）图像上的点，则 ＝_▲▲▲_. 16. 如图，在一个 60°的二面角的棱上有两个点 A，B，AC，BD 分别是在这个二面角的两个半 平面内垂直于 AB 的线段，且 AB=4，AC=6，BD=8，则 CD 的长为_▲▲▲_. 三、解答题(第 17 题 10 分,第 18 题 12 分,第 19 题 12 分,第 20 题 12 分,第 21 题 12 分,第 22 题 12 分,共 6 小题 70 分) 17.已知实数 ， ： ， ： ．　 （1）若 是 的必要不充分条件，求实数 的取值范围； （2）若 ，“ ”为真命题，求实数 的取值范围． 2 2 3 3 1x [ )2 2,0x ∈ − 1 2x x< 1 2 2 1 1 2 x xx e x e ax x − > 6 3 A E B E AB x C AB AO= BOC 6 E l E E M N M N OA CAM OAN∠ = ∠ l高二数学试题卷（理科） 第 6 页 (共 14 页) 22.已知 （ ）. （1）讨论 的单调性； （2）当 时，对任意的 ， ，且 ，都有 ，求实数 m 的取值范围. ( ) ( ) 21ln 1 12a x a xf x = + − + a∈R ( )f x 1a = − 1x ( )2 0,x ∈ +∞ 1 2x x≠ ( ) ( )1 2 2 1 1 2 1 2 x f x x f x mx xx x − >−高二数学试题卷（理科） 第 7 页 (共 14 页) 新余市 2019-2020 学年度下学期期末质量检测 高二数学（理）参考答案 一、选择题（12×5=60 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B A B A A D C C D C C A 二、填空题（5×4=20 分） 13、 14、3 15、 16、 三、简答题（17 题 10 分，18——22 题每题 12 分，共 70 分） 第 17 题答案 (1) （2） 第 17 题解析 （1）因为 ： ； 又 是 的必要不充分条件，所以 是 的必要不充分条件， 则 ，得 ． 又 不能推出 ，所以 ，故 ，所以 的取值范围是 ………5 分 （2）当 时， ： ， 2 17高二数学试题卷（理科） 第 8 页 (共 14 页) ： 或 ． …………………………6 分 因为 是真命题，所以 …………………………8 分 则 ． …………………………10 分 第 18 题答案 (1) ；(2)证明见解析. 第 18 题解析 (1) ， ， ， ， …………………4 分 猜测 ． …………………6 分 (2)证明：当 时， ，等式成立， 假设当 时，等式成立，即 ， 则当 时， ， …………………8 分高二数学试题卷（理科） 第 9 页 (共 14 页) …………………10 分 ， 即当 时，等式也成立， 故对一切 ， ． ………………………12 分 第 19 题答案 （1）证明： 平面 平面 ， ， 平面 ， ， 又 ， 平面 . ………………5 分 （2）取 的中点 ，连接 ， ， ， ， 又 平面 ，平面 平面 ， 平面 ， 平面 ， , ， ，高二数学试题卷（理科） 第 10 页 (共 14 页) 如图，建立空间直角坐标系 ， 由题意得， ， ， ， ， ， …………………………………………………………8 分 设平面 的法向量为 ，则 ，即 令 ，则 ， ， . ………………………10 分 又 ， ， ……………12 分 直线 与平面 所成角的正弦值为 . 第 20 题答案 【答案】（Ⅰ） ，定义域为 ．（Ⅱ）容器高为 时，容 器的容积最大为 4 【解析】 试题分析：（Ⅰ）根据容器的高为 x，求得做成的正三棱柱形容器的底边长，从而可得函 数 V（x）的解析式，函数的定义域；（Ⅱ）实际问题归结为求函数 V（x）在区间 23( ) (6 2 3 )4V x x x= − (0, 3) 3 3 (0, 3)高二数学试题卷（理科） 第 11 页 (共 14 页) 上的最大值点，先求 V（x）的极值点，再确定极大值就是最大值即可 试题解析：（Ⅰ）因为容器的高为 x，则做成的正三棱柱形容器的底边长为 则 . 函数的定义域为 . ……………5 分 （Ⅱ）实际问题归结为求函数 在区间 上的最大值点. 先求 的极值点. 在开区间 内， 令 ，即令 ，解得 . ………………………………………………………………8 分 因为 在区间 内， 可能是极值点. 当 时， ； 当 时， . 因此 是极大值点，且在区间 内， 是唯一的极值点，…………10 分 所以 是 的最大值点，并且最大值 即当正三棱柱形容器高为 时，容器的容积最大为 4 …………………12 分 考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数模型的选择与应用 第 21 题答案 【答案】（Ⅰ） 1；（Ⅱ）x﹣y﹣2 0． 【详解】 (6 2 3 )x− 23( ) (6 2 3 )4V x x x= − (0, 3) (x)V (0, 3) (x)V (0, 3) 2'( ) 9 3 36 9 3V x x x= − + '( ) 0V x = 29 3 36 9 3 0x x− + = 1 3 3x = (0, 3) 1x 10 x x< < '( ) 0V x > 1 3x x< < '( ) 0V x < 1x (0, 3) 1x 1 3 3x x= = (x)V 3( ) 43f = 3 3 2 2 12 4 x y+ = 2 =高二数学试题卷（理科） 第 12 页 (共 14 页) （Ⅰ）椭圆 的离心率为 ， 即 ，可得 ， ， 由 ，可得 为 的中点， 所以 ，即 ， 所以 ，即 ， ， ， 所以椭圆 的方程为 1； ……………5 分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可得 ，右焦点为 ， 因为 ，所以 ，所以 ， 又 ，直线 、 的斜率互为相反数， 设直线 ，联立椭圆方程 ， 消去 ，可得 ， 设 、 ，则 ，所以 ，…………8 分 将 换为 ，同理可得 ， ， ，…10 分 所以直线 的方程为 ，即 ( )2 2 2 2: 1 0x yE a ba b + = > > 6 3 6 3 ce a = = 6 2a c= 2 2 2 2b a c c= − = AB AO= 3 1,2 2A a b       BC 1 3 62ABCS a b= ⋅ =  4 3ab = 6 2 4 32 2c c⋅ = 2 2c = 2 3a = 2b = E 2 2 12 4 x y+ = ( )3,1A ( )2 2,0 AB AO= ABO AOB∠ = ∠ AOC ACO∠ = ∠ CAM OAN∠ = ∠ AM AN ( ): 1 3AM y k x− = − 2 23 12x y+ = y ( ) ( )2 2 23 1 6 1 3 27 18 9 0k x k k x k k+ + − + − − = ( )1 1,M x y ( )2 2,N x y 2 1 2 27 18 93 1 3 k kx k − −= + 2 1 2 9 6 3 1 3 k kx k − −= + k k− 2 2 2 9 6 3 1 3 k kx k + −= + 2 1 2 2 18 6 1 3 kx x k −+ = + 2 1 2 12 1 3 kx x k − = + ( ) ( ) ( ) 2 22 1 2 12 1 2 1 2 1 2 1 2 18 6 63 1 3 1 6 1 3 112 1 3 MN kk kkx k kx k k x x ky y kk kx x x x x x k −− ⋅ +− + + − − + − + +− += = = = =− − − + l 0 2 2y x− = −高二数学试题卷（理科） 第 13 页 (共 14 页) ． ……………………………………………………12 分 第 22 题答案 【详解】 （1） （ ）. ①当 时， ， 在 上单调递增； ②当 时， ， 所以当 时， ，当 时， ， 所以 在 上单调递增，在 上单调递减； ③当 时， ， 在 上单调递减. ……………………………5 分 （2）当 时， ，不妨设 ，则 等价于 ， 考查函数 ，得 ， 令 ， ， 则 时， ， 时， ， 2 2 0x y− − = ( ) ( ) ( ) 211 a x aa a xxx xf − +=′ + − = 0x > 1a ≥ ( ) 0f x′ > ( )f x ( )0, ∞+ 0 1a< < ( ) ( )1 1 1 a aa x f a xx xa   − + − − −  − −  ′ = 1 ax a > − − ( ) 0f x′ < 0 1 ax a < < − − ( ) 0f x′ > ( )f x 0, 1 a a  −  −  ,1 a a     +∞−  −  0a ≤ ( ) 0f x′ < ( )f x ( )0, ∞+ 1a = − ( ) 2ln 1x xf x = − − + 1 20 x x< < ( ) ( )1 2 2 1 1 2 1 2 x f x x f x mx xx x − >− ( ) ( ) ( )2 1 2 1 2 1 f x f x m x xx x − > − ( ) ( )f xg x x = ( ) 2 2 ln 2x x x xg − −′ = ( ) 2 2 ln 2xh xx x − −= ( ) 3 5 2lnx x xh −′ = 5 20,x e  ∈    ( ) 0h x′ > 5 2e ,x  ∈ +∞    ( ) 0h x′ − ( ) ( )1 2 1 2 1 2 f x f xmx mxx x + > + ( ) ( )1 1 2 2g x mx g x mx+ > + ( ) ( )x g x mxϕ = + ( )xϕ ( )0, ∞+ ( ) ( ) 0x g x mϕ′ ′= + ≤ ( ) ( ) 5 1 1 02ex mg x mϕ′ ≤ −′ ++ ≤= 5 11 2em ≤ −