学业分层测评
(建议用时：45 分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．下列语句不是命题的有( )
①2＜1；②x＜2 016；③若 x＜2，则 x＜1；④函数 f(x)＝x2 是 R 上
的偶函数．
A．0 个 B．1 个
C．2 个 D．3 个
【解析】 ②不是命题，故选 B.
【答案】 B
2．下列命题是真命题的是( )
A．{∅}是空集
B．{x∈N||x－1|＜3}是无限集
C．π 是有理数
D．x2－5x＝0 的根是自然数
【解析】 解方程 x2－5x＝0 得 x＝0 或 x＝5.故 D 正确．
【答案】 D
3．命题“平行四边形的对角线既互相平分，也互相垂直”的结论
是( )
A．这个四边形的对角线互相平分
B．这个四边形的对角线互相垂直
C．这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直
D．这个四边形是平行四边形
【解析】 把命题改写成“若 p，则 q”的形式后可知 C 正确．【答案】 C
4．(2016·日照高二期末)下列命题正确的是( )
A．若 a＞b，则 ac2＞bc2 B．若 a＞－b，则－a＞b
C．若 ac＞bc，则 a＞b D．若 a＞b，则 a－c＞b－c
【解析】 当 c＝0 时选项 A 不正确；a＞－b 时，－a＜b，选项 B
不正确；当 c＜0 时，选项 C 不正确；由不等式的性质知选项 D 正确，
故选 D.
【答案】 D
5．下列说法正确的是( )
A．命题“x＋y 为有理数，则 x，y 也都是有理数”是真命题
B．语句“当 a＞4 时，方程 x2－4x＋a＝0 有实根”不是命题
C．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题
D．语句“当 x＜0 时，方程 x2－4x＝0 有负根”是假命题
【解析】 选项 A 不正确，如 x＝ 3，y＝－ 3，则 x＋y＝0 为
有理数；语句“当 a＞4 时，方程 x2－4x＋a＝0 有实根．”是陈述句而
且可以判断真假，并且是假的，所以选项 B 是错误的；选项 C 是错误
的，应为“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”；选项 D 是正确
的．
【答案】 D
二、填空题
6．把命题“末位数字是 4 的整数一定能被 2 整除”改写成“若 p，
则 q”的形式为________. 【导学号：26160003】
【答案】 若一个整数的末位数字是 4，则它一定能被 2 整除
7．命题“3mx2＋mx＋1＞0 恒成立”是真命题，则实数 m 的取值
范围是________．【解析】 “3mx2＋mx＋1＞0 恒成立”是真命题，需对 m 进行分
类讨论．
当 m＝0 时，1＞0 恒成立，所以 m＝0 满足题意；
当 m＞0 时，且 Δ＝m2－12m＜0，即 0＜m＜12 时，3mx2＋mx＋1＞
0 恒成立，所以 0＜m＜12 满足题意；
当 m＜0 时，3mx2＋mx＋1＞0 不恒成立．
综上知 0≤m＜12.
【答案】 [0,12)
8．设 a，b，c 是任意的非零平面向量，且相互不共线，则
①(a·b)c＝(c·a)b；
②|a|－|b|＜|a－b|；
③(b·c)a－(c·a)b 不与 c 垂直；
④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.
其中是真命题的序号是________．
【解析】 由于 c 与 b 不一定共线，故①错；又[(b·c)a－(c·a)b]·c＝
(b·c)(a·c)－(c·a)(b·c)＝0，从而知③错．
【答案】 ②④
三、解答题
9．判断下列命题的真假，并说明理由．
(1)函数 y＝ax 是指数函数；
(2)关于 x 的方程 ax＋1＝x＋2 有唯一解．
【解】 (1)当 a＞0 且 a≠1 时，函数 y＝ax 是指数函数，所以是假
命题．
(2)关于 x 的方程 ax＋1＝x＋2，即(a－1)x＝1，当 a＝1 时，方程无
解；当 a≠1 时，方程有唯一解，所以是假命题．10．把下列命题改写成“若 p，则 q”的形式，并判断真假．
(1)内接于圆的四边形的对角互补；
(2)被 5 整除的整数的末位数字是 5；
(3)三角形相似，对应边成比例．
【解】 (1)若四边形内接于圆，则它的对角互补．真命题．
(2)若一个整数被 5 整除，则它的末位数字是 5.假命题．
(3)若两个三角形相似，则它们的对应边成比例．真命题．
[能力提升]
1．给出命题“方程 x2＋ax＋1＝0 没有实数根”，则使该命题为真
命题的 a 的一个值可以是( )
A．4 B．2 C．0 D．－3
【解析】 方程无实根时，应满足 Δ＝a2－4＜0.故当 a＝0 时适合
条件．
【答案】 C
2．对于向量 a，b，c 和实数 λ，下列命题中，真命题是( )
A．若 a·b＝0，则 a＝0 或 b＝0
B．若 λa＝0，则 λ＝0 或 a＝0
C．若 a2＝b2，则 a＝b 或 a＝－b
D．若 a·b＝a·c，则 b＝c
【解析】 a·b＝0，在 a，b 为非零向量时可得 a⊥b；a2＝b2 可改
写为|a|2＝|b|2，只能得出|a|＝|b|；a·b＝a·c，可移项得 a⊥(b－c)，不可
两边同除以向量．
【答案】 B
3．把下面命题补充完整，使其成为一个真命题．
若函数 f(x)＝3＋log2x(x＞0)的图象与 g(x)的图象关于 x 轴对称，则g(x)＝________.
【解析】 设 g(x)图象上任一点(x，y)，则它关于 x 轴的对称点为(x，
－y)，此点在 f(x)的图象上，故有－y＝3＋log2x 成立，即 y＝－3－log2x(x
＞0)．
【答案】 －3－log2x(x＞0)
4．已知集合 A＝{x|x2－4mx＋2m＋6＝0}，B＝{x|x
微信/支付宝扫码支付