高中数学人教A版选修1-1学业分层测评10 双曲线的简单几何性质 Word版含解析.doc

学业分层测评 (建议用时：45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1．双曲线x2 9 －y2 16 ＝1 的渐近线方程是(　　) A．4x±3y＝0　　　　　　 B．16x±9y＝0 C．3x±4y＝0 D．9x±16y＝0 【解析】　由题意知，双曲线焦点在 x 轴上，且 a＝3，b＝4，∴ 渐近线方程为 y＝±4 3 x，即 4x±3y＝0. 【答案】　A 2．中心在原点，实轴在 x 轴上，一个焦点在直线 3x－4y＋12＝0 上的等轴双曲线方程是(　　) A．x2－y2＝8 B．x2－y2＝4 C．y2－x2＝8 D．y2－x2＝4 【解析】　令 y＝0，得 x＝－4， ∴等轴双曲线的一个焦点坐标为(－4,0)， ∴c＝4，a2＝b2＝1 2 c2＝1 2 ×16＝8，故选 A. 【答案】　A 3．设双曲线x2 a2 －y2 b2 ＝1(a>0，b>0)的虚轴长为 2，焦距为 2 3， 则双曲线的渐近线方程为(　　) A．y＝± 2x B．y＝±2x C．y＝± 2 2 x D．y＝±1 2 x【解析】　由已知，得 b＝1，c＝ 3，a＝ c2－b2＝ 2. 因为双曲线的焦点在 x 轴上， 所以渐近线方程为 y＝±b a x＝± 2 2 x. 【答案】　C 4．(2014·全国卷Ⅰ)已知双曲线x2 a2 －y2 3 ＝1(a>0)的离心率为 2，则 a＝(　　) A．2 B. 6 2 C. 5 2 D．1 【解析】　由题意得 e＝ a2＋3 a ＝2，∴ a2＋3＝2a， ∴a2＋3＝4a2，∴a2＝1，∴a＝1. 【答案】　D 5．与曲线x2 24 ＋y2 49 ＝1 共焦点，且与曲线x2 36 －y2 64 ＝1 共渐近线的双 曲线的方程为(　　) A.y2 16 －x2 9 ＝1 B.x2 16 －y2 9 ＝1 C.y2 9 －x2 16 ＝1 D.x2 9 －y2 16 ＝1 【解析】　根据椭圆方程可知焦点为(0，－5)，(0,5)．设所求双 曲线方程为x2 36 －y2 64 ＝λ(λ＜0)，即 y2 －64λ － x2 －36λ ＝1. 由－64λ＋(－36λ)＝25，得 λ＝－1 4 .故所求双曲线的方程为y2 16 －x2 9 ＝1. 【答案】　A 二、填空题 6．已知双曲线的顶点到渐近线的距离为 2，焦点到渐近线的距 离为 6，则该双曲线的离心率为________． 【解析】　由三角形相似或平行线分线段成比例定理得2 6 ＝a c ，∴ c a ＝3，即 e＝3. 【答案】　3 7．直线 3x－y＋ 3＝0 被双曲线 x2－y2＝1 截得的弦 AB 的长 是________． 【解析】　联立消去 y，得 x2＋3x＋2＝0，设 A(x1，y1)，B(x2， y2)，则 x1＋x2＝－3，x1x2＝2， ∴|AB|＝ 1＋( 3)2· (－3)2－4 × 2＝2. 【答案】　2 8．若直线 x＝2 与双曲线 x2－y2 b2 ＝1(b＞0)的两条渐近线分别交于 点 A，B，且△AOB 的面积为 8，则焦距为________. 【导学号：26160051】 【解析】　由双曲线为 x2－y2 b2 ＝1 得渐近线为 y＝±bx，则交点 A(2,2b)，B(2，－2b)． ∵S△AOB＝1 2 ×2×4b＝8，∴b＝2. 又 a2＝1，∴c2＝a2＋b2＝5. ∴焦距 2c＝2 5.【答案】　2 5 三、解答题 9．已知双曲线 C 的方程为y2 a2 －x2 b2 ＝1(a＞0，b＞0)，离心率 e＝ 5 2 ， 顶点到渐近线的距离为2 5 5 ，求双曲线 C 的方程． 【解】　依题意，双曲线的焦点在 y 轴上，顶点坐标为(0，a)， 渐近线方程为 y＝±a b x，即 ax±by＝0， 所以 ab a2＋b2 ＝ab c ＝2 5 5 . 又 e＝c a ＝ 5 2 ， 所以 b＝1，即 c2－a2＝1，( 5 2 a)2－a2＝1， 解得 a2＝4，故双曲线方程为y2 4 －x2＝1. 10．双曲线x2 a2 －y2 b2 ＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点为 F1，F2，若双曲 线上存在点 P，使|PF1|＝2|PF2|，试确定双曲线离心率的取值范围． 【解】　由题意知在双曲线上存在一点 P，使得|PF1|＝2|PF2|， 如图所示． 又∵|PF1|－|PF2|＝2a， ∴|PF2|＝2a，即在双曲线右支上恒存在点 P，使得|PF2|＝2a，即 |AF2|≤2a.∴|OF2|－|OA|＝c－a≤2a，∴c≤3a. 又∵c＞a，∴a＜c≤3a，∴1＜c a ≤3，即 1＜e≤3. [能力提升] 1．双曲线x2 4 ＋y2 k ＝1 的离心率 e∈(1,2)，则 k 的取值范围是(　　) A．(－10,0)　　　　　　 B．(－12,0) C．(－3,0) D．(－60，－12) 【解析】　双曲线方程化为x2 4 － y2 －k ＝1，则 a2＝4，b2＝－k，c2＝ 4－k，e＝c a ＝ 4－k 2 ，又∵e∈(1,2)，∴1< 4－k 2 0，且 3－k2≠0，得－ 6