专题 09 导数及其应用
—2021 高考数学（理）高频考点、热点题型归类强化
【高频考点及备考策略】
导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的
考查主要从以下几个角度进行：
(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．
(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．
(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．
(4)理解并掌握函数的零点的概念，求导公式和求导法则及不等式的性质．
(5)熟练掌握利用导数研究函数零点，方程解的个数问题 ，及研究不等式成立问题、证明问题及大小比
较的方法和规律．
考向预测：
(1)根据曲线的切线的斜率大小、方程或切线的性质求参数的取值问题．
(2)利用导数研究含有参数的高次式、分式、指数式(主要含 ex)，对数式(主要含 ln x)及三角式(主要含
sinx，cosx)函数的单调性、极(最)值问题．
(3)较复杂函数的零点，方程解的个数的确定与应用；利用导数解决含参数的不等式成立及不等式证明
问题．
(4)利用导数解决实际生活及工程中的最优化问题．
1．基本初等函数的八个导数公式
原函数 导函数
f(x)＝C(C 为常数) f ′(x)＝0
必备知识f(x)＝xα(α∈R) f(x)＝αxα－1
f(x)＝sinx f ′(x)＝cosx
f(x)＝cosx f ′(x)＝－sinx
f(x)＝ax(a>0，a≠1) f ′(x)＝axln_a
f(x)＝ex f ′(x)＝ex
f(x)＝logax(a>0，且 a≠1) f ′(x)＝ 1
xln a
f(x)＝ln x f ′(x)＝ 1
x
2.导数四则运算法则
(1) .
(2) .
(3) (g(x)≠0)．
(4)若 y＝f(u)，u＝ax＋b，则 y′x＝y′u·u′x，即 y′x＝a·y′u.
3．切线的斜率
函数 f(x)在 x0 处的导数是曲线 f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线的斜率，因此曲线 f(x)在点 P 处的切线的斜
率 k＝
f_′(x0)，相应的切线方程为 y－f(x0)＝f_′(x0)(x－x0).
4．函数的单调性
在某个区间(a，b)内，如果 f_′(x0)>0(f_′(x0)
y x= 1
2
y
x
′ = l
0
1
2
k
x
=
l ( )0 0
0
1
2
y x x x
x
− = −
0 02 0x x y x− + =
l 2 2 1
5x y+ = 0
0
1
1 4 5
x
x
=
+
2
0 05 4 1 0x x− − = 0 1x = 0
1
5x = −
l 2 1 0x y− + = 1 1
2 2y x= +
ln 1y x x= + +
2y x=
0 0
1( , ), ln 1, 1x y y x x y x
= + + ′ = +
0 0 0
0
1| 1 2, 1, 2x xy x yx=′ = + = = = (1,2)
2 2( 1)y x− = − 2y x=故答案为： .
【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题.
2、（2020 新课标Ⅲ卷·文科 T15）设函数 ．若 ，则 a=_________．
【答案】1
【解析】由函数的解析式可得： ，
则： ，据此可得： ，
整理可得： ，解得： .
故答案为： .
【点睛】本题主要考查导数的运算法则，导数的计算，方程的数学思想等知识，属于中等题.
3、（2020 北京卷·T15）为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达
标的企业要限期整改，设企业的污水排放量 W 与时间 t 的关系为 ，用 的大小评价在
这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下
图所示.
给出下列四个结论：
2y x=
e( )
x
f x x a
= + (1) 4
ef ′ =
( ) ( )
( )
( )
( )2 2
1x x xe x a e e x af x
x a x a
+ − + −′ = =
+ +
( ) ( )
( ) ( )
1
2 2
1 11
1 1
e a aef
a a
× + −′ = =
+ + ( )2 41
ae e
a
=
+
2 2 1 0a a− + = 1a =
1
( )W f t= ( ) ( )f b f a
b a
−− −
[ , ]a b①在 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
②在 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
③在 时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；
④甲企业在 这三段时间中，在 的污水治理能力最强．
其中所有正确结论的序号是____________________．
【答案】①②③
【解析】 表示区间端点连线斜率的负数，
在 这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比
乙企业强；①正确；
甲企业在 这三段时间中，甲企业在 这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，
即在 的污水治理能力最强．④错误；
在 时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企
业强；②正确；
在 时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；③正确；
故答案为：①②③
【点睛】本题考查斜率应用、切线斜率应用、函数图象应用，考查基本分析识别能力，属中档题.
三、解答题
1、（2020 新课标Ⅰ卷·理科 T21）已知函数 .
（1）当 a=1 时，讨论 f（x）的单调性；
[ ]1 2,t t
2t
3t
[ ] [ ] [ ]1 1 2 2 30, , , , ,t t t t t [ ]10,t
( ) ( )f b f a
b a
−− −
[ ]1 2,t t
[ ] [ ] [ ]1 1 2 2 30, , , , ,t t t t t [ ]1 2,t t
[ ]1 2,t t
2t
3t
2( ) exf x ax x= + −（2）当 x≥0 时，f（x）≥ x3+1，求 a 的取值范围.
【答案】（1）当 时， 单调递减，当 时， 单调递
增 （2）
【解析】(1)当 时， ， ，
由于 ，故 单调递增，注意到 ，故：
当 时， 单调递减，当 时， 单调递增.
(2)由 得， ，其中 ，
①.当 x=0 时，不等式为： ，显然成立，符合题意；
②.当 时，分离参数 a 得， ，
记 ， ，
令 ，则 ， ，
故 单调递增， ，
故函数 单调递增， ，
由 可得： 恒成立，
故当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
.
1
2
( ),0x∈ −∞ ( ) ( )' 0,f x f x< ( )0,x∈ +∞ ( ) ( )' 0,f x f x>
27 ,4
e − +∞
1a = ( ) 2x xx ef x= + − ( )' 2 1xf x e x= + −
( )'' 2 0xf x e= + > ( )'f x ( )' 0 0f =
( ),0x∈ −∞ ( ) ( )' 0,f x f x< ( )0,x∈ +∞ ( ) ( )' 0,f x f x>
( ) 31 12f x x≥ + 2 31 12
xe ax x x+ − + 0x ≥
1 1≥
0x >
3
2
1 12
xe x x
a x
− − −
−
( )
3
2
1 12
xe x x
g x x
− − −
= − ( )
( ) 2
3
12 12'
xx e x x
g x x
− − − − = −
( ) ( )21 1 02
xe x xh x x− − − ≥= ( )' 1xh x e x= − − ( )'' 1 0xh x e= − ≥
( )'h x ( ) ( )' ' 0 0h x h≥ =
( )h x ( ) ( )0 0h x h≥ =
( ) 0h x ≥ 21 1 02
xe x x− − −
( )0,2x∈ ( )' 0g x > ( )g x
( )2,x∈ +∞ ( )' 0g x < ( )g x因此， ,
综上可得，实数 a 的取值范围是 .
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数
的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)
利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决
生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．
2、（2020 新课标Ⅱ卷·理科 T21）已知函数 f(x)=sin2xsin2x.
（1）讨论 f(x)在区间(0，π)的单调性；
（2）证明： ；
（3）设 n∈N*，证明：sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤ .
【答案】（1）当 时， 单调递增，当 时， 单调递
减，当 时， 单调递增.（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【解析】(1)由函数的解析式可得： ，则：
，
在 上的根为： ，
( ) ( ) 2
max
72 4
eg x g
− = =
27 ,4
e − +∞
3 3( ) 8f x ≤
3
4
n
n
0, 3x
π ∈
( ) ( )' 0,f x f x> 2,3 3x
π π ∈
( ) ( )' 0,f x f x<
2 ,3x
π π ∈
( ) ( )' 0,f x f x>
( ) 32sin cosf x x x=
( ) ( )2 2 4' 2 3sin cos sinf x x x x= − ( )2 2 22sin 3cos sinx x x= −
( )2 22sin 4cos 1x x= − ( )( )22sin 2cos 1 2cos 1x x x= + −
( )' 0f x = ( )0,x π∈ 1 2
2,3 3x x
π π= =当 时， 单调递增，
当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增.
(2)注意到 ，
故函数 是周期为 的函数，
结合(1)的结论，计算可得： ，
， ，
据此可得： ， ，即 .
(3)结合(2)的结论有：
.
0, 3x
π ∈
( ) ( )' 0,f x f x>
2,3 3x
π π ∈
( ) ( )' 0,f x f x<
2 ,3x
π π ∈
( ) ( )' 0,f x f x>
( ) ( ) ( ) ( )2 2sin sin 2 sin sin 2f x x x x x f xπ π π+ = + + = =
( )f x π
( ) ( )0 0f f π= =
2
3 3 3 3
3 2 2 8f
π = × =
2
2 3 3 3 3
3 2 2 8f
π = × − = −
( )
max
3 3
8f x = ( )
min
3 3
8f x = − ( ) 3 3
8f x ≤
2 2 2 2sin sin 2 sin 4 sin 2nx x x x
2
3 3 3 3 3sin sin 2 sin 4 sin 2nx x x x =
( )( ) ( ) 2
2 2 2 1 2 3sin sin sin 2 sin 2 sin 4 sin 2 sin 2 sin 2n n nx x x x x x x x− =
2
3
23 3 3 3 3 3sin sin 28 8 8
nx x
≤ × × × × ×
2
33 3
8
n ≤
3
4
n = 3、（2020 新课标Ⅲ卷·理科 T21）设函数 ，曲线 在点( ，f( ))处的切线与 y
轴垂直．
（1）求 b．
（2）若 有一个绝对值不大于 1 的零点，证明： 所有零点的绝对值都不大于 1．
【答案】（1） ；（2）证明见解析
【解析】（1）因为 ，
由题意， ，即 则 ；
（2）由（1）可得 ， ，
令 ，得 或 ；令 ，得 ，
所以 在 上单调递减，在 ， 上单调递增，
且 ，
若 所有零点中存在一个绝对值大于 1 的零点 ，则 或 ，
即 或 .
当 时， ，
又 ，
由零点存在性定理知 在 上存在唯一一个零点 ，
即 在 上存在唯一一个零点，在 上不存在零点，
3( )f x x bx c= + + ( )y f x= 1
2
1
2
( )f x ( )f x
3
4b = −
' 2( ) 3f x x b= +
' 1( ) 02f =
213 02 b × + =
3
4b = −
3 3( ) 4f x x x c= − + ' 2 3 1 1( ) 3 3( )( )4 2 2f x x x x= − = + −
' ( ) 0f x > 1
2x >
2
1x < − ' ( ) 0f x < 1 1
2 2x− < <
( )f x 1 1( , )2 2
− 1( , )2
−∞ − 1( , )2
+∞
1 1 1 1 1 1( 1) , ( ) , ( ) , (1)4 2 4 2 4 4f c f c f c f c− = − − = + = − = +
( )f x 0x ( 1) 0f − > (1) 0f <
1
4c > 1
4c < −
1
4c > 1 1 1 1 1 1( 1) 0, ( ) 0, ( ) 0, (1) 04 2 4 2 4 4f c f c f c f c− = − > − = + > = − > = + >
3 2( 4 ) 64 3 4 (1 16 ) 0f c c c c c c− = − + + = − <
( )f x ( 4 , 1)c− − 0x
( )f x ( , 1)−∞ − ( 1, )− +∞此时 不存在绝对值不大于 1 的零点，与题设矛盾；
当 时， ，
又 ，
由零点存在性定理知 在 上存在唯一一个零点 ，
即 在 上存在唯一一个零点，在 上不存在零点，
此时 不存在绝对值不大于 1 的零点，与题设矛盾；
综上， 所有零点的绝对值都不大于 1.
【点晴】本题主要考查利用导数研究函数的零点，涉及到导数的几何意义，反证法，考查学生逻辑推理能
力，是一道有一定难度的题.
4、（2020 山东省新高考全国Ⅰ卷·T21）同（2020 海南省新高考全国Ⅱ卷·T21）已知函数
．
（1）当 时，求曲线 y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若 f（x）≥1，求 a 的取值范围．
【答案】（1） （2）
【解析】（1） ， ， .
，∴切点坐标为(1,1+e),
∴函数 f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为 ,即 ,
切线与坐标轴交点坐标分别为 ,
( )f x
1
4c < − 1 1 1 1 1 1( 1) 0, ( ) 0, ( ) 0, (1) 04 2 4 2 4 4f c f c f c f c− = − < − = + < = − < = + <
3 2( 4 ) 64 3 4 (1 16 ) 0f c c c c c c− = + + = − >
( )f x (1, 4 )c−
0x ′
( )f x (1, )+∞ ( ,1)−∞
( )f x
( )f x
1( ) e ln lnxf x a x a−= − +
a e=
2
1e − [1, )+∞
( ) ln 1xf x e x= − +
1( ) xf x e x
′∴ = − (1) 1k f e′∴ = = −
(1) 1f e= +
1 ( 1)( 1)y e e x− − = − − ( )1 2y e x= − +
∴ 2(0,2),( ,0)1e
−
−∴所求三角形面积为 ;
（2）解法一： ,
，且 .
设 ,则
∴g(x)在 上单调递增，即 在 上单调递增，
当 时， ,∴ ,∴ 成立.
当 时， ， ， ,
∴存在唯一 ，使得 ，且当 时 ，当 时
， ， ，
因此
>1,
∴ ∴ 恒成立；
当 时， ∴ 不是恒成立.
综上所述，实数 a 的取值范围是[1,+∞).
解法二： 等价于
,
1 2 22 | |=2 1 1e e
−× × − −
1( ) ln lnxf x ae x a−= − +
1 1( ) xf x ae x
−′∴ = − 0a >
( ) ( )g x f x= ′ 1
2
1( ) 0,xg x ae x
−′ = + >
(0, )+∞ ( )f x′ (0, )+∞
1a = ( ) 01f ′ = ( ) ( )1 1minf x f= = ( ) 1f x ≥
1a > 1 1a
< 1 1
1ae
− 0 1
0
0
1( ) 0xf x ae x
−′ = − =
0(0, )x x∈ ( ) 0f x′ < 0( , )x x∈ +∞
( ) 0f x′ > 0 1
0
1xae x
−∴ =
0 0ln 1 lna x x∴ + − = −
0 1
min 0 0( ) ( ) ln lnxf x f x ae x a−= = − +
0 0
0 0
1 1ln 1 ln 2ln 1 2 2ln 1a x a a x ax x
= + + − + ≥ − + ⋅ = +
( ) 1,f x > ( ) 1f x ≥
0 1a< < (1) ln 1,f a a a= + < < (1) 1, ( ) 1f f x< ≥
( ) 1 1 1x lna xf x ae lnx lna e lnx lna− + −= − + = − + ≥
1 1lna x lnxe lna x lnx x e lnx+ − + + − ≥ + = +令 ,上述不等式等价于 ,
显然 为单调增函数，∴又等价于 ，即 ，
令 ,则
在 上 h’(x)>0,h(x)单调递增；在(1,+∞)上 h’(x)0).问 为多少米时，桥墩 CD 与 EF 的总
造价最低?
【答案】（1）120 米（2） 米
【解析】（1）由题意得
0t > ( 0t < ) ( ) 4 2
324 144 1 144( 24 )4 4
t tS t t tt t
+ += = + +
( )S t′ = 4 2
2
2 2
1 144 3( 8 48)(3 24 )4 4
t tt t t
+ −+ − =
2 2 2
2 2
3( 4)( 12) 3( 2)( 2)( 12)
4 4
t t t t t
t t
− + − + += =
( ) 0S t′ > 2t > ( ) 0S t′ < 0 2t< < ( )S t ( )0,2 ( )2,+∞
2t = ( )S t ( ) 16 162 328S
×= =
OO′ O′
1h OO′ 2
1
1
40h a= 2h
OO′ 3
2
1 6800h b b= − + OO′
OO′
3
2 k O E′
20O E′ =
2 31 1| | 40 6 40 | | 8040 800O A O A′ ′= − × + × ∴ =米
（2）设总造价为 万元， ，设 ，
(0 舍去)
当 时， ；当 时， ，因此当 时， 取最小值，
答：当 米时，桥墩 CD 与 EF 的总造价最低.
【点睛】本题考查实际成本问题、利用导数求最值，考查基本分析求解能力，属中档题.
7、（2020 江苏卷·T19）已知关于 x 的函数 与 在区间 D 上恒有
．
（1）若 ，求 h(x)的表达式；
（2）若 ，求 k 的取值范围；
（3）若 求
证： ．
【答案】（1） ；（2） ；（3）证明详见解析
【解析】（1）由题设有 对任意的 恒成立.
令 ，则 ，所以 .
因此 即 对任意的 恒成立，
所以 ，因此 .故 .
（2）令 ， .又 .
| | | | | | 80 40 120AB O A O B′ ′∴ = + = + =
( )f x 21| | 80 16040O O′ = × = | |O E x′ =
3 21 3 1( ) (160 6 ) [160 (80 ) ],(0 40)800 2 40f x k x x k x x= + − + − − < <
3 2 21 3 3 6( ) (160 ), ( ) ( ) 0 20800 80 800 80f x k x x f x k x x x′∴ = + − ∴ = − = ∴ =
0 20x< < ( ) 0f x′ < 20 40x< < ( ) 0f x′ > 20x = ( )f x
20O E′ =
( ), ( )y f x y g x= = ( ) ( , )h x kx b k b= + ∈R
( ) ( ) ( )f x h x g x≥ ≥
( ) ( )2 22 2 ( )f x x x g x x x D= + = − + = ∞−∞ +， ， ，
2 1 ln ,( ) ( ) ( ) (0 )x x g k x h kx k Df x x x= − + = = − = + ∞， ， ，
( )4 2 2 2 4 2( ) 2 ( ) (4 8 ( ) 4 3 0 )2 2f x x x g x x h x t t x t t t= − = − = − − + ( ) 01F = ( ) 1xF x k x
−′ = ⋅若 ，则 在 上递增，在 上递减，则 ，即 ，不符合
题意.
当 时， ，符合题意.
当 时， 在 上递减，在 上递增，则 ，
即 ，符合题意.
综上所述， .
由
当 ，即 时， 在 为增函数，
因为 ，故存在 ，使 ，不符合题意.
当 ，即 时， ，符合题意.
当 ，即 时，则需 ，解得 .
综上所述， 的取值范围是 .
（3）因为 对任意 恒成立，
对任意 恒成立，
等价于 对任意 恒成立.
故 对任意 恒成立.
令 ，
k 0< ( )F x ( )0,1 ),1( +∞ ( ) ( )1 0F x F≤ = ( ) ( ) 0h x g x− ≤
0k = ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0,F x h x g x h x g x= − = =
0k > ( )F x ( )0,1 ),1( +∞ ( ) ( )1 0F x F≥ =
( ) ( ) 0h x g x− ≥
0k ≥
( ) ( ) ( )2 1f x h x x x kx k− = − + − − ( ) ( )2 1 1 0x k x k= − + + + ≥
1 02
kx
+= < 1k < − ( )2 1 1y x k x k= − + + + ),0( +∞
( ) ( )0 0 1 0f h k− = + < ( )0 0,x ∈ +∞ ( ) ( ) 0f x h x− <
1 02
kx
+= = 1k = − ( ) ( ) 2 0f x h x x− = ≥
1 02
kx
+= > 1k > − ( ) ( )21 4 1 0k k∆ = + − + ≤ 1 3k− < ≤
k [ ]0,3k ∈
( )4 2 3 4 2 22 4 3 2 4 8x x t t x t t x− ≥ − − + ≥ − [ , ] [ 2, 2]x m n∈ ⊂ −
( )4 2 3 4 22 4 3 2x x t t x t t− ≥ − − + [ , ] [ 2, 2]x m n∈ ⊂ −
( )2 2 2( ) 2 3 2 0x t x tx t− + + − ≥ [ , ] [ 2, 2]x m n∈ ⊂ −
2 22 3 2 0x tx t+ + − ≥ [ , ] [ 2, 2]x m n∈ ⊂ −
2 2( ) 2 3 2M x x tx t= + + −当 ， ，此时 ，
当 ， ，
但 对任意的 恒成立.
等价于 对任意的 恒成立.
的两根为 ，则 ，
所以 .
令 ，则 .
构造函数 ， ，
所以 时， ， 递减， .
所以 ，即 .
【点睛】本小题主要考查利用的导数求切线方程，考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查利用导数证
明不等式，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.
8、（2020 天津卷·T20）已知函数 ， 为 的导函数．
（Ⅰ）当 时，
（i）求曲线 在点 处的切线方程；
（ii）求函数 的单调区间和极值；
（Ⅱ）当 时，求证：对任意的 ，且 ，有
20 1t< < 28 8 0, 1 1t t∆ = − + > − < − < 2 2 1 7n m t− ≤ + < + <
21 2t≤ ≤ 28 8 0t∆ = − + ≤
( )2 3 4 24 8 4 3 2x t t x t t− ≥ − − + [ , ] [ 2, 2]x m n∈ ⊂ −
( ) ( )( )2 3 2 24 4 3 4 2 0x t t x t t− − + + − ≤ [ , ] [ 2, 2]x m n∈ ⊂ −
( ) ( )( )2 3 2 24 4 3 4 2 0x t t x t t− − + + − = 1 2,x x
4 2
3
1 2 1 2
3 2 8, 4
t tx x t t x x
− −+ = − ⋅ =
( )2
1 2 1 2 1 2= 4n m x x x x x x− − = + − 6 4 25 3 8t t t= − + +
[ ]2 , 1,2t λ λ= ∈ 3 25 3 8n m λ λ λ− = − + +
( ) [ ]( )3 25 3 8 1,2P λ λ λ λ λ= − + + ∈ ( ) ( )( )23 10 3 3 3 1P λ λ λ λ λ′ = − + = − −
[ ]1,2λ ∈ ( ) 0P λ′ < ( )P λ ( ) ( )max 1 7P Pλ = =
( )max 7n m− = 7n m− ≤
3( ) ln ( )f x x k x k R= + ∈ ( )f x′ ( )f x
6k =
( )y f x= (1, (1))f
9( ) ( ) ( )g x f x f x x
′= − +
3−≥k 1 2, [1, )x x ∈ +∞ 1 2x x>．
【答案】（Ⅰ）（i） ；（ii） 的极小值为 ，无极大值；（Ⅱ）证明见解析.
【解析】(Ⅰ) (i) 当 k=6 时， ， .可得 ， ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即 .
(ii) 依题意， .从而可得 ，
整理可得： ，
令 ，解得 .
当 x 变化时， 的变化情况如下表：
单调递减 极小值 单调递增
所以，函数 g(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，+∞)；g(x)的极小值为 g(1)=1，无极大值.
（Ⅱ）证明：由 ，得 .
对任意的 ，且 ，令 ，则
( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2
1 22
f x f x f x f x
x x
′ ′+ −> −
9 8y x= − ( )g x (1) 1g =
( ) 3 6lnf x x x= + ( ) 2 6' 3f x x x
= + ( )1 1f = ( )' 1 9f =
( )y f x= ( )( )1, 1f ( )1 9 1y x− = − 9 8y x= −
( ) ( )3 2 33 6ln , 0,g x x x x xx
= − + + ∈ +∞ ( ) 2
2
6 3' 3 6g x x x x x
= − + −
3
2
3( 1) ( 1)( ) x xg x x
′ − +=
( )' 0g x = 1x =
( ) ( )' ,g x g x
x ( )0,1 1x = ( )1,+¥
( )'g x − 0 +
( )g x
3( ) lnf x x k x= + 2( ) 3 kf x x x
′ = +
1 2, [1, )x x ∈ +∞ 1 2x x> 1
2
( 1)x t tx
= >
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )1 2 1 2 1 22x x f x f x f x f x′ ′− + − −. ①
令 .当 x>1 时， ，
由此可得 在 单调递增，所以当 t>1 时， ，即 .
因为 ， ， ，
所以
. ②
由(Ⅰ)(ii)可知，当 时， ，即 ，
故 ③
由①②③可得 .
所以，当 时，任意的 ，且 ，有
.
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数
的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利
( ) 2 2 3 3 1
1 2 1 2 1 2
1 2 2
3 3 2 ln xk kx x x x x x kx x x
= − + + + − − +
3 3 2 2 1 2 1
1 2 1 2 1 2
2 1 2
3 3 2 lnx x xx x x x x x k kx x x
= − − + + − −
( )3 3 2
2
13 3 1 2lnx t t t k t tt
= − + − + − −
1( ) 2ln , [1, )h x x x xx
= − − ∈ +∞
2
2
1 2 1( ) 1 1 0h x x x x
′ = + − = − >
( )h x [ )1,+∞ ( ) ( )1h t h> 1 2ln 0t tt
− − >
2 1x ≥ 3 2 33 3 1 ( 1) 0t t t t− + − = − > 3k ≥ −
( ) ( )3 3 2 3 2
2
1 13 3 1 2ln 3 3 1 3 2lnx t t t k t t t t t t tt t
− + − + − − − − − − − +
3 2 33 6ln 1t t t t
= − + + −
1t > ( ) ( )1g t g> 3 2 33 6ln 1t t t t
− + + >
3 2 33 6ln 1 0t t t t
− + + − >
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )1 2 1 2 1 22 0x x f x f x f x f x′ ′− + − − >
3k ≥ − [ )1 2, 1,x x ∈ +∞ 1 2x x>
( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2
1 22
f x f x f x f x
x x
′ ′+ −> −用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生
活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．
9、（2020 浙江卷·T22）已知 ，函数 ，其中 e=2.71828…为自然对数的底数．
（Ⅰ）证明：函数 在 上有唯一零点；
（Ⅱ）记 x0 为函数 在 上的零点，证明：
（ⅰ） ；
（ⅱ） ．
【解析】（I） 在 上单调递增，
，
所以由零点存在定理得 在 上有唯一零点；
（II）（i） ，
，
令
一方面： ，
在 单调递增， ，
，
另一方面： ，所以当 时， 成立，
1 2a< ≤ ( ) exf x x a= − −
( )y f x= (0 )+ ∞，
( )y f x= (0 )+ ∞，
01 2( 1)a x a− ≤ ≤ −
0
0 (e ) (e 1)( 1)xx f a a≥ − −
( ) 1, 0, 1, ( ) 0, ( )x xf x e x e f x f x′ ′= − > ∴ > ∴ > ∴ (0, )+∞
2 21 2, (2) 2 4 0, (0) 1 0a f e a e f a< ≤ ∴ = − − ≥ − > = −
( ) (0) 0, ( )h x h h x′ ′∴ > = ∴ (0,2) ( ) (0) 0h x h∴ > =
2
21 0,2( 1)2
x xxe x e x x∴ − − − > − − >
1 2 1 1a a< ≤ ∴ − ≤ 0 1x ≥
01a x− ≤因此只需证明当 时 ，
因为
当 时， ，当 时， ，
所以 ，
在 单调递减， ， ，
综上， .
（ii） ，
， ，
，因为 ，
所以 ，
，
只需证明 ，
即只需证明 ，
令 ，则 ，
，即 成立，
因此 .
【点睛】本题考查利用导数研究函数零点、利用导数证明不等式，考查综合分析论证与求解能力描述难题.
0 1x< < 2( ) 1 0xg x e x x= − − − ≤
1 1( ) 1 2 ( ) ( ) 2 0 ln 2x xg x e x g x g x e x′′ = − − = = − = ⇒ =，
(0,ln 2)x∈
1 ( ) 0g x′ < (ln 2,1)x∈
1 ( ) 0g x′ >
( ) max{ (0), (1)}, (0) 0, (1) 3 0, ( ) 0g x g g g g e g x′ ′ ′ ′ ′ ′< = = − < ∴ 01 2( 1)a x a− ≤ ≤ −
0( ) ( 1) 1[( 1) 1 ( 2)] ( 1)( 1) 1( 2)a a a at x t a a e a a e e a a a e∴ ≥ − = − − − + − = − − + − − 1 2a< ≤
, 2( 1)ae e a a> ≥ −
0( ) ( 1)( 1) 2( 1) 1( 2)at x e a a a e∴ ≥ − − + − − −
22( 1) 1( 2) ( 1)( 1)aa a e e a− − − ≥ − −
2 24( 2) ( 1) ( 1)ae e a− ≥ − −
2 2( ) 4( 2) ( 1) ( 1),(1 2)as a e e a a= − − − − < ≤ 2 2( ) 8 ( 2) ( 1) 8 ( 2) ( 1) 0a as a e e e e e e′ = − − − ≥ − − − >
2( ) (1) 4( 2) 0s a s e∴ > = − > 2 24( 2) ( 1) ( 1)ae e a− ≥ − −
( )0x
0 e (e 1)( 1)x f a a≥ − −考点 一 导数的几何意义与定积分
【典例】1、在平面直角坐标系 xOy 中，若曲线 y＝ax2＋b
x(a，b 为常数)过点 P(2，－5)，且该曲线在点 P 处
的切线与直线 7x＋2y＋3＝0 平行，则 a＋b 的值是 .
【解析】 ∵y＝ax2＋b
x，∴y′＝2ax－b
x2，
由题意可得Error!解得Error!
∴a＋b＝－3.
2、用定积分计算 y=x2 和 y= x所围成的面积等于 ( )
A.
1
0
(x2- x)dx B.
1
0
( x-x2)dx
C.
2
0
( x-x2)dx D.
1
0
xdx
【解析】选 B.如图所示:y=x2 和 y= x交于两点(0,0),(1,1).
所以 S=
1
0
xdx-
1
0
x2dx=
1
0
( x-x2)dx.
【备考策略】
1．求曲线 y＝f(x)的切线方程的三种类型及方法
(1)已知切点 P(x0，y0)，求 y＝f(x)在点 P 处的切线方程：求出切线的斜率 f ′(x0)，由点斜式写出方程．
(2)已知切线的斜率为 k，求 y＝f(x)的切线方程．
设切点 P(x0，y0)，通过方程 k＝f ′(x0)解得 x0，再由点斜式写出方程．
高频考点、热点题型强化(3)已知切线上一点(非切点)，求 y＝f(x)的切线方程：
设切点 P(x0，y0)，利用导数求得切线斜率 f ′(x0)，然后由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得 x0，
再由点斜式或两点式写出方程．
2．根据过某点切线方程(斜率)或其与某线平行、垂直等求参数问题的解法：利用导数的几何意义、切点坐
标、切线斜率之间的关系构建方程(组)或函数求解．
3．利用定积分求平面图形的面积的两个关键点
关键点一：正确画出几何图形，结合图形位置，准确确定积分区间以及被积函数，从而得到面积的积
分表达式，再利用微积分基本定理求出积分值．
关键点二：根据图形的特征，选择合适的积分变量．在以 y 为积分变量时，应注意将曲线方程变为 x＝
(y)的形式，同时，积分上、下限必须对应 y 的取值．
易错提醒：求曲线的切线方程时，务必分清点 P 处的切线还是过点 P 的切线，前者点 P 为切点，后者点 P
不一定为切点，求解时应先求出切点坐标．
【类比演练】1、设 a 为实数，函数 f(x)＝x3＋ax2＋(a－3)x 的导函数为 f′(x)，且 f′(x)是偶函数，则曲线 y
＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为( )
A．9x－y－16＝0 B．9x＋y－16＝0
C．6x－y－12＝0 D．6x＋y－12＝0
【解析】由题意可得 f′(x)＝3x2＋2ax＋a－3 是偶函数，则 a＝0，所以 f(x)＝x3－3x，f′(x)＝3x2－3，
则 f(2)＝2，f′(2)＝9，则所求切线方程为 y－2＝9(x－2)，即为 9x－y－16＝0.
2、若曲线 f(x)＝acosx 与曲线 g(x)＝x2＋bx＋1 在交点(0，m)处有公切线，则 a＋b 的值为( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
【解析】 依题意得，f ′(x)＝－asinx，g′(x)＝2x＋b，于是有 f ′(0)＝g′(0)，
即－asin0＝2×0＋b，b＝0；
m＝f(0)＝g(0)，即 m＝a＝1，因此 a＋b＝1.
3、若函数 y=2cos x(0≤x≤2π)的图象和直线 y=2 围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积为( )A.4 B.8 C.2π D.4π
【解析】选 D.如图所示.
由图可知，S1=S2，S3=S4，因此函数 y=2cos x(0≤x≤2π)的图象与直线 y=2 所围成的图形面积即为矩形 OABC
的面积.
因为|OA|=2，|OC|=2π，所以 S 矩形=2×2π=4π.
考点 二 利用导数研究函数的单调性
【典例】已知函数
,
当 时，讨论函数 的单调性.
【解析】函数 的定义域为 ，
则 ，
令 解得 ，
当 即 a=1 时， 恒成立，则 的单调递增区间为 ，
当 即 a>1 时， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ，
当 即 0xf 0)(' xf )(xf ),1( e
0>m )(xh ),1( e )(xh
em
≥1
em 10 ≤< 0)(,0)(),,1( ' >>∈ xfxhex )(xf ),1( e
em
xf ),( 2 +∞∈ xx 0)('
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