2021高考数学（理）高频考点、热点题型归类强化专题11 不等式选讲（含答案及解析）

专题 11 不等式选讲 —2021 高考数学（理）高频考点、热点题型归类强化 【高频考点及备考策略】 本部分内容在备考时应注意以下几个方面： 不等式选讲也是高考必考内容，重点考查绝对值不等式的解法、不等式的证明及求参数取值范围问题， 题型多为解答题，难度为中档． 考向预测： (1)绝对值不等式的解法； (2)不等式的证明； (3)绝对值不等式恒成立（存在）问题； 1．绝对值不等式 定理 1：如果 a，b 是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当 ab≥0 时，等号成立． 定理 2：如果 a，b，c 是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0 时，等号成立． 2．绝对值不等式的解法 (1)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法 ①|ax＋b|≤c(c>0)⇔－c≤ax＋b≤c. ②|ax＋b|≥c(c>0)⇔ax＋b≥c 或 ax＋b≤－c. (2)|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法 ①利用绝对值不等式几何意义求解，体现数形结合思想． ②利用“零点分段法”求解，体现分类讨论思想． ③通过构建函数，利用函数图象求解，体现函数与方程思想． 必备知识3．证明不等式的基本方法 (1)比较法；(2)综合法；(3)分析法；(4)反证法；(5)放缩法． 4．二维形式的柯西不等式 若 a，b，c，d∈R，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当 ad＝bc 时，等号成立． 【易错警示】 1．应用绝对值不等式性质求函数的最值时，一定要注意等号成立的条件．特别是多次使用不等式时， 必须使等号同时成立． 2．利用基本不等式证明要注意“一正、二定、三相等”三个条件同时成立，缺一不可． 3．在去掉绝对值符号进行分类时要做到不重不漏. 1、（2020 新课标Ⅰ卷·理科 T23）已知函数 ． （1）画出 的图像； （2）求不等式 的解集． 【答案】（1）详解解析；（2） . ( ) | 3 1| 2 | 1|f x x x= + − − ( )y f x= ( ) ( 1)f x f x> + 7, 6  −∞ −   真题体验【解析】（1）因为 ，作出图象，如图所示： （2）将函数 的图象向左平移 个单位，可得函数 的图象，如图所示： 由 ，解得 ．所以不等式的解集为 ． 【点睛】本题主要考查画分段函数的图象，以及利用图象解不等式，意在考查学生的数形结合能力，属于 基础题． 2、（2020 新课标Ⅱ卷·理科 T23）已知函数 . （1）当 时，求不等式 的解集； （2）若 ，求 a 的取值范围. 【答案】（1） 或 ；（2） . ( ) 3, 1 15 1, 13 13, 3 x x f x x x x x   + ≥ = − − < 9. (2)设关于 x 的不等式 f(x)≤|x－4|的解集为 A，B＝{x∈R||2x－1|≤3}，如果 A∪B＝A，求实数 a 的取值范 围． [解析]　(1)当 a＝5 时，关于 x 的不等式 f(x)>9， 0, 1a b c abc+ + = = 0, 0, 0a b c> < < 1,a b c a bc = − − = ( )2 2 2 3 2 2 2 2 4b c b c bc bc bca a a bc bc bc + + + +∴ = ⋅ = = ≥ = b c= 3 4a∴ ≥ 3max{ , , } 4a b c  x∈R 2 | 1| | | 4x x+ + < 2( 2, )3 − 1 2 2 4 x x x < − − − − 0，b>0，且 a＋b＝1 a＋1 b. 的 2 1 2x − ≤ − ] [( ), 3 3,−∞ − ∪ +∞ ( ) 5f x ax+ ≤ 2 1 5x ax− + ≤ 0x ≤ 0a > 0ax ≤ 2| 1 5 0x − + 0x ≤ 2 1 5x ax− + ≤ 0 1x< ≤ 2 1 5x ax− + ≤ 2 1 5 6x a xx x − + ≥ = − ( ) 6h x xx = − ( ]0,1 ( ]0,1x∈ ( ) 6h x xx = − ( )1 5h = 5a ≥ 1x ≥ 2 1 5x ax− + ≤ 2 1 5 4x a xx x − + ≥ = + 4 42 4x xx x + ≥ ⋅ = 2x = 4x x + 4a ≥ a [ )4,+∞证明：(1)a＋b≥2； (2)a2＋a0.得 ab＝1. (1)由基本不等式及 ab＝1，有 a＋b≥2 ab＝2， 即 a＋b≥2. (2)假设 a2＋a