2021高考数学(理)高频考点、热点题型归类强化专题13 不等式(含答案及解析)
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2021高考数学(理)高频考点、热点题型归类强化专题13 不等式(含答案及解析)

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资料简介
专题 13 不等式及线性规划 —2021 高考数学(理)高频考点、热点题型归类强化 【高频考点及备考策略】 本部分内容在备考时应注意以下几个方面: (1)掌握不等关系与不等式解法、基本不等式的应用. (2)熟练掌握求解线性规划问题的方法,给出线性不等式组可以熟练找出其对应的可行域. (3)关注目标函数的几何意义和参数问题,掌握求目标函数最值的方法. 考向预测: (1)不等式的性质、不等关系及不等式解法;利用基本不等式求函数最值. (2)求目标函数的最大值或最小值及求解含有参数的线性规划问题. 1.不等式的四个性质 注意不等式的乘法、乘方与开方对符号的要求,如 (1)a>b,c>0⇒ac>bc,a>b,c0,c>d>0⇒ac>bd. (3)a>b>0⇒an>bn(n∈N,n≥1). (4)a>b>0⇒n a>n b(n∈N,n≥2). 2.四类不等式的解法 (1)一元二次不等式的解法 先化为一般形式 ax2+bx+c>0(a≠0),再求相应一元 必备知识二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根,最后根据相应二次函数图象与 x 轴的位置关系,确定一元二次不等 式的解集. (2)简单分式不等式的解法 f(x) g(x)>0(0(1 时,af(x)>ag(x)⇔f(x)>g(x); 当 0logag(x)⇔f(x)>g(x)>0; 当 0f(x)>0. 3.基本不等式 (1)基本不等式的常用变形 ①a+b≥2 ab(a>0,b>0),当且仅当 a=b 时,等号成立. ②a2+b2≥2ab,ab≤(a+b 2 )2(a,b∈R),当且仅当 a=b 时,等号成立. ③b a+a b≥2(a,b 同号且均不为零),当且仅当 a=b 时,等号成立. ④a+1 a≥2(a>0),当且仅当 a=1 时,等号成立;a+1 a≤-2(a0,b>0,则 a2+b2 2 ≥a+b 2 ≥ ab≥ 2 1 a+1 b ,当且仅当 a=b 时取等号. (2)利用基本不等式求最值 已知 a,b∈R,则①若 a+b=S(S 为定值),则 ab≤(a+b 2 )2=S2 4 ,当且仅当 a=b 时,ab 取得最大值S2 4 .②若 ab=T(T 为定值,且 T>0),则 a+b≥2 ab=2 T,当且仅当 a=b 时,a+b 取得最小值 2 T. 4.求目标函数的最优解问题 (1)“斜率型”目标函数 z=y-b x-a(a,b 为常数),最优解为点(a,b)与可行域上点的连线的斜率取最值时的 可行解. (2)“两点间距离型”目标函数 z= (x-a)2+(y-b)2(a,b 为常数),最优解为点(a,b)与可行域上点之间 的距离取最值时的可行解. 5.线性规划中的参数问题的注意点 (1)当最值已知时,目标函数中的参数往往与直线斜率有关,解题时应充分利用斜率这一特征加以转 化. (2)当目标函数与最值都已知,且约束条件中含有参数时,因为平面区域是变动的,所以要抓住目标函 数及最值已知这一突破口,先确定最优解,然后变动参数范围,使得这样的最优解在该区域内即可. 6.重要性质及结论 (1)ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立的条件是Error! (2)ax2+bx+cb,则( ) A.ln(a−b)>0 B.3a0 D.│a│>│b│ 【答案】C 【解析】取 ,满足 , ,知 A 错,排除 A;因为 ,知 B 错, 排除 B;取 ,满足 , ,知 D 错,排除 D,因为幂函数 是增函数, ,所以 ,故选 C. 【点睛】本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、幂函数性质及绝对值意义,渗透了逻辑推理和运 算能力素养,利用特殊值排除即可判断. 3、(2019 年高考北京卷理数)若 x,y 满足 ,且 y≥−1,则 3x+y 的最大值为( ) A.−7 B.1 C.5 D.7 【答案】C 【解析】由题意 作出可行域如图阴影部分所示. 2, 1a b= = a b> ln( ) 0a b− = 9 3 3 3a b= > = 1, 2a b= = − a b> 1 2a b= < = 3y x= a b> 3 3a b> | 1|x y≤ − 1 ,1 1 y y x y − ≤  − ≤ ≤ −设 , 当直线 经过点 时, 取最大值 5.故选 C. 【点睛】本题是简单线性规划问题的基本题型,根据“画、移、解”等步骤可得解.题目难度不大,注重了基础 知识、基本技能的考查. 4、(2019 年高考天津卷理数)设变量 满足约束条件 ,则目标函数 的最大值 为( ) A.2 B.3 C.5 D.6 【答案】D 【解析】已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分. 目标函数的几何意义是直线 在 轴上的截距, 故目标函数在点 处取得最大值. 由 ,得 , 所以 . 故选 C. 3 , 3z x y y z x= + = − 0 : 3l y z x= − ( )2, 1− z ,x y 2 0, 2 0, 1, 1, x y x y x y + − ≤  − + ≥ −  −   4z x y= − + 4y x z= + y A 2 0, 1 x y x − + =  = − ( 1,1)A − max 4 ( 1) 1 5z = − × − + =【点睛】线性规划问题,首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域,分界线是实线还是虚线,其 次确定目标函数的几何意义,是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离 等等,最后结合图形确定目标函数最值或范围.即:一画,二移,三求. 5、(2019 年高考浙江卷)若实数 满足约束条件 ,则 的最大值是( ) A. B. 1 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】画出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示。 因为 ,所以 . 平移直线 可知,当该直线经过点 A 时,z 取得最大值. 联立两直线方程可得 ,解得 . 即点 A 坐标为 , ,x y 3 4 0 3 4 0 0 x y x y x y − + ≥  − − ≤  + ≥ 3 2z x y= + 1− 3 2z x y= + 3 1 2 2y x z= − + 3 1 2 2y x z= − + 3 4 0 3 4 0 x y x y − + =  − − = 2 2 x y =  = (2,2)A所以 .故选 C. 【点睛】解答此类问题,要求作图要准确,观察要仔细.往往由于由于作图欠准确而影响答案的准确程度, 也有可能在解方程组的过程中出错. 二、填空题 1、(2020 新课标Ⅰ卷·理科 T13)同(2020 新课标Ⅰ卷·文科 T13)若 x,y 满足约束条件 则 z=x+7y 的最大值为______________. 【答案】1 【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示, 目标函数 即: , 其中 z 取得最大值时,其几何意义表示直线系在 y 轴上的截距最大, 据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点 A 处取得最大值, 联立直线方程: ,可得点 A 的坐标为: , 据此可知目标函数的最大值为: . 故答案为:1. 【点睛】求线性目标函数 z=ax+by(ab≠0)的最值,当 b>0 时,直线过可行域且在 y 轴上截距最大时,z 值 最大,在 y 轴截距最小时,z 值最小;当 b<0 时,直线过可行域且在 y 轴上截距最大时,z 值最小,在 y 轴 上截距最小时,z 值最大. max 3 2 2 2 10z = × + × = 2 2 0, 1 0, 1 0, x y x y y + − ≤  − − ≥  + ≥ 7z x y= + 1 1 7 7y x z= − + 2 2 0 1 0 x y x y + − =  − − = ( )1,0A max 1 7 0 1z = + × =2、(2020 新课标Ⅱ卷·文科 T15)若 x,y 满足约束条件 则 最大值是 __________. 【答案】 【解析】不等式组表示的平面区域为下图所示: 平移直线 ,当直线经过点 时,直线 在纵轴上的截距最大, 此时点 的坐标是方程组 的解,解得: , 因此 的最大值为: . 故答案为: . 【点睛】本题考查了线性规划的应用,考查了数形结合思想,考查数学运算能力. 3、(2020 新课标Ⅲ卷·理科 T13)同(2020 新课标Ⅲ卷·文科 T13)若 x,y 满足约束条件 , 则 z=3x+2y 的最大值为_________. 【答案】7 【解析】不等式组所表示的可行域如图 因为 ,所以 ,易知截距 越大,则 越大, 的 1 1 2 1, x y x y x y + ≥ −  − ≥ −  − ≤ , , 2z x y= + 8 1 2y x= − A 1 1 2 2y x z= − + A 1 2 1 x y x y − = −  − = 2 3 x y =  = 2z x y= + 2 2 3 8+ × = 8 0, 2 0 1, x y x y x + ≥  − ≥  ≤ , 3 2z x y= + 3 2 2 x zy = − + 2 z z平移直线 ,当 经过 A 点时截距最大,此时 z 最大, 由 ,得 , ,所以 . 故答案为:7. 【点晴】本题主要考查简单线性规划的应用,涉及到求线性目标函数的最大值,考查学生数形结合的思想, 是一道容易题. 4、(2020 江苏卷·T12)已知 ,则 的最小值是_______. 【答案】 【解析】∵ ∴ 且 ∴ ,当且仅当 ,即 时取等号. ∴ 的最小值为 . 故答案为: . 【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用.利用基本不等式求最值时,一定要正确理解和掌握“一正, 二定,三相等”的内涵:一正是,首先要判断参数是否为正;二定是,其次要看和或积是否为定值(和定积 最大,积定和最小);三相等是,最后一定要验证等号能否成立(主要注意两点,一是相等时参数否在定 3 2 xy = − 3 2 2 x zy = − + 2 1 y x x =  = 1 2 x y =  = (1,2)A max 3 1 2 2 7z = × + × = 2 2 45 1( , )x y y x y R+ = ∈ 2 2x y+ 4 5 2 2 45 1x y y+ = 0y ≠ 4 2 2 1 5 yx y −= 4 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 4 1 4 4+ 25 5 55 5 5 y y yx y yy y y −+ = + = ≥ ⋅ = 2 2 1 4 55 y y = 2 23 1,10 2x y= = 2 2x y+ 4 5 4 5义域内,二是多次用 或 时等号能否同时成立). 5、(2020 天津卷·T14)已知 ,且 ,则 的最小值为_________. 【答案】4 【解析】 , , ,当且仅当 =4 时取等号, 结合 ,解得 ,或 时,等号成立. 故答案为: 【点睛】本题考查应用基本不等式求最值,“1” 合理变换是解题的关键,属于基础题. 6、(2019 年高考北京卷理数)李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西 瓜、桃,价格依次为 60 元/盒、65 元/盒、80 元/盒、90 元/盒.为增加销量,李明对这四种水果进行促销: 一次购买水果的总价达到 120 元,顾客就少付 x 元.每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款 的 80%. ①当 x=10 时,顾客一次购买草莓和西瓜各 1 盒,需要支付__________元; ②在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则 x 的最大值为 __________. 【答案】①130 ;②15. 【解析】(1) ,顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付 元. (2)设顾客一次购买水果的促销前总价为 元, 元时,李明得到的金额为 ,符合要求. 的 ≥ ≤ 0, 0a b> > 1ab = 1 1 8 2 2a b a b + + + 0, 0, 0a b a b> > ∴ + > 1ab = 1 1 8 8 2 2 2 2 ab ab a b a b a b a b ∴ + + = + ++ + 8 82 42 2 a b a b a b a b + += + ≥ × =+ + a b+ 1ab = 2 3, 2 3a b= − = + 2 3, 2 3a b= + = − 4 10x = ( )60 80 10 130+ − = y 120y < 80%y×元时,有 恒成立,即 ,即 元. 所以 的最大值为 . 【点睛】本题主要考查不等式的概念与性质、数学的应用意识、数学式子变形与运算求解能力,以实际生活 为背景,创设问题情境,考查学生身边的数学,考查学生的数学建模素养. 7、(2019 年高考天津卷理数)设 ,则 的最小值为__________. 【答案】 【解析】方法一: . 因为 , 所以 , 即 ,当且仅当 时取等号成立. 又因为 ,当且仅当 ,即 时取等号,结合 可知, 可以取到 3,故 的最小值为 . 方法二: . 当且仅当 时等号成立, 故 的最小值为 . 120y ≥ ( ) 80% 70%y x y− × ≥ × ( )8 7 , 8 yy x y x− ≥ ≤ min 158 yx  ≤ =   x 15 0, 0, 2 5x y x y> > + = ( 1)(2 1)x y xy + + 4 3 ( 1)(2 1) 2 2 1 2 6 62x y xy y x xy xy xy xy xy xy + + + + + += = = + 0, 0, 2 5x y x y> > + = 2 5 2 2x y x y+ = ≥ ⋅ 5 252 ,02 8xy xy≤ < ≤ 52 2x y= = 6 62 2 2 4 3xy xy xy xy + ≥ ⋅ = 62 xy xy = =3xy 25 8xy ≤ xy ( 1)(2 1)x y xy + + 4 3 0, 0, 2 5,x y x y> > + = 0,xy∴ > ( 1)(2 1) 2 2 1 2 6 62 2 12=4 3x y xy y x xy xy xy xy xy xy + + + + + += = = + ≥ 3xy = ( 1)(2 1)x y xy + + 4 3【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立. 考点 一 不等式的性质及解不等式 【典例】1、下列三个不等式:①x+1 x≥2(x≠0);②c ab>c>0);③a+m b+m>a b(a,b,m>0 且 ac>0 得 1 a0 的解集为( ) A.{x|xln 3}   B.{x|ln20),故选项 A 不正确; 运用基本不等式时需保证一正二定三相等, 而当 x≠kπ,k∈Z 时,sinx 的正负不定,故选项 B 不正确; 由基本不等式可知,选项 C 正确; 当 x=0 时,有 1 x2+1=1,故选项 D 不正确.3.关于 x 的不等式 x2-2ax-8a20)的解集为(x1,x2),且 x2-x1=15,则 a 等于( ) A.5 2    B.7 2     C.15 4     D.15 2 [解析] 由 x2-2ax-8a2-ln3} D.{x|x0 的解集为{x|-1

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