专题 13 不等式及线性规划
—2021 高考数学(理)高频考点、热点题型归类强化
【高频考点及备考策略】
本部分内容在备考时应注意以下几个方面:
(1)掌握不等关系与不等式解法、基本不等式的应用.
(2)熟练掌握求解线性规划问题的方法,给出线性不等式组可以熟练找出其对应的可行域.
(3)关注目标函数的几何意义和参数问题,掌握求目标函数最值的方法.
考向预测:
(1)不等式的性质、不等关系及不等式解法;利用基本不等式求函数最值.
(2)求目标函数的最大值或最小值及求解含有参数的线性规划问题.
1.不等式的四个性质
注意不等式的乘法、乘方与开方对符号的要求,如
(1)a>b,c>0⇒ac>bc,a>b,c0,c>d>0⇒ac>bd.
(3)a>b>0⇒an>bn(n∈N,n≥1).
(4)a>b>0⇒n a>n b(n∈N,n≥2).
2.四类不等式的解法
(1)一元二次不等式的解法
先化为一般形式 ax2+bx+c>0(a≠0),再求相应一元
必备知识二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根,最后根据相应二次函数图象与 x 轴的位置关系,确定一元二次不等
式的解集.
(2)简单分式不等式的解法
f(x)
g(x)>0(0(1 时,af(x)>ag(x)⇔f(x)>g(x);
当 0logag(x)⇔f(x)>g(x)>0;
当 0f(x)>0.
3.基本不等式
(1)基本不等式的常用变形
①a+b≥2 ab(a>0,b>0),当且仅当 a=b 时,等号成立.
②a2+b2≥2ab,ab≤(a+b
2 )2(a,b∈R),当且仅当 a=b 时,等号成立.
③b
a+a
b≥2(a,b 同号且均不为零),当且仅当 a=b 时,等号成立.
④a+1
a≥2(a>0),当且仅当 a=1 时,等号成立;a+1
a≤-2(a0,b>0,则 a2+b2
2 ≥a+b
2 ≥ ab≥ 2
1
a+1
b
,当且仅当 a=b 时取等号.
(2)利用基本不等式求最值
已知 a,b∈R,则①若 a+b=S(S 为定值),则 ab≤(a+b
2 )2=S2
4 ,当且仅当 a=b 时,ab 取得最大值S2
4 .②若 ab=T(T 为定值,且 T>0),则 a+b≥2 ab=2 T,当且仅当 a=b 时,a+b 取得最小值 2 T.
4.求目标函数的最优解问题
(1)“斜率型”目标函数 z=y-b
x-a(a,b 为常数),最优解为点(a,b)与可行域上点的连线的斜率取最值时的
可行解.
(2)“两点间距离型”目标函数 z= (x-a)2+(y-b)2(a,b 为常数),最优解为点(a,b)与可行域上点之间
的距离取最值时的可行解.
5.线性规划中的参数问题的注意点
(1)当最值已知时,目标函数中的参数往往与直线斜率有关,解题时应充分利用斜率这一特征加以转
化.
(2)当目标函数与最值都已知,且约束条件中含有参数时,因为平面区域是变动的,所以要抓住目标函
数及最值已知这一突破口,先确定最优解,然后变动参数范围,使得这样的最优解在该区域内即可.
6.重要性质及结论
(1)ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立的条件是Error!
(2)ax2+bx+cb,则( )
A.ln(a−b)>0 B.3a0 D.│a│>│b│
【答案】C
【解析】取 ,满足 , ,知 A 错,排除 A;因为 ,知 B 错,
排除 B;取 ,满足 , ,知 D 错,排除 D,因为幂函数 是增函数,
,所以 ,故选 C.
【点睛】本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、幂函数性质及绝对值意义,渗透了逻辑推理和运
算能力素养,利用特殊值排除即可判断.
3、(2019 年高考北京卷理数)若 x,y 满足 ,且 y≥−1,则 3x+y 的最大值为( )
A.−7 B.1
C.5 D.7
【答案】C
【解析】由题意 作出可行域如图阴影部分所示.
2, 1a b= = a b> ln( ) 0a b− = 9 3 3 3a b= > =
1, 2a b= = − a b> 1 2a b= < = 3y x=
a b> 3 3a b>
| 1|x y≤ −
1 ,1 1
y
y x y
− ≤
− ≤ ≤ −设 ,
当直线 经过点 时, 取最大值 5.故选 C.
【点睛】本题是简单线性规划问题的基本题型,根据“画、移、解”等步骤可得解.题目难度不大,注重了基础
知识、基本技能的考查.
4、(2019 年高考天津卷理数)设变量 满足约束条件 ,则目标函数 的最大值
为( )
A.2 B.3
C.5 D.6
【答案】D
【解析】已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分.
目标函数的几何意义是直线 在 轴上的截距,
故目标函数在点 处取得最大值.
由 ,得 ,
所以 .
故选 C.
3 , 3z x y y z x= + = −
0 : 3l y z x= − ( )2, 1− z
,x y
2 0,
2 0,
1,
1,
x y
x y
x
y
+ − ≤
− + ≥ −
−
4z x y= − +
4y x z= + y
A
2 0,
1
x y
x
− + =
= − ( 1,1)A −
max 4 ( 1) 1 5z = − × − + =【点睛】线性规划问题,首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域,分界线是实线还是虚线,其
次确定目标函数的几何意义,是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离
等等,最后结合图形确定目标函数最值或范围.即:一画,二移,三求.
5、(2019 年高考浙江卷)若实数 满足约束条件 ,则 的最大值是( )
A. B. 1
C. 10 D. 12
【答案】C
【解析】画出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示。
因为 ,所以 .
平移直线 可知,当该直线经过点 A 时,z 取得最大值.
联立两直线方程可得 ,解得 .
即点 A 坐标为 ,
,x y
3 4 0
3 4 0
0
x y
x y
x y
− + ≥
− − ≤
+ ≥
3 2z x y= +
1−
3 2z x y= + 3 1
2 2y x z= − +
3 1
2 2y x z= − +
3 4 0
3 4 0
x y
x y
− + =
− − =
2
2
x
y
=
=
(2,2)A所以 .故选 C.
【点睛】解答此类问题,要求作图要准确,观察要仔细.往往由于由于作图欠准确而影响答案的准确程度,
也有可能在解方程组的过程中出错.
二、填空题
1、(2020 新课标Ⅰ卷·理科 T13)同(2020 新课标Ⅰ卷·文科 T13)若 x,y 满足约束条件
则 z=x+7y 的最大值为______________.
【答案】1
【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示,
目标函数 即: ,
其中 z 取得最大值时,其几何意义表示直线系在 y 轴上的截距最大,
据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点 A 处取得最大值,
联立直线方程: ,可得点 A 的坐标为: ,
据此可知目标函数的最大值为: .
故答案为:1.
【点睛】求线性目标函数 z=ax+by(ab≠0)的最值,当 b>0 时,直线过可行域且在 y 轴上截距最大时,z 值
最大,在 y 轴截距最小时,z 值最小;当 b<0 时,直线过可行域且在 y 轴上截距最大时,z 值最小,在 y 轴
上截距最小时,z 值最大.
max 3 2 2 2 10z = × + × =
2 2 0,
1 0,
1 0,
x y
x y
y
+ − ≤
− − ≥
+ ≥
7z x y= + 1 1
7 7y x z= − +
2 2 0
1 0
x y
x y
+ − =
− − = ( )1,0A
max 1 7 0 1z = + × =2、(2020 新课标Ⅱ卷·文科 T15)若 x,y 满足约束条件 则 最大值是
__________.
【答案】
【解析】不等式组表示的平面区域为下图所示:
平移直线 ,当直线经过点 时,直线 在纵轴上的截距最大,
此时点 的坐标是方程组 的解,解得: ,
因此 的最大值为: .
故答案为: .
【点睛】本题考查了线性规划的应用,考查了数形结合思想,考查数学运算能力.
3、(2020 新课标Ⅲ卷·理科 T13)同(2020 新课标Ⅲ卷·文科 T13)若 x,y 满足约束条件 ,
则 z=3x+2y 的最大值为_________.
【答案】7
【解析】不等式组所表示的可行域如图
因为 ,所以 ,易知截距 越大,则 越大,
的
1
1
2 1,
x y
x y
x y
+ ≥ −
− ≥ −
− ≤
,
, 2z x y= +
8
1
2y x= − A 1 1
2 2y x z= − +
A
1
2 1
x y
x y
− = −
− =
2
3
x
y
=
=
2z x y= + 2 2 3 8+ × =
8
0,
2 0
1,
x y
x y
x
+ ≥
− ≥
≤
,
3 2z x y= + 3
2 2
x zy = − +
2
z z平移直线 ,当 经过 A 点时截距最大,此时 z 最大,
由 ,得 , ,所以 .
故答案为:7.
【点晴】本题主要考查简单线性规划的应用,涉及到求线性目标函数的最大值,考查学生数形结合的思想,
是一道容易题.
4、(2020 江苏卷·T12)已知 ,则 的最小值是_______.
【答案】
【解析】∵
∴ 且
∴ ,当且仅当 ,即 时取等号.
∴ 的最小值为 .
故答案为: .
【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用.利用基本不等式求最值时,一定要正确理解和掌握“一正,
二定,三相等”的内涵:一正是,首先要判断参数是否为正;二定是,其次要看和或积是否为定值(和定积
最大,积定和最小);三相等是,最后一定要验证等号能否成立(主要注意两点,一是相等时参数否在定
3
2
xy = − 3
2 2
x zy = − +
2
1
y x
x
=
=
1
2
x
y
=
= (1,2)A max 3 1 2 2 7z = × + × =
2 2 45 1( , )x y y x y R+ = ∈ 2 2x y+
4
5
2 2 45 1x y y+ =
0y ≠ 4
2
2
1
5
yx y
−=
4 2 2
2 2 2
2 2 2
1 1 4 1 4 4+ 25 5 55 5 5
y y yx y yy y y
−+ = + = ≥ ⋅ =
2
2
1 4
55
y
y
= 2 23 1,10 2x y= =
2 2x y+ 4
5
4
5义域内,二是多次用 或 时等号能否同时成立).
5、(2020 天津卷·T14)已知 ,且 ,则 的最小值为_________.
【答案】4
【解析】 , ,
,当且仅当 =4 时取等号,
结合 ,解得 ,或 时,等号成立.
故答案为:
【点睛】本题考查应用基本不等式求最值,“1” 合理变换是解题的关键,属于基础题.
6、(2019 年高考北京卷理数)李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西
瓜、桃,价格依次为 60 元/盒、65 元/盒、80 元/盒、90 元/盒.为增加销量,李明对这四种水果进行促销:
一次购买水果的总价达到 120 元,顾客就少付 x 元.每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款
的 80%.
①当 x=10 时,顾客一次购买草莓和西瓜各 1 盒,需要支付__________元;
②在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则 x 的最大值为
__________.
【答案】①130 ;②15.
【解析】(1) ,顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付 元.
(2)设顾客一次购买水果的促销前总价为 元,
元时,李明得到的金额为 ,符合要求.
的
≥ ≤
0, 0a b> > 1ab = 1 1 8
2 2a b a b
+ + +
0, 0, 0a b a b> > ∴ + > 1ab = 1 1 8 8
2 2 2 2
ab ab
a b a b a b a b
∴ + + = + ++ +
8 82 42 2
a b a b
a b a b
+ += + ≥ × =+ + a b+
1ab = 2 3, 2 3a b= − = + 2 3, 2 3a b= + = −
4
10x = ( )60 80 10 130+ − =
y
120y < 80%y×元时,有 恒成立,即 ,即 元.
所以 的最大值为 .
【点睛】本题主要考查不等式的概念与性质、数学的应用意识、数学式子变形与运算求解能力,以实际生活
为背景,创设问题情境,考查学生身边的数学,考查学生的数学建模素养.
7、(2019 年高考天津卷理数)设 ,则 的最小值为__________.
【答案】
【解析】方法一: .
因为 ,
所以 ,
即 ,当且仅当 时取等号成立.
又因为 ,当且仅当 ,即 时取等号,结合
可知, 可以取到 3,故 的最小值为 .
方法二:
.
当且仅当 时等号成立,
故 的最小值为 .
120y ≥ ( ) 80% 70%y x y− × ≥ × ( )8 7 , 8
yy x y x− ≥ ≤
min
158
yx ≤ =
x 15
0, 0, 2 5x y x y> > + = ( 1)(2 1)x y
xy
+ +
4 3
( 1)(2 1) 2 2 1 2 6 62x y xy y x xy xy
xy xy xy xy
+ + + + + += = = +
0, 0, 2 5x y x y> > + =
2 5 2 2x y x y+ = ≥ ⋅
5 252 ,02 8xy xy≤ < ≤ 52 2x y= =
6 62 2 2 4 3xy xy
xy xy
+ ≥ ⋅ = 62 xy
xy
= =3xy
25
8xy ≤ xy ( 1)(2 1)x y
xy
+ +
4 3
0, 0, 2 5,x y x y> > + =
0,xy∴ > ( 1)(2 1) 2 2 1 2 6 62 2 12=4 3x y xy y x xy xy
xy xy xy xy
+ + + + + += = = + ≥
3xy =
( 1)(2 1)x y
xy
+ +
4 3【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立.
考点 一 不等式的性质及解不等式
【典例】1、下列三个不等式:①x+1
x≥2(x≠0);②c
ab>c>0);③a+m
b+m>a
b(a,b,m>0 且 ac>0 得 1
a0 的解集为( )
A.{x|xln 3} B.{x|ln20),故选项 A 不正确;
运用基本不等式时需保证一正二定三相等,
而当 x≠kπ,k∈Z 时,sinx 的正负不定,故选项 B 不正确;
由基本不等式可知,选项 C 正确;
当 x=0 时,有 1
x2+1=1,故选项 D 不正确.3.关于 x 的不等式 x2-2ax-8a20)的解集为(x1,x2),且 x2-x1=15,则 a 等于( )
A.5
2 B.7
2
C.15
4 D.15
2
[解析] 由 x2-2ax-8a2-ln3} D.{x|x0 的解集为{x|-1