人教A版高中数学选修1-1课时提升作业 十二 2.2.1 双曲线及其标准方程 精讲优练课型 Word版含答案.doc

温馨提示： 此套题为 Word 版，请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。 关闭 Word 文档返回原板块。 课时提升作业 十二 双曲线及其标准方程 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.设θ∈ ,则关于 x,y 的方程 - =1 所表示的曲线是　(　　) A.焦点在 y 轴上的双曲线 B.焦点在 x 轴上的双曲线 C.焦点在 y 轴上的椭圆 D.焦点在 x 轴上的椭圆 【解析】选 C.方程即 + =1,因为θ∈ ,所以 sinθ>0,cosθsinθ,故方程表示焦点在 y 轴上的椭圆. 【补偿训练】在方程 mx2-my2=n 中,若 mn1)的两焦点为 F1,F2,P 在双曲线上,且满足 |PF1|+|PF2|=2 ,则△PF1F2 的面积为　(　　) A. B.1 C.2 D.4 【解析】选 B.不妨设 F1,F2 是双曲线的左、右焦点, P 为右支上一点, |PF1|-|PF2|=2 ,① |PF1|+|PF2|=2 ,② 由①②解得: |PF1|= + ,|PF2|= - , 得:|PF1|2+|PF2|2=4n+4=|F1F2|2, 所以 PF1⊥PF2, 又由①②分别平方后作差得:|PF1||PF2|=2, 所以 = |PF1|·|PF2|=1. 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 6.(2016·唐山高二检测)已知 P 是双曲线 - =1 上一点,F 1,F2 是双曲线的两个焦点,若 |PF1|=17,则|PF2|的值为　　　　　. 【解析】由条件知 a2=64,即 a=8,c2=b2+a2=100,c=10, 所以双曲线右支上的点到左焦点 F1 的最短距离 a+c=18>17,故点 P 在双曲线左支上. 所以|PF2|-|PF1|=2a=16, 即|PF2|=16+|PF1|=33. 答案:33 【误区警示】本题易直接利用定义求解,忽视右支上的点到左焦点的最短距离为 a+c,而出现 错误结论|PF2|=1 或|PF2|=33. 【补偿训练】在平面直角坐标系 xOy 中,已知△ABC 的顶点 A(-6,0)和 C(6,0),若顶点 B 在双 曲线 - =1 的左支上,则 =　　　　. 【解题指南】由正弦定理可将 转化为边的比,而△ABC 的顶点 A,C 已知,故边 AC 长可求,B 在双曲线上,由定义可求|BC|-|BA|. 【解析】由条件可知|BC|-|BA|=10,且|AC|=12,又在△ABC 中,有 = = =2R,从而 = = . 答案: 7.(2016·烟台高二检测)已知双曲线中心在坐标原点且一个焦点为 F1(- ,0),点 P 位于 该双曲线上,线段 PF1 的中点坐标为(0,2),则该双曲线的方程是　　　　. 【解析】设双曲线方程为 - =1,因为 c= ,c2=a2+b2,所以 b2=5-a2,所以 - =1.由 于线段 PF1 的中点坐标为(0,2),则 P 点的坐标为( ,4).代入双曲线方程得 - =1,解 得 a2=1 或 a2=25(舍去),所以双曲线方程为 x2- =1. 答案:x2- =18.已知双曲线 - =1 上一点 M 的横坐标为 5,则点 M 到左焦点的距离是　　　　. 【解题指南】利用双曲线的定义求解. 【解析】由于双曲线 - =1 的右焦点为 F(5,0),将 xM=5 代入双曲线方程可得|yM|= ,即 为点 M 到右焦点的距离,由双曲线的定义知 M 到左焦点的距离为 +2×3= . 答案: 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 9.已知双曲线与椭圆 + =1 有相同的焦点,且与椭圆的一个交点的纵坐标为 4,求双曲线 的方程. 【解析】椭圆的焦点为 F1(0,-3),F2(0,3),故可设双曲线方程为 - =1(a>0,b>0),且 c=3,a2+b2=9.由条件知,双曲线与椭圆有一个交点的纵坐标为 4,可得两交点的坐标为 A( ,4),B(- ,4), 由点 A 在双曲线上知, - =1. 解方程组 得 所以所求双曲线的方程为 - =1. 10.如图,在△ABC 中,已知|AB|=4 ,且三内角 A,B,C 满足 2sinA+sinC=2sinB,建立适当的 坐标系,求顶点 C 的轨迹方程. 【解析】以 AB 边所在的直线为 x 轴,AB 的垂直平分线为 y 轴,建立平面直角坐标系如图所示, 则 A(-2 ,0),B(2 ,0).由正弦定理,得 sinA= ,sinB= ,sinC= (R 为△ABC 的外接圆半径). 因为 2sinA+sinC=2sinB, 所以 2a+c=2b,即 b-a= , 从而有|CA|-|CB|= |AB|=2 ) 一、选择题(每小题 5 分,共 10 分) 1.(2016·合肥高二检测)已知双曲线 - =1 的焦点为 F1,F2,点 M 在双曲线上,且 MF1⊥x 轴,则 F1 到直线 F2M 的距离为　(　　) A. B. C. D. 【解析】选 C.设 F1 到直线 F2M 的距离为 d, 不妨设点 F1(-3,0),容易计算得出 |MF1|= , |MF2|-|MF1|=2 . 解得|MF2|= . 而|F1F2|=6,在直角三角形 MF1F2 中, 由 |MF1|·|F1F2|= |MF2|·d, 求得 F1 到直线 F2M 的距离 d 为 .2.(2016·沈阳高二检测)已知点 P 在曲线 C1: - =1 上,点 Q 在曲线 C2:(x-5)2+y2=1 上, 点 R 在曲线 C3:(x+5)2+y2=1 上,则|PQ|-|PR|的最大 值是　(　　) A.6 B.8 C.10 D.12 【解析】选 C.由双曲线的知识可知:C1: - =1 的两个焦点分别是 F1(-5,0)与 F2(5,0),且 |PF1|-|PF2|=8, 而这两点正好是两圆(x+5)2+y2=1 和(x-5)2+y2=1 的圆心,两圆(x+5)2+y2=1 和(x-5)2+y2=1 的 半径分别是 r1=1,r2=1, 所以|PQ|max=|PF1|+1,|PR|min=|PF2|-1, 所以|PQ|-|PR|的最大值为:(|PF1|+1)-(|PF2|-1)=|PF1|-|PF2|+2=8+2=10. 【补偿训练】(2016·太原高二检测)设 F1,F2 分别是双曲线 x2- =1 的左、右焦点.若点 P 在 双曲线上,有 · =0,则| + |=　(　　) A. B.2 C. D.2 【解析】选 B.因为 · =0,所以 PF1⊥PF2, 即△PF1F2 为直角三角形, 所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(2 )2=40, | + |= = = =2 . 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 3.(2016·黄冈高二检测)已知 F 是双曲线 - =1 的左焦点,A(1,4),点 P 是双曲线右支上 的动点,则|PF|+|PA|的最小值是　　　　　. 【解析】由双曲线 - =1,得 c=4, 所以左焦点 F(-4,0),右焦点 F′(4,0),由双曲线的定义得:|PF|-|PF′|=2a=4, 所以|PF|+|PA|=4+|PF′|+|PA|≥4+|AF′|=4+ =9,此时 P 为 AF′与双曲线的交点,即|PF|+|PA|的最小值为 9. 答案:9 4.(2016·杭州高二检测)已知双曲线的两个焦点为 F 1(- ,0),F2( ,0),M 是此双曲线 上一点,若 · =0,| |·| |=2,则该双曲线的方程是　　　　　. 【解析】设双曲线的方程为 - =1(a>0,b>0), 由题意得||MF1|-|MF2||=2a, |MF1|2+|MF2|2=(2 )2=20, 又因为| |·| |=2, 所以|MF1|2+|MF2|2-2|MF1||MF2|=4a2, 即 20-2×2=4a2,所以 a2=4,b2=c2-a2=5-4=1, 所以双曲线的方程为 -y2=1. 答案: -y2=1 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 5.当 0°≤α≤180°时,方程 x2cosα+y2sinα=1 表示的曲线怎样变化? 【解析】(1)当α=0°时,方程为 x2=1,它表示两条平行直线 x=1 和 x=-1. (2)当 0°