人教A版高中数学选修1-1课时提升作业 十六 2.3.2 抛物线的简单几何性质 第1课时 抛物线的简单几何性质 精讲优练课型 Word版含答案.doc

温馨提示： 此套题为 Word 版，请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。 关闭 Word 文档返回原板块。 课时提升作业 十六 抛物线的简单几何性质 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.(2016 · 吉 安 高 二 检 测 ) 已 知 F 是 抛 物 线 y2=x 的 焦 点 ,A,B 是 该 抛 物 线 上 的 两 点,|AF|+|BF|=3,则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为　(　　) A. B.1 C. D. 【 解 析 】 选 C. 由 抛 物 线 的 定 义 , 有 |AF|+|BF|= + =xA+xB+p=3, 故 xA+xB=3-p= ,故线段 AB 的中点到 y 轴的距离为 . 【延伸探究】若将上题改为 F 是抛物线 x2=2y 的焦点,A,B 是抛物线上的两点,|AF|+|BF|=6, 则线段 AB 的中点到 x 轴的距离为　　　　　. 【解析】|AF|+|BF|=6,由抛物线的定义可得|AD|+|BE|=6,又线段 AB 的中点到抛物线准线 y=- 的距离为 (|AD|+|BE|)=3,所以线段 AB 的中点到 x 轴的距离为 . 答案: 2.(2016·温州高二检测)已知抛物线 y2=6x 的焦点为 F,准线为 1,点 P 为抛物线上一点,且 在第一象限,PA⊥l,垂足为 A,|PF|=2,则直线 AF 的倾斜角为　(　　) A. B. C. D. 【解题指南】可先画出图形,得出 F ,由抛物线的定义可以得出|PA|=2,从而可以得 出 P 点的横坐标,代入抛物线方程便可求出 P 点的纵坐标,这样即可得出 A 点的坐标,从而求出直线 AF 的斜率,根据斜率便可得出直线 AF 的倾斜角. 【解析】选 D.如图,由抛物线方程得 F ;|PF|=|PA|=2,所以 P 点的横坐标为 2- = ; 所以 y2=6· ,P 在第一象限,所以 P 点的纵坐标为 ;所以 A 点的坐标 ;所以 AF 的斜率为 =- ;所以 AF 的倾斜角为 . 3.已知直线 l 经过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F,且与抛物线交于 P,Q 两点,由 P,Q 分别向准 线 引 垂 线 PK,QS, 垂 足 分 别 为 K,S, 如 果 |PF|=a,|QF|=b,M 为 KS 的 中 点 , 则 |MF| 的 值 为 　 (　　) A.a+b B. (a+b) C.ab D. 【解析】选 D.如图,根据抛物线的定义,有|PF|=|PK|,|QF|=|QS|,易知△KFS 为直角 三角形,故要求的是直角三角形斜边上的中线长.在直角梯形 PKSQ 中,容易求得 |KS|=2 . 故|FM|= |KS|= . 4.已知直线 l 过抛物线 C 的焦点,且与 C 的对称轴垂直, l 与 C 交于 A,B 两点,|AB|=12,P 为 C 的准线上一点,则△ABP 的面积为　(　　) A.18 B.24 C.36 D.48 【解析】选 C.如图所示,设抛物线方程为 y2=2px(p>0). 因为当 x= 时,|y|=p, 所以 p= = =6. 又 P 到 AB 的距离始终为 p, 所以 S△ABP= ×12×6=36. 5.(2015·浙江高考)如图,设抛物线 y 2=4x 的焦点为 F,不经过焦点的直线上有三个不同的 点 A,B,C,其中点 A,B 在抛物线上,点 C 在 y 轴上,则△BCF 与△ACF 的面积之比是　(　　) A. B. C. D. 【解析】选 A. = = = = = . 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 6.设抛物线 y2=mx 的准线与直线 x=1 的距离为 3,则抛物线的方程为　　　　. 【解析】当 m>0 时,准线方程为 x=- =-2,所以 m=8, 此时抛物线方程为 y2=8x; 当 m0)上,且一直角边 的方程是 y=2x,斜边长是 5,求此抛物线的方程. 【解析】如图,设直角三角形为 AOB,直角顶点为 O,AO 边的方程为 y=2x, 则 OB 边的方程为 y=- x.由 得 A 点坐标为 . 由 得 B 点坐标为(8p,-4p). 因为|AB|=5, 所以 =5. 因为 p>0,解得 p= , 所以所求抛物线方程为 y2= x. 10.(2016·淮安高二检测)如图,已知抛物线 y2=4x 的焦点为 F,过点 P(2,0)的直线交抛物线 于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点,直线 AF,BF 分别与抛物线交于点 M,N. (1)求 y1y2 的值. (2)记直线 MN 的斜率为 k1,直线 AB 的斜率为 k2,证明: 为定值. 【解题指南】(1)设出直线 AB 的方程,把直线方程代入抛物线方程中整理化简,然后根据一 元二次方程根与系数的关系可求.(2)表示出斜率,根据根与系数的关系代入化简可求得定值. 【解析】(1)依题意,设 AB 的方程为 x=my+2,代入 y2=4x,得 y2-4my-8=0,从而 y1y2=-8. (2)设 M(x3,y3),N(x4,y4), = × = × = , 设直线 AM 的方程为 x=ny+1,代入 y2=4x 消去 x 得:y2-4ny-4=0,所以 y1y3=-4, 同理 y2y4=-4, = = = , 由(1)y1y2=-8,所以 =2 为定值.一、选择题(每小题 5 分,共 10 分) 1.(2016·成都高二检测)设 F 为抛物线 y2=4x 的焦点,A,B,C 为抛物线上不同的三点,点 F 是△ABC 的重心,O 为坐标原点,△OFA,△OFB,△OFC 的面积分别为 S 1,S2,S3,则 + + =　(　　) A.9 B.6 C.3 D.2 【解析】选 C.设 A,B,C 三点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3), 因为抛物线 y2=4x 的焦点 F 的坐标为(1,0), 所以 S1= |y1|,S2= |y2|,S3= |y3|, 所以 + + = ( + + )=x1+x2+x3, 因为点 F 是△ABC 的重心, 所以 x1+x2+x3=3,所以 + + =3. 2.抛物线 y=-x2 上的点到直线 4x+3y-8=0 距离的最小值是　 (　　) A. B. C. D.3 【 解 析 】 选 A. 设 抛 物 线 y=-x2 上 一 点 为 (m,-m2), 该 点 到 直 线 4x+3y-8=0 的 距 离 为 ,当 m= 时,取得最小值为 . 【一题多解】选 A.设与 4x+3y-8=0 平行的直线 l 的方程为 4x+3y+m=0, 由 消去 y 得,3x2-4x-m=0, 由Δ=0 得,16+12m=0,解得 m=- . 所以 l 的方程为 4x+3y- =0. 因此抛物线 y=-x2 上的点到直线 4x+3y-8=0 的距离的最小值是 d= = . 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 3.已知点 P 是抛物线 y2=4x 上的动点,点 P 在 y 轴上的射影是 M,点 A(4,6),则|PA|+|PM|的 最小值是　　　　　.【解题指南】将 P 到 y 轴的距离,转化为点 P 到焦点的距离,当 A,P,F 共线时,|PA|+|PM|最 小. 【解析】由 y2=4x,得 p=2, 所以 F(1,0), 如图,|PM|=|PF|- =|PF|-1, 所以|PA|+|PM|=|PA|+|PF|-1≥|AF|-1 = -1=3 -1. 答案:3 -1 4.(2016·南昌高二检测)已知点 A(2,0),抛物线 C:x2=4y 的焦点为 F,射线 FA 与抛物线 C 相 交于点 M,与其准线相交于点 N,则|FM|∶|MN|=　　　　. 【解析】因为抛物线 C:x2=4y 的焦点为 F(0,1),点 A 坐标为(2,0),所以抛物线的准线方程为 l:y=-1,直线 AF 的斜率为 k= =- .过 M 作 MP⊥l 于 P,根据抛物线的定义得|FM|=|PM|. 因为 Rt△MPN 中,tan∠MNP=-k= , 所以 = , 可得|PN|=2|PM|, 得|MN|= = |PM|. 所以 = ,可得|FM|∶|MN|=|PM|∶|MN|=1∶ . 答案:1∶ 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 5.(2016·长春高二检测)点 M(m,4)(m>0)为抛物线 x 2=2py(p>0)上一点,F 为其焦点,已知 |FM|=5. (1)求 m 与 p 的值.(2)以 M 点为切点作抛物线的切线,交 y 轴于点 N,求△FMN 的面积. 【解析】(1)由抛物线定义知,|FM|= +4=5,所以 p=2.所以抛物线的方徎为 x2=4y, 又由 M(m,4)在抛物线上,所以 m=4. 故 p=2,m=4. (2)设过 M 点的切线方程为 y-4=k(x-4), 代入抛物线方程消去 y 得,x2-4kx+16k-16=0, 其判别式Δ=16k2-64(k-1)=0,所以 k=2, 切线方程为 y=2x-4, 切线与 y 轴的交点为 N(0,-4),抛物线的焦点 F(0,1), 所以 S△FMN= |FN|·m= ×5×4=10. 6.(2016·福州高二检测)如图,抛物线 E:y 2=4x 的焦点为 F,准线 l 与 x 轴的交点为 A.点 C 在抛物线 E 上,以 C 为圆心,|CO|为半径作圆,设圆 C 与准线 l 交于不同的两点 M,N. (1)若点 C 的纵坐标为 2,求|MN|. (2)若|AF|2=|AM|·|AN|,求圆 C 的半径. 【解析】(1)抛物线 y2=4x 的准线 l 的方程为 x=-1. 由点 C 的纵坐标为 2,得点 C 的坐标为(1,2), 所以点 C 到准线 l 的距离 d=2,又|CO|= . 所以|MN|=2 =2 =2. (2)设 C ,则圆 C 的方程为 +(y-y0)2= + ,即 x2- x+y2-2y0y=0.由 x=-1,得 y2-2y0y+1+ =0, 设 M(-1,y1),N(-1,y2),则由|AF|2=|AM|·|AN|,得|y1y2|=4, 所以 +1=4,解得 y0=± ,此时Δ>0. 所以圆心 C 的坐标为 或 , 从而|CO|2= ,|CO|= ,即圆 C 的半径为 . 关闭 Word 文档返回原板块