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课时提升作业 十三
双曲线的简单几何性质
一、选择题(每小题 5 分,共 25 分)
1.(2015·安徽高考)下列双曲线中,焦点在 y 轴上且渐近线方程为 y=±2x 的
是 ( )
A.x2- =1 B. -y2=1
C. -x2=1 D.y2- =1
【解析】选 C.由题意知,选项 A,B 的焦点在 x 轴上,故排除 A,B,C 项的渐近线方程为 y=±2x.
2.(2016·合肥高二检测)点 P 为双曲线 C1: - =1(a>0,b>0)和圆 C2:x2+y2=a2+b2 的一个交
点,且 2∠PF 1F2=∠PF 2F1,其中 F 1,F2 为双曲线 C1 的两个焦点,则双曲线 C 1 的离心率为
( )
A. B.1+ C. +1 D.2
【解题指南】由题意:PF1⊥PF2,且 2∠PF1F2=∠PF2F1,故∠PF1F2=30°,∠PF2F1=
60°.设|PF2|=m,则|PF1|= m,|F1F2|=2m.由 e= = ,能求出双曲线的离心率.
【解析】选 C.由题意:PF1⊥PF2,且 2∠PF1F2=∠PF2F1,
所以∠PF1F2=30°,∠PF2F1=60°.
设|PF2|=m,
则|PF1|= m,
|F1F2|=2m.
e= = =
= +1.【补偿训练】双曲线 - =1(a>0,b>0)的两条渐近线互相垂直,那么该双曲线的离心率为
( )
A.2 B. C. D.
【解析】选 C.依题意 · =-1,所以 a2=b2.
则 e2= = =2,所以 e= .
3.(2016·宁波高二检测)与双曲线 - =1 有共同的渐近线,且经过点(-3,2 )的双曲线
方程为 ( )
A. - =1 B. - =1
C. - =1 D. - =1
【解析】选 D.设所求双曲线方程为 - =λ(λ≠0),把(-3,2 )代入方程得 - =λ,所
以λ= .
故双曲线方程为 - = ,即 - =1.
4.设 a>1,则双曲线 - =1 的离心率 e 的取值范围是 ( )
A.( ,2) B.( , )
C.(2,5) D.(2, )
【解析】选 B.e2= = + +2= +1,
因为 a>1,所以 0< 0,b>0)的左、右焦点,以线段
F1F2 为直径的圆交双曲线左支于 A,B 两点,且∠AF1B=120°,若双曲线的离心率介于整数 k
与 k+1 之间,则 k= .
【解析】因为以线段 F1F2 为直径的圆交双曲线左支于 A,B 两点,且∠AF1B=120°,
所以△OF1A 是等边三角形,
所以|AF1|=c,|AF2|= c,
所以 2a=|AF2|-|AF1|=( -1)c,
所以 e= = = +1,
因为双曲线的离心率介于整数 k 与 k+1 之间,所以 k=2.
答案:2
8.(2016·厦门高二检测)设椭圆 C1 的离心率为 ,焦点在 x 轴上且长轴长为 26.若曲线 C2
上的点到椭圆 C1 的两个焦点的距离的差的绝对值等于 8,则曲线 C2 的标准方程为 .
【解析】设椭圆 C1 的方程为 + =1(a1>b1>0),
由已知得 所以
所以焦距为 2c1=10.
又因为 80,b2>0),
则 a2=4,c2=5,所以 =52-42=32=9,
所以曲线 C2 的方程为 - =1.
答案: - =1
三、解答题(每小题 10 分,共 20 分)
9.(2016·威海高二检测)已知双曲线的一条渐近线为 x+ y=0,且与椭圆 x 2+4y2=64 有相
同的焦距,求双曲线的标准方程.
【解析】椭圆方程为 + =1,
所以椭圆的焦距为 8 .
①当双曲线的焦点在 x 轴上时,设双曲线方程为 - =1(a>0,b>0),
所以 解得 .
所以双曲线的标准方程为 - =1.
②当双曲线的焦点在 y 轴上时,设双曲线方程为 - =1(a′>0,b′>0),所以 解得
所以双曲线的标准方程为 - =1.
由①②可知,双曲线的标准方程为 - =1 或 - =1.
10.已知双曲线的中心在原点,焦点 F1,F2 在坐标轴上,离心率为 ,且过点(4,- ).
(1)求此双曲线的方程.
(2)若点 M(3,m)在此双曲线上,求证: · =0.
【解析】(1)因为离心率 e= = ,所以 a=b.
设双曲线方程为 x2-y2=n(n≠0),
因为点(4,- )在双曲线上,
所以 n=42-(- )2=6.
所以双曲线方程为 x2-y2=6.
(2)因为点 M(3,m)在双曲线上,故 m2=3.
又点 F1(-2 ,0),
点 F2(2 ,0),
所以 · = · =- =-1.
所以 · =0.
一、选择题(每小题 5 分,共 10 分)
1.(2014·重庆高考)设 F1,F2 分别为双曲线 - =1(a>0,b>0)的左、右焦点,双曲线上存在
一点 P 使得|PF1|+|PF2|=3b,|PF1|·|PF2|= ab,则该双曲线的离心率
为 ( )
A. B. C. D.3【解析】选 B.由双曲线的定义得||PF1|-|PF2||=2a,又|PF1|+|PF2|=3b,所以
(|PF1|+|PF2|)2-(|PF1|-|PF2|)2=9b2-4a2,即 4|PF1|·|PF2|=9b2-4a2,又 4|PF1|·|PF2|=9ab,
因此 9b2-4a2=9ab,即 9 - -4=0,则 =0,解得 =
,则双曲线的离心率 e= = .
2.(2016·唐山高二检测)设 F1,F2 分别是双曲线 - =1(a>0,b>0)的左、右焦点,若双曲线
右支上存在一点 P 满足|PF2|=|F1F2|,且 cos∠PF1F2= ,则双曲线的渐近线方程为 ( )
A.3x±4y=0 B.4x±3y=0 C.3x±5y=0 D.5x±4y=0
【解题指南】根据|PF2|=|F1F2|,结合双曲线的定义,可得出|PF1|=2a+2c,再由
cos∠PF1F2= ,求出 的值.
【解析】选 B.作 F2Q⊥PF1 于点 Q,
因为|F1F2|=|PF2|,所以点 Q 为 PF1 的中点,
由双曲线的定义知|PF1|-|PF2|=2a,
所以|PF1|=2a+2c,故|F1Q|=a+c,
因为 cos∠PF1F2= ,所以 =cos∠PF1F2,
即 = ,得 3c=5a,
所以 3 =5a,得 = ,
故双曲线的渐近线方程为 y=± x,即 4x±3y=0.
二、填空题(每小题 5 分,共 10 分)
3.(2016·深圳高二检测)已知双曲线 an-1y2-anx2=an-1an 的焦点在 y 轴上,一条渐近线方程为
y= x,其中{an}是以 4 为首项的正数数列,则数列{an}的通项公式是 .【解析】双曲线即: - =1.
因为{an}是以 4 为首项的正数数列,一条渐近线方程为 y= x,
所以 = , =2,所以 an=4·2n-1=2n+1.
答案:an=2n+1
4.(2016·重庆高二检测)设 F1,F2 分别为双曲线 - =1(a>0,b>0)的左、右焦点,双曲线上
存在一点 P 使得(|PF1|-|PF2|)2=b2-3ab,则该双曲线的离心率为 .
【解析】由双曲线的定义知,
(|PF1|-|PF2|)2=4a2,
又(|PF1|-|PF2|)2=b2-3ab,
所以 4a2=b2-3ab,
等号两边同除以 a2,
化简得 -3· -4=0,
解得 =4 或 =-1(舍去),
故离心率
e= = = = = .
答案:
三、解答题(每小题 10 分,共 20 分)
5.双曲线 - =1(a>1,b>0)的焦距为 2c,直线 l 过点(a,0)和(0,b),且点(1,0)到直线 l 的
距离与点(-1,0)到直线 l 的距离之和 s≥ c,求双曲线离心率 e 的取值范围.
【解析】设直线 l 的方程为 + =1,
即 bx+ay-ab=0.
由点到直线的距离公式,且 a>1,得点(1,0)到直线 l 的距离 d1= ,点(-1,0)到直线 l
的距离 d2= .所以 s=d1+d2= = .
由 s≥ c,得 ≥ c,即 5a ≥2c2.
因为 e= ,所以 5 ≥2e2,
所以 25(e2-1)≥4e4,
即 4e4-25e2+25≤0,
所以 ≤e2≤5(e>1).所以 ≤e≤ ,
即 e 的取值范围为 .
6.(2016·青岛高二检测)已知双曲线关于两坐标轴对称,且与圆 x2+y2=10 相交于点 P(3,-1),
若此圆过点 P 的切线与双曲线的渐近线平行,求此双曲线的方程.
【解析】切点为 P(3,-1)的圆的切线方程为 3x-y=10,
因为双曲线的一条渐近线平行于此切线,且双曲线关于两坐标轴对称.
所以双曲线的渐近线方程为 3x±y=0.
当焦点在 x 轴上时,设双曲线方程为 - =1(a>0,b>0),
则其渐近线方程为 y=± x,即 =3,
则双曲线方程可化为 - =1,
因为双曲线过点 P(3,-1),
所以 - =1,所以 a2= ,b2=80,
所以所求双曲线方程为 - =1.
当焦点在 y 轴上时,设双曲线方程为 - =1(a′>0,b′>0),
则渐近线方程为 y=± x,即 =3,
则双曲线方程可化为 - =1,
因为双曲线过点 P(3,-1),
所以 - =1,得- =1,无解.综上可知所求双曲线方程为 - =1.
【一题多解】切点为 P(3,-1)的圆的切线方程为 3x-y=10.
因为双曲线的一条渐近线与此切线平行,且双曲线关于两坐标轴对称.
所以双曲线的两条渐近线方程为 3x±y=0,
设所求的双曲线方程为 9x2-y2=λ(λ≠0),
因为点 P(3,-1)在所求双曲线上,所以λ=80.
所以所求双曲线方程为 - =1.
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