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课时提升作业(二)
四种命题
(15 分钟 30 分)
一、选择题(每小题 4 分，共 12 分)
1.已知 a，b，c∈R，命题“若 a+b+c=3，则 a2+b2+c2≥3”的否命题是 ( )
A.若 a+b+c≠3，则 a2+b2+c20”，假命题；
D 中逆命题为“若 x- 是有理数，则 x 是无理数”，真命题.
3.(2015·长春高二检测)若命题 p 的逆命题是 q，命题 p 的逆否命题是 r，则 q 是 r 的
( )
A.逆命题 B.否命题
C.逆否命题 D.以上都不正确
【解题指南】设命题 p 为“若 s，则 t”的形式，分别写出 q，r，再判断 q 与 r 条件与结论
的关系，从而作出选择.
【解析】选 B.设命题 p 为：“若 s，则 t”，则命题 q 为：若 t，则 s，命题 r 是：若 t，则
s，由此知 q 为 r 的否命题.二、填空题(每小题 4 分，共 8 分)
4.命题“各位数字之和是 3 的倍数的正整数，可以被 3 整除”的逆命题是
___________________________________________________________，
否命题是___________________________________________________，
逆否命题是__________________________________________________.
【解析】逆命题是：“能被 3 整除的正整数，它的各位数字之和是 3 的倍数”.
否命题：“各位数字之和不是 3 的倍数的正整数不能被 3 整除”.
逆否命题是：“不能被 3 整除的正整数，其各位数字之和不是 3 的倍数”.
答案：能被 3 整除的正整数，它的各位数字之和是 3 的倍数
各位数字之和不是 3 的倍数的正整数，不能被 3 整除
不能被 3 整除的正整数，其各位数字之和不是 3 的倍数
5.(2015·烟台高二检测)下列命题：
①“等边三角形三内角都为 60°”的逆命题；
②“若 k>0，则 x2+2x-k=0 有实根”的逆否命题；
③“全等三角形的面积相等”的否命题；
④“若 ab≠0，则 a≠0”的否命题；
其中真命题的序号为________.
【解析】①逆命题“三内角都为 60°的三角形为等边三角形”，真命题；②逆否命题“若
x2+2x-k=0 没有实根，则 k≤0”，因为Δ=4+4k∠B；
(2)相等的两个角的正弦值相等.
【解析】(1)逆命题：在△ABC 中，若∠A>∠B，则 BC>AC；真命题.
否命题：在△ABC 中，若 BC≤AC，则∠A≤∠B；真命题.
逆否命题：在△ABC 中，若∠A≤∠B，则 BC≤AC；真命题.
(2)逆命题：若两个角的正弦值相等，则这两个角相等；假命题.
否命题：若两个角不相等，则这两个角的正弦值也不相等；假命题.
逆否命题：若两个角的正弦值不相等，则这两个角不相等；真命题.
【补偿训练】分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假.
(1)当 m> 时，mx2-x+1=0 无实根.
(2)当 abc=0 时，a=0 或 b=0 或 c=0.
【解析】(1)逆命题：当 mx2-x+1=0 无实根时，m> ；真命题；
否命题：当 m≤ 时，mx2-x+1=0 有实根；真命题；
逆否命题：当 mx2-x+1=0 有实根时，m≤ ；真命题.
(2)逆命题：当 a=0 或 b=0 或 c=0 时，abc=0；真命题；
否命题：当 abc≠0 时，a≠0 且 b≠0 且 c≠0；真命题；
逆否命题：当 a≠0 且 b≠0 且 c≠0 时，abc≠0；真命题.
(15 分钟 30 分)
一、选择题(每小题 5 分，共 10 分)
1.(2015·中山高二检测)下列判断中不正确的是 ( )
A.命题“若 A∩B=B，则 A∪B=A”的逆否命题为真命题
B.“矩形的两条对角线相等”的否命题为假命题
C.“已知 a，b，m∈R，若 am20”的否命题；
④“对顶角相等”的逆命题.
其中真命题的个数是 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】选 B.①的否命题为“若 x+y≠0，则 x，y 不互为相反数”为真命题.
②的逆否命题为“若 x2≤y2，则 x≤y”为假命题，如 x=0，y=-1 时，02≤(-1)2，但 0>-1.
③该命题的否命题为“若 x>3，则 x2-x-6≤0”，为假命题；
④该命题的逆命题是“相等的角是对顶角”，是假命题.
【拓展延伸】命题的四种形式及其真假的判断
(1)四种形式：写出命题的四种形式，需要确定原命题的条件和结论，交换条件与结论可得
到逆命题，否定条件与结论可得到否命题，既交换条件与结论，又否定条件与结论可得到逆
否命题.
(2)真假的判断：判断命题的真假时，需要结合命题所含的相关知识点进行推理判断，或用
举反例法说明是假命题.
二、填空题(每小题 5 分，共 10 分)
3.(2015 · 沈 阳 高 二 检 测 ) “ 若 a ∉ M 或 a ∉ P ， 则 a ∉ (M ∩ P) ” 的 逆 否 命 题 是
________________________.
【解析】命题“若 p，则 q”的逆否命题是“若 q，则 p”，题中“a∉M 或 a∉P”的否定是
“a∈M 且 a∈P”.
答案：若 a∈(M∩P)，则 a∈M 且 a∈P
【补偿训练】命题“若 a·b 不为零，则 a，b 都不为零向量”的逆否命题是____
_________________________.
【解析】逆否命题是“若 a，b 至少有一个为零向量，则 a·b 为零”.
答案：若 a，b 至少有一个为零向量，则 a·b 为零
4.命题“当 a>0 时，函数 y=ax+b 的值随 x 的增大而增大”的否命题是__________.
【解析】命题的条件是 x 增大，结论是函数 y=ax+b 的值增大，命题的否命题是：当 a>0 时，
若 x 不增大，则函数 y=ax+b 的值也不增大.
答案：当 a>0 时，若 x 不增大，则函数 y=ax+b 的值也不增大
【误区警示】原命题有两个条件：“a>0”和“x 增大”，其中“a>0”是前提，在写原命题、
逆命题、否命题、逆否命题时，把“a>0”置于“若”字的前面，把“x 增大”作为原命题
的条件，不能把“a>0”和“x 增大”都当成条件.
三、解答题
5.(10 分)(2015·苏州高二检测)在公比为 q 的等比数列{an}中，前 n 项的和为 Sn，若 Sm，Sm+2，
Sm+1 成等差数列，则 am，am+2，am+1 成等差数列.
(1)写出这个命题的逆命题.
(2)判断公比 q 为何值时，逆命题为真？公比 q 为何值时，逆命题为假？
【解题指南】解答本题首先需根据逆命题的概念正确写出逆命题，然后根据等差数列和等比
数列的性质判断何时为真命题，何时为假命题.
【解析】(1)逆命题：在公比为 q 的等比数列{an}中，前 n 项的和为 Sn，若 am，am+2，am+1 成
等差数列，则 Sm，Sm+2，Sm+1 成等差数列.
(2)由{an}为等比数列，所以 an≠0，q≠0.
由 am，am+2，am+1 成等差数列，得 2am+2=am+am+1，
所以 2am·q2=am+am·q，所以 2q2-q-1=0.
解得 q=- 或 q=1.
当 q=1 时，an=a1(n=1，2，…)，
所以 Sm+2=(m+2)a1，Sm=ma1，Sm+1=(m+1)a1，
因为 2(m+2)a1≠ma1+(m+1)a1，
即 2Sm+2≠Sm+Sm+1，
所以 Sm，Sm+2，Sm+1 不成等差数列.
即 q=1 时，原命题的逆命题为假命题.当 q=- 时，2Sm+2=2· ，
Sm+1= ，Sm= ，
所以 2Sm+2=Sm+1+Sm，
所以 Sm，Sm+2，Sm+1 成等差数列，
即 q=- 时，原命题的逆命题为真命题.
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