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课时提升作业(二十)
几个常用函数的导数
与基本初等函数的导数公式
(25 分钟 60 分)
一、选择题(每小题 5 分,共 25 分)
1.下列各式中正确的是 ( )
A.(lnx)′=x B.(cosx)′=sinx
C.(sinx)′=cosx D.(x-8)′=- x-9
【解析】选 C.因为(lnx)′= ,(cosx)′=-sinx,(x-8)′=-8x-9=- ,所以 A,B,D 均不正确,C
正确.
2.若 y=lnx,则其图象在 x=2 处的切线斜率是 ( )
A.1 B.0 C.2 D.
【解析】选 D.因为 y′= ,所以当 x=2 时,y′= ,故图象在 x=2 处的切线斜率为 .
3.(2015·西安高二检测)运动物体的位移 s=3t 2-2t+1,则此物体在 t=10 时的瞬时速度为
( )
A.281 B.58 C.85 D.10
【解析】选 B.因为 s=3t2-2t+1,所以 s′=6t-2.
当 t=10 时,s′=6×10-2=58.
即此物体在 t=10 时的瞬时速度为 58.
4.正弦曲线 y=sinx 上一点 P,以点 P 为切点的切线为直线 l,则直线 l 的倾斜角的范围是
( )
A. ∪ B..
所以直线 l 的斜率的范围是,
所以直线 l 倾斜角的范围是 ∪ .5.(2015·沈阳高二检测)已知 f(x)= ,则 f′(-1)= ( )
A. B.- C. D.-
【解题指南】先利用初等函数的求导公式求导,再求 f′(-1)的值.
【解析】选 D.因为 f(x)= = ,
所以 f′(x)=- ,
所以 f′(-1)=- (-1 =- .
二、填空题(每小题 5 分,共 15 分)
6.已知 f(x)=xa,a∈Q,若 f′(-1)=-4,则 a=________.
【解析】因为 f′(x)=axa-1,
所以 f′(-1)=a(-1)a-1=-4,所以 a=4.
答案:4
【补偿训练】y=xα在 x=1 处的切线方程为 y=-4x,则α的值为________.
【解析】y′=(xα)′=αxα-1,
由条件知,当 x=1 时,y′=-4,即α=-4.
答案:-4
7.(2015·长春高二检测)在曲线 y= 上求一点 P,使得曲线在该点处的切线的倾斜角为 135
°,则 P 点坐标为________.
【解析】设 P(x0,y0),因为 y′= ′=(4x-2)′=-8x-3,tan135°=-1,
所以-8 =-1.
解得 x0=2,y0= =1.
答案:(2,1)
8.曲线 y=cosx 在点 A 处的切线方程为________.
【解析】因为 y′=(cosx)′=-sinx,
所以当 x= 时,y′=-sin =- ,
所以在点 A 处的切线方程为 y- =- ,即 x+2y- - =0.答案:x+2y- - =0
三、解答题(每小题 10 分,共 20 分)
9.求下列函数的导数:
(1)y=x15.(2)y= .(3)y= .(4)y=10x.
【解析】(1)y′=(x15)′=15x14.
(2)y′= ′=(x-9)′=-9x-10=- .
(3)y′=( )′=( )′= = .
(4)y′=(10x)′=10xln10.
10.(2015·惠州高二检测)求过曲线 y=ex 上点 P(1,e)且与曲线在该点处的切线垂直的直线
方程.
【解题指南】先求出切线的斜率,再求出其垂线的斜率,进而得出直线方程.
【解析】因为 y′=ex,
所以曲线在点 P(1,e)处的切线斜率是 e,
所以过点 P 且与切线垂直的直线的斜率 k=- ,
所以所求直线方程为 y-e=- (x-1),
即 x+ey-e2-1=0.
【补偿训练】已知函数 y=asinx+b 的图象过点 A(0,0),B ,试求函数在原点处的切
线方程.
【解析】因为 y=asinx+b 的图象过点 A(0,0),B ,所以 解
得
所以 y=sinx.
又因为 y′=cosx,所以当 x=0 时,y′=1.
所以函数在原点处的切线方程为 y=x.
(20 分钟 40 分)
一、选择题(每小题 5 分,共 10 分)
1.(2015·惠州高二检测)下列函数求导正确的是 ( )A.(x2)′=x B. ′=-
C. ′= D.(ln3)′=
【解析】选 B.因为(x2)′=2x, ′=- ,
′= ,(ln3)′=0.所以 B 选项正确.
2.(2015·宝鸡高二检测)已知直线 y=kx 是曲线 y=ex 的切线,则实数 k 的值为
( )
A. B.- C.-e D.e
【解析】选 D.设切点为(x0, ).y′=ex,
当 x=x0 时,y′= ,
所以过切点的切线方程为 y- = (x-x0),
即 y= x+(1-x0) ,又 y=kx 是切线,
所以 所以
【延伸探究】若将本题中的曲线“y=ex”改为“y=lnx”,则实数 k= ( )
A. B.- C.-e D.e
【解析】选 A.设切点为(x 0,lnx0).y′= ,当 x=x 0 时,y′= ,所以过切点的切线方程为
y-lnx0= (x-x0),即 y= x+lnx0-1,
所以 所以
二、填空题(每小题 5 分,共 10 分)
3.(2015·西安高二检测)若函数 y=f(x)满足 f(x-1)=1-2x+x2,则 y′=
f′(x)=________.
【解题指南】先求出函数 y=f(x)的解析式,再进行求导.
【解析】因为 f(x-1)=1-2x+x2=(x-1)2,
所以 f(x)=x2,f′(x)=2x.
答案:2x4.(2015·梅州高二检测)设曲线 y=x n+1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与 x 轴的交点的横坐标
为 xn,令 an=lgxn,则 a1+a2+…+a99 的值为________.
【解析】y′=(n+1)xn,曲线在点(1,1)处的切线方程为 y-1=(n+1)(x-1),令 y=0,得 x= .
an=lgxn=lg =lgn-lg(n+1),
则 a1+a2+…+a99=lg1-lg2+lg2-lg3+…+lg99-lg100=-lg100=-2.
答案:-2
三、解答题(每小题 10 分,共 20 分)
5.求过点(2,0)且与曲线 y=x3 相切的直线方程.
【解题指南】先判断点是否在曲线上,然后根据具体情况求切线方程.
【解析】点(2,0)不在曲线 y=x3 上,可令切点坐标为(x0, ).y′=3x2 由题意,所求直线方程
的斜率 k= =3 ,即 =3 ,解得 x0=0 或 x0=3.
当 x0=0 时,切点坐标是(0,0),斜率 k=0,则所求直线方程是 y=0;
当 x0=3 时,切点坐标是(3,27),斜率 k=27,则所求直线方程是 y-27=27(x-3),即 27x-y-54=0.
综上,所求的直线方程为 y=0 或 27x-y-54=0.
【补偿训练】已知曲线 C:y=x3.
(1)求曲线 C 上点(1,1)处的切线方程.
(2)(1)中的切线与曲线 C 是否还有其他公共点?
【解析】(1)因为 y′=3x2,所以切线的斜率 k=3,所以切线方程为 y-1=3(x-1),即 3x-y-2=0.
(2)由 消去 y 得,3x-x3-2=0,
所以(x-1)2(x+2)=0,所以 x1=1,x2=-2.
所以(1)中的切线与曲线 C 还有其他公共点,为(-2,-8).
6.若曲线 y= 在点(a, )处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为 18,求实数 a
的值.
【解题指南】表示出过点(a, )与曲线相切的直线方程,用 a 表示出三角形的面积,解方
程求 a.
【解析】因为 y′=- · ,当 x=a 时,y′=- · ,
所以在点(a, )处的切线方程为(y- )=- · ·(x-a),令 x=0,得 y= ,令 y=0,
得 x=3a,所以 ×3a× =18,解得 a=64.
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