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课时提升作业(九)
椭圆及其标准方程
(25 分钟 60 分)
一、选择题(每小题 5 分，共 25 分)
1.椭圆 +y2=1 上一点 P 到一个焦点的距离为 2，则点 P 到另一个焦点的距离为
( )
A.5 B.6 C.7 D.8
【解析】选 D.因为 a=5，点 P 到一个焦点的距离为 2，所以点 P 到另一个焦点的距离为 2×
5-2=8.
2.(2015·珠海高二检测)椭圆 + =1 的焦点为 F1 和 F2，点 P 在椭圆上.如果线段 PF1 的中
点在 y 轴上，那么|PF1|是|PF2|的 ( )
A.7 倍 B.5 倍 C.4 倍 D.3 倍
【解析】选 A.不妨设 F1(-3，0)，F2(3，0)，由条件知 P ，即|PF2|= ，由椭
圆定义知|PF1|+|PF2|=2a=4 ，|PF1|= ，|PF2|= ，
即|PF1|=7|PF2|.
3.已知椭圆过点 P 和点 Q ，则此椭圆的标准方程是 ( )
A. +x2=1 B. +y2=1 或 x2+ =1
C. +y2=1 D.以上都不对
【解析】选 A.设椭圆方程为：Ax2+By2=1(A>0，B>0)，
由题意得 解得
4.若方程 x2+ky2=2 表示焦点在 y 轴上的椭圆，那么实数 k 的取值范围是 ( )
A.(0，+∞) B.(0，2)C.(1，+∞) D.(0，1)
【解析】选 D.先将方程 x2+ky2=2 变形为 + =1.
要使方程表示焦点在 y 轴上的椭圆，需 >2，
即 00，所以 m=4.
若椭圆的焦点在 y 轴上，
则 a2=m2，b2=25，由 a2=b2+c2，
所以 m2=25+9，
所以 m2=34，因为 m>0，所以 m= .
综上可得 m=4 或 m= .
答案：m=4 或 m=
【误区警示】忽视焦点位置，导致丢解
椭圆的焦点在哪个坐标轴上主要看标准方程中 x2 和 y2 项分母的大小，如果 x2 项的分母
大于 y2 项的分母，则椭圆的焦点在 x 轴上；反之，焦点在 y 轴上.由于本题中 x2 和 y2 项分
母的大小不确定，因此需要进行分类讨论.
【补偿训练】椭圆 + =1 的焦距等于 2，则 m 的值是________.
【解析】当焦点在 x 轴上时，m-15=1，m=16；当焦点在 y 轴上时，15-m=1，m=14.
答案：16 或 14
7.(2015·双鸭山高二检测)已知 F1，F2 是椭圆
C： + =1(a>b>0)的两个焦点，P 为椭圆 C 上的一点，
且 ⊥ ，若△PF1F2 的面积为 9，则 b=__________.
【解析】因为 ⊥ ，
所以 PF1⊥PF2，
因此|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2.
即(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|·|PF2|=|F1F2|2，
所以(2a)2-2|PF1|·|PF2|=(2c)2，
因此|PF1|·|PF2|=2b2.
由 = |PF1|·|PF2|=b2=9，所以 b=3.
答案：3
8.在平面直角坐标系 xOy 中，已知△ABC 顶点 A(-4，0)和 C(4，0)，顶点 B 在椭圆 + =1
上，则 =____________.
【解题指南】利用正弦定理求解.【解析】由题意知，A，C 为椭圆的两焦点，
则|AC|=8，|AB|+|BC|=10.
所以， = = = .
答案：
三、解答题(每小题 10 分，共 20 分)
9.求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)椭圆上一点 P(3，2)到两焦点的距离之和为 8.
(2)椭圆两焦点间的距离为 16，且椭圆上某一点到两焦点的距离分别等于 9 和 15.
【解析】(1)①若焦点在 x 轴上，
可设椭圆的标准方程为 + =1(a>b>0).
由题意知 2a=8，所以 a=4，
又点 P(3，2)在椭圆上，
所以 + =1，得 b2= .
所以椭圆的标准方程为 + =1.
②若焦点在 y 轴上，设椭圆的标准方程为：
+ =1(a>b>0)，
因为 2a=8，所以 a=4.
又点 P(3，2)在椭圆上，
所以 + =1，得 b2=12.
所以椭圆的标准方程为 + =1.
由①②知椭圆的标准方程为 + =1 或 + =1.
(2)由题意知，2c=16，2a=9+15=24，
所以 a=12，c=8，
所以 b2=80.
又焦点可能在 x 轴上，也可能在 y 轴上，所以所求方程为
+ =1 或 + =1.
10.已知圆 B：(x+1)2+y2=16 及点 A(1，0)，C 为圆 B 上任意一点，求 AC 的垂直平分线 l 与
线段 CB 的交点 P 的轨迹方程.
【解题指南】利用椭圆定义先判断 P 的轨迹是椭圆.
【解析】如图所示，连接 AP，
因为 l 垂直平分 AC，所以|AP|=|CP|，
所以|PB|+|PA|=|BP|+|PC|=4.
所以 P 点的轨迹是以 A，B 为焦点的椭圆.
因为 2a=4，2c=|AB|=2，
所以 a=2，c=1，b2=a2-c2=3.
所以点 P 的轨迹方程为 + =1.
(20 分钟 40 分)
一、选择题(每小题 5 分，共 10 分)
1.(2015·长春高二检测)在△ABC 中，B(-2，0)，C(2，0)，A(x，y)，给出△ABC 满足的条
件，就能得到动点 A 的轨迹方程，下表给出了一些条件及方程：
条件 方程①△ABC 周长为 10 C1：y2=25
②△ABC 面积为 10 C2：x2+y2=4(y≠0)
③△ABC 中，∠A=90° C3： + =1(y≠0)
则满足条件①②③的点 A 轨迹方程按顺序分别是 ( )
A.C3，C1，C2 B.C2，C1，C3
C.C1，C3，C2 D.C3，C2，C1
【解题指南】根据条件逐一判断轨迹形状.
【解析】选 A.当△ABC 的周长为常数时，顶点 A 到点 B，C 的距离之和为常数，所以轨迹为
椭圆；当△ABC 的面积为常数时，顶点 A 到直线 BC 的距离为常数，所以轨迹为平行于 BC 的
两条直线；当△ABC 中∠A=90°时，轨迹是以线段 BC 为直径的圆，故选 A.
2.设α∈ ，方程 x2sinα+y2cosα=1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则α的取值范围是
( )
A. B.
C. D.
【解析】选 C.由题意可知 < ，
所以 sinα>cosα>0，
又因为α∈ ，解得 b>0)的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1 的直线交椭圆 E 于 A，B 两
点，满足|AF1|=2|F1B|，且|AB|=3，△ABF2 的周长为 12.
(1)求|AF2|.
(2)若 cos∠F1AF2=- ，求椭圆 E 的方程.
【解析】(1)|AF1|=2|F1B|，|AB|=3，
所以|AF1|=2，|F1B|=1.
因为 4a=12，所以 a=3，
所以|AF1|+|AF2|=6，所以|AF2|=4.
(2)因为|AF1|=2，|AF2|=4，cos∠F1AF2=- ，
所以|F1F2|= =2 ，
所以 c= ，b2=a2-c2=3，
所以椭圆 E 的方程为 + =1.
6.(2015·南京高二检测)设 F1，F2 分别是椭圆 +y2=1 的两焦点，B 为椭圆上的点且坐标为
(0，-1).
(1)若 P 是该椭圆上的一个动点，求| |·| |的最大值.
(2)若 C 为椭圆上异于 B 的一点，且 =λ ，求λ的值.
【解析】(1)因为椭圆的方程为 +y2=1，
所以 a=2，b=1，c= ，
即|F1F2|=2 ，
又因为|PF1|+|PF2|=2a=4，所以|PF1|·|PF2|≤ = =4，
当且仅当|PF1|=|PF2|=2 时取“=”，
所以|PF1|·|PF2|的最大值为 4，
即| |·| |的最大值为 4.
(2)设 C(x0，y0)，B(0，-1)，F1(- ，0)，
由 =λ 得 x0= ，y0=- .
又 + =1，所以有λ2+6λ-7=0，
解得λ=-7 或λ=1，又 与 方向相反，故λ=1 舍去，λ=-7.
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