《第三章 整式及其加减》章末测试卷
一、单选题
1．（3 分）（2018•齐齐哈尔）我们知道，用字母表示的代数式是具有一般意义的，
请仔细分析下列赋予 3a 实际意义的例子中不正确的是（ ）
A．若葡萄的价格是 3 元/千克，则 3a 表示买 a 千克葡萄的金额
B．若 a 表示一个等边三角形的边长，则 3a 表示这个等边三角形的周长
C．将一个小木块放在水平桌面上，若 3 表示小木块与桌面的接触面积，a 表
示桌面受到的压强，则 3a 表示小木块对桌面的压力
D．若 3 和 a 分别表示一个两位数中的十位数字和个位数字，则 3a 表示这个
两位数
2．（3 分）（2018•大庆）某商品打七折后价格为 a 元，则原价为（ ）
A．a 元 B． a 元 C．30%a 元 D． a 元
3．（3 分）（2018•荆州）下列代数式中，整式为（ ）
A．x+1 B． C． D．
4．（2018•包头）如果 2xa+1y 与 x2yb﹣1 是同类项，那么 的值是（ ）
A． B． C．1 D．3
5．（3 分）计算 2m2n﹣3m2n 的结果为（ ）
A．﹣1 B．﹣ C．﹣m2n D．﹣6m4n2
6．（3 分）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把 1，3，6，10 …这样的数称为“三角形
数”，而把 1，4，9，16 …这样的数称为“正方数”． 从图中可以发现，任何一个
大于 1 的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．下列等式中，符合这
一规律的是（ ）
A．20=6+14 B．25=9+16 C．36=16+20 D．49=21+287．（3 分）已知整式 的值为 6，则 2x2﹣5x+6 的值为（ ）
A．9 B．12 C．18 D．24
8．（3 分）将正偶数按下表排成 5 列：
根据上面的排列规律，则 2000 应在（ ）
A．第 125 行，第 1 列 B．第 125 行，第 2 列
C．第 250 行，第 1 列 D．第 250 行，第 2 列
9．（3 分）请观察“杨辉三角”图，并根据数表中前五行的数字所反映的规律，推
算出第九行正中间的数应是（ ）
A．58 B．70 C．84 D．126
10．（3 分）（2018•随州）我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别称作
“三角形数”（如 1，3，6，10…）和“正方形数”（如 1，4，9，16…），在
小于 200 的数中，设最大的“三角形数”为 m，最大的“正方形数”为 n，
则 m+n 的值为（ ）
A．33 B．301 C．386 D．571
二、填空题
11．（3 分）一个自然数的立方，可以分裂成若干个连续奇数的和．例如：23，33和 43 分别可以按如图所示的方式“分裂”成 2 个、3 个和 4 个连续奇数的和，即
23=3+5；33=7+9+11；43=13+15+17+19；…；若 63 也按照此规律来进行“分裂”，
则 63“分裂”出的奇数中，最大的奇数是 ．
12．（3 分）若 a2+a=0，则 2a2+2a+2019= ．
13．（3 分）如图是与杨辉三角有类似性质的﹣三角形数垒，a、b、c、d 是相邻
两行的前四个数（如图所示），那么当 a=8 时，c= ，d= ．
14．（3 分）已知 a 与 l﹣2b 互为相反数，则代数式 2a﹣4b﹣3 的值是 ．
15．（3 分）观察下列各式：
（x﹣1）（x+1）=x2﹣1
（x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1
（x﹣1）（x3+x2+x+1）=x4﹣1，
根据前面各式的规律可得（x﹣1）（x n+xn﹣1 +…+x+1）= （其中 n 为正整
数）．
16．（3 分）在 2001、2002、…、2010 这 10 个数中，不能表示成两个平方数差的
数有 个．
17．（3 分）对整数按以下方法进行加密：每个数位上的数字变为与 7 乘积的个
位数字，再把每个数位上的数字 a 变为 10﹣a．如果一个数按照上面的方法加密
后为 473392，则该数为 ．
18．（3 分）若 x2﹣3x+1=0，则 的值为 ．
19．（3 分）有若干张如图所示的正方形 A 类、B 类卡片和长方形 C 类卡片，如
果要拼成一个长为（3a+b），宽为（a+2b）的大长方形，则需要 C 类卡片 张．
20．（3 分）若：A32=3×2=6，A53=5×4×3=60，A54=5×4×3×2=120，A64=6×5×
4×3=360，…，观察前面计算过程，寻找计算规律计算
A73= （直接写出计算结果），并比较 A103 A104（填“＞”或“＜”或“=”）
三、解答题
21．研究下列算式，你会发现有什么规律？
①13=12
②13+23=32
③13+23+33=62
④13+23+33+43=102
⑤13+23+33+43+53=152…
（1）根据以上算式的规律，请你写出第⑥个算式；
（2）用含 n（n 为正整数）的式子表示第 n 个算式；
（3）请用上述规律计算：73+83+93+…+203．
22．图 1 是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面﹣层有一个圆圈，以下各层均比上﹣层多一个圆圈，一共堆了 n 层．将图 1 倒置后与原图 1
拼成图 2 的形状，这样我们可以算出图 1 中所有圆圈的个数为 1+2+3+…+n=
．
如果图 1 中的圆圈共有 12 层，
（1）我们自上往下，在每个圆圈中都按图 3 的方式填上一串连续的正整数 1，
2，3，4，…，则最底层最左边这个圆圈中的数是 ；
（2）我们自上往下，在每个圆圈中都按图 4 的方式填上一串连续的整数﹣23，﹣
22，﹣21，…，求图 4 中所有圆圈中各数的绝对值之和．
23．如图，学校准备新建一个长度为 L 的读书长廊，并准备用若干块带有花纹和
没有花纹的两种规格大小相同的正方形地面砖搭配在一起，按图中所示的规律拼
成图案铺满长廊，已知每个小正方形地面砖的边长均为 0.3m．
（1）按图示规律，第一图案的长度 L1= 0.9 ；第二个图案的长度 L2= 1.5 ；
（2）请用代数式表示带有花纹的地面砖块数 n 与走廊的长度 Ln（m）之间的关
系；
（2）当走廊的长度 L 为 30.3m 时，请计算出所需带有花纹图案的瓷砖的块数．24．在计算 1+4+7+10+13+16+19+22+25+28 时，我们发现，从第一个数开始，后
面的每个数与它的前面一个数的差都是一个相等的常数，具有这种规律的一列数，
除了直接相加外，我们还可以用下列公式来求和 S，S= （其中 n 表示
数 的 个 数 ， a1 表 示 第 一 个 数 ， an 表 示 最 后 一 个 数 ）， 所 以
1+4+7+10+13+16+19+22+25+28= =145．用上面的知识解答下面问题：某
公司对外招商承包一分公司，符合条件的两企业 A、B 分别拟定上缴利润方案如
下：A：每年结算一次上缴利润，第一年上缴 1.5 万元，以后每年比前一年增加 1
万元：B：每半年结算一次上缴利润，第一个半年上缴 0.3 万元，以后每半年比
前半年增加 0.3 万元．
（1）如果承包期限为 4 年，请你通过计算，判断哪家企业上缴利润的总金额多？
（2）如果承包期限为 n 年，试用 n 的代数式分别表示两企业上缴利润的总金
额．（单位：万元）
25．2（3x2﹣2xy+4y2）﹣3（2x2﹣xy+2y2） 其中 x=2，y=1．26．有足够多的长方形和正方形卡片，如下图：
（1）如果选取 1 号、2 号、3 号卡片分别为 1 张、2 张、3 张，可拼成一个长方
形（不重叠无缝隙），请画出这个长方形的草图，并运用拼图前后面积之间的关
系说明这个长方形的代数意义．
这个长方形的代数意义是 ．
（2）小明想用类似方法解释多项式乘法（a+3b）（2a+b）=2a2+7ab+3b2，那么需
用 2 号卡片 张，3 号卡片 张．
27．（5 分）化简，求值：
①3（x2﹣2xy）﹣[3x2﹣2y﹣2（3xy+y）]
②已知 A=3a2+b2﹣5ab，B=2ab﹣3b2+4a2，先求﹣B+2A，并求当 a=﹣ ，b=2 时，﹣
B+2A 的值．28．某商场将进货价为 30 元的台灯以 40 元的销售价售出，平均每月能售出 600
个．市场调研表明：当销售价每上涨 1 元时，其销售量就将减少 10 个．若设每
个台灯的销售价上涨 a 元．
（1）试用含 a 的代数式填空：
①涨价后，每个台灯的销售价为 元；
②涨价后，每个台灯的利润为 元；
③涨价后，商场的台灯平均每月的销售量为 台．
（2）如果商场要想销售利润平均每月达到 10000 元，商场经理甲说“在原售价每
台 40 元的基础上再上涨 40 元，可以完成任务”，商场经理乙说“不用涨那么多，
在原售价每台 40 元的基础上再上涨 10 元就可以了”，试判断经理甲与乙的说法
是否正确，并说明理由．
29．（1）拼一拼，画一画：
请你用 4 个长为 a，宽为 b 的矩形拼成一个大正方形，并且正中间留下一个洞，
这个洞恰好是一个小正方形．
（2）用不同方法计算中间的小正方形的面积，聪明的你能发现什么？
（3）当拼成的这个大正方形边长比中间小正方形边长多 3cm 时，它的面积就多
24cm2，求中间小正方形的边长．30．下图的数阵是由全体奇数排成：
（1）图中平行四边形框内的九个数之和与中间的数有什么关系？
（2）在数阵图中任意作一类似（1）中的平行四边形框，这九个数之和还有这种
规律吗？请说出理由；
（3）这九个数之和能等于 1998 吗？2019，1017 呢？若能，请写出这九个数中
最小的一个；若不能，请说出理由．参考答案
一、单选题
1．（3 分）（2018•齐齐哈尔）我们知道，用字母表示的代数式是具有一般意义的，
请仔细分析下列赋予 3a 实际意义的例子中不正确的是（ ）
A．若葡萄的价格是 3 元/千克，则 3a 表示买 a 千克葡萄的金额
B．若 a 表示一个等边三角形的边长，则 3a 表示这个等边三角形的周长
C．将一个小木块放在水平桌面上，若 3 表示小木块与桌面的接触面积，a 表
示桌面受到的压强，则 3a 表示小木块对桌面的压力
D．若 3 和 a 分别表示一个两位数中的十位数字和个位数字，则 3a 表示这个
两位数
【考点】31：代数式．
【专题】1：常规题型；512：整式．
【分析】分别判断每个选项即可得．
【解答】解：A、若葡萄的价格是 3 元/千克，则 3a 表示买 a 千克葡萄的金额，
正确；
B、若 a 表示一个等边三角形的边长，则 3a 表示这个等边三角形的周长，正确；
C、将一个小木块放在水平桌面上，若 3 表示小木块与桌面的接触面积，a 表示
桌面受到的压强，则 3a 表示小木块对桌面的压力，正确；
D、若 3 和 a 分别表示一个两位数中的十位数字和个位数字，则 30+a 表示这个
两位数，此选项错误；
故选：D．
【点评】本题主要考查代数式，解题的关键是掌握代数式的书写规范和实际问题
中数量间的关系．
2．（3 分）（2018•大庆）某商品打七折后价格为 a 元，则原价为（ ）
A．a 元 B． a 元 C．30%a 元 D． a 元
【考点】32：列代数式．
【专题】1：常规题型．【分析】直接利用打折的意义表示出价格进而得出答案．
【解答】解：设该商品原价为：x 元，
∵某商品打七折后价格为 a 元，
∴原价为：0.7x=a，
则 x a（元）．
故选：B．
【点评】此题主要考查了列代数式，正确表示出打折后价格是解题关键．
3．（3 分）（2018•荆州）下列代数式中，整式为（ ）
A．x+1 B． C． D．
【考点】41：整式．
【专题】1：常规题型．
【分析】直接利用整式、分式、二次根式的定义分析得出答案．
【解答】解：A、x+1 是整式，故此选项正确；
B、 ，是分式，故此选项错误；
C、 是二次根式，故此选项错误；
D、 ，是分式，故此选项错误；
故选：A．
【点评】此题主要考查了整式、分式、二次根式的定义，正确把握相关定义是解
题关键．
4．（2018•包头）如果 2xa+1y 与 x2yb﹣1 是同类项，那么 的值是（ ）
A． B． C．1 D．3
【考点】34：同类项． 【专题】11：计算题．
【分析】根据同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，可得出 a、
b 的值，然后代入求值．
【解答】解：∵2xa+1y 与 x2yb﹣1 是同类项，
∴a+1=2，b﹣1=1，
解得 a=1，b=2．
∴ ．
故选：A．
【点评】此题考查了同类项的知识，属于基础题，掌握同类项所含字母相同，并
且相同字母的指数也相同，是解答本题的关键．
5．（3 分）计算 2m2n﹣3m2n 的结果为（ ）
A．﹣1 B．﹣ C．﹣m2n D．﹣6m4n2
【考点】合并同类项．
【专题】计算题．
【分析】根据合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字
母和字母的指数不变计算即可．
【解答】解：2m2n﹣3m2n=（2﹣3）m2n=﹣m2n．
故选 C．
【点评】本题考查了合并同类项的法则，解题时牢记法则是关键，此题比较简单，
易于掌握．
6．（3 分）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把 1，3，6，10 …这样的数称为“三角形
数”，而把 1，4，9，16 …这样的数称为“正方数”． 从图中可以发现，任何一个
大于 1 的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．下列等式中，符合这
一规律的是（ ）
A．20=6+14 B．25=9+16 C．36=16+20 D．49=21+28
【考点】规律型：数字的变化类． 【专题】压轴题；规律型．
【分析】本题考查探究、归纳的数学思想方法．题中明确指出：任何一个大于 1
的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．由于“正方形数”为两个“三角
形数”之和，正方形数可以用代数式表示为：（n+1）2，两个三角形数分别表示
为 n（n+1）和 （n+1）（n+2），所以由正方形数可以推得 n 的值，然后求得
三角形数的值．
【解答】解：根据规律：正方形数可以用代数式表示为：（n+1）2，
两个三角形数分别表示为 n（n+1）和 （n+1）（n+2），
只有 D、49=21+28 符合，
故选 D．
【点评】本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的
题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．
7．（3 分）已知整式 的值为 6，则 2x2﹣5x+6 的值为（ ）
A．9 B．12 C．18 D．24
【考点】代数式求值．
【专题】压轴题；整体思想．
【分析】观察题中的两个代数式，可以发现，2x2﹣5x=2（ ），因此可整
体求出式 的值，然后整体代入即可求出所求的结果．
【解答】解：∵ =6
∴2x2﹣5x+6=2（ ）+6
=2×6+6=18，故选 C．
【点评】代数式中的字母表示的数没有明确告知，而是隐含在题设中，首先应从
题设中获取代数式 的值，然后利用“整体代入法”求代数式的值．
8．（3 分）将正偶数按下表排成 5 列： 根据上面的排列规律，则 2000 应在（ ）
A．第 125 行，第 1 列 B．第 125 行，第 2 列
C．第 250 行，第 1 列 D．第 250 行，第 2 列
【考点】规律型：数字的变化类．
【分析】根据题意得到每一行是 4 个偶数，奇数行从第 2 列往后排，偶数行从第
4 列往前排，然后用 2000 除以 2 得到 2000 是第 1000 个偶数，再用 1000÷4 得
250，于是可判断 2000 在第几行第几列．
【解答】解：因为 2000÷2=1000，
所以 2000 是第 1000 个偶数，
而 1000÷4=250，
第 1000 个偶数是 250 行最大的一个，
偶数行的数从第 4 列开始向前面排，
所以第 1000 个偶数在第 1 列，
所以 2000 应在第 250 行第一列．
答：在第 250 行第 1 列．
故选：C．
【点评】本题考查了关于数字的变化规律：先要观察各行各列的数字的特点，得
出数字排列的规律，然后确定所给数字的位置．
9．（3 分）请观察“杨辉三角”图，并根据数表中前五行的数字所反映的规律，推
算出第九行正中间的数应是（ ）
A．58 B．70 C．84 D．126【考点】规律型：数字的变化类．
【专题】规律型．
【分析】第一行有 1 个数，第二行有 2 个数，那么第 9 行就有 9 个数，偶数行中
间的两个数是相等的．第九行正中间的数应是第九行的第 5 个数．应该=第 8 行
第 4 个数+第 8 行第 5 个数=2×第 8 行第 4 个数=2×（第 7 行第 3 个数+第 7 行
第 4 个数）=2×[（第 6 行第 2 个数+第 6 行第 3 个数）+（第 6 行第 3 个数+第 6
行第 4 个数）]=2×（第 6 行第 2 个数+2 第 6 行第 3 个数+第 6 行第 4 个数）=2
×[5+2×（第 5 行第 2 个数+第 5 行第 3 个数）+（第 5 行第 3 个数+第 5 行第 4
个数）]=2×[5+2×（4+6）+6+4]=70．
【解答】解：2×[5+2×（4+6）+6+4]=70．
故选 B．
【点评】杨辉三角最本质的特征是：它的两条斜边都是由数字 1 组成的，而其余
的数则是等于它肩上的两个数之和．
10．（3 分）（2018•随州）我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别称作
“三角形数”（如 1，3，6，10…）和“正方形数”（如 1，4，9，16…），在
小于 200 的数中，设最大的“三角形数”为 m，最大的“正方形数”为 n，
则 m+n 的值为（ ）
A．33 B．301 C．386 D．571
【考点】37：规律型：数字的变化类．
【专题】2A：规律型；51：数与式．
【分析】由图形知第 n 个三角形数为 1+2+3+…+n ，第 n 个正方形数为n2，据此得出最大的三角形数和正方形数即可得．
【解答】解：由图形知第 n 个三角形数为 1+2+3+…+n ，第 n 个正方形
数为 n2，
当 n=19 时， 190＜200，当 n=20 时， 210＞200，
所以最大的三角形数 m=190；
当 n=14 时，n2=196＜200，当 n=15 时，n2=225＞200，
所以最大的正方形数 n=196，
则 m+n=386，
故选：C．
【点评】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是由图形得出第 n 个三角形
数为 1+2+3+…+n ，第 n 个正方形数为 n2．
二、填空题
11．（3 分）一个自然数的立方，可以分裂成若干个连续奇数的和．例如：23，33
和 43 分别可以按如图所示的方式“分裂”成 2 个、3 个和 4 个连续奇数的和，即
23=3+5；33=7+9+11；43=13+15+17+19；…；若 63 也按照此规律来进行“分裂”，
则 63“分裂”出的奇数中，最大的奇数是 41 ．
【考点】规律型：数字的变化类．
【专题】压轴题；规律型．
【分析】首先发现奇数的个数与前面的底数相同，再得出每一组分裂中的第一个
数是底数×（底数﹣1）+1，问题得以解决．
【解答】解：由 23=3+5，分裂中的第一个数是：3=2×1+1，
33=7+9+11，分裂中的第一个数是：7=3×2+1，
43=13+15+17+19，分裂中的第一个数是：13=4×3+1，53=21+23+25+27+29，分裂中的第一个数是：21=5×4+1，
63=31+33+35+37+39+41，分裂中的第一个数是：31=6×5+1，
所以 63“分裂”出的奇数中最大的是 6×5+1+2×（6﹣1）=41．
故答案为：41．
【点评】本题是对数字变化规律的考查，找出分裂的第一个数的变化规律是解题
的关键，也是求解的突破口．
12．（3 分）若 a2+a=0，则 2a2+2a+2019= 2019 ．
【考点】代数式求值．
【专题】计算题．
【分析】把代数式化为 2（a2+a）+2019，把 a2+a=0 代入求出即可．
【解答】解：∵a2+a=0，
∴2a2+2a+2019
=2（a2+a）+2019
=2×0+2019
=2019．
【点评】本题考查了求代数式的值的应用，注意：把 a2+a 当作一个整体进行代
入，题目比较典型，难度也不大．
13．（3 分）如图是与杨辉三角有类似性质的﹣三角形数垒，a、b、c、d 是相邻
两行的前四个数（如图所示），那么当 a=8 时，c= 9 ，d= 37 ．
【考点】规律型：数字的变化类．
【专题】压轴题；图表型．
【分析】观察发现：第 n 行的第一个数和行数相等，第二个数是 1+1+2+…+n﹣1=
+1．所以当 a=8 时，则 c=9，d=9×4+1=37．【解答】解：当 a=8 时，c=9，d=9×4+1=37．
【点评】本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的
规律，并应用发现的规律解决问题．此题要根据已知的数据发现各行的第一个数
和第二个数的规律．
14．（3 分）已知 a 与 l﹣2b 互为相反数，则代数式 2a﹣4b﹣3 的值是 ﹣5 ．
【考点】相反数；代数式求值．
【专题】整体思想．
【分析】根据相反数的意义得出 a+1﹣2b=0，求出 a﹣2b 的值，变形后代入即
可．
【解答】解：∵a 与 l﹣2b 互为相反数，
∴a+1﹣2b=0，
∴a﹣2b=﹣1，
∴2a﹣4b﹣3=2（a﹣2b）﹣3=2×（﹣1）﹣3=﹣5．
故答案为：﹣5．
【点评】本题考查了相反数的意义和代数式求值的应用，根据相反数的意义求出
a+2b 的值，把 a+2b 当作一个整体，即整体思想的应用．
15．（3 分）观察下列各式：
（x﹣1）（x+1）=x2﹣1
（x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1
（x﹣1）（x3+x2+x+1）=x4﹣1，
根据前面各式的规律可得（x﹣1）（xn+xn﹣1+…+x+1）= xn+1﹣1 （其中 n 为正
整数）．
【考点】平方差公式．
【专题】压轴题；规律型．
【分析】观察其右边的结果：第一个是 x2﹣1；第二个是 x3﹣1；…依此类推，则
第 n 个的结果即可求得．
【解答】解：（x﹣1）（xn+xn﹣1+…x+1）=xn+1﹣1．故答案为：xn+1﹣1．
【点评】本题考查了平方差公式，发现规律：右边 x 的指数正好比前边 x 的最高
指数大 1 是解题的关键．
16．（3 分）在 2001、2002、…、2010 这 10 个数中，不能表示成两个平方数差的
数有 3 个．
【考点】完全平方数．
【专题】创新题型．
【分析】首先将符合条件的整数分解成两整数的和与这两整数的差的积，再由整
数的奇偶性，判断这个符合条件的整数，是奇数或是能被 4 整除的数，从而找出
符合条件的整数的个数．在 2001、2002、…、2010 这 10 个数中，奇数有 5 个，
能被 4 整除的有 2 个，所以不能表示成两个平方数差的数有 10﹣5﹣2=3 个．
【解答】解：对 x=n2﹣m2=（n+m）（n﹣m），（m＜n，m，n 为整数）
因为 n+m 与 n﹣m 同奇同偶，所以 x 是奇数或是 4 的倍数，
在 2001、2002、…、2010 这 10 个数中，奇数有 5 个，能被 4 整除的数有 2 个，
所以能表示成两个平方数差的数有 5+2=7 个，
则不能表示成两个平方数差的数有 10﹣7=3 个．
故答案为：3．
【点评】本题考查了平方差公式的实际运用，使学生体会到平方差公式在判断数
的性质方面的作用．
17．（3 分）对整数按以下方法进行加密：每个数位上的数字变为与 7 乘积的个
位数字，再把每个数位上的数字 a 变为 10﹣a．如果一个数按照上面的方法加密
后为 473392，则该数为 891134 ．
【考点】数的十进制．
【专题】数字问题；新定义．
【分析】根据题意算出从 0 到 9 加密后对应的数字，根据所给加密后的数字可得
原数．
【解答】解：对于任意一个数位数字（0﹣9），经加密后对应的数字是唯一的．规律如下：
例如数字 4，4 与 7 相乘的末位数字是 8，再把 8 变 2，也就是说 4 对应的是 2；
同理可得：1 对应 3，2 对应 6，3 对应 9，4 对应 2，5 对应 5，6 对应 8，7 对应
1，8 对应 4，9 对应 7，0 对应 0；
∴如果加密后的数为 473392，那么原数是 891134，
故答案为 891134．
【点评】考查新定义后数字的规律；得到加密数字与原数字的对应规律是解决本
题的关键．
18．（3 分）若 x2﹣3x+1=0，则 的值为 ．
【考点】分式的化简求值．
【专题】压轴题．
【分析】将 x2﹣3x+1=0 变换成 x2=3x﹣1 代入 逐步降低 x 的次数出现公
因式，分子分母同时除以公因式．
【解答】解：由已知 x2﹣3x+1=0 变换得 x2=3x﹣1
将 x2=3x﹣1 代入 = = = =
= =
故答案为 ．
【点评】解本类题主要是将未知数的高次逐步降低，从而求解．代入时机比较灵
活
19．（3 分）有若干张如图所示的正方形 A 类、B 类卡片和长方形 C 类卡片，如
果要拼成一个长为（3a+b），宽为（a+2b）的大长方形，则需要 C 类卡片 7
张．【考点】多项式乘多项式．
【分析】计算出长为（3a+b），宽为（a+2b）的大长方形的面积，再分别得出 A、
B、C 卡片的面积，即可看出应当需要各类卡片多少张．
【解答】解：长为（3a+b），宽为（a+2b）的大长方形的面积为：（3a+b）
（a+2b）=3a2+2b2+7ab；
A 卡片的面积为：a×a=a2；
B 卡片的面积为：b×b=b2；
C 卡片的面积为：a×b=ab；
因此可知，拼成一个长为（3a+b），宽为（a+2b）的大长方形，
需要 3 块 A 卡片，2 块 B 卡片和 7 块 C 卡片．
故答案为：7．
【点评】本题考查了多项式乘法，此题的立意较新颖，注意对此类问题的深入理
解．
20．（3 分）若：A32=3×2=6，A53=5×4×3=60，A54=5×4×3×2=120，A64=6×5×
4×3=360，…，观察前面计算过程，寻找计算规律计算
A73= 210 （直接写出计算结果），并比较 A103 ＜ A104（填“＞”或“＜”或“=”）
【考点】规律型：数字的变化类．
【专题】压轴题；规律型．
【分析】对于 Aab（b＜a）来讲，等于一个乘法算式，其中最大因数是 a，依次
少 1，最小因数是 a﹣b．依此计算即可．
【解答】解：A73=7×6×5=210；
∵A103=10×9×8=720，A104=10×9×8×7=5040．
∴A103＜A104．
故答案为：210；＜．
【点评】本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的
题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．注意找到 Aab（b＜a）中的最大因数，最小因数．
三、解答题
21．研究下列算式，你会发现有什么规律？
①13=12
②13+23=32
③13+23+33=62
④13+23+33+43=102
⑤13+23+33+43+53=152…
（1）根据以上算式的规律，请你写出第⑥个算式；
（2）用含 n（n 为正整数）的式子表示第 n 个算式；
（3）请用上述规律计算：73+83+93+…+203．
【考点】规律型：数字的变化类．
【专题】规律型．
【分析】（1）利用类比的方法得到第⑥个算式为 13+23+33+43+53+63=212；
（ 2 ） 同 样 利 用 类 比 的 方 法 得 到 第 n 个 算 式 为
；
（3）将 73+83+93+…+203 转化为（13+23+33+43+…+203）﹣（13+23+33+43+53+63）后
代入总结的规律求解即可．
【解答】解：（1）第⑥个算式为 13+23+33+43+53+63=212；
（2）第 n 个算式为 ；
（3）73+83+93+…+203
=（13+23+33+43+…+203）﹣（13+23+33+43+53+63）
=
=44100﹣441=43659．
【点评】本题考查了数字的变化类问题，仔细观察每个算式得到本题的通项公式是解决此题的关键．
22．图 1 是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面﹣层有一个
圆圈，以下各层均比上﹣层多一个圆圈，一共堆了 n 层．将图 1 倒置后与原图 1
拼成图 2 的形状，这样我们可以算出图 1 中所有圆圈的个数为 1+2+3+…+n=
．
如果图 1 中的圆圈共有 12 层，
（1）我们自上往下，在每个圆圈中都按图 3 的方式填上一串连续的正整数 1，
2，3，4，…，则最底层最左边这个圆圈中的数是 ；
（2）我们自上往下，在每个圆圈中都按图 4 的方式填上一串连续的整数﹣23，﹣
22，﹣21，…，求图 4 中所有圆圈中各数的绝对值之和．
【考点】规律型：数字的变化类．
【专题】规律型．
【分析】（1）12 层时最底层最左边这个圆圈中的数是 11 层的数字之和再加 1；
（2）首先计算圆圈的个数，从而分析出 23 个负数后，又有多少个正数．
【解答】解：（1）1+2+3+…+11+1=6×11+1=67；
（2）图 4 中所有圆圈中共有 1+2+3+…+12= =78 个数，其中 23 个负数，
1 个 0，54 个正数，
所 以 图 4 中 所 有 圆 圈 中 各 数 的 绝 对 值 之 和 =| ﹣ 23|+| ﹣ 22|+…+| ﹣
1|+0+1+2+…+54=（1+2+3+…+23）+（1+2+3+…+54）=276+1485=1761．
另解：第一层有一个数，第二层有两个数，同理第 n 层有 n 个数，故原题中
1+2+．+11 为 11 层数的个数即为第 11 层最后的圆圈中的数字，加上 1 即为 12
层的第一个数字．
【点评】本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．注意连续整数相加的时候的这种简便计算方
法：1+2+3+…+n= ．
23．如图，学校准备新建一个长度为 L 的读书长廊，并准备用若干块带有花纹和
没有花纹的两种规格大小相同的正方形地面砖搭配在一起，按图中所示的规律拼
成图案铺满长廊，已知每个小正方形地面砖的边长均为 0.3m．
（1）按图示规律，第一图案的长度 L1= 0.9 ；第二个图案的长度 L2= 1.5 ；
（2）请用代数式表示带有花纹的地面砖块数 n 与走廊的长度 Ln（m）之间的关
系；
（2）当走廊的长度 L 为 30.3m 时，请计算出所需带有花纹图案的瓷砖的块数．
【考点】规律型：图形的变化类．
【专题】计算题．
【分析】（1）观察题目中的已知图形，可得前两个图案中有花纹的地面砖分别有：
1，2 个，第二个图案比第一个图案多 1 个有花纹的地面砖，所以可得第 n 个图
案有花纹的地面砖有 n 块；第一个图案边长 3×0.3=L，第二个图案边长 5×
0.3=L，
（2）由（1）得出则第 n 个图案边长为 L=（2n+1）×0.3；
（3）根据（2）中的代数式，把 L 为 30.3m 代入求出 n 的值即可．
【解答】解：（1）第一图案的长度 L1=0.3×3=0.9，第二个图案的长度 L2=0.3×
5=1.5；
故答案为：0.9，1.5；
（2）观察可得：第 1 个图案中有花纹的地面砖有 1 块，第 2 个图案中有花纹的
地面砖有 2 块，…
故第 n 个图案中有花纹的地面砖有 n 块；
第一个图案边长 L=3×0.3，第二个图案边长 L=5×0.3，则第 n 个图案边长为 L=（2n+1）×0.3；
（3）把 L=30.3 代入 L=（2n+1）×0.3 中得：
30.3=（2n+1）×0.3，
解得：n=50，
答：需要 50 个有花纹的图案．
【点评】此题考查了平面图形的有规律变化，以及一元一次方程的应用，要求学
生通过观察图形，分析、归纳发现其中的规律，并应用规律解决问题．
24．在计算 1+4+7+10+13+16+19+22+25+28 时，我们发现，从第一个数开始，后
面的每个数与它的前面一个数的差都是一个相等的常数，具有这种规律的一列数，
除了直接相加外，我们还可以用下列公式来求和 S，S= （其中 n 表示
数 的 个 数 ， a1 表 示 第 一 个 数 ， an 表 示 最 后 一 个 数 ）， 所 以
1+4+7+10+13+16+19+22+25+28= =145．用上面的知识解答下面问题：某
公司对外招商承包一分公司，符合条件的两企业 A、B 分别拟定上缴利润方案如
下：A：每年结算一次上缴利润，第一年上缴 1.5 万元，以后每年比前一年增加 1
万元：B：每半年结算一次上缴利润，第一个半年上缴 0.3 万元，以后每半年比
前半年增加 0.3 万元．
（1）如果承包期限为 4 年，请你通过计算，判断哪家企业上缴利润的总金额多？
（2）如果承包期限为 n 年，试用 n 的代数式分别表示两企业上缴利润的总金
额．（单位：万元）
【考点】列代数式；有理数的混合运算．
【专题】应用题．
【分析】（1）根据两企业的利润方案计算即可；
（2）归纳总结，根据题意列出两企业上缴利润的总金额即可．
【解答】解：（1）根据题意得：企业 A，4 年上缴的利润总金额为 1.5+（1.5+1）
+（1.5+2）+（1.5+3）=12（万元）；
企业 B，4 年上缴的利润总金额为 0.3+（0.3+0.3）+（0.3+0.6）+（0.3+0.9）+
（0.3+1.2）+（0.3+1.5）+（0.3+1.8）+（0.3+2.1）=2.4+8.4=10.8（万元），∵12＞10.8，
∴企业 A 上缴利润的总金额多；
（2）根据题意得：
企业 A，n 年上缴的利润总金额为 1.5n+（1+2+…+n﹣1）
=1.5n+ =1.5n+ = （万元）；
企业 B，n 年上缴的利润总金额为 0.6n+[0.3+0.6+…+0.3（2n﹣1）]
=0.6n+ =0.6n+0.3n（2n﹣1）=0.6n2+0.3n（万元）．
【点评】此题考查了有理数加法运算的应用，属于规律型试题，弄清题意是解本
题的关键．
25．2（3x2﹣2xy+4y2）﹣3（2x2﹣xy+2y2） 其中 x=2，y=1．
【考点】整式的加减—化简求值．
【专题】计算题．
【分析】原式去括号合并得到最简结果，把 x 与 y 的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式=6x2﹣4xy+8y2﹣6x2+3xy﹣6y2=﹣xy+2y2，
当 x=2，y=1 时，原式=﹣2+2=0．
【点评】此题考查了整式的加减﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
26．有足够多的长方形和正方形卡片，如下图：
（1）如果选取 1 号、2 号、3 号卡片分别为 1 张、2 张、3 张，可拼成一个长方
形（不重叠无缝隙），请画出这个长方形的草图，并运用拼图前后面积之间的关
系说明这个长方形的代数意义．这个长方形的代数意义是 a2+3ab+2b2=（a+b）（a+2b） ．
（2）小明想用类似方法解释多项式乘法（a+3b）（2a+b）=2a2+7ab+3b2，那么需
用 2 号卡片 3 张，3 号卡片 7 张．
【考点】整式的混合运算．
【专题】计算题．
【分析】（1）先根据题意画出图形，然后求出长方形的长和宽，长为 a+2b，宽
为 a+b，从而求出长方形的面积；
（2）先求出 1 号、2 号、3 号图形的面积，然后由（a+3b）（2a+b）=2a2+7ab+3b2
得出答案．
【解答】解：（1）
或
a2+3ab+2b2=（a+b）（a+2b），
故答案为 a2+3ab+2b2=（a+b）（a+2b）；
（2）1 号正方形的面积为 a2，2 号正方形的面积为 b2，3 号长方形的面积为 ab，
所以需用 2 号卡片 3 张，3 号卡片 7 张，
故答案为：3；7．
【点评】本题主要考查了整式的混合运算，用到的知识点有长方形的面积公式和
正方形的面积公式．
27．（5 分）化简，求值：
①3（x2﹣2xy）﹣[3x2﹣2y﹣2（3xy+y）]
②已知 A=3a2+b2﹣5ab，B=2ab﹣3b2+4a2，先求﹣B+2A，并求当 a=﹣ ，b=2 时，﹣B+2A 的值．
【考点】整式的加减—化简求值；合并同类项；去括号与添括号．
【专题】计算题．
【分析】①先去括号，然后合并同类二次根式将整式化为最简；
②此题需要先去括号，再合并同类项，将原整式化简，然后再将 a，b 的值代入
求解即可．
【解答】解：①原式=3x2﹣6xy﹣3x2+2y+6xy+2y
=4y；
②﹣B+2A=﹣（2ab﹣3b2+4a2）+2（3a2+b2﹣5ab）
=﹣2ab+3b2﹣4a2+6a2+2b2﹣10ab
=2a2+5b2﹣12ab；
当 a=﹣ ，b=2 时，
﹣B+2A=2× +5×22﹣12×（﹣ ）×2
= +20+12
= ．
【点评】本题考查整式的化简求值，化简求值是课程标准中所规定的一个基本内
容，它涉及对运算的理解以及运算技能的掌握两个方面，也是一个常考的题
材．
28．某商场将进货价为 30 元的台灯以 40 元的销售价售出，平均每月能售出 600
个．市场调研表明：当销售价每上涨 1 元时，其销售量就将减少 10 个．若设每
个台灯的销售价上涨 a 元．
（1）试用含 a 的代数式填空：
①涨价后，每个台灯的销售价为 40+a 元；
②涨价后，每个台灯的利润为 10+a 元；
③涨价后，商场的台灯平均每月的销售量为 600﹣10a 台．
（2）如果商场要想销售利润平均每月达到 10000 元，商场经理甲说“在原售价每台 40 元的基础上再上涨 40 元，可以完成任务”，商场经理乙说“不用涨那么多，
在原售价每台 40 元的基础上再上涨 10 元就可以了”，试判断经理甲与乙的说法
是否正确，并说明理由．
【考点】列代数式；代数式求值．
【分析】（1）根据进价和售价以及每上涨 1 元时，其销售量就将减少 10 个之间
的关系，列出代数式即可；
（2）根据平均每月能售出 600 个和销售价每上涨 1 元时，其销售量就将减少 10
个之间的关系列出式子，再分两种情况讨论，求出每月的销售利润，再进行比较
即可．
【解答】解：（1）①涨价后，每个台灯的销售价为 40+a（元）；
②涨价后，每个台灯的利润为 40+a﹣30=10+a（元）；
③涨价后，商场的台灯平均每月的销售量为（600﹣10a）台；
故答案为：40+a，10+a，600﹣10a．
（2）甲与乙的说法均正确，理由如下：
依题意可得该商场台灯的月销售利润为：（600﹣10a）（10+a）；
当 a=40 时，（600﹣10a）（10+a）=（600﹣10×40）（10+40）=10000（元）；
当 a=10 时，（600﹣10a）（10+a）=（600﹣10×10）（10+10）=10000（元）；
故经理甲与乙的说法均正确．
【点评】此题考查了列代数式，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的关
系，列出代数式，求出代数式的解．
29．（1）拼一拼，画一画：
请你用 4 个长为 a，宽为 b 的矩形拼成一个大正方形，并且正中间留下一个洞，
这个洞恰好是一个小正方形．
（2）用不同方法计算中间的小正方形的面积，聪明的你能发现什么？
（3）当拼成的这个大正方形边长比中间小正方形边长多 3cm 时，它的面积就多
24cm2，求中间小正方形的边长．【考点】作图—代数计算作图．
【分析】（1）动手操作可发现外面大正方形的边长为 a+b；里面小正方形的边长
为（a﹣b）；
（2）同样小正方形的面积可以用大正方形的面积为（a+b）2 减去四个小正方形
的面积 4ab；小正方形的面积也可以用边长的平方计算为（a﹣b） 平方，这两
个面积应相等．
（3）关系式为：大正方形的面积﹣小正方形的面积=24．
【解答】解：
（1） （2 分）
（2）（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab．（2 分）
（3）设小正方形的边长为 x，（x+3）2﹣x2=24，
解得 x= ．（3 分）
【点评】本题用图象法验证两个完全平方公式之间的关系．
30．下图的数阵是由全体奇数排成：
（1）图中平行四边形框内的九个数之和与中间的数有什么关系？
（2）在数阵图中任意作一类似（1）中的平行四边形框，这九个数之和还有这种
规律吗？请说出理由；
（3）这九个数之和能等于 1998 吗？2019，1017 呢？若能，请写出这九个数中
最小的一个；若不能，请说出理由．【考点】规律型：数字的变化类．
【专题】压轴题；规律型．
【分析】（1）应算出平行四边形框内的九个数之和，进而判断与中间的数的关系；
（2）任意作一类似（1）中的平行四边形框，仿照（1）的算法，进行简单判断；
然后设最框中间的数为未知数，左右相邻的两个数相差 2，上下相邻的两个数相
差 18，得到这 9 个数的和．
（3）看所给的数能否被 9 整除，不能被 9 整除的，排除；能被 9 整除的，结果
为偶数的，排除．最小的数为中间的数﹣16﹣2．
【解答】解：（1）平行四边形框内的九个数之和是中间的数的 9 倍；
（2）任意作一类似（1）中的平行四边形框，规律仍然成立．
不仿设框中间的数为 n，这九个数按大小顺序依次为：
（n﹣18），（n﹣16），（n﹣14），（n﹣2），n，（n+2），（n+14），（n+16），
（n+18）．
显然，其和为 9n；
（3）这九个数之和不能为 1998：
若和为 1998，则 9n=1998，n=222，是偶数，
显然不在数阵中．
这九个数之和也不能为 2005：
因为 2019 不能被 9 整除；
若和为 1017，则中间数可能为 113，最小的数为 113﹣16﹣2=95．【点评】本题为规律探究题，通过数表，寻找数字间的规律并运用这一规律解决
问题．
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