2020届高三（5月份）高考数学（理科）模拟试题（解析版）

2020 年吉林省通钢一中、集安一中、等省示范高中高考数 学模拟试卷（理科）（5 月份） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1. 若 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 求出共轭复数 ，根据复数运算法则 即可得解. 【详解】 ， ， . 故选：A 【点睛】此题考查复数的概念辨析和基本运算，关键在于熟练掌握复数的运算法则，根据法则求解. 2. 已知集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据对数不等式解法求出解集得到 A，根据交集运算即可得解. 【详解】 ， 所以 . 故选：C 2z i= + z z z z − = 8 5 i 2 4 5 5 i− 8 5 i− 2 4 5 5 i+ 2z i= − ( ) ( )2 2 2 2 22 2 2 2 4 i iz z i i z z i i i + − −+ −− = − =− + − 2z i= + 2z i= − ( ) ( )2 2 2 2 22 2 8 2 2 4 5 i iz z i i iz z i i i + − −+ −− = − = =− + − ( ){ }2lg 1 0A x x x= − − > { }0 3B x x= < < A B = { }0 1x x< < { } { }1 0x x x x< − ∪ > { }2 3x x< < { } { }0 1 2 3x x x x< < ∪ < < ( ){ } { }2 2lg 1 0 1 1A x x x x x x= − − > = − − > ( )( ){ } ( ) ( )2 1 0 , 1 2,x x x= − + > = −∞ − +∞ { }0 3B x x= < < A B = { }2 3x x< > 2 22 4x y x y+ = ( )2 2 2 4 444log log log log log 1+ = + = =x y x y x y 2 4( 0, 0)x y x y= > > 2 22 4x y x y+ = 2 2x y= = 2x y+ 10CD = BACθ = ∠ 2tan 2 3 θ = 17tan 4 7 πθ + = −   BC tan BC AB θ = tan 2 θ公式求得 的值. 【详解】设 ，则 ， ∵ ，∴ ，∴ . 即水深为 12 尺，芦苇长为 12 尺； ∴ ，由 ，解得 （负根舍去）. ∵ ， ∴ . 故正确结论的编号为①③④. 故选：B. 【点睛】本题主要考查二倍角的正切公式、两角和的正切公式，属于基础题. 8. 在外国人学唱中文歌曲的大赛中，有白皮肤选手 6 人，黑皮肤选手 6 人，黄皮肤选手 8 人，一等奖规定 至少 2 个至多 3 个名额，且要求一等奖获奖选手不能全是同种肤色，则一等奖人选的所有可能的种数为（ ） A. 420 B. 766 C. 1080 D. 1176 【答案】D 【解析】 【分析】 分别计算一等奖两个名额和三个名额的情况即可得解. 【详解】一等奖两个名额，一共 种， 一等奖三个名额，一共 种， 所以一等奖人选的所有可能的种数为 1176. 故选：D 【点睛】此题考查计数原理的综合应用，需要熟练掌握利用组合知识解决实际问题，准确分类，结合对立 事件求解. 9. 已知函数 ，则（ ） tan 4 πθ +   BC x= 1AC x= + 5AB = 2 2 25 ( 1)x x+ = + 12x = 12tan 5 BC AB θ = = 2 θ2tan 2tanθ θ1 tan 2 = - 2tan 2 3 θ = 12tan 5 θ = 1 tan 17tan 4 1 tan 7 π θθ θ + + = = −  −  2 2 2 2 20 6 6 8 132C C C C− − − = 3 3 3 3 20 6 6 8 1044C C C C− − − = ( ) sin 2 sin 2 3f x x x π = + +  A. 的最小正周期为 B. 曲线 关于 对称 C. 的最大值为 2 D. 曲线 关于 对称 【答案】D 【解析】 【分析】 由已知可得 ，根据三角函数的性质逐一判断. 【详解】 ，则 . 的最大值为 ， 当 时， ，故曲线 关于 对称， 当 时， ，故曲线 不关于 对称. 故选：D. 【点睛】本题考查三角函数的性质，其中对称轴和对称中心可代入判断，是基础题. 10. 函数 的零点的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】 将原题转化为求方程 的根的个数，根据函数奇偶性，考虑当 时方程的根的个数， 根据对称性即可得解. 【详解】函数 的零点个数，即方程 的根的个数， 考虑 ，定义在 的偶函数， 当 时， ，作出函数图象： ( )f x 2 π ( )y f x= ,03 π     ( )f x ( )y f x= 6x π= ( ) 3sin 2 6f x x π = +   ( ) 1 3sin 2 sin 2 cos2 3sin 22 2 6f x x x x x π = + + = +   T π= ( )f x 3 6x π= 3sin 26 6 36f π ππ   = × + =       ( )y f x= 6x π= 3x π= 3sin 23 3 06f π ππ   = × + ≠       ( )y f x= ,03 π     ( ) 2 2lg 2 | |f x x x x= + − 2 2lg 2 | |x x x= − + 0x > ( ) 2 2lg 2 | |f x x x x= + − 2 2lg 2 | |x x x= − + ( ) ( )2 2lg , 2 | |g x x h x x x= = − + ( ) ( ),0 0,−∞ +∞ 0x > ( ) ( ) 22lg , 2g x x h x x x= = − +两个函数一共两个交点，即当 时 有两根， 根据对称性可得：当 时 有两根， 所以 一共 4 个根， 即函数 的零点的个数为 4. 故选：C 【点睛】此题考查函数零点问题，转化为方程的根的问题，根据奇偶性数形结合求解. 11. 在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，E 为棱 A1B1 上一点，且 AB＝2，若二面角 B1﹣BC1﹣E 为 45°，则四面 体 BB1C1E 的外接球的表面积为（ ） A. π B. 12π C. 9π D. 10π 【答案】D 【解析】 【分析】 连接 交 于 ，可得 ，利用线面垂直的判定定理可得： 平面 ，于是 ，可得而 为二面角 的平面角，再求出四面体 的外接球半径 ，进 而利用球的表面积计算公式得出结论． 【详解】 连接 交 于 ，则 ， 易知 ，则 平面 ， 0x > 2 2lg 2 | |x x x= − + 0x < 2 2lg 2 | |x x x= − + 2 2lg 2 | |x x x= − + ( ) 2 2lg 2 | |f x x x x= + − 17 2 1B C 1BC O 1 1B O BC⊥ 1BC ⊥ 1B OE 1BC EO⊥ 1B OE∠ 1 1B BC E− − 1 1BB C E R 1B C 1BC O 1 1B O BC⊥ 1 1 1A B BC⊥ 1BC ⊥ 1B OE所以 ， 从而 为二面角 的平面角， 则 . 因为 ，所以 ， 所以四面体 的外接球半径 ． 故四面体 BB1C1E 的外接球的表面积为 ． 故选：D 【点睛】本题考查了正方体的性质、线面垂直的判定与性质定理、二面角的平面角、球的表面积计算公式， 考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 12. 若曲线 存在两条垂直于 y 轴的切线，则 m 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 曲线 存在两条垂直于 轴的切线⇔函数 存在两个极值点 ⇔ 在 上有两个解，即 在 上有两异根，令 ，利用导数法可求得 的值域，从而可得 的取值范围. 【详解】解：∵曲线 存在两条垂直于 轴的切线， ∴函数 的导函数存在两个不同的零点， 又 ， 即 在 上有两个不同的解， 设 ， ， 1BC EO⊥ 1B OE∠ 1 1B BC E− − 1 45B OE∠ =  2AB = 1 1 2B E B O= = 1 1BB C E 2 4 4 10 2 2R + += = 22 4 44 ( ) 102 π π+ + = ( )11 x my xe xx = + < −+ 4 27 ,0e  −   4 27 ,0e −    4 27 ,e  − +∞   4 271, e  − −   ( )11 x my xe xx = + < −+ y ( )11 x my xe xx = + < −+ ( ) ( ) ' 21 0 1 x my x e x = + − = + ( ), 1−∞ − ( )31 xm x e= + ( ), 1−∞ − ( ) ( ) ( )31 1xf x x e x= + < − ( )f x m ( )11 x my xe xx = + < −+ y ( )11 x my xe xx = + < −+ ( ) ( ) ' 21 0 1 x my x e x = + − = + ( )31 xm x e= + ( ), 1−∞ − ( ) ( ) ( )31 1xf x x e x= + < − ( ) ( ) ( )2' 1 4xf x x e x= + +当 时， ；当 时， ， 所以 ， 又当 时， ，当 时， ， 故 . 故选：A. 【点睛】本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程，考查等价转化思想、函数与方程思想的综合运用， 考查推理与运算能力，属于难题. 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题卡的相应位置. 13. 若 ， 满足约束条件 ，则 的最大值为__. 【答案】0. 【解析】 【分析】 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可. 【详解】由 得 ， 作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）： 平移直线 ， 由图象可知当直线 经过点 时，直线 的截距最小， 此时 最大， 4x < − ( )' 0f x < 4 1x− ≤ < − ( )' 0f x > ( ) ( ) 4min 274f x f e = − = − x → −∞ ( ) 0f x → 1x → − ( ) 0f x → 4 27 ,0m e  ∈ −   x y 2 1 2 x y x y y + ≥  − ≤  ≤ 3z x y= − 3z x y= − 1 3 3 zy x= − 1 3 3 zy x== − 1 3 3 zy x== − A 1 3 3 zy x== − z由 ，解得 ， . 代入目标函数 ， 得 ， 故答案为：0. 【点睛】该题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合 是解决问题的基本方法. 14. 某工厂共有 50 位工人组装某种零件.下面的散点图反映了工人们组装每个零件所用的工时（单位：分钟） 与人数的分布情况.由散点图可得，这 50 位工人组装每个零件所用工时的中位数为___________.若将 500 个 要组装的零件分给每个工人，让他们同时开始组装，则至少要过_________分钟后，所有工人都完成组装任 务.（本题第一空 2 分，第二空 3 分） 【答案】 (1). 3.3； (2). 33.14 【解析】 【分析】 ①根据工时从小到大依次分析得出工时 3.4 人数 16，工时 3.5 人数 8，工时 3.3 人数 12，即可得到中位数； ②计算出工时平均数即可得解. 【详解】①根据散点图：工时 3.0 人数 3，工时 3.1 人数 5，工时 3.2 人数 6，工时 3.3 人数 12，工时 3.4 人 数 16，工时 3.5 人数 8，所以工时的中位数为 3.3； ②将 500 个要组装的零件分给每个工人，让他们同时开始组装， 至少需要时间： 故答案为：①3.3；②33.14 【点睛】此题考查求平均数和中位数，关键在于准确读懂题意，根据公式计算求解. 15. 设 分别为 内角 的对边．已知 ， 且 2 1 x y x y + =  − = 3(2A 1)2 3z x y= − 3 13 02 2z = − × = 3 5 6 12 16 810 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 33.1450 50 50 50 50 50  × × + × + × + × + × + × =   , ,a b c ABC , ,A B C 3A π= 1b =，则 _____． 【答案】2 【解析】 【分析】 首先利用正弦定理的角化边得到 ，再根据余弦定理即可得到 ， 解方程即可. 【详解】因为 所以 又因为 ，所以 即 ，解得 故答案为： 【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在求解三角形中的应用，属于中档题． 16. 设 ，若直线 上存在一点 满足 ，且 的内心到 轴的距离为 ，则 ___________. 【答案】 【解析】 【分析】 由 题 意 可 得 点 为 直 线 与 椭 圆 的 交 点 , 直 线 方 程 与 椭 圆 方 程 联 立 可 得 ，由 的内心到 轴的距离为 ，即 的内切圆的半径 ，由等面 积法可求出参数 的值. 【详解】点 满足 ,则点 在椭圆 上. 2 2 2 2 2(sin 4sin ) 8(sin sin sin )A B c B C A+ = + − a = 2 2 2 2 2( 4 ) 8( )a b c b c a+ = + − 2 24 42 a b+ = 2 2 2 2 2(sin 4sin ) 8(sin sin sin )A B c B C A+ = + − 2 2 2 2 2( 4 ) 8( )a b c b c a+ = + − 1b = 2 2 2 2 2( 4 ) 8( )a b bc b c a+ = + − 2 2 2 2 24 8 8cos 42 2 a b b c a Abc + + −= × = = 2 24 42 a b+ = 2a = 2 ( ) ( )2,0 2,0A B− ， ( )0y ax a= > P | | | | 6PA PB+ = PAB△ x 3 30 20 a = 3 P ( 0)y ax a= > 2 2 19 5 x y+ = 2 2 2 45 9 5 ay a = + PAB△ x 3 30 20 PAB△ 3 30 20r = a P | | | | 6PA PB+ = P 2 2 19 5 x y+ =由题意可得点 为直线 与椭圆 交点. 联立 与 ，消去 得 ，则 . 因为 的内心到 轴的距离为 ，所以 的内切圆的半径 . 所以 的面积为 ， 即 ，解得 ，又 ，则 . 【点睛】本题考查考查直线与椭圆的位置关系，根据椭圆的焦点三角形的相关性质求参数，属于中档题. 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演步骤.17～ 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分. 17. 设等差数列 的公差为 2，等比数列 的公比为 2，且 ， ． （1）求数列 的通项公式； （2）求数列 的前 n 项和 ． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 （1）根据题意可得 ， ，联立解方程可得数列 的通项公式； （2）通过分组求和法可得数列 的前 n 项和 . 【详解】解：（1）因为 ， ，所以 ， ， 依题意可得， ， ， 故 ； 的P ( 0)y ax a= > 2 2 19 5 x y+ = y ax= 2 2 19 5 x y+ = y 2 2 45 9 5x a = + 2 2 2 45 9 5 ay a = + APB△ x 3 30 20 PAB△ 3 30 20r = APB△ 1 1| | | | (| | | | | |)2 2AB y r AB PA PB× × = × × + + 2 2 2 2 5 45 5 25 27| | ,2 9 5 4 4 40 ay r y ra = = = = ×+ 2 3a = 0a > 3a = { }n na b− { }n na b+ 1 2a = 1 1b = { }na { }2 2n na + nS 12 1 3 2 2 n n na −− + ×= nS = 25 2 5n n× + − 2 1n na b n- = - 13 2n n na b −+ = × { }na { }2 2n na + nS 1 2a = 1 1b = 1 1 1a b− = 1 1 3a b+ = ( )1 2 1 2 1n na b n n− = + − = − 13 2n n na b −+ = × 12 1 3 2 2 n n na −− + ×=（2）由（1）可知， ， 故 . 【点睛】本题考查等差数列，等比数列的通项公式，考查分组法求和，是基础题. 18. 如图，四棱锥 的侧棱 与四棱锥 的侧棱 都与底面 垂直， ， ∥ ， ， ， ， . （1）证明： ∥平面 . （2）求平面 平面 所成的锐二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2） . 【解析】 【分析】 （1）证明 // ，即可由线线平行推证线面平行； （2）以 为坐标原点建立空间直角坐标系，通过向量法求解二面角. 【详解】（1）证明：∵ 平面 ，∴ . ∵ ， ，∴ . 同理可得 . 又 平面 ， 平面 ， ∴ // . ∵ ，∴四边形 为平行四边形，∴ // . ∵ 平面 ， 平面 ，∴ //平面 . （2）解：以 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 ， 12 2 2 1 5 2n n na n −+ = − + × ( ) ( )11 3 2 1 5 1 2 2n nS n −= + + + − + × + + +  ( ) ( ) 21 2 1 5 2 1 5 2 52 n nn n n + −= + × − = × + − E ABCD− DE F ABCD− BF ABCD AD CD⊥ AB CD 3AB = 4AD CD= = 5AE = 3 2AF = DF BCE ABF CDF 3 5 DF BE D DE ⊥ ABCD DE AD⊥ 4=AD 5AE = 3DE = 3BF = DE ⊥ ABCD BF ⊥ ABCD BF DE BF DE= BEDF DF BE BE ⊂ BCE DF ⊄ BCE DF BCE D D xyz−则 ， ， ， ， 则 ， . 设平面 的法向量为 ， 则 ，即 令 ，则 ，得 . 易知平面 的一个法向量为 ， ∴ ， 故所求锐二面角的余弦值为 . 【点睛】本题考查由线线平行推证线面平行，以及用向量法求二面角，属综合中档题. 19. 某厂加工的零件按箱出厂，每箱有 10 个零件，在出厂之前需要对每箱的零件作检验，人工检验方法如 下：先从每箱的零件中随机抽取 4 个零件，若抽取的零件都是正品或都是次品，则停止检验；若抽取的零 件至少有 1 个至多有 3 个次品，则对剩下的 6 个零件逐一检验.已知每个零件检验合格的概率为 0.8，每个零 件是否检验合格相互独立，且每个零件的人工检验费为 2 元. （1）设 1 箱零件人工检验总费用为 元，求 的分布列； （2）除了人工检验方法外还有机器检验方法，机器检验需要对每箱的每个零件作检验，每个零件的检验费 为 1.6 元.现有 1000 箱零件需要检验，以检验总费用的数学期望为依据，在人工检验与机器检验中，应该选 择哪一个？说明你的理由. 【答案】（1）详见解析（2）应该选择人工检验，详见解析 【解析】 【分析】 （1）根据题意，工人抽查的 4 个零件中，分别计算出 4 个都是正品或者都是次品，4 个不全是次品的人工 费用，得出 的可能值，利用二项分布分别求出概率，即可列出 的分布列； (0,0,0)D (4,0,0)A (0,4,0)C (4,3, 3)F − (0,4,0)DC = (4,3, 3)DF = − CDF ( , , )n x y z= 0n DC n DF⋅ = ⋅ =    4 0, 4 3 3 0, y x y z =  + − = 3x = 4z = (3,0,4)n = ABF (1,0,0)m = 3cos , 5| || | m nm n m n ⋅〈 〉 = =      3 5 X X X X（2）由（1）求出 的数学期望 ，根据条件分别算出 1000 箱零件的人工检验和机器检验总费用的数学 期望，比较即可得出结论. 【详解】解：（1）由题可知，工人抽查的 4 个零件中， 当 4 个都是正品或者都是次品，则人工检验总费用为： 元， 当 4 个不全是次品时，人工检验总费用都为： 元， 所以 的可能取值为 8，20， ， ， 则 的分布列为 8 20 0.4112 0.5888 （2）由（1）知， ， 所以 1000 箱零件的人工检验总费用的数学期望为 元， 因为 1000 箱零件的机器检验总费用的数学期望为 元， 且 ， 所以应该选择人工检验. 【点睛】本题考查离散型随机变量的实际应用，求离散型随机变量概率、分布列和数学期望，属于基础题. 20. 已知函数 . （1）讨论 在 上的单调性； （2）若 ，求不等式 的解集. 【答案】（1）当 时， ，则 在 上单调递增; 当 时, 的单调递减区间 为 ，单调递增区间为 ;当 时 的单调递减区间为 ，单调递增 区间为 ， ;当 时 X EX 2 4 8× = 4 2 6 2 20× + × = X 4 4( 8) 0.8 0.2 0.4112P X = = + = ( 20) 1 0.4112 0.5888P X = = − = X X P 8 0.4112 20 0.5888 15.0656EX = × + × = 1000 15065.6EX = 1.6 10 1000 16000× × = 16000 15065.6> 3( )f x x ax= + ( )f x ( ),a +∞ 3a ≥ − ( ) ( )262 4 22 4 3 6 12 8 2f x x x x x a x− + < + + + + + 0a ≥ ( ) 0f x′  ( )f x ( ),a +∞ 1 3a = − ( )f x 1 1,3 3  −   1 ,3  +∞    1 3a < − ( )f x ,3 3 a a − − −    , 3 aa  − −    ,3 a − +∞    1 03 − < 3a ≥ − 2 2( ) 3 3 3f x x a x′ = + ≥ − ( )f x [ )1,+∞ 2( ) 3f x x a′ = + 0a ≥ ( ) 0f x′  ( )f x ( ),a +∞ 0a < ( ) 0f x′ = 3 ax = ± − 1 3a = − 3 a a− − = ( ) 0f x′ < 1 1 3 3x− < < ( ) 0f x′ > 1 3x > ( )f x 1 1,3 3  −   1 ,3  +∞    1 3a < − 3 a a− − > ( ) 0f x′ < 3 3 a ax- - < < - ( ) 0f x′ > 3 aa x< < − − 3 ax > - ( )f x ,3 3 a a − − −    , 3 aa  − −    ,3 a − +∞    1 03 − < 3 ax > -所以 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 . （2）因为 ，所以 ，当 时， ，所以 在 上单调 递增. 因为 ， 所以原不等式等价于 . 因为 ， ， 所以 ， 解得 ，故所求不等式的解集为 . 【点睛】本题考查讨论函数的单调性和根据函数的单调性解不等式，属于中档题. 21. 已知抛物线 的焦点为 ，直线 与抛物线 交于 两点. （1）若 过点 ，抛物线 在点 处的切线与在点 处的切线交于点 .证明：点 在定直线上. （2）若 ，点 在曲线 上， 的中点均在抛物线 上，求 面积的取值 范围. 【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】 【分析】 (1)设 ， ,设直线 的方程为 ，与抛物线方程联立可得 ，求出 抛物线在点 处的切线方程，和在 点处的切线方程，联立可得答案. (2) 设 ， 的中点分别为 ， ,可得 ， ， 轴， ， ， 的面积 ，从而可求出三角形 的面积的范围. . ( )f x , 3 aa  −    ,3 a − +∞    3a ≥ − 2 2( ) 3 3 3f x x a x′ = + ≥ − 1≥x ( ) 0f x′ ≥ ( )f x [ )1,+∞ ( ) ( ) ( ) ( )36 4 2 2 2 2 26 12 8 2 2 2 2x x x a x x a x f x+ + + + + = + + + = + ( ) ( )2 22 4 3 2f x x f x− + < + 2 22 4 3 2( 1) 1 1x x x− + = − + ≥ 2 2 1x + > 2 22 4 3 2x x x− + < + 2 3 2 3x− < < + (2 3,2 3)− + 2: 2 ( 0)C x py p= > F l C P Q， l F C P Q G G 2p = M 21y x= − − MP MQ， C MPQ 3 2 ,6 24       2 1 1 , 2 xP x p      2 2 2 , 2 xQ x p      l 2 py kx= + 2 1 2x x p= − P Q ( )0 0,M x y ,MP MQ 2 1 0 1 0 4,2 2 x yx x  + +      2 2 0 2 0 4,2 2 x yx x  + +      1 2 02x x x+ = 2 1 2 0 08x x y x= − MN x⊥ | |MN = 2 0 0 3 34 x y= − ( )2 1 2 0 02 2 4x x x y− = − MPQ ( )3 2 2 1 2 0 0 1 3 2| | 42 4S MN x x x y= ⋅ − = −【详解】（1）证明：易知 ，设 ， . 由题意可知直线 的斜率存在，故设其方程为 . 由 ，得 ，所以 . 由 ，得 ， ，则 ， 直线 的方程为 ，即 ，① 同理可得直线 的方程为 ，② 联立①②，可得 . 因为 ，所以 ，故点 在定直线 上. （2）解：设 ， 的中点分别为 ， . 因为 得中点均在抛物线 上，所以 为方程 的解， 即方程 的两个不同的实根， 则 ， ， ， 即 ， 所以 的中点 的横坐标为 ，则 轴. 则 ， 0, 2 pF      2 1 1 , 2 xP x p      2 2 2 , 2 xQ x p      l 2 py kx= + 2 2 2 py kx x py  = +  = 2 22 0x pkx p− − = 2 1 2x x p= − 2 2x py= 2 2 xy p = xy p ′ = 1 PG xk p = PG ( )2 1 1 12y x xp x x p − = − 2 1 1 02 x xx yp p − − = QG 2 2 2 02 x xx yp p − − = ( ) ( )1 2 1 2 1 2 2 x x x xx x y p −− = 1 2x x≠ 1 2 2 2 x x py p = =− G 2 py = − ( )0 0,M x y ,MP MQ 2 1 0 1 0 4,2 2 x yx x  + +      2 2 0 2 0 4,2 2 x yx x  + +      , MP MQ C 1 2,x x 2 2 0 0 442 2 x yx x ++  = ×   2 2 0 0 02 8 0x x x y x− + − = 1 2 02x x x+ = 2 1 2 0 08x x y x= − ( ) ( )2 2 0 0 02 4 8 0x y x∆ = − − > 2 0 04x y> PQ N 0x MN x⊥ ( ) ( )22 2 1 2 0 1 2 1 2 0 1 1| | 28 8MN x x y x x x x y = + − = + − −  2 0 0 3 34 x y= −， 所以 的面积 . 由 ，得 ， 所以 ， 因为 ，所以 ， 所以 面积的取值范围为 . 【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，抛物线的切线的相关问题，抛物线中三角形的面积的范围问 题，属于难题. （二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第 一题计分. [选修 4-4：坐标系与参数方程] 22. 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线 C 的极坐标方程； （2）若点 P 的极坐标为 ，过 P 的直线与曲线 C 交于 A，B 两点，求 的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 （1）先将 中的 消去得普通方程，再利用 可得极坐标方程； （2）先求出 AB 的参数方程，代入曲线 C 的普通方程，利用韦达定理及三角函数的性质可得 的 最大值. ( ) ( )2 2 1 2 1 2 1 2 0 04 2 2 4x x x x x x x y− = + − = − MPQ ( )3 2 2 1 2 0 0 1 3 2| | 42 4S MN x x x y= ⋅ − = − 2 0 01y x= − − ( )2 2 0 0 01 1 0x y y= − −   ( )22 2 0 0 0 0 04 4 1 2 5x y y y y− = − − + = − + + 01 0y−   ( )2 01 2 5 4y− + +  MPQ 3 2 ,6 24       2 5 cos 1 5 sin x y θ θ  = + = − + θ ( )1,π 1 1 PA PB + 4cos 2sinρ θ θ= − 2 10 5 2 5 cos 1 5 sin x y θ θ  = + = − + θ cos sinx yρ θ ρ θ= =， 1 1 PA PB +【详解】解：（1）由 ，得 ， 即 ，所以 ， 即 ，故曲线 C 的极坐标方程为 . （2）因为 P 的极坐标为 ，所以 P 的直角坐标为 ， 故可设 AB 的参数方程为 （ 为参数）. 将 代入 ，得 ， 设点 对应的参数分别为 ， 则 ， ， 所以 ， 故 的最大值为 . 【点睛】本题考查普通方程，参数方程，极坐标方程之间的互化，考查直线参数方程中参数几何意义的应 用，是中档题. [选修 4-5：不等式选讲] 23. 已知函数 . （1）若 ，求不等式 的解集； （2）设函数 的图象与 x 轴围成的封闭区域为 ，证明：当 时， 的面积大于 . 【答案】（1） ；（2）证明见解析 【解析】 【分析】 （1）对不等式进行零点分段讨论求解； （2）求出函数与 x 轴交点坐标，表示出三角形面积，根据 求得面积即可得证. 【详解】（1）若 ，不等式 即： 2 5 cos 1 5 sin x y θ θ  = + = − + ( ) ( )2 22 1 5x y− + + = 2 2 4 2x y x y+ = − 2 4 cos 2 sinρ ρ θ ρ θ= − 4cos 2sinρ θ θ= − 4cos 2sinρ θ θ= − ( )1,π ( )1,0− 1 cos sin x t y t α α = − +  = t 1 cos sin x t y t α α = − +  = ( ) ( )2 22 1 5x y− + + = ( )2 2sin 6cos 5 0t tαα+ − + = ,A B 1 2,t t 1 2 2sin 6cost t α α+ = − + 1 2 5 0t t = > ( )1 1 1 2 1 2 2 10 sin2sin 6cos1 1 1 1 5 5 t t PA PB t t t t α ϕα α ++ −+ = + = = = 1 1 PA PB + 2 10 5 ( ) 3 2f x x kx= − − 1k = ( ) 3 1f x x≤ − ( )f x Ω 2 3k< < Ω 16 15 { }1x x ≥ − 2 3k< < 1k = ( ) 3 1f x x≤ − 3 2 3 1x x x− − ≤ −， 当 时， ，得 ， 当 时， ，得 ， 当 时， ，得 ， 综上所述： 即：不等式 解集为 ； （2） ， 该函数图象与 x 轴围成的封闭区域为三角形， 其三个顶点为 ， ， 该三角形面积： 所以原命题得证. 【点睛】此题考查求解绝对值不等式，利用零点分段讨论，根据三角形的面积证明不等式，关键在于准确 求解顶点坐标，利用不等关系证明. 的 3 2 3 1 0x x x−−− − ≤ 2 3x < 2 3 3 3 0, 1x x x x− + − − ≤ ≥ − 21 3x− ≤ < 2 13 x≤ ≤ 3 2 3 3 0, 1x x x x− + − − ≤ ≤ 2 13 x≤ ≤ 1x > 3 2 3 3 0, 1x x x x− − + − ≤ ≥ 1x > 1x ≥ − ( ) 3 1f x x≤ − { }1x x ≥ − ( ) ( ) ( ) 23 2, 33 2 23 2, 3 k x x f x x kx k x x  − − >= − − =   − − + ≤ 2 2 2 2, , ,0 , ,03 3 3 3 kA B Ck k      −     − +      2 3k< < 24 9k< < 1 2 2 2 2 3 3 3 kS k k  = − ⋅ − +  2 2 4 3 9 k k = × − 2 2 4 9 9 3 9 k k − += × − 2 4 9 4 9 161 13 9 3 9 4 15k    = − + > × − + =   − −   