2021届高三暑期第三次检测数学试题 含答案详解

高三数学暑期检测三 班级____________姓名___________学号_________ 一、 选择题（本大题共 10 小题，共 50 分） 1.已知集合퐴 = {푥|2푥―1 > 1}，퐵 = {푥|푥2 ―2푥 ≤ 0}，则퐴⋂퐵 = ( ) A. (1,2) B. [1,2] C. (0,3] D. (1,2] 2.复数푧1 = 2 ― 푖，푧2 = 1 2 ― i，则|푧1푧2| = ( ) A. 5 2 B. 5 C. 25 4 D. 25 3.“lg푎 > lg푏”是“ 푎 > 푏”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4.已知 m，n 是空间中两条不同的直线，훼，훽是两个不同的平面，现有如下命题： ①若푚 // 훼，푛 // 훽，푚 // 푛；则훼 // 훽；②푚 ⊥ 훼，푛 ⊥ 훽，푚 // 푛，则훼 // 훽 ③若훼 // 훽，푚 ⊂ 훼，푛 ⊂ 훽，则푚 // 푛；④若푚 // 훼，푚 // 푛，푛 ⊥ 훽，则훼 ⊥ 훽， 则正确命题的个数为( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 5.已知数列{푎푛}的前 n 项和푆푛 = 푛2푎푛(푛 ≥ 2),푎1 = 1，则푎푛 = ( ) A. 2 푛(푛 + 1) B. 2 (푛 + 1)2 C. 1 2푛 ― 1 D. 1 2푛 ― 1 6. 有 4 个人同乘一列有 10 节车厢的火车，则至少有两人在同一车厢的概率为(    ) A. 63 125 B. 62 125 C. 63 250 D. 31 1257.已知퐹1，퐹2为双曲线푥2 푎2 ― 푦2 푏2 = 1(푎 > 0,푏 > 0)的左右焦点，过퐹1的直线 l 与双曲线的左右两支分别 交于 A，B 两点，若 △ 퐴퐵퐹2为等边三角形，则푏2 + 1 푎2的最小值为( ) A. 6 3 B. 6 + 6 3 C. 6 + 2 6 D. 2 6 8. 如果一个多位数的各个数位上的数字从左到右按由小到大的顺序排列，则称此数为“上升”的，那么所 有“上升”的正整数的个数为( ) A. 530 B. 502 C. 503 D. 505 9.已知长方体 的高 ，则当 最大时， 二面角 的余弦值为（ ） A. B. C. D. 10.已知函数 与 ，若 与 的图像恰有两 个不同的交点，则实数 a 的取值范围是（ ） 二、填空题（本大题共 7 小题，共 70 分） 11.若(푥 + 1 푥)푛展开式的二项式系数之和为 64，则푛 = ，二项展开式中的常数项为 ． 12.已知动直线 l：푚푥 ― 푦 = 1.若直线 l 与直线푥 ― 푚푦 ― 1 = 0平行，则 m 的值为________；若动直 线 l 被圆푥2 +2푥 + 푦2 ―24 = 0所截，则截得的弦长最短为________． 13.过点푃(1, ― 1 2)作圆푥2 + 푦2 = 1的切线 l，已知 A，B 分别为切点，直线 AB 恰好经过椭圆的右焦点 和下顶点，则直线 AB 方程为____________；椭圆的标准方程是________________. 14.已知随机变量 X 的分布列如下表： 1 1 1 1ABCD A B C D− 1 2, 2 6,AA AC= = 1 1,AB x AD y= = x y+ 1 1 1A B D C− − 15 5 15 5 − 5 5 5 5 − 1 2( ) (e )xf x a x−= + 2( ) 1g x ax x a= − − + ( )y f x= ( )y g x= A.[ 1,1)− B.{ 1} (1, )− ∪ +∞ C.{ 1} [0,1)− ∪ D.[1, )+∞X 0 2 a P 1 2 b 1 4 其中푎 > 0,푏 > 0.且퐸(푋) = 2，则푏 = ，퐷(2푥 ― 1) = ． 15.若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体最长的棱长 是_____cm，体积等于__________cm3． 16.在 中，角 所对的边分别为 。若 ，则 ________；若 ， ,则 的周长的最小值为_________。 17. 已知平面向量 满足 ， , ,则 的取值范围是 _________________;已知向量→ 푎,→ 푏是单位向量，若→ 푎·→ 푏 = 0，且|→ 푐 ― → 푎| + |→ 푐 ― 2 → 푏| = 5，则|푐 + 2푎|的取值 范围是__________． ABC∆ , ,A B C , ,a b c 1bcosC ccosB+ = a = 2a = 3sin sin sin2B C A= ABC∆ , ,a b c   7 4a b• =  3a b− = ( ) ( ) 2a c b c− • − = −    c三、解答题（每题 15 分，共 30 分） 18.已知正项数列 满足 ，其中 为 的前 项和。 （1）求 的通项公式； （2）已知数列 ，求数列 的前 项和，并求出满足 对 恒成立时，实数 的取值范围。 19. 已知椭圆 C：푥2 푎2 + 푦2 푏2 = 1(푎 > 푏 > 0)的左、右焦点分别为퐹1，퐹2，以퐹2为圆心过椭圆左顶点 M 的 圆与直线3푥 ― 4푦 + 12 = 0相切于 N，且满足푀퐹1 = 1 2퐹1퐹2． (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)过椭圆 C 右焦点퐹2的直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 A，B，问 △ 퐹1퐴퐵内切圆面积是否有最大值？ 若有，求出最大值；若没有，说明理由． { }na 2 1n ns a= + ns { }na n { }na 1 1 1( 1)n n n n n ab a a + + += − • { }nb n 2 5n m mT +≥ n N ∗∈ m 高三数学暑期检测三参考答案 一、选择题 1-5.DAACA 6-10.BDBBC 二、填空题 11.6，20 12.-1， 13. 14. 15. 16.1，6 17. 三、解答题 18.（1） (2) , 19. 解：(1) 由已知得|3푐 + 12| 5 = 푎 + 푐，12 = 5푎 + 2푐， 又푀퐹1 = 1 2퐹1퐹2，即푎 ― 푐 = 푐，得2푐 = 푎，又푎2 = 푏2 + 푐2， 求得푎2 = 4，푏2 = 3.椭圆 C 方程为푥2 4 + 푦2 3 = 1， (2)设퐴(푥1,푦1)，퐵(푥2,푦2)，设 △ 퐹1퐴퐵的内切圆半径为 r，훥퐹1퐴퐵的周长为|퐴퐹1| + |퐴퐹2| + |퐵퐹1| + |퐵 퐹2| = 4푎 = 8，所以푆훥퐴퐵퐹1 = 1 2 × 4푎 × 푟 = 4푟，根据题意，直线 l 的斜率不为零，可设直线 l 的方程为 푥 = 푚푦 + 1，由{푥2 4 + 푦2 3 = 1 푥 = 푚푦 + 1得(3푚2 +4)푦2 +6푚푦 ― 9 = 0， 훥 = (6푚)2 +36(3푚2 +4) > 0，푚 ∈ 푅， 由韦达定理得푦1 + 푦2 = ―6푚 3푚2 + 4，푦1푦2 = ―9 3푚2 + 4， 2 23 2 2 2 2 0, 15 4 x yx y− − = + = 1 ,244 41,20 3 5 6 3 32 2 5          ， ， ， 2 1na n= − 11 1 ( 1) 2 2 2 1 n nT n +−= + • + 2 1m− ≤ ≤所以 ， 令푡 = 푚2 + 1，则푡 ≥ 1，所以푆△퐹1퐴퐵 = 12푡 3푡2 + 1 = 4 푡 + 1 3푡 ， 令푓(푡) = 푡 + 1 3푡，则当푡 ≥ 1时，푓′(푡) = 1 ― 1 3푡2 > 0， 푓(푡) = 푡 + 1 3푡在[1, + ∞)单调递增，푓(푡) ≥ 4 3，即 ， 即当푡 = 1，푚 = 0，直线 l 的方程为푥 = 1时， 的最大值为 3，此时内切圆半径最大푟 = 3 4， △ 퐹1 퐴퐵内切圆面积有最大值 9 16휋． 答案和解析 1.【答案】D 解：由퐴 = {푥|2푥―1 > 1}可得：퐴 = {푥|푥 > 1}， 퐵 = {푥|푥2 ―2푥 ≤ 0}可得：퐵 = {푥|0 ≤ 푥 ≤ 2}， 所以퐴 ∩ 퐵 = {푥|1 < 푥 ≤ 2}． 故选 D． 2.【答案】A 解：方法一：|푧1푧2| = |푧1||푧2| = 22 + ( ― 1)2 ⋅ (1 2) 2 + ( ― 1)2 = 5 × 5 2 = 5 2． 方法二：|푧1푧2| = |(2 ― 푖)(1 2 ―푖)| = | ― 5 2푖| = 5 2． 故选 A． 3.【答案】A 解：lg푎 > lg푏⇒ 푎 > 푏”，取푎 = 1，푏 = 0反之则不成立； 故“lg푎 > lg푏”是“ 푎 > 푏”的 充分不必要条件；， 故选 A． 4.【答案】C 解：①中，훼，훽可能相交；②正确；③中，m，n 可能异面，④正确， 故选 C． 5.【答案】A【解析】 解：当푛 ≥ 2时，푆푛 = 푛2푎푛, 则푆푛+1 = (푛 + 1)2푎푛+1, 且푆2 = 22푎2，即1 + 푎2 = 4푎2，所以푎2 = 1 3． 两式作差得푆푛+1 ― 푆푛 = (푛 + 1)2푎푛+1 ― 푛2푎푛， 即푎푛+1 = (푛 + 1)2푎푛+1 ― 푛2푎푛，即(푛 + 2)푎푛+1 = 푛푎푛， 所以푎푛+1 푎푛 = 푛 푛 + 2，即 푎푛 푎푛―1 = 푛 ― 1 푛 + 1(푛 ≥ 2)． 则푎푛 = 푎푛 푎푛―1 ·푎푛―1 푎푛―2 ·푎푛―2 푎푛―3 ·…푎3 푎2 ·푎2 = 푛 ― 1 푛 + 1·푛 ― 2 푛 ·푛 ― 3 푛 ― 1·…2 4·푎2 = 2 푛(푛 + 2)． 故选 A． 6. 【解答】 解：4 个人乘 10 节车厢的火车，有104 = 10000种方法， 没有两人在一车厢中有A410 = 10 × 9 × 8 × 7种， ∴ 至少有两人在同一车厢概率为： 푝 = 1 ― A410 104 = 4960 10000 = 62 125． 选B． 7.【答案】D 解：由双曲线定义知퐵퐹1 ―퐵퐹2 = 2푎，又퐵퐴 = 퐵퐹2， 故퐴퐹1 = 2푎, 由双曲线定义知퐴퐹2 ―퐴퐹1 = 2푎，得퐴퐹2 = 4푎， 在 △ 퐴퐹1퐹2中，퐴퐹1 = 2푎,퐴퐹2 = 4푎,퐹1퐹2 = 2푐,∠퐹1퐴퐹2 = 2휋 3 ， 由余弦定理得(2푐)2 = (2푎)2 + (4푎)2 ―2 × 2푎 × 4푎 × cos2휋 3 即푐2 = 7푎2， ∴ 푏2 = 푐2 ― 푎2 = 6푎2，∴ 푏2 + 1 푎2 = 6푎2 + 1 푎2 ≥ 2 6当且仅当6푎2 = 1 푎2即푎2 = 6 6 时取等号． 故选 D． 8.解：由题意，两位数有퐶29个，三位数有퐶39个，⋯，九位数有퐶99个， 则所有“上升”的正整数的个数为 퐶29 + 퐶39 + 퐶49 +⋯ + 퐶99 = 29 ― 퐶09 ― 퐶19 = 502， 故选 B． 9.B 10.C 11.【答案】6；20 解：由二项式系数之和为 64，得2푛 = 64，故푛 = 6， 所以二项展开式的通项푇푟+1 = 퐶푟6푥6―푟(1 푥)푟 = 퐶푟6푥6―2푟， 令6 ― 2푟 = 0，得푟 = 3，则二项展开式中的常数项为푇4 = 퐶36 = 20． 12.【答案】 ―1；2 23 解：当푚 = 0时，显然不符合题意， 当푚 ≠ 0时，由两直线平行，得푚 = 1 푚，解得푚 = 1或 ―1， 当푚 = 1时，两直线重合，不符合，所以푚 = ―1． 由푥2 +2푥 + 푦2 ―24 = 0得，圆心为( ― 1,0)，半径푅 = 5， 则圆心到直线 l 的距离푑 = | ― 푚 ― 1| 푚2 + 1 ， 截得的弦长为2 25 ― (푚 + 1)2 푚2 + 1 = 2 24 ― 2푚 푚2 + 1 ≥ 2 24 ― 2푚 2푚 = 2 23， 当且仅当푚 = 1时，取等号． 故截得的弦长最短为2 23． 13.【答案】2푥 ― 푦 ― 2 = 0，푥2 5 + 푦2 4 = 1①当过点푃(1, ― 1 2)的直线 l 斜率不存在时，直线方程为：푥 = 1，切点的坐标퐴(1,0); ②当直线 l 斜率存在时，设 l 方程为푦 = 푘(푥 ― 1) ― 1 2，根据直线与圆相切，圆心(0,0)到切线的距离 等于半径 1，可以得到切线斜率푘 = 3 4，即 l：푦 = 3 4푥 ― 5 4.直线 l 方程与圆方程的联立可以得切点的坐标퐵( 3 5, ― 4 5)；根据 A、B 两点坐标可以得到直线 AB 方程为2푥 ― 푦 ― 2 = 0，(或利用过圆푥2 + 푦2 = 푟2外一 点(푥0,푦0)作圆的两条切线，则过两切点的直线方程为푥0푥 + 푦0푦 = 푟2) 依题意，AB 与 x 轴的交点(1,0)即为椭圆右焦点，得푐 = 1，与 y 轴的交点(0, ― 2)即为椭圆下顶点坐 标，所以푏 = 2，根据公式得푎2 = 푏2 + 푐2 = 5，因此，椭圆方程为：푥2 5 + 푦2 4 = 1． 故答案为：2푥 ― 푦 ― 2 = 0，푥2 5 + 푦2 4 = 1． 14.【答案】 1 4 ，24 解：由题意可得{1 2 + 푏 + 1 4 = 1 퐸푋 = 2푏 + 1 4푎 = 2，解得{푎 = 6 푏 = 1 4 , 故 D푋 = 1 2 × (0 ― 2)2 + 1 4 × (2 ― 2)2 + 1 4 × (6 ― 2)2 = 6， 故 D(2푥 ― 1) = 22퐷푋 = 4 × 6 = 24． 故答案为 1 4 ，24． 15.【答案】 41 ；20 【解析】解：由三视图可得该几何体是截长方体得到的四棱锥퐴 ― 퐵퐷퐷1퐵1， 其中，最长的棱长是퐴퐵1 = 42 + 52 = 41， 体积푉 = 푉퐴퐵퐷―퐴1퐵1퐷1 ― 푉퐴―퐴1퐵1퐷1 = 2 3푉퐴퐵퐷―퐴1퐵1퐷1 = 2 3 × 1 2 × 4 × 3 × 5 = 20． 故答案为：(1)． 41；(2).20． 16.1 ，617. 解：因为→ 푎,→ 푏是单位向量，且→ 푎·→ 푏 = 0， 以 O 为原点，建立直角坐标系： 则→ 푎 = (1,0),→ 푏 = (0,1)， 设→ 푐 = (푥,푦)，则→ 푐 ― → 푎 = (푥 ― 1,푦),→ 푐 ―2→ 푏 = (푥,푦 ― 2)， 因为|→ 푐 ― → 푎| + |→ 푐 ― 2 → 푏| = 5，即 (푥 ― 1)2 + 푦2 + 푥2 + (푦 ― 2)2 = 5， 化简得，2푥 + 푦 ― 2 = 0,(0 ≤ 푥 ≤ 1)， 所以|→ 푐 + 2 → 푎| = (푥 + 2)2 + 푦2表示线段2푥 + 푦 ― 2 = 0,(0 ≤ 푥 ≤ 1)上的点到点( ― 2,0)的距离， 所以|→ 푐 + 2 → 푎|푚푖푛 = 푑 = |2 × ( ―2) ― 2| 22 + 1 = 6 5 5 ，|→ 푐 + 2 → 푎|푚푎푥 = |1 ― ( ― 2)| = 3， 故答案为[6 5 5 ,3]． 18. （1） (2) , 19.【答案】 解：(1)由已知椭圆 C 方程为푥2 푎2 + 푦2 푏2 = 1，设椭圆右焦点퐹2(푐,0)， 由퐹2到直线3푥 ― 4푦 + 12 = 0的距离等于푎 + 푐， 得|3푐 + 12| 5 = 푎 + 푐，12 = 5푎 + 2푐， 又푀퐹1 = 1 2퐹1퐹2，即푎 ― 푐 = 푐，得2푐 = 푎，又푎2 = 푏2 + 푐2， 求得푎2 = 4，푏2 = 3.椭圆 C 方程为푥2 4 + 푦2 3 = 1， (2)设퐴(푥1,푦1)，퐵(푥2,푦2)，设 △ 퐹1퐴퐵的内切圆半径为 r，훥퐹1퐴퐵的周长为|퐴퐹1| + |퐴퐹2| + |퐵퐹1| + |퐵 퐹2| = 4푎 = 8，所以푆훥퐴퐵퐹1 = 1 2 × 4푎 × 푟 = 4푟，根据题意，直线 l 的斜率不为零，可设直线 l 的方程为 3 5 6 3 32 2 5          ， ， ， 2 1na n= − 11 1 ( 1) 2 2 2 1 n nT n +−= + • + 2 1m− ≤ ≤푥 = 푚푦 + 1，由{푥2 4 + 푦2 3 = 1 푥 = 푚푦 + 1得(3푚2 +4)푦2 +6푚푦 ― 9 = 0， 훥 = (6푚)2 +36(3푚2 +4) > 0，푚 ∈ 푅， 由韦达定理得푦1 + 푦2 = ―6푚 3푚2 + 4，푦1푦2 = ―9 3푚2 + 4， 所以 ， 令푡 = 푚2 + 1，则푡 ≥ 1，所以푆△퐹1퐴퐵 = 12푡 3푡2 + 1 = 4 푡 + 1 3푡 ， 令푓(푡) = 푡 + 1 3푡，则当푡 ≥ 1时，푓′(푡) = 1 ― 1 3푡2 > 0， 푓(푡) = 푡 + 1 3푡在[1, + ∞)单调递增， 푓(푡) ≥ 4 3，即 ， 即当푡 = 1，푚 = 0，直线 l 的方程为푥 = 1时， 的最大值为 3，此时内切圆半径最大푟 = 3 4， △ 퐹1퐴퐵内切圆面积有最大值 9 16휋．