2020～2021 学年第一学期期初考试试题
高三数学
命题人：
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。
1．设全集 ，集合 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
2 ． 在 中 ， 为 上 一 点 ， ， 为 上 任 一 点 ， 若
，则 的最小值是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
3．已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
4．设 ,若 ,则 （ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
5．已知函数 ,则函数 的图象大致为（ ）
A． B．
{ }1,2,3,4U = { } { }1,3 , 4S T= = ( )C S Tυ ∪
{ }2,4 { }4 φ { }1,3,4
∆ABC E AC 3= AC AE P BE
( 0, 0)= + > > AP mAB nAC m n 3 1+
m n
Ra∈ 1a > 1 1a
<
( ) ( )
,0 1
2 1 , 1
x xf x
x x
< − x
1 ,13
( )1, 1,3
−∞ ∪ +∞
1 1,3 3
−
1 1, ,3 3
−∞ ∪ +∞
A B A B ( )f x A B
( )A B， ( )f x ( )A B， ( )B A，
2 2 0
( ) 2 0x
x x x
f x
xe
+ 1 ,22
C．已知 ，则“ ”是“ ”的充分不必要条件
D．根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为
，若样本中心点为 ，则
10．设 ， ， 为实数且 ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
11．关于函数 下列结论正确的是（ ）
A．图像关于 轴对称 B．图像关于原点对称
C．在 上单调递增 D． 恒大于 0
12．已知定义在 R 上的函数 f(x)的图象连续不断，若存在常数 ，使得
对任意的实数 x 成立，则称 f(x)是回旋函数．
给出下列四个命题中，正确的命题是（ ）
A．常值函数 为回旋函数的充要条 件是 t= -1;
B．若 为回旋函数，则 t>l;
C．函数 不是回 旋函数；
D．若 f(x)是 t=2 的回旋函数，则 f(x)在[0,4030]上至少有 2015 个零点．
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。请把答案直接填写在答题卡相应
位置上。
13．已知 ， ，则 __________.
14．已知 ，命题“存在 ，使 ”为假命题，则 的取值范围为
__________.
15．已知数列 的首项为 ，且满足 ，则下列命题：① 是
等差数列；② 是递增数列；③设函数 ，则存在某个区间
( )t t R∈ ( ) ( ) 0f x t tf x+ + =
( ) ( 0)f x a a= ≠
(0 1)xy a a= < <
2( )f x x=
x∈R 0x > 1 1x − <
ˆ 0.3y x m= − ( ), 2.8m − 4m =
a b c a b>
1 1
a b
> 2020 1a b− >
ln lna b> ( ) ( )2 21 1a c b c+ > +
1 2( ) 1 1xf x x e
= + −
y
( ),0−∞ ( )f x
4log 9=a 2log 5=b 22 + =a b
∈a R ∈x R 2 3 0− − ≤x ax a a
{ }na 4 ( ) ( )12 1 0n nn a na n N ∗
++ − = ∈ na
n
{ }na ( )
2
1
1
2
x
n
n
af x x a
−
+
= − −
，使得 在 上有唯一零点；则其中正确的命题序号为__________.
16．已知集合 .给定一个函数 ，定义集合 ,
若 对任意的 成立，则称该函数 具有性质“ ”
(I)具有性质“ ”的一个一次函数的解析式可以是_________；
(Ⅱ)给出下列函数：① ；② ；③ ，其中具有性质“ ”的函数的
序号是_________．(本题第一空 2 分，第二空 3 分)
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。请在答题卡指定区域内作答。解答时应写出文字说明、证明
过程或演算步骤。
17．(本小题满分 10 分)
已知集合 ， .
（1）若 ，则 ；
（2）若 ，求实数 的取值范围.
18．(本小题满分 12 分)
已知 .
(1)解关于 的不等式 ；
(2)若不等式 的解集为 ，求实数 的值．
( )( ), 1n n n N ∗+ ∈ ( )f x ( ), 1n n +
{ }0 0 1A x x= < < ( )y f x= { }1( ),n nA y y f x x A −= = ∈
1n nA A φ− = *n N∈ ( )y f x= ϕ
ϕ
1=y x
2 1= +y x cos( ) 22
π= +y x ϕ
( ){ }2| log 3 3A x x= + ≤ { }| 2 1 3B x m x m= − < ≤ +
3m = A B
A B B= m
( ) ( )23 6 6f x x a a x= − + − +
a ( )1 0f >
( )f x b> ( )1,3− ,a b
19．(本小题满分 12 分)
设函数 .
（1）当 时，求 在点 处的切线方程；
（2）当 时，判断函数 在区间 是否存在零点？并证明.
20．(本小题满分 12 分)
某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经
调研发现：某珍稀水果树的单株产量 （单位：千克）与施用肥料 （单位：千克）满足如下关系：
，肥料成本投入为 元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人
工费） 元．已知这种水果的市场售价大约为 15 元／千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的
单株利润为 （单位：元）．
（Ⅰ）求 的函数关系式；
（Ⅱ）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大?最大利润是多少?
2( ) (ln 1)f x x a x= − +
1a = ( )y f x= (1, (1))f
2
ea > ( )f x 0, 2
a
W x
( )25 3 , 0 2
( ) 50 , 2 51
x x
W x x xx
+ ≤ ≤=
< ≤ +
10x
20x
( )f x
( )f x21．(本小题满分 12 分)
已知 a∈R，函数 f（x）=x2﹣2ax+5.
（1）若 a>1，且函数 f（x）的定义域和值域均为[1，a]，求实数 a 的值；
（2）若不等式 x|f（x）﹣x2| 1 对 x∈[ ， ]恒成立，求实数 a 的取值范围.
22．(本小题满分 12 分)
已知定义域为 的 函数是奇函数．
（1）求 的值；
（2）用定义证明 在 上为减函数；
（3）若对于任意 ，不等式 恒成立，求 的范围．
≤ 1
3
1
2
R ( ) 2
2
−= +
x
x
bf x a
,a b
( )f x ( ),−∞ +∞
∈t R ( ) ( )2 22 2 0− + −
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