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课时提升作业(十七)
抛物线方程及性质的应用
(25 分钟 60 分)
一、选择题(每小题 5 分，共 25 分)
1.过抛物线 y2=4x 的焦点，作一条直线与抛物线交于 A，B 两点，它们的横坐标之和等于 5，
则这样的直线( )
A.有且仅有一条 B.有且仅有两条
C.有无穷多条 D.不存在
【解析】选 B.由定义|AB|=5+2=7，
因为|AB|min=4，所以这样的直线有两条.
【补偿训练】过点 M(3，2)作直线l 与抛物线 y2=8x 只有一个交点，这样的直线共有 ( )
A.0 条 B.1 条 C.2 条 D.3 条
【解析】选 B.因为点 M(3，2)在抛物线 y2=8x 的内部，所以过点 M 平行 x 轴的直线 y=2 适合
题意，因此只有一条.
2.(2015·全国卷Ⅰ)已知椭圆 E 的中心为坐标原点，离心率为 ，E 的右焦点与抛物线 C：
y2=8x 的焦点重合，点 A，B 是 C 的准线与 E 的两个交点，则 = ( )
A.3 B.6 C.9 D.12
【解析】选 B.设椭圆 E 的方程为 + =1(a>b>0)，右焦点为(c，0)，依题意得
解得 a=4，由 b2=a2-c2=16-4=12，所以椭圆 E 的方程为 + =1，因为抛物线 C：y2=8x 的准
线为 x=-2，将 x=-2 代入到 + =1，解得 A(-2，3)，
B(-2，-3)，故 =6.
3.已知直线 y=k(x+2)(k>0)与抛物线 C：y 2=8x 相交于 A，B 两点，F 为 C 的焦点.若
|FA|=2|FB|，则 k= ( )A. B. C. D.
【解析】选 D.设 A，B 两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
由
消去 y 得，k2x2+4x(k2-2)+4k2=0，
所以 x1+x2= ，x1x2=4.
由抛物线定义得|AF|=x1+2，|BF|=x2+2，
又因为|AF|=2|BF|，所以 x1+2=2x2+4，
所以 x1=2x2+2 代入 x1x2=4，得 +x2-2=0，
所以 x2=1 或-2(舍去)，所以 x1=4，
所以 =5，所以 k2= ，
因为 k>0，所以 k= .
4.(2015·商丘高二检测)已知抛物线 x2=4y 上有一条长为 6 的动弦 AB，则 AB 的中点到 x 轴
的最短距离为 ( )
A. B. C.1 D.2
【解析】选 D.由题意知，抛物线的准线 l：y=-1，过 A 作 AA1⊥l 于 A1，过 B 作 BB1⊥l 于
B1，设弦 AB 的中点为 M，过 M 作 MM1⊥l 于 M1，则|MM1|= .|AB|≤|AF|+|BF|(F
为抛物线的焦点)，即|AF|+|BF|≥6，|AA1|+|BB1|≥6，
2|MM1|≥6，|MM1|≥3，故 M 到 x 轴的距离 d≥2.
【拓展延伸】“两看两想”的应用
与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关.“看到准线想焦点，看
到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径.
【补偿训练】已知点 P 是抛物线 y2=2x 上的一个动点，则点 P 到点(0，2)的距离与点 P 到该
抛物线准线的距离之和的最小值为 ( )
A. B.3 C. D.
【解析】选 A.抛物线 y2=2x 的焦点为 F ，准线是 l，由抛物线的定义知点 P 到焦点 F
的距离等于它到准线 l 的距离，因此要求点 P 到点(0，2)的距离与点 P 到抛物线的准线的距离之和的最小值，可以转化为求点 P 到点(0，2)的距离与点 P 到焦点 F 的距离之和的最小值，
不 难 得 出 相 应 的 最 小 值 就 等 于 焦 点 F 到 点 (0 ， 2) 的 距 离 . 因 此 所 求 的 最 小 值 等 于
= .
5.(2015·青岛高二检测)在平面直角坐标系内，点 P 到点 A(1，0)，B(a，4)及到直线 x=-1
的距离都相等，如果这样的点 P 恰好只有一个，那么 a= ( )
A.1 B.2
C.2 或-2 D.1 或-1
【解题指南】满足条件的点 P 恰好只有一个，可以从点 P 满足的方程有唯一解入手.
【解析】选 D.依题意得，一方面，点 P 应位于以点 A(1，0)为焦点、直线 x=-1 为准线的抛
物线 y2=4x 上；另一方面，点 P 应位于线段 AB 的中垂线 y-2=- (x- )上.
由于要使这样的点 P 是唯一的，
因此要求方程组 有唯一的实数解.
结合选项进行检验即可.当 a=1 时，抛物线 y2=4x 与线段 AB 的中垂线有唯一的公共点，适合
题意；当 a=-1 时，线段 AB 的中垂线方程是 y= x+2，易知方程组 有唯一
实数解.
综上所述，a=1 或 a=-1.
二、填空题(每小题 5 分，共 15 分)
6.已知点 F 为抛物线 y2=-8x 的焦点，O 为原点，点 P 是抛物线准线上一动点，A 在抛物线上，
且|AF|=4，则|PA|+|PO|的最小值是________.
【解析】由|AF|=4 及抛物线定义得 A 到准线的距离为 4.
所以 A 点横坐标为-2，
所以 A(-2，4)或 A(-2，-4).
又原点关于准线的对称点的坐标为 B(4，0)，
所以|PA|+|PO|的最小值为|AB|==2 .
答案：2
7.(2015·延安高二检测)过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F 且倾斜角为 60°的直线 l 与抛物
线分别交于 A，B 两点，则 的值是________.
【解析】设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，且 x1>x2，易知直线 AB 的方程为 y= x- p，代入抛
物线方程 y2=2px，可得 3x2-5px+ p2=0，所以 x1+x2= p，x1x2= ，可得 x1= p，x2= ，可得
= = =3.
答案：3
8.(2015·黄石高二检测)已知抛物线 C 的顶点在坐标原点，焦点为 F(1，0)，直线 l 与抛物
线 C 相交于 A，B 两点.若 AB 的中点为(2，2)，则直线 l 的方程为________.
【解析】容易求得抛物线方程为 y2=4x.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 =4x1， =4x2，两
式相减得 - =4(x2-x1).整理得 = ，由于 kAB= ，而 AB 中点为(2，2)，
所以 y2+y1=4，于是 kAB= =1，因此直线方程为 y-2=x-2，即 y=x.
答案：y=x
三、解答题(每小题 10 分，共 20 分)
9.已知抛物线 y2=-x 与直线 y=k(x+1)相交于 A,B 两点.
(1)求证:OA⊥OB.
(2)当△OAB 的面积等于 时,求 k 的值.
【解析】(1)如图所示,由
消去 x 得,ky2+y-k=0.
设 A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系得 y1·y2=-1,y1+y2=- .
因为 A,B 在抛物线 y2=-x 上,
所以 =-x1, =-x2,所以 · =x1x2.因为 kOA·kOB= · = = =-1,
所以 OA⊥OB.
(2)设直线与 x 轴交于点 N,显然 k≠0.
令 y=0,得 x=-1,即 N(-1,0).
因为 = +
= |ON||y1|+ |ON||y2|= |ON|·|y1-y2|,
所以 = ·1·
= .
因为 = ,
所以 = ,解得 k=± .
10.(2015·大连高二检测)如图所示，抛物线关于 x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点 P(1，
2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上.
(1)写出该抛物线的方程及其准线方程.
(2)当 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求 y1+y2 的值及直线 AB 的斜率.
【解题指南】(1)利用点 P(1，2)在抛物线上可求方程.
(2)倾斜角互补意味着斜率互为相反数，然后利用点差法求解.
【解析】(1)由已知条件，可设抛物线的方程为 y2=2px(p>0).
因为点 P(1，2)在抛物线上，所以 22=2p×1，解得 p=2.
故所求抛物线的方程是 y2=4x，准线方程是 x=-1.
(2)设直线 PA 的斜率为 kPA，直线 PB 的斜率为 kPB，则 kPA= (x1≠1)，kPB= (x2≠1)，
因为 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补，所以 kPA=-kPB.
由 A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，得
所以 =- ，
所以
=- ，
所以 y1+2=-(y2+2).
所以 y1+y2=-4.
由①-②得， - =4(x1-x2)，
所以 kAB= = =-1(x1≠x2).
(20 分钟 40 分)
一、选择题(每小题 5 分，共 10 分)
1.(2015·银川高二检测)已知抛物线 y2=2px(p>0)，过点 E(m，0)(m≠0)的直线交抛物线于
点 M，N，交 y 轴于点 P，若 =λ ， =μ ，则λ+μ= ( )
A.1 B.- C.-1 D.-2
【解析】选 C.由题意设过点 E 的直线方程为 y=k(x-m).代入抛物线方程，整理可得
k2x2+(-2mk2-2p)x+m2k2=0.设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则 x1+x2= ，x1x2=m2.
由 可得
则λ+μ= + == = =-1.
【补偿训练】设双曲线 - =1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线 y=x2+1 相切，则该双曲线的
离心率等于 ( )
A. B.2 C. D.
【解析】选 C.双曲线的渐近线方程为 y=± x.
因为渐近线与 y=x2+1 相切，
所以 x2+ x+1=0 有两相等根，
所以Δ= -4=0，所以 b2=4a2，
所以 e= = = = .
2.(2014·四川高考)已知 F 为抛物线 y2=x 的焦点，点 A，B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧，
· =2(其中 O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是 ( )
A.2 B.3 C. D.
【解析】选 B.可设直线 AB 的方程为：x=ty+m，点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则直线 AB 与 x 轴
的 交 点 M(m ， 0) ， 由 ⇒ y2-ty-m=0 ， 所 以 y1y2=-m ， 又 · =2 ⇒
x1x2+y1y2=2⇒(y 1y2)2+y1y2-2=0，因为点 A，B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧，所以
y1y2=-2，故 m=2，又 F ，于是 S△ABO+S△AFO= ×2×|y1-y2|+ × ×|y1|=|y1+ |+
|y1|= |y1|+ ≥2 =3，当且仅当 |y1|= ，即|y1|= 时取“=”，
所以△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是 3.
【 补 偿 训 练 】 (2015 · 龙 岩 模 拟 ) 已 知 P 是 抛 物 线 y2=4x 上 的 一 个 动 点 ， Q 是 圆
(x-3)2+(y-1)2=1 上的一个动点，N(1，0)是一个定点，则|PQ|+|PN|的最小值为
( )
A.3 B.4 C.5 D. +1
【解析】选 A.N 恰好为抛物线的焦点，|PN|等于 P 到准线的距离，要想|PQ|+|PN|最小，过圆心(3，1)作抛物线 y2=4x 的准线 x=-1 的垂线交抛物线于点 P，交圆于 Q，最小值等于圆心
(3，1)到准线 x=-1 的距离减去半径，即 4-1=3.
二、填空题(每小题 5 分，共 10 分)
3.(2015·南通高二检测)过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F 的直线 l 与抛物线在第一象限的
交点为 A，直线 l 与抛物线的准线的交点为 B，点 A 在抛物线的准线上的射影为 C，若 =
， · =36，则抛物线的方程为________.
【解题指南】利用向量的数量积构造关于常数 p 的方程求解.
【解析】由 = 知 F 为 AB 的中点，设准线与 x 轴的交点为 D，则|DF|= |AC|=p，所以
|AC|=2p=|AF|=|FB|，|AB|=4p，所以∠ABC=30°，|BC|=2 p， · =|BA||BC|·cos
30°=4p×2 p× =36，解得 p= ，所以 y2=2 x.
答案：y2=2 x
4.已知抛物线 y2=2x,点 A 的坐标为 ,P 为抛物线上的点,当|PA|最小时,P 的坐标为
________;当 P 到直线 x-y+3=0 的距离最短时,最短距离是__.
【解析】(1)设 P(x,y),则|PA|2= +y2
= +2x= + .
因为 x≥0 且在此区间上函数单调递增,故当 x=0 时,|PA|有最小值 ,离 A 点最近的点
P(0,0).
(2)设点 P(x0,y0)是抛物线 y2=2x 上任一点,则 P 到直线 x-y+3=0 的距离为
d= =
= ,
所以当 y0=1,d 有最小值 .
答案:(0,0)
【误区警示】本题易忽略抛物线的范围而出错.
【补偿训练】设圆 C 位于抛物线 y2=2x 与直线 x=3 所围成的封闭区域(包含边界)内，则圆 C的半径能取到的最大值为________.
【解析】依题意，结合图形的对称性可知，要使满足题目约束条件的圆的半径最大，圆心位
于 x 轴上且与 x=3 相切时才有可能，可设圆心坐标是(a，0)(0
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