广东省珠海市2021届高三上学期摸底考试数学试题 含答案解析及评分参考

1 珠海市 2020-2021 学年度第一学期高三 摸底测试 数学 2020.9 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1．设集合 ， ，则 A． B． C． D． 2． A．1 B．2 C．−i D．−2i 3．8 名医生去甲、乙、丙三个单位做核酸检测，甲、乙两个单位各需三名医生，丙需两名 医生，其中医生 a 不能去甲医院，则不同的选派方式共有 A．280 种 B．350 种 C．70 种 D．80 种 4．一球 内接一圆锥，圆锥的轴截面为正三角形 ，过 作与球 相切的平面 ，则 直线 与平面 所成的角为 A．30° B．45° C．15° D．60° 5．现有 8 位同学参加音乐节演出，每位同学会拉小提琴或会吹长笛，已知 5 人会拉小提琴， 5 人会吹长笛，现从这 8 人中随机选一人上场演出，恰好选中两种乐器都会演奏的同学 的概率是 A． B． C． D． 6．若定义在 上的奇函数 f(x)在 单调递增，且 ，则满足 的解集 是 A． B． C． D． 7．已知 P 是边长为 1 的正方形 ABCD 边上或正方形内的一点，则 的最大值是 A． B．2 C． D． { }2| 4A x x= > { }2| 30B x x x= − < A B = ( 5, 2) (2,6)− −  ( 2, 2)− ( , 5) (6, )−∞ − +∞ ( , 2) (2, )−∞ − +∞ 2 7 (1 )i i − = O ABC C O α AC α 1 4 1 2 3 8 5 8 R (0, )+∞ ( 5) 0f − = 0)(xf x < ( , 5) (5, )−∞ − +∞ ( , 5) (0,5)−∞ −  ( 5,0) (5, )− +∞ ( 5,0) (0,5)−  AP BP⋅  1 4 1 1 22 8．直线 是曲线 和曲线 的公切线，则 A．2 B． C． D． 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分。 9．已知双曲线 的中心在原点，对称轴为坐标轴，渐近线方程为 ，则双曲线 的 离心率为 A． B． C． D． 10．如图是函数 的部分图象，则 (第 10 题图) A． B． C． D． 11．已知 ，则 A． B． C． D． 12．已知随机变量 的取值为不大于 的非负整数，它的概率分布列为　　 … … 其中 满足 ，且 ．定义由 生成的 函数 ， 为函数 的导函数， 为随机变量 的期望．现有一枚质地均匀的正四面体型骰子，四个面分别标有 1，2， :l y kx b= + ( ) ln( 1)f x x= + 2( ) ln( )g x e x= b = 1 2 ln 2 e ln(2 )e E 2y x= ± E 5 2 5 5 3 3 3 5 5 ( ) sin( )f x A xω ϕ= + ( 0)ω > 1( ) 2sin( )2 4f x x π= + 1( ) 2sin( )2 2f x x π= + 1( ) 2sin( )2 2f x x π= − − 1( ) 2cos( )2f x x= 0ab < 2 2 2a b ab+ ≥ 2 2 2a b ab+ < ( ) 0a a b− > 2b a a b + ≥ X ( )n n N ∗∈ X 0 1 2 3 n p 0p 1p 2p 3p np ( 0,1,2,3, , )ip i n=  [0,1]ip ∈ 0 1 2 1np p p p+ + + + = X 2 3 0 1 2 3( ) i n i nf x p p x p x p x p x p x= + + + + + + +  ( )g x ( )f x ( )E X X3 3，4 个点数，这枚骰子连续抛掷两次，向下点数之和为 ，此时由 生成的函数为 ， 则 A． 　　B． 　　C． 　　D． 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，过原点的直线 与 交于 A，B 两 点， 、 都与 轴垂直，则 =________． 14．将数列 与 的公共项从小到大排列得到数列{a n}，则{a n}的前 10 项和为 ________（用数字作答）． 15 ． 已 知 、 为 锐 角 三 角 形 的 两 个 内 角 ， ， ， 则 　　　　． 16．一半径为 的球的表面积为 ，球一内接长方体的过球心的对角截面为正方形，则 该长方体体积的最大值为　　　　　． 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（10 分） 在① ， ② ， ③ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求 的值；若问题中 的三角形不存在，说明理由． 问题：是否存在非直角 ，它的内角 的对边分别为 ， 且 ， ，________? 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 18．（12 分） 已知数列 是正项等比数列，满足 ， ． （1）求 的通项公式； X X 1( )f x ( ) (2)E X g= 1 15(2) 2f = ( ) (1)E X g= 1 225(2) 4f = 2 2 : 14 3 x yE + = 1F 2F l E 1AF 2BF x | |AB { }2n { }2n α β 4 3sin 7 α = 5 3sin( ) 14 α β+ = cos 2β = R 64π 1cos 2B = 1cos 2C = 2cos 2C = c ABC△ , ,A B C , ,a b c sin (1 2cos ) 2sin cos cos sinB C A C A C+ = + 1b = { }na 3 4 52a a a+ = 1 2 1a a+ = { }na4 （2）设 ，求数列 的前 项和 ． 19．（12分）如图，三棱锥 中， ， ，平面 PBC⊥底面ABC， ， 分别是 ， 的中点． （1）证明：PD⊥平面ABC； （2）求二面角 的正切值． (第19题图) 20．（12分）某药企对加工设备进行升级，现从设备升级前、后生产的大量产品中各抽取了 100件产品作为样本检测某项质量指标值: 该项质量指标值落在 内的产品为优等品， 每件售价240元；质量指标值落在 和 内的为一等品，每件售价为180元；质 量指标值落在 内的为二等品，每件售价为120元；其余为不合格品，全部销毁．每 件产品生产销售全部成本50元． 下图是设备升级前100个样本的质量指标值的频率分布直方图 (第20题图) 下表是设备升级后100个样本的质量指标值的频数分布表 (1) 以样本估计总体，若生产的合格品全部在当年内可以销售出去，计算设备升级前一件产 品的利润 (元)的期望的估计值． 质 量 指 标 值 频数 2log (3 )n nt a= 1 2 1 n nt t+ +       n nT P ABC− 2AC BC PC PB= = = = 120ACB∠ =  D E BC AB P CE B− − [25,30) [20, 25) [30,35) [35, 40) X [15, 20) [20, 25) [25,30) [30,35) [35, 40) [40, 45) 2 18 48 14 16 2 P E DC B A5 (2)以样本估计总体，若某位患者从升级后生产的合格产品中随机购买两件，设其支付的费 用为 (单位：元)，求 (元)的分布列． 21．（12分）已知函数 ， ． （1）讨论函数 的单调性； （2）讨论 的零点的个数． 22．（12分）已知抛物线 的顶点在原点，焦点 到直线 的距 离 为 ， 为 直 线 上 的 点 ，过 作 抛 物 线 的 切 线 、 ，切点 为 ． (1)求抛物线 的方程； (2) 若 ，求直线 的方程; (3)若 为直线 上的动点，求 的最小值． ξ ξ 2( ) e 2( )x xf x x ax e ax a= + − + + 0a ≥ ( )f x ( )f x E (0, )2 pF ( 0)p > : 2l y x= − 3 2 2 0 0( , )P x y l P E PM PN M N、 E (3,1)P MN P l | | | |MF NF⋅6 珠海市 2020-2021 学年度第一学期高三摸底测试 数学 2020.9 解析及评分参考 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1．设集合 ， ，则 A A． B． C． D． 2． B A．1 B．2 C．−i D．−2i 3．8 名医生去甲、乙、丙三个单位做核酸检测，甲、乙两个单位各需三名医生，丙需两名 医生，其中医生 a 不能去甲医院，则不同的选派方式共有 B A．280 种 B．350 种 C．70 种 D．80 种 4．一球 内接一圆锥，圆锥的轴截面为正三角形 ，过 作与球 相切的平面 ，则 直线 与 所成的角为 D A．30° B．45° C．15° D．60° 5．现有 8 位同学参加音乐节演出，每位同学会拉小提琴或会吹长笛，已知 5 人会拉小提琴， 5 人会吹长笛，现从这 8 人中随机选一人上场演出，恰好选中两种乐器都会演奏的同学 的概率是 A A． B． C． D． 6．若定义在 上的奇函数 f(x)在 单调递增，且 ，则满足 的解集 是 D A ． B ． C ． D． 7．已知 P 是边长为 1 的正方形 ABCD 边上或正方形内的一点，则 的最大值是 C A． B．2 C． D． { }2| 4A x x= > { }2| 30B x x x= − < A B = ( 5, 2) (2,6)− −  ( 2, 2)− ( , 5) (6, )−∞ − +∞ ( , 2) (2, )−∞ − +∞ 2 7 (1 )i i − = O ABC C O α AC α 1 4 1 2 3 8 5 8 R (0, )+∞ ( 5) 0f − = 0)(xf x < ( , 5) (5, )−∞ − +∞ ( , 5) (0,5)−∞ −  ( 5,0) (5, )− +∞ ( 5,0) (0,5)−  AP BP⋅  1 4 1 1 27 8．直线 是曲线 和曲线 的公切线，则 C A．2 B． C． D． 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分。 9．已知双曲线 的中心在原点，对称轴为坐标轴，渐近线方程为 ，则双曲线 的 离心率为 AB A． B． C． D． 10．如图是函数 的部分图象，则 BCD A． B． C． D． 11．已知 ，则 ACD A． B． C． D． 12．已知随机变量 的取值为不大于 的非负整数，它的概率分布列为　　 … … 其中 满足 ，且 ．定义由 生成的 函数 ， 为函数 的导函数， 为随机变量 的期望．现有一枚质地均匀的正四面体型骰子，四个面分别标有 1，2， 3，4 个点数，这枚骰子连续抛掷两次，向下点数之和为 ，此时由 生成的函数为 ， 则 CD :l y kx b= + ( ) ln( 1)f x x= + 2( ) ln( )g x e x= b = 1 2 ln 2 e ln(2 )e E 2y x= ± E 5 2 5 5 3 3 3 5 5 ( ) sin( )f x A xω ϕ= + ( 0)ω > 1( ) 2sin( )2 4f x x π= + 1( ) 2sin( )2 2f x x π= + 1( ) 2sin( )2 2f x x π= − − 1( ) 2cos( )2f x x= 0ab < 2 2 2a b ab+ ≥ 2 2 2a b ab+ < ( ) 0a a b− > 2b a a b + ≥ X ( )n n N ∗∈ X 0 1 2 3 n p 0p 1p 2p 3p np ( 0,1,2,3, , )ip i n=  [0,1]ip ∈ 0 1 2 1np p p p+ + + + = X 2 3 0 1 2 3( ) i n i nf x p p x p x p x p x p x= + + + + + + +  ( )g x ( )f x ( )E X X X X 1( )f x8 A． 　　B． 　　C． 　　D． 提示： 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，过原点的直线 与 交于 A，B 两 点， 、 都与 轴垂直，则 =________． 14．将数列 与 的公共项从小到大排列得到数列{a n}，则{a n}的前 10 项和为 ________（用数字作答）． 2046 15 ． 已 知 、 为 锐 角 三 角 形 的 两 个 内 角 ， ， ， 则 　　　　． 16．一半径为 的球的表面积为 ，球一内接长方体的过球心的对角截面为正方形，则 该长方体体积的最大值为　　　　　． 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（10 分） 在① ， ② ， ③ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求 的值；若问题中 的三角形不存在，说明理由． 问题：是否存在非直角 ，它的内角 的对边分别为 ， ( ) (2)E X g= 1 15(2) 2f = ( ) (1)E X g= 1 225(2) 4f = X 2 3 4 5 6 7 8 p 1 16 2 16 3 16 4 16 3 16 2 16 1 16 2 3 4 5 6 7 8 1 1 2 3 4 3 2 1( ) 16 16 16 16 16 16 16f x x x x x x x x= + + + + + + 2 3 4 5 6 7 8 1 1 2 3 4 3 2 1(2) 2 2 2 2 2 2 216 16 16 16 16 16 16f = × + × + × + × + × + × + × 225 4 = 2 2 : 14 3 x yE + = 1F 2F l E 1AF 2BF x | |AB 13 { }2n { }2n α β 4 3sin 7 α = 5 3sin( ) 14 α β+ = cos 2β = 1 2 − R 64π 64 2 1cos 2B = 1cos 2C = 2cos 2C = c ABC△ , ,A B C , ,a b c9 且 ， ，________? 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 解： 中，由 得 …………………………………………………………… …………1 分 ∴ ……………………………………………………………………… 2 分 ∵ 不是直角三角形 ∴ ∴ ………………………………………………………………………3 分 即 ………………………………………………………………………4 分 ∵ ∴ ………………………………………………………………………6 分 选①：由 ，及 得 …………………………………………………7 分 由 得 ……………………………………………………9 分 不合理，故 不存在．……………………………………………………………………… 10 分 选②：由 得 …………………………………………………………………… …8 分 ∴ ………………………………………………………………………9 分 ∴ 为直角，不合题设，故 不存在．…………………………………………………10 分 选③：由 sin (1 2cos ) 2sin cos cos sinB C A C A C+ = + 1b = ABC△ sin (1 2cos ) 2sin cos cos sinB C A C A C+ = + sin 2sin cos sin cos cos sin sin cosB B C A C A C A C+ = + + sin sin cosB A C= + (2sin sin )cos 0B A C− = ABC△ cos 0C ≠ 2sin sinB A= 2a b= 1b = 2a = 1cos 2B = 0 B π< < 3B π= sin sin b a B A = sin 3 1A= > ABC△ 1cos 2C = 2 2 2 cos 3c a b ab C= + − = 2 2 2b c a+ = A ABC△ 2cos 2C =10 得 ．……………………………………………………… 10 分 18．（12 分） 已知数列 是正项等比数列，满足 ， ． （1）求 的通项公式； （2）设 ，求数列 的前 项和 ． 解：（1）设正项等比数列 的公比为 由 得 解得 ………………………………2 分 所以 的通项公式 …………………………………………………………… 4 分 （2） ………………………………………………6 分 故 ………………………………………………………………8 分 所以 的前 项和: ．…………………………………… ………12 分 19 ．（12 分）如图，三棱锥 中， ， 2 2 2 cos 5 2 2c a b ab C= + − = − { }na 3 4 52a a a+ = 1 2 1a a+ = { }na 2log (3 )n nt a= 1 2 1 n nt t+ +       n nT { }na 0q > 3 4 5 1 2 2 1 a a a a a + =  + = 2 3 4 1 1 1 1 1 2 1 a q a q a q a a q  + =  + = 1 1 3 2 a q  =  = { }na 12 3 n na − = n N ∗∈ 1 2 2log (3 ) log 2 1n n nt a n−= = = − 1 2 1 1 1 1 ( 1) 1n nt t n n n n+ + = = −+ + 1 2 1 n nt t+ +       n 1 1 1 1 1 1 1(1 ) ( ) ( ) ( )2 2 3 3 4 1 1n nT n n n = − + − + − + + − =+ + P ABC− 2AC BC PC PB= = = = P E DC B A11 ，平面PBC⊥底面ABC， ， 分别是 ， 的中点． （1）证明：PD⊥平面ABC； （2）求二面角 的正切值． （1）证明：∵ ， 是 中点 ∴PD⊥BC…………………………………………1分 ∵平面PBC⊥底面ABC，PD 平面PBC，平面PBC 底面ABC ∴PD⊥平面ABC.………………………………………………4分 （2）解：如图，取 中点 ，连接 ， 则 ………………………………………………5 分 ∵ ， 是 的中点， ∴ ，……………………………………………………6 分 ， ∴ ，…………………………………………………………7 分 ∵PD⊥平面 ABC ∴ ， ∴ 平面 ………………………………………………………………………8 分 ∴ ………………………………………………………………………9 分 ∴ 为二面角 的平面角.……………………………………………………10 分 在 中， …………………………………………11 分 ∴二面角 的正切值为 2．…………………………………………………………… 12 分 120ACB∠ =  D E BC AB P CE B− − PC PB= D BC ⊂  BC= CE F DF PF //DF AB 2AC BC PC PB= = = = E AB 120ACB∠ =  CE AB⊥ 3BE = 3PD = DF CE⊥ 3 2DF = CE PD⊥ PD DF D= CE ⊥ PDF CE FP⊥ PFD∠ P CE B− − Rt PDF∆ 3tan 2 3 2 PDPFD DF ∠ = = = P CE B− − P F E DC B A12 20．（12分）某药企对加工设备进行升级，现从设备升级前、后生产的大量产品中各抽取了 100件产品作为样本检测某项质量指标值: 该项质量指标值落在 内的产品为优等品， 每件售价240元；质量指标值落在 和 内的为一等品，每件售价为180元；质 量指标值落在 内的为二等品，每件售价为120元；其余为不合格品，全部销毁．每 件产品生产销售全部成本50元． 下图是设备升级前100个样本的质量指标值的频率分布直方图 下表是设备升级后100个样本的质量指标值的频数分布表 (1) 以样本估计总体，若生产的合格品全部在当年内可以销售出去，计算设备升级前一件产 品的利润 (元)的期望的估计值． (2)以样本估计总体，若某位患者从升级后生产的合格产品中随机购买两件，设其支付的费 用为 (单位：元)，求 (元)的分布列． 解：(1)由题设知， ………………………………………1分 的分布列为 ………………………………………………………………………3分 质 量 指 标 值 频数 [25,30) [20, 25) [30,35) [35, 40) X ξ ξ 50,70,130,190X = − X X 50− 70 130 190 P 0.14 0.18 0.28 0.4 [15, 20) [20, 25) [25,30) [30,35) [35, 40) [40, 45) 2 18 48 14 16 213 设备升级前利润的期望值为 ……………………4分 ∴升级前一件产品的利润的期望估计值为118元．………………………5分 (2) 升级后设患者购买一件合格品的费用为 (元) 则 ………………………………………………………………………6分 患者购买一件合格品的费用 的分布列为 ……………………………8分 则 ………………………………………………10分 则升级后患者购买两件合格品的费用的分布列为 ………………………………………………………………………12分 21．（12分）已知函数 ， ． （1）讨论函数 的单调性； （2）讨论 的零点的个数． 解：（1）∵ ∴ …………………………………………………1分 ( ) 0.14 ( 50) 0.18 70 0.28 130 0.4 190 118E X = × − + × + × + × = η 120,180,240η = η 240,300,360,420,480ξ = 1 1 1( 240) 6 6 36P ξ = = × = 1 1 1( 300) 3 3 9P ξ = = × = 1 1 1 1 5( 360) 2 2 6 3 3 18P ξ = = × × + × = 1 1 1( 420) 2 3 2 3P ξ = = × × = 1 1 1( 480) 2 2 4P ξ = = × = ξ 240 300 360 420 480 P 1 36 1 9 5 18 1 3 1 4 2( ) e 2( )x xf x x ax e ax a= + − + + 0a ≥ ( )f x ( )f x 2( ) e 2( )x xf x x ax e ax a= + − + + ( ) ( 1)(e 2 )xf x x a′ = − + η 120 180 240 P 1 6 1 3 1 214 时 时 ， 时 .……………………………3分 ∴ 时， 的减区间是 ，增区间是 ．………………………4分 （2）① 时，∵ 且 的减区间是 ，增区间是 ∴ 是 的极小值，也是最小值…………………………………5分 ，………………………………6分 取 且 ……………………………7分 则 ………………………… 8分 ∴ 在 和 上各一个零点………………………………………9分 ② 时， 只一个零点 …………………………………10分 综上， 时， 有两个零点；…………………………………………11分 时， 一个零点．……………………………………………………………………… 12分 22．（12分）已知抛物线 的顶点在原点，焦点 到直线 的距 离 为 ， 为 直 线 上 的 点 ，过 作 抛 物 线 的 切 线 、 ，切点 为 ． (1)求抛物线 的方程； (2) 若 ，求直线 的方程; (3)若 为直线 上的动点，求 的最小值． 解：(1)由 到直线 的距离为 得 0a ≥ 1x < ( ) 0f x′ < 1x > ( ) 0f x′ > 0a ≥ ( )f x ( ,1)−∞ (1, )+∞ 0a > (1) 0f ′ = ( )f x ( ,1)−∞ (1, )+∞ (1) 0f e= − < ( )f x (2) 0f a= > 0b < ln 2 ab < 2 2( ) ( 2) ( 1) ( 2) ( 1) (2 3) 02 2 b a af b b e a b b a b b b= − + − > − + − = − > ( )f x ( ,1)b (1,2) 0a = ( ) ( 2) xf x x e= − 2x = 0a > ( )f x 0a = ( )f x E (0, )2 pF ( 0)p > : 2l y x= − 3 2 2 0 0( , )P x y l P E PM PN M N、 E (3,1)P MN P l | | | |MF NF⋅ (0, )2 pF : 2 0l x y− − = 3 2 2 | 2 | 3 22 22 p + =15 得 或 ………………………………………………………2分 ∵ ∴ …………………………………………………………………3分 ∴抛物线 .……………………………………………………4分 (2) 由 知 ∴ …………………………………………………………………5分 设切点 ， 则 即 ……………………………………………………6分 ∵ ， ∴ 即 ………………………………7分 ∴ ．………………8分 (3)若 为直线 上的动点，设 ，则 由(2)知 ∵ ， ∴ ∴ 与 联立消 得 …………“＊” ……………………………………9分 2p = 10p = − 0p > 2p = 2: 4E x y= 2: 4E x y= 21 4y x= 2 xy′ = 1 1( , )M x y 2 2( , )N x y 2 1 1 1 1 1 1 1: ( ) 22 2 2 2 x x x xPM y y x x x x y− = − = − = − 1 1: 2 xPM y x y= − 2 2: 2 xPN y x y= − P PM∈ P PN∈ 1 1 2 2 3 1 02 3 1 02 x y x y  − − =  − − = 1 1 2 2 3 2 2 0 3 2 2 0 x y x y − − =  − − = :3 2 2 0MN x y− − = P l 0 0( , )P x y 0 0 2x y= + P PM∈ P PN∈ 0 1 1 0 0 2 2 0 02 02 x x y y x x y y  − − =  − − = 0 0: 02 xMN x y y− − = 2: 4E x y= x 2 2 2 0 0 0( 2 4) 0y y y y y− + + + =16 则 ， 是“＊”的二根 ∴ ……………………………………………………………………… 10分 ………………………………………………………………………11分 当 时， 得到最小值为 ．…………………………12分 1y 2y 2 1 2 0 0 2 1 2 0 2 4y y y y y y y  + = + +  = 1 2 1 2 1 2| | | | ( 1)( 1) 1MF NF y y y y y y⋅ = + + = + + + 2 0 02 2 5y y= + + 0 1 2y = − | | | |MF NF⋅ 9 2