1
2021 级高三 7 月第一次周测理科数学
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
2．复数 满足 ，则 的最大值等于（ ）
A． B． C．3 D．
3．已知向量 满足 ，且 ，则向量 在 方向上的投影为（ ）
A． B． C． D．
4．命题 ， ，则 为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
5．过点 的直线 与抛物线 交于 两点， ，则 面积的最
小值
为（ ）
A． B． C． D．2
6．将函数 的图象向左平移 个单位长度，得到的函数
为偶函数，则实数 的值为（ ）
A．2 B． C． D．
{ || | (1 ) 0}A x x x= ⋅ − ≤ 1|1 0B x x
= − > A B =
{ | 1}x x ≥ { }| 1 0x x x≥ + + p¬
(0, )x∀ ∈ +∞ 211 2
xe x x+ +≤ 0 (0, )x∃ ∈ +∞ 0 2
0 0
11 2
xe x x< + +
(0, )x∀ ∈ +∞ 211 2
xe x x< + + 0 (0, )x∃ ∈ +∞ 0 2
0 0
11 2
xe x x+ +≤
1 ,02M
l 2 2y x= A B、 (2,0)C ABC△
3
2
1
2
3
4
2 2( ) sin cos sin cosf x a x x x x= + − π
3
a
2 3 3 4 32
7．改编自中国神话故事的动画电影《哪吒之魔童降世》自 7 月 26 日首映，在不到一个月的
时间，票房收入就超过了 38 亿元，创造了中国动画电影的神话．小明和同学相约去电影院
观看《哪吒之魔童降世》，影院的三个放映厅分别在 7：30，8：00，8：30 开始放映，小明
和同学大约在 7：40 至 8：30 之间到达影院，且他们到达影院的时间是随机的，那么他们到
达后等待的时间不超过 10 分钟的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．设 的展开式中各项的二项式系数之和为 ， 的展开式中各项的
二项式系数之和为 ，若 ，则 的展开式中各项系数之和为（ ）
A．16 B．32 C．81 D．243
9．已知一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
10．已知实数 ， ， ，则 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
11．如图所示，在三棱锥 中， ， ， ，点 在平面
内的投影 恰好落在 上，且 ， ，则三棱锥 外接球的表面积为
（ ）
A． B． C． D．
12．若函数 在 上有两个零点 ，且 ，则实数 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
1
3
1
2
2
5
3
4
2 11 n
x
x
− + M ( )22 1 n
x +
N 112M N− = ( )22 1 n
x +
8π
3 8π 16π
3 12π
4
ln2a = 6
ln3b = 10
ln5c = , ,a b c
a b c> > c b a> > b a c> > c a b> >
P ABC− AB BC⊥ 3AB = 2BC = P ABC
D AB 1AD = 2PD = P ABC−
9π 10π 12π 14π
( ) xf x ae x= − R 1 2,x x 2
1
3x
x
≥ a
ln3 3 ln36
3 ln33
3 ln323
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．
13．在人类与大自然的较量中，经常面对影响人类生存、反复无常的天气变化．人类对天气
变化经历了漫长的认识过程，积累了丰富的气象经验．三国时期，孙刘联军运用气象观测经
验，预报出会有一场大雾出现，并在大雾的掩护下，演出了一场“草船借箭”的好戏，令世人
惊叹．小明计划 8 月份去上海游览，受台风“利马奇”的影响，上海市 8 月份一天中发生雷雨
天气的概率上升为 0．8，那么小明在上海游览的 3 天中，只有 1 天不发生雷雨天气的概率
约为________．
14．已知数列 、 都是等差数列，其前 项和分别为 和 ，若对任意的
都有 ，则 _____．
15． 是幂函数 图象上的点，将 的图象向右平移 2 个单位长度，
再向上平移 个单位长度，得到函数 的图象，若点 （ ，且 ）
在 的图象上，则 ______．
16．已知 ､ 为双曲线 的左､右焦点， 为双曲线右支上异于顶点的任意一点，
若 内切圆的圆心为 ，则圆心 到圆 上任意一点的距离的最小值
为_______．
三、解答题：本大题共 6 个大题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤．
17．（12 分）在 中，角 所对的边分别是 ， ．
（1）若 ， ，求 ；
（2）若 边上的高之比为 ，求 面积的最大值．
18．（12 分）如图①，在平行四边形 中， ， ， ， 为
中点．
将 沿 折 起 使 平 面 平 面 ， 得 到 如 图 ② 所 示 的 四 棱 锥
．
{ }na { }nb n nS nT *n∈N
7 1
4 5
n
n
S n
T n
+= +
5
3
a
b
=
9 3,4 2M ( ) af x x= ( )f x
3
2
( )y g x= ( , )nT n m *n∈N 2n ≥
( )g x 2 3 9MT MT MT+ + + =
1F 2F
2
2 14
x y− = P
1 2PF F△ I I 22 ( 1) 1yx + − =
ABC△ 、 、A B C a b c、 、 2c =
2b = 2sin( ) 6sin 2
CA B+ = sin A
BC AC、 2:1 ABC△
ABCD 4AB = 2AD = π
3ABC∠ = E
CD
ADE△ AE ADE ⊥ ABCE
P ABCE−4
（1）求证：平面 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值．
19．（12 分）足球比赛中，一队在本方罚球区内犯规，会被判罚点球，点球是进攻方非常有
效的得分手段．研究机构对某位足球队员的 1000 次点球训练进行了统计分析，以帮助球员
提高点球的命中率．如图，将球门框内的区域分成 9 个区域（区域代码为 1—9，球门框外
的区域记做区域 0），统计球员射点球时射中 10 个区域次数和进球次数（即使射中球门框内，
也可能被守门员扑出），得到如下的两个频率分布条形图：
PAE ⊥ PBE
PB PCE5
（其中射中率 ，得分率 ）
（1）根据上述频率分布条形图，求射中球门框内时，各区域进球数的平均数（结果保留两
位小数）和中位数；
（2）以该队员这 1000 次点球练习的进球频率作为他在比赛中射点球时进球的概率，设他在
三次射点球时进球数为 ，求 的分布列和期望．
20．（12 分）在平面直角坐标系中， 的顶点 ， ，且 、 、
成等差数列．
1000
= 射中数 = 进球数
射中数
X X
ABC△ ( 1,0)A − (1,0)B sin A sinC
sin B6
（1）求 的顶点 的轨迹方程；
（2）直线 与顶点 的轨迹交于 两点，当线段 的中点 落在直线
上时，试问：线段 的垂直平分线是否恒过定点？若过定点，求出定点的坐标；
若不过定点，请说明理由．
21．（12 分）设函数 ．
（1）若函数 有两个极值点，求实数 的取值范围；
（2）设 ，若当 时，函数 的两个极值点 满足 ，
求证： ．
请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．（10 分）【选修 4-4：坐标系与参数方程】
ABC△ C
y kx b= + C M N、 MN P
3
2y = − MN
2( ) lnf x x x ax= −
( )f x a
( )( ) ( 2) f xg x ax x x
= − − 0a < ( )g x 1 2,x x 1 2x x<
( )2
9
4g x >7
在平面直角坐标系 中，曲线 与曲线 的参数方程分别为 （ 为参数）和
（ 为参数）．
（1）当 时，求曲线 与曲线 的普通方程；
（2）设 ，若曲线 与曲线 交于 两点，求使 成为定值的点
的坐标．
23．（10 分）【选修 4-5：不等式选讲】
已知函数 ．
（1）若 时， 恒成立，求实数 的取值范围；
（2）当 时，求函数 在 上的最大值．
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．【答案】C
【解析】由 ，解得 或 ， ，
xOy 1C 2C
24
4
x k
y k
=
= k
cos
sin
x a t
y t
θ
θ
= +
= t
π
3
θ = 1C 2C
( ,0)P a 2C 1C A B、 2 2
1 1
| | | |
+
PA PB P
( ) | | 2| |
af x xx
= − +
1 ,22x ∈
( ) 0f x ≥ a
3
4a = − ( )f x [ 2,0)x ∈ −
( )1 0x x− ≤ 1x ≥ 0x = { | 1 0}A x x x∴ = ≥ =或8
由 ，解得 或 ， ，
，故选 C．
2．【答案】C
【解析】设 ，由 ，
可得 ， ， ，
又 ，
，
又 在 上是单调减函数，故 ．
故 的最大值等于 3，故选 C．
3．【答案】B
【解析】因为 ，故可得 ，故 ，
则向量 在 方向上的投影为 ，故选 B．
4．【答案】D
【解析】因为全称命题的否定是特称命题，且 ， ，
故 ， ，故选 D．
5．【答案】A
【解析】设直线 方程为 ， ， ，
由 ，得 ， ， ，
，
当且仅当 时，即直线 方程为 时，取得最小值，
面积的最小值为 ，故选 A．
1 11 0x
x x
−− = > 1x > 0x < |{ 1 0}B x x x∴ = > + +
0 0 ): ( ,xp ∃ ∈ +∞¬ 0 2
0 0
11 2
xe x x+ +≤
l 1
2x ty= + ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y
2
1
2
2
x ty
y x
= +
=
2 2 1 0y ty− − = 1 2 2y y t∴ + = 1 2 1y y = −
( )2 2
1 2 1 2 1 2
1 3 3 3| 4 12 4 2 2|ABCS MC y y y y y y t∴ = ⋅ − = + − = + ≥△
0t = l 1
2x =
ABC∴△ 3
29
6．【答案】B
【解析】因为 ，故 ，
，
故 ，故选 B．
7．【答案】C
【解析】由题意可知，满足条件的时间段为 7：50~8：00，8：20~8：30，共 20 分钟，
7：40 至 8：30 之间共计 50 分钟，
由几何概型知所求概率为 ，故选 C．
8．【答案】C
【解析】由 ，得 ，解得 ，
令 ，故可得 的展开式中各项系数之和为 ，故选 C．
9．【答案】B
【解析】由三视图知，该几何体为一个圆柱挖去半个球和一个圆锥，
∴ ，故选 B．
10．【答案】D
【解析】因为 ， ， ，
且 ， ，
同理 ， ，
，故选 D．
11．【答案】D
【解析】由已知可知 平面 ， 平面 平面 ，
又因为 ， 平面 ，
可构造直三棱柱 ，
2 2( ) sin cos sin cosf x a x x x x= + − ( ) sin 2 cos22
af x x x= −
2π 2πsin 2 cos 23 2 3 3
π af x x x ∴ + = + − +
2π 2π 2π 2πsin 2 cos cos2 sin cos2 cos sin 2 sin2 3 2 3 3 3
a ax x x x= + − +
3 1 3sin 2 cos2 cos2 sin 24 4 2 2
a ax x x x= − + + +
2 3 3 2sin2 cos24 4
a ax x
− + += +
2 3a =
20 2
50 5
=
112M N− = 2 12 2 112n n− − = 4n =
1x = ( )22 1 n
x + 43 81=
31 1 416π 4π 2 π 2 8π3 2 3V = − × × − × × =
ln5 0> ln3 0> ln 2 0>
4ln5 ln 625 ln1024 10ln 2= < = 4 10
ln2 ln5a c∴ = < =
4ln3 ln81 ln64 6ln2= > = 4 6
ln2 ln3a b∴ = > =
c a b∴ > >
PD ⊥ ABC ∴ PAB ⊥ ABC
AB BC⊥ BC∴ ⊥ PAB
∴ PAB MNC−10
直三棱柱 的外接球就是三棱锥 的外接球，
且球心 为直三棱柱上下底面三角形外接圆圆心连线的中点．
在 中，由正弦定理可求得外接圆半径为 ，
外接球半径为 ，
三棱锥 外接球的表面积为 ，故选 D．
12．【答案】B
【解析】由 ， ，可得 ．
设 ，则 ， ， ，
设 ， ，
设 ，则 ， ，
为减函数，故 ，即 ，
由 ，不妨设 ，则 ，
为增函数，
，实数 的最大值为 ，故选 B．
PAB MNC− P ABC−
O
PAB△ π
5 10
22sin 4
=
∴
2
10 1412 2
+ =
∴ P ABC−
2
144π 14π2
=
1
1
xae x= 2
2
xae x= 2 12
1
3x xx ex
−= ≥
2 1t x x= − ln3t ≥ 1 1
tt x e x∴ = − 1 1t
tx e
∴ = −
( ) ( ln3)1t
tg t te
= ≥− ( )2
1( )
1
t t
t
e teg t
e
− −′ =
−
( ) 1t th t e te= − − ( ) 0th t te′ = − < ( ) (ln3) 2 3ln3 0h t h∴ ≤ = − <
( )g t∴ ( ) ( ) 1ln3 ln32g t g≤ = 1
1 ln32x ≤
1
1
x
xa e
= ( ) xs x x
e
= ( )2
1( ) 0
x x
xx
e xe xs x ee
− −′ = = >
1( ) ln32x
xs x xe
∴ = ≤
1 ln3 32 ln363
a∴ ≤ = a 3 ln3611
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．
13．【答案】
【解析】根据题意，容易知满足题意的概率 ，
故答案为 ．
14．【答案】
【解析】根据等差数列前 项和的性质，
可设 （ ，且 ），则 ，
， ，
，故答案为 ．
15．【答案】30
【解析】由 ，得 ， ， ，
因为点 在函数 上， ，即 ，
，
，
故答案为 ．
16．【答案】1
【解析】由双曲线 ，则 ， ， ．
设 内切圆与 的三边 ､ ､ 的切点分别为 ､ ､ ，
根据圆的切线性质，可得 ，
0.384
2 2
3C (0.8) (1 0.8) 0.384P = × × − =
0.384
8
5
n
( )2(7 1) 7nS kn n n n k= ⋅ + = + k ∈R 0k ≠ ( 24 5 )nT n n k= +
5 5 4 180 116 64a S S k k k∴ = − = − = 3 3 2 51 26 25b T T k k k= − = − =
5
3
64 8
25 5
a k
b k
∴ = = 8
5
3 9
2 4
a =
1
2a =
1
2( )f x x∴ = ( )1
2
3( ) 2 2g x x∴ = − +
( ),n m ( )g x ( )1
2
3 22m n∴ − = −
23 22m n − = −
2 2 29 3 9 24 2 4nMT n m n n = − + − = − + −
2
2 7 49 7 7
2 16 4 4n n n n = − + = − = −
( 2)n ≥
( )2 3 9
7 7 7 72 3 9 2 3 9 84 4 4 4MT MT MT ∴ + + + = − + − + + − = + + + − ×
8 11 14 302
×= − =
30
2
2 14
x y− = 2a = 1b = 5c =
1 2PF F△ 1 2PF F△ 1PF 2PF 1 2F F D N M
1 2 2 4F M F M a− = =12
又因为 ，∴ ，即 ，
∴内切圆圆心 在直线 上，
又因为圆 的圆心为 ，半径 ，
∴圆心 到圆 上任意一点的距离的最小值为 ，
故答案为 1．
三、解答题：本大题共 6 个大题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤．
17．【答案】（1） ；（2） ．
【解析】（1） ，
，
，解得 ，或 （舍），
， ，
．
（2）设 边上的高分别为 、 ，则 ，
， ，
由余弦定理可得 ，
则 ，
则 ．
由三角形两边之和大于第三边可得 ，解得 ，
1 2 1 2 2 5F M F M F F+ = = 1 5 2F M = + 2OM =
I 2x =
22 ( 1) 1yx + − = (0,1) 1r =
I 22 ( 1) 1yx + − = 2 1 1− =
24
25
4
3
2 1 cossin( ) sin 6sin 6 3 3cos2 2
C CA B C C
−+ = = = ⋅ = −
2 2(3 3cos ) cos 1C C∴ − + =
25cos 9cos 4 0C C∴ − + = 4cos 5C = cos 1C =
2b = B C∴∠ = ∠
3 4 24sin sin(π 2 ) sin 2 2sin cos 2 5 5 25A C C C C∴ = − = = = × × =
a b、 1h 2h 1
2
2h
h
=
1 2
1 1
2 2ABCS a h b h= ⋅ = ⋅ △ 2b a∴ =
2 2
2 2
4 5 1cos 4 4
b aC a a
+ −= = −
2
2
2
5 1sin 1 cos 1 4C C a
= − = − −
2 2
2 4 2
2
1 5 1 9 20 16sin sin 12 4 16 9 9ABCS ab C a C a aa
= = = − − = − − + △
2 2
2 2
2 2
a a
a a
a a
+ >
+ >
+ >
2 23 a<
C
A B、 x
2 4a∴ = 2 2c = 2 2 2 3b a c∴ = − =
∴ 2 2
1( 2)4 3
x y x+ = ≠ ±
( )1 1,M x y ( )2 2,N x y
2 2
14 3
y kx b
x y
= + + =
( )2 2 24 3 8 4 12 0k x kbx b+ + + − =
( )2 2
1 2 2
2
1 2 2
48 4 3
8
4 3
4 12
4 3
Δ k b
kbx x k
bx x k
= + −
−∴ + = +
−⋅ = +
1 2
2
4
2 4 3P
x x kbx k
+ −∴ = = +
1 2
1 2 2
1 3[ ( ) 2 ]2 2 4 3p
y y by k x x b k
+= = + + = +
P 3
2y = − 2
3 3
4 3 2
b
k
∴ = −+
24 3 2 3k b∴ + = −
2 3
3P
kx∴ = 2 3 3,3 2P k
∴ −
16
线段 的垂直平分线方程为 ，即 ，
线段 的垂直平分线恒过定点 ．
21．【答案】（1） ；（2）证明见解析．
【解析】（1）由已知，可知函数 的定义域为 ，
在 上有两个零点，
设 ， ，
当 时， ， 为增函数，不存在两个零点；
当 时， ，得 ，
时， ， 为增函数；
时， ， 为减函数，
且此时当 趋近于 时， 趋近于负无穷；当 趋近于正无穷时， 趋近于负无穷．
故要满足题意，只需 ， ，
实数 的取值范围是 ．
（2）证明： ，
，
由 的两根为 ，故可得 ，
， ，
∴ MN 3 1 2 3
2 3y x kk
+ = − −
1 3
6y xk
= − +
∴ MN 30, 6
10, 2
( )f x (0, )+∞
( ) ln 1 2f x x ax′ = + − (0, )+∞
( ) ln 1 2h x x ax= + − 1 2( ) ( 0)axh x xx
−′∴ = >
0a ≤ ( ) 0h x′ > ( )f x′
0a > ( ) 0h x′ = 1
2x a
=
10, 2x a
∈ ( ) 0h x′ > ( )f x′
1 ,2x a
∈ +∞ ( ) 0h x′ < ( )f x′
x 0 ( )f x′ x ( )f x′
1 ln 2 02f aa
′ = − >
10 2a∴ < <
∴ a 10, 2
2( )( ) ( 2) ln ( 0)f xg x ax x ax ax x xx
= − − = − − >
21 2 1( ) 2 ax axg x ax a x x
− −′∴ = − − =
( ) 0g x′ = 1 2,x x 1 2
1
2x x+ =
1 2x x17
又 ， ，解得 ，
，
设 ，则 ，
当 时， ， 为增函数；
当 时， ， 为减函数，
， ，
，
令 ，则 ，
在 时单调递减， ，
成立．
22．【答案】（1） ， ；（2）点 的坐标为 ．
【解析】（1）消去参数，得到曲线 的普通方程为 ，
曲线 的普通方程为 ．
（2）将 的参数方程代入 ，可得 ，
设 ， 两点对应的参数分别为 ， ，
， ，
，
( ) 2
2 2 22 1 0g x ax ax′ = − − = 2
2 2
1 02a x x
∴ = 1( ) xF x x
−′ =
(0,1)x∈ ( ) 0F x′ > ( )F x
(1, )x∈ +∞ ( ) 0F x′ < ( )F x
( ) (1) 0F x F∴ ≤ = ln 1x x∴ ≤ −
( ) ( ) ( )2 22 2
2 2 2 2 2 2 2 2 22
2 2
2
1
1 14ln 1 1 1 12 2
2
x xg x ax ax x ax ax x x xx x x
− ∴ = − − − − + = − − = + + −≥ − −
2
1
2t x= − 10, 4t ∈
1
4y tt
= +
10, 4t ∈
1 1 5
1 4 44 4
y∴ > + =
×
( )2
5 91 4 4g x∴ > + =
2
1 : 4C y x= 2 3( ): y aC x= − P (2,0)
1C 2 4y x=
2C 3( )y x a= −
2C 2 4y x= 2 2sin 4cos 4 0t t aθ θ⋅ − ⋅ − =
A B 1t 2t
1 2 2
4cos
sint t
θ
θ∴ + = 1 2 2
4
sin
at t θ
−⋅ =
( )
( )
2 2 2
1 2 1 2
22 2 2 2 2
1 2 1 2
21 1 1 1 16cos 8 sin
| | | | 16
t t t t a
PA PB t t at t
θ θ+ − ⋅ +∴ + = + = =
⋅18
当 时， 为定值，与曲线 的倾斜角 无关，
点 的坐标为 ．
23．【答案】（1） ；（2） ．
【解析】（1） ， ，
由 恒成立，得 ， 恒成立．
设 ， ， ，则 ，
的取值范围是 ．
（2）当 时， ，
，
当且仅当 ，即 时取“ ”号．
又 ， ， ，
当 时，函数 在 上的最大值为 ．
2a = 2 2
1 1 1
4PA PB
+ = 2C θ
∴ P (2,0)
[0, )+∞ 2 3−
1 ,22x ∈ ( ) 2af x xx
∴ = − +
( ) 0f x ≥ 2 0a xx
− + ≥ 2 2a x x∴ ≥ −
2 2y x x= − 1 ,22x ∈
max 0y∴ = 0a ≥
a∴ [0, )+∞
[ 2,0)x ∈ − 3 3( ) 2 24 4f x x xx x
= + + = − − + −
3 3( ) 2 34 4xx
+ − ≥ =−
3
4 xx
= −−
3
2x = − =
3 [ 2,0)2
− ∈ −
3 34 xx
∴ + ≤ − 3 2 2 34 xx
∴ + + ≤ −
∴ 3
2x = − ( )f x [ 2,0)x ∈ − 2 3−
微信/支付宝扫码支付