专练33　高考大题专练(三)　数列的综合运用 含答案解析-2021届高三数学（理）一轮复习微专题训练

专练 33　高考大题专练(三)　数列的综合运用 1.已知等差数列{an}满足 a1＝3，a5＝15，数列{bn}满足 b1＝4，b5＝ 31.设 cn＝bn－an，且{cn}为正项等比数列． (1)求数列{an}和{bn}的通项公式； (2)求数列{bn}的前 n 项和 Sn. 2.[2020·全国卷Ⅲ]设数列{an}满足 a1＝3，an＋1＝3an－4n. (1)计算 a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明； (2)求数列{2nan}的前 n 项和 Sn. 3.[2019·全国卷Ⅱ]已知数列{an}和{bn}满足 a1＝1，b1＝0,4an＋1＝3an－ bn＋4,4bn＋1＝3bn－an－4. (1)证明：{an＋bn}是等比数列，{an－bn}是等差数列； (2)求{an}和{bn}的通项公式． 4.[2020·河南信阳高三测试]设数列{an}的前 n 项和为 Sn，a1＝2，an＋1 ＝2＋Sn.(n∈N*) (1)求数列{an}的通项公式； (2)设 bn＝1＋log2(an)2，求证数列{ 1 bnbn＋1}的前 n 项和 Tn＜1 6 . 5.[2020·全国卷Ⅰ]设{a n}是公比不为 1 的等比数列，a1 为 a2，a3 的等差中项． (1)求{an}的公比； (2)若 a1＝1，求数列{nan}的前 n 项和．专练 33　高考大题专练(三)　数列的综合运用 1．解析：(1)设等差数列{an}的公差为 d，依题意得 a5＝a1＋4d＝ 3＋4d＝15，解得 d＝3， 因此 an＝3＋3(n－1)＝3n. 设等比数列{cn}的公比为 q(q>0)， 由已知得 c1＝b1－a1＝4－3＝1，c5＝b5－a5＝31－15＝16. 因为 c5＝c1q4，即 16＝1×q4，解得 q＝2(负值舍去)， 所以 cn＝1×2n－1＝2n－1. 由 cn＝bn－an 得 bn＝an＋cn，所以 bn＝3n＋2n－1. (2)由(1)得 bn＝3n＋2n－1，所以数列{bn}的前 n 项和 Sn＝(3＋1)＋(6＋21)＋(9＋22)＋…＋(3n＋2n－1) ＝(3＋6＋9＋…＋3n)＋(1＋2＋22＋…＋2n－1) ＝n(3＋3n) 2 ＋1－2n 1－2 ＝3n＋3n2 2 ＋2n－1. 2．解析：(1)a2＝5，a3＝7. 猜想 an＝2n＋1.由已知可得 an＋1－(2n＋3)＝3[an－(2n＋1)]， an－(2n＋1)＝3[an－1－(2n－1)]， …… a2－5＝3(a1－3)． 因为 a1＝3，所以 an＝2n＋1. (2)由(1)得 2nan＝(2n＋1)2n， 所以 Sn＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n＋1)×2n.① 从而 2Sn＝3×22＋5×23＋7×24＋…＋(2n＋1)×2n＋1.② ①－②得 －Sn＝3×2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n－(2n＋1)×2n＋1. 所以 Sn＝(2n－1)2n＋1＋2. 3．解析：本题主要考查等差数列与等比数列的定义及通项公式， 意在考查考生的逻辑推理能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻 辑推理、数学运算． (1)由题设得 4(an＋1 ＋bn＋1)＝2(an＋bn)，即 an＋1 ＋bn＋1 ＝1 2 (an＋ bn)．又因为 a1＋b1＝1，所以{an＋bn}是首项为 1，公比为1 2 的等比数 列． 由题设得 4(an＋1－bn＋1)＝4(an－bn)＋8，即 an＋1－bn＋1＝an－bn＋ 2. 又因为 a1－b1＝1，所以{an－bn}是首项为 1，公差为 2 的等差数 列． (2)由(1)知，an＋bn＝ 1 2n－1 ，an－bn＝2n－1. 所以 an＝1 2 [(an＋bn)＋(an－bn)]＝ 1 2n ＋n－1 2 ， bn＝1 2 [(an＋bn)－(an－bn)]＝ 1 2n －n＋1 2 . 4．解析：(1)∵an＋1＝2＋Sn(n∈N*) ∴当 n≥2 时，an＝2＋Sn－1，∴an＋1－an＝Sn－Sn－1＝an， ∴an＋1＝2an(n≥2)，又 a2＝2＋a1＝4，又 a1＝2， ∴a2＝2a1，∴{an}是以 2 为首项以 2 为公比的等比数列， ∴an＝2×2n－1＝2n. (2)证明：∵bn＝1＋log2(an)2，则 bn＝2n＋1， ∴ 1 bnbn＋1 ＝1 2( 1 2n＋1 － 1 2n＋3)， ∴Tn＝1 2(1 3 －1 5 ＋1 5 －1 7 ＋…＋ 1 2n＋1 － 1 2n＋3) ＝1 2(1 3 － 1 2n＋3)＝1 6 － 1 2(2n＋3)＜1 6 . 5．解析：(1)设{an}的公比为 q，由题设得 2a1＝a2＋a3，即 2a1＝ a1q＋a1q2. 所以 q2＋q－2＝0，解得 q1＝1(舍去)，q2＝－2. 故{an}的公比为－2. (2)记 Sn 为{nan}的前 n 项和．由(1)及题设可得，an＝(－2)n－1. 所以 Sn＝1＋2×(－2)＋…＋n×(－2)n－1， －2Sn＝－2＋2×(－2)2＋…＋(n－1)×(－2)n－1＋n×(－2)n. 可得 3Sn＝1＋(－2)＋(－2)2＋…＋(－2)n－1－n×(－2)n ＝1－(－2)n 3 －n×(－2)n. 所以 Sn＝1 9 －(3n＋1)(－2)n 9 .