专练67　高考大题专练(七)　极坐标与参数方程 含答案与解析-2021届高三数学（理）一轮复习微专题训练

专练 67　高考大题专练(七)　极坐标与参数方程 1．[2020·全国卷Ⅰ][选修 4－4：坐标系与参数方程] 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为Error!(t 为参 数)．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 4ρcos θ－16ρsin θ＋3＝0. (1)当 k＝1 时，C1 是什么曲线？ (2)当 k＝4 时，求 C1 与 C2 的公共点的直角坐标． 2 ． [2019· 全 国 卷 Ⅲ] 如 图 ， 在 极 坐 标 系 Ox 中 ， A(2,0) ， B( 2，π 4)，C( 2，3π 4 )，D(2，π)，弧 ， ， 所在圆的圆心 分别是(1,0)，(1，π 2)，(1，π)，曲线 M1 是弧 ，曲线 M2 是弧 ，曲 线 M3 是弧 . (1)分别写出 M1，M2，M3 的极坐标方程； (2)曲线 M 由 M1，M2，M3 构成，若点 P 在 M 上，且|OP|＝ 3， 求 P 的极坐标． 3．[2020·全国卷Ⅱ][选修 4－4：坐标系与参数方程] 已知曲线 C1，C2 的参数方程分别为 C1：Error!(θ 为参数)，C2： Error!(t 为参数)． AB BC CD AB BC CD(1)将 C1，C2 的参数方程化为普通方程； (2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．设 C1， C2 的交点为 P，求圆心在极轴上，且经过极点和 P 的圆的极坐标方 程． 4.[2020·高三测试]已知曲线 C 在平面直角坐标系 xOy 下的参数方程为Error!(θ 为参数)，以坐标原点 O 为极点，x 轴的正 半轴为极轴，建立极坐标系． (1)求曲线 C 的普通方程及极坐标方程； (2)若直线 l 的极坐标方程是 ρcos(θ－π 6)＝3 3，射线 OT：θ＝π 3 (ρ≥0)与曲线 C 交于点 A，与直线 l 交于点 B，求线段 AB 的长． 5．[2020·高三测试]在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参 数方程为Error!(t 为参数)，在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的 长度单位，且以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴)中，圆 C 的方 程为 ρ＝2 5sinθ. (1)求圆 C 的圆心到直线 l 的距离； (2)设圆 C 与直线 l 交于点 A，B.若点 P 的坐标为(3， 5)，求|PA| ＋|PB|.专练 67　高考大题专练(七)　极坐标与参数方程 1.解析：(1)当 k＝1 时，C1：Error!消去参数 t 得 x2＋y2＝1，故 曲线 C1 是圆心为坐标原点，半径为 1 的圆． (2)当 k＝4 时，C1：Error!消去参数 t 得 C1 的普通方程为 x＋ y＝1. C2 的直角坐标方程为 4x－16y＋3＝0. 由Error!解得Error! 故 C1 与 C2 的公共点的直角坐标为(1 4 ，1 4). 2．解析：本题主要考查极坐标方程的求解，考查数形结合思想， 考查的核心素养是直观想象、数学运算． (1)由题设可得，弧 ， ， 所在圆的极坐标方程分别为 ρ ＝2cos θ，ρ＝2sin θ，ρ＝－2cos θ.所以 M1 的极坐标方程为 ρ＝2cos θ (0 ≤ θ ≤ π 4)，M2 的极坐标方程为 ρ＝2sin θ(π 4 ≤ θ ≤ 3π 4 )，M3 的 极坐标方程为 ρ＝－2cos θ(3π 4 ≤ θ ≤ π). (2)设 P(ρ，θ)，由题设及(1)知： 若 0 ≤θ≤π 4 ，则 2cos θ＝ 3，解得 θ＝π 6 ； 若π 4 ≤θ≤3π 4 ，则 2sin θ＝ 3，解得 θ＝π 3 或 θ＝2π 3 ； 若3π 4 ≤θ≤π，则－2cos θ＝ 3，解得 θ＝5π 6 . 综 上 ， P 的 极 坐 标 为 ( 3，π 6)或 ( 3，π 3)或 ( 3，2π 3 )或 ( 3，5π 6 ). 3．解析：(1)C1 的普通方程为 x＋y＝4(0≤x≤4)． 由 C2 的参数方程得 x2＝t2＋1 t2 ＋2，y2＝t2＋1 t2 －2， 所以 x2－y2＝4. 故 C2 的普通方程为 x2－y2＝4. (2)由Error!得Error!所以 P 的直角坐标为(5 2 ，3 2). AB BC CD设所求圆的圆心的直角坐标为(x0,0)， 由题意得 x20＝(x0－5 2)2＋9 4 ， 解得 x0＝17 10 . 因此，所求圆的极坐标方程为 ρ＝17 5 cos θ. 4．解析：(1)∵曲线 C 的参数方程为Error!(θ 为参数)， ∴消去参数 θ 得曲线 C 的普通方程为(x－1)2＋y2＝3. 由 x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，x2＋y2＝ρ2， 得曲线 C 的极坐标方程为 ρ2－2ρcosθ－2＝0. (2)联立Error!得 ρ2－ρ－2＝0， 由 ρ≥0，解得 ρ＝2， ∴射线 OT 与曲线 C 的交点 A 的极坐标为(2，π 3). 联立Error!得 ρ＝6， 故射线 OT 与直线 l 的交点 B 的极坐标为(6，π 3). ∴|AB|＝|ρB－ρA|＝4. 5．解析：(1)由 ρ＝2 5sinθ，可得 x2＋y2－2 5y＝0， 即圆 C 的直角坐标方程为 x2＋(y－ 5)2＝5. 由Error!可得直线 l 的普通方程为 x＋y－ 5－3＝0. 所以圆 C 的圆心(0， 5)到直线 l 的距离为|0＋ 5－ 5－3| 2 ＝ 3 2 2 . (2)将 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程，得 (3－ 2 2 t)2＋( 2 2 t)2＝5，即 t2－3 2t＋4＝0.(*) 由于 Δ＝(－3 2)2－4×4＝2>0. 故可设 t1，t2 是方程(*)的两个实根， 所以Error!又直线 l 过点 P(3， 5)， 故由上式及 t 的几何意义得 |PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝t1＋t2＝3 2