九年级数学上册第23章图形的相似检测题（华东师大版）

1 第 23 章检测题 (时间：100 分钟　　满分：120 分) 一、精心选一选(每小题 3 分，共 30 分) 1．(2019·黄冈)已知点 A 的坐标为(2，1)，将点 A 向下平移 4 个单位长度，得到的点 A ′的坐标是( D ) A．(6，1) B．(－2，1) C．(2，5) D．(2，－3) 2．(2019·西藏)如图，在△ABC 中，D，E 分别为 AB，AC 边上的中点，则△ADE 与△ABC 的面积之比是( A ) A．1∶4 B．1∶3 C．1∶2 D．2∶1 第2题图　　 第5题图　　 第6题图　　 第7题图 3．已知 x∶y＝3∶2，则下列各式中不正确的是( D ) A． x＋y y ＝ 5 2 B． x－y y ＝ 1 2 C． x x＋y＝ 3 5 D． x y－x＝ 3 1 4．(重庆中考)要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为 5 cm， 6 cm 和 9 cm，另一个三角形的最短边长为 2.5 cm，则它的最长边为( C ) A．3 cm B．4 cm C．4.5 cm D．5 cm 5．(2019·赤峰)如图，D，E 分别是△ABC 边 AB，AC 上的点，∠ADE＝∠ACB，若 AD＝ 2，AB＝6，AC＝4，则 AE 的长是( C ) A．1 B．2 C．3 D．4 6．(2019·盘锦)如图，点 P(8，6)在△ABC 的边 AC 上，以原点 O 为位似中心，在第一 象限内将△ABC 缩小到原来的 1 2，得到△A′B′C′，点 P 在 A′C′上的对应点 P′的的坐标 为( A ) A．(4，3) B．(3，4) C．(5，3) D．(4，4) 7．(绍兴中考)学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置 BD 绕 O 点旋转到 AC 位置， 已知 AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为 B，D，AO＝4 m，AB＝1.6 m，CO＝1 m，则栏杆 C 端应下 降的垂直距离 CD 为( C ) A．0.2 m B．0.3 m C．0.4 m D．0.5 m 8．(2019·海南)如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4.点 P 是边 AC 上一动 点，过点 P 作 PQ∥AB 交 BC 于点 Q，D 为线段 PQ 的中点，当 BD 平分∠ABC 时，AP 的长度为 ( B ) A． 8 13 B． 15 13 C． 25 13 D． 32 13 第8题图　　　　　 第9题图　　　　　 第10题图 9．(2019·贵港)如图，在△ABC 中，点 D，E 分别在 AB，AC 边上，DE∥BC，∠ACD＝ ∠B，若 AD＝2BD，BC＝6，则线段 CD 的长为( C ) A．2 3 B．3 2 C．2 6 D．5 10．(2019·鸡西)如图，在平行四边形 ABCD 中，∠BAC＝90°，AB＝AC，过点 A 作边 BC 的垂线 AF 交 DC 的延长线于点 E，点 F 是垂足，连接 BE，DF，DF 交 AC 于点 O.则下列结论： ①四边形 ABEC 是正方形；②CO∶BE＝1∶3；③DE＝ 2BC；④S 四边形 OCEF＝S△AOD，正确的个 数是( D )2 A.1 B．2 C．3 D．4 二、细心填一填(每小题 3 分，共 15 分) 11．(2019·淮安)如图，l1∥l2∥l3，直线 a，b 与 l1，l2，l3 分别相交于点 A，B，C 和 点 D，E，F.若 AB＝3，DE＝2，BC＝6，则 EF＝__4__． 第11题图　　 第13题图　　 第14题图　　 第15题图 12．(2019·抚顺)如果把两条直角边长分别为 5，10 的直角三角形按相似比 3 5进行缩小， 得到的直角三角形的面积是__9__． 13．(2019·百色)如图，△ABC 与△A′B′C′是以坐标原点 O 为位似中心的位似图形， 若点 A(2，2)，B(3，4)，C(6，1)，B′(6，8)，则△A′B′C′的面积为__18__． 14．(岳阳中考)《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步， 股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形，勾(短直角边)长为 5 步，股 (长直角边)长为 12 步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答 案是__ 60 17__步． 15．(2019·宜宾)如图，△ABC 和△CDE 都是等边三角形，且点 A，C，E 在同一直线上， AD 与 BE，BC 分别交于点 F，M，BE 与 CD 交于点 N.下列结论正确的是__①③④__(写出所有 正确结论的序号). ①AM＝BN；②△ABF≌△DNF；③∠FMC＋∠FNC＝180°；④ 1 MN＝ 1 AC＋ 1 CE. 三、用心做一做(共 75 分) 16．(8 分)(原创题)已知线段 a，b，c 满足 a 3＝ b 2＝ c 6，且 a＋2b＋c＝26. (1)判断 a，2b，c，b2 是否成比例； (2)若实数 x 为 a，b 的比例中项，求 x 的值． 解：(1)成比例　(2)x＝±2 6 17．(9 分)如图，已知 AB∥CD，AD，BC 相交于点 E，F 为 EC 上一点，且∠EAF＝∠C. 求证：AF2＝FE·FB. 解：∵AB∥CD，∴∠C＝∠B.又∵∠EAF＝∠C，∴∠EAF＝∠B.又∵∠AFE＝∠BFA，∴△ AFE∽△BFA，∴ AF EF＝ FB AF，∴AF2＝FE·FB3 18．(9 分)(安徽中考)如图，在由边长为 1 个单位长度的小正方形组成的 10×10 网格 中，已知点 O，A，B 均为网格线的交点． (1)在给定的网格中，以点 O 为位似中心，将线段 AB 放大为原来的 2 倍，得到线段 A1B1(点 A，B 的对应点分别为 A1，B1)，画出线段 A1B1； (2)将线段 A1B1 绕点 B1 逆时针旋转 90°得到线段 A2B1，画出线段 A2B1； (3)以 A，A1，B1，A2 为顶点的四边形 AA1B1A2 的面积是____个平方单位． 题图　　　　 答图 解：(1)如图所示，线段 A1B1 即为所求　(2)如图所示，线段 A2B1 即为所求　(3)由图可 得，四边形 AA1B1A2 为正方形，∴四边形 AA1B1A2 的面积是( 22＋42)2＝( 20)2＝20.故答案 为：20 19．(9 分)(陕西中考)周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测 量时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点 A，在他们所在的岸边选择了点 B，使得 AB 与河岸垂直，并在 B 点竖起标杆 BC，再在 AB 的延长线上选择点 D，竖起标杆 DE，使得点 E 与点 C，A 共线．已知：CB⊥AD，ED⊥AD，测得 BC＝1 m，DE＝1.5 m，BD＝ 8.5 m．测量示意图如图所示．请根据相关测量信息，求河宽 AB. 解：∵BC∥DE，∴△ABC∽△ADE，∴ BC DE＝ AB AD，∴ 1 1.5＝ AB AB＋8.5，∴AB＝17(m)，经检验， AB＝17 是分式方程的解，答：河宽 AB 的长为 17 米 20．(9 分)(2019·张家界)如图，在平行四边形 ABCD 中，连结对角线 AC，延长 AB 至点 E，使 BE＝AB，连结 DE，分别交 BC，AC 交于点 F，G. (1)求证：BF＝CF； (2)若 BC＝6，DG＝4，求 FG 的长． (1)证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC， ∴△EBF∽△EAD，∴ BF AD＝ EB EA＝ 1 2，∴BF＝ 1 2AD＝ 1 2BC，∴BF＝CF　(2)解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AD∥BC，∴△FGC∽△DGA，∴ FG DG＝ FC AD，即 FG 4 ＝ 1 2，解得 FG＝2 21．(10 分)(眉山中考)如图，点 E 是正方形 ABCD 的边 BC 延长线上一点，连结 DE，过4 顶点 B 作 BF⊥DE，垂足为 F，BF 分别交 AC 于点 H，交 CD 于点 G. (1)求证：BG＝DE； (2)若点 G 为 CD 的中点，求 HG GF的值． 解：(1)∵BF⊥DE，∴∠GFD＝90°，∵∠BCG＝90°，∠BGC＝∠DGF，∴∠CBG＝∠CDE， 在△BCG 和△DCE 中，{∠CBG＝∠CDE， BC＝DC， ∠BCG＝∠DCE， ∴△BCG≌△DCE(ASA)，∴BG＝DE　(2)设 CG＝1，∵ G 为 CD 的中点，∴GD＝CG＝1，由(1)可知：△BCG≌△DCE(ASA)，∴CG＝CE＝1，∴由勾股 定理可知：DE＝BG＝ 5.∵∠DFG＝∠DCE，∠FDG＝∠CDE，∴△DFG∽△DCE，∴ CE DE＝ GF GD，∴ GF＝ 5 5 .∵AB∥CG，∴△ABH∽△CGH，∴ AB CG＝ BH GH＝ 2 1，∴BH＝ 2 3 5，GH＝ 1 3 5，∴ HG GF＝ 5 3 22．(10 分)(2019·梧州)如图，在矩形 ABCD 中，AB＝4，BC＝3，AF 平分∠DAC，分别 交 DC，BC 的延长线于点 E，F；连结 DF，过点 A 作 AH∥DF，分别交 BD，BF 于点 G，H. (1)求 DE 的长； (2)求证：∠1＝∠DFC. (1)解：∵矩形 ABCD 中，AD∥CF，∴∠DAF＝∠AFC，∵AF 平分∠DAC，∴∠DAF＝ ∠CAF，∴∠FAC＝∠AFC，∴AC＝CF，∵AB＝4，BC＝3，∴AC＝ AB2＋BC2＝ 32＋42＝5，∴ CF＝5，∵AD∥CF，∴△ADE∽△FCE，∴ AD CF＝ DE CE，设 DE＝x，则 3 5＝ x 4－x，解得 x＝ 3 2，∴DE＝ 3 2 (2)∵AD∥FH，AH∥DF，∴四边形 ADFH 是平行四边形，∴AD＝FH＝3，∴CH＝2，BH＝5，∵ AD∥BH，∴△ADG∽△HBG，∴ DG BG＝ AD BH，∴ DG 5－DG＝ 3 5，∴DG＝ 15 8 ，∵DE＝ 3 2，∴ DE DG＝ DC DB＝ 4 5，∴ EG∥BC，∴∠1＝∠AHC，又∵DF∥AH，∴∠AHC＝∠DFC，∴∠1＝∠DFC 23．(11 分)(东营中考)(1)某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目：如图①， 在△ABC 中，点 O 在线段 BC 上，∠BAO＝30°，∠OAC＝75°，AO＝3 3，BO∶CO＝1∶3，5 求 AB 的长．经过社团成员讨论发现，过点 B 作 BD∥AC，交 AO 的延长线于点 D，通过构造△ABD 就可以解决问题(如图②)． 请回答：∠ADB＝________，AB＝________； (2)请参考以上解决思路，解决问题：如图③，在四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交 于点 O，AC⊥AD，AO＝3 3，∠ABC＝∠ACB＝75°，BO∶OD＝1∶3，求 DC 的长． 题图　　　　 答图 解：(1)∵BD∥AC，∴∠ADB＝∠OAC＝75°.∵∠BOD＝∠COA，∴△BOD∽△COA，∴ OD OA＝ OB OC＝ 1 3.又∵AO＝3 3，∴OD＝ 1 3AO＝ 3，∴AD＝AO＋OD＝4 3.∵∠BAD＝30°，∠ADB＝75 °，∴∠ABD＝180°－∠BAD－∠ADB＝75°＝∠ADB，∴AB＝AD＝4 3.故答案为：75°；4 3　 (2)过点 B 作 BE∥AD 交 AC 于点 E，如图所示．∵AC⊥AD，BE∥AD，∴∠DAC＝∠BEA＝90°.∵ ∠AOD＝∠EOB，∴△AOD∽△EOB，∴ BO DO＝ EO AO＝ BE DA.∵BO∶OD＝1∶3，∴ EO AO＝ BE DA＝ 1 3.∵AO＝ 3 3，∴EO＝ 3，∴AE＝4 3.∵∠ABC＝∠ACB＝75°，∴∠BAC＝30°，AB＝AC，∴AB＝ 2BE.在 Rt△AEB 中，BE2＋AE2＝AB2，即(4 3)2＋BE2＝(2BE)2，解得 BE＝4，∴AB＝AC＝8， AD＝12.在 Rt△CAD 中，AC2＋AD2＝CD2，即 82＋122＝CD2，解得 CD＝4 13