江苏省南通市 2020 届高三开学模拟考试
数 学
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1．本试卷共 4 页，均为非选择题（第 1 题～第 20 题，共 20 题）。考试时间为 120 分钟.考试
结束后，请将答题卡交回.
2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答
题卡的规定位置.
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符.
4．作答试题，必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作
答一律无效.
5．如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.
一、填空题：本大题共 14 小题，请把答案填写在答题卡相应位置上．
1. 设集合 ，则 =________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据集合的交集运算求解即可得答案.
【详解】解：根据集合的交集运算， .
故答案为： .
【点睛】本题考查集合的交集运算，是基础题.
2. 已知命题 ，则 为_____
【答案】
【解析】
【分析】
根据全称命题“ ”的否定为特称命题“ ”即可得结果.
【详解】因为全称命题的否定是特称命题，否定全称命题时，一是要将全称量词改写为存在量词，二是否
{ } { }1 , 3A x x B x x= > − = ≤ A B
{ }1 3x x− < ≤
{ } { } { }1 3 1 3A B x x x x x x∩ = > − ∩ ≤ = − < ≤
{ }1 3x x− < ≤
2: (1, ),log 0p x x∀ ∈ +∞ > p¬
2(1, ),log 0x x∃ ∈ +∞ ≤
( ),x M p x∀ ∈ ( )0 0,x M p x∃ ∈ ¬定 结 论 ， 所 以 ， 命 题 的 否 定 为 ， 故 答 案 为
.
【点睛】本题主要考查全称命题的否定，属于简单题.全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区
别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词、存在量词改写为全称量词；
二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可.
3. 设 是虚数单位，若 是实数，则实数
【答案】
【解析】
【分析】
将 化简为 的形式，根据 为实数，求得 的值.
【详解】依题意 ，由于 为实数，故 .
【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查复数为实数的条件，属于基础题.
4. 函数 的值域为________．
【答案】
【解析】
【分析】
化简函数 ，根据 ，得到 ，即可求解.
【详解】由题意，函数 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
即函数 的值域为 .
故答案为： .
【点睛】本题主要考查了函数 值域的求解，其中解答中合理化简函数的解析式，结合基本初等函数的性
质求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
5. 中，角 所对的边分别为 ， ，则 ．
【答案】8
【解析】
的
:p 2(1, ),log 0x x∀ ∈ +∞ > p¬
2(1, ),log 0x x∃ ∈ +∞ ≤
2(1, ),log 0x x∃ ∈ +∞ ≤
i 1
1z aii
= ++ a =
1
2
z x yi+ z a
( )( )
1 1 1 1 1
1 1 2 2 2 2
iz ai i ai a ii i
− = + = − + = + − + − z 1 10,2 2a a− = =
2
2
1
1
xy x
−= +
( ]1,1−
2
2 2
1 2 11 1
xy x x
−= = −+ +
21 1x+ ≥ 2
20 21 x
< ≤+
2 2
2 2 2
1 (1 ) 2 2 11 1 1
x xy x x x
− − + += = = −+ + +
21 1x+ ≥ 2
20 21 x
< ≤+ 2
21 11 x
− < ≤+
2
2
1
1
xy x
−= +
( ]1,1−
( ]1,1−
ABC , ,A B C , ,a b c 5, 7, 60= = = a b B c =【详解】分析：利用余弦定理，求出 的表达式，解方程即可求出 的值．
详解：∵ 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， ， ， .
∴根据余弦定理可得
∴ ，即 .
∴ 或 （舍去）
故答案为： ．
点睛：解三角形需要三个条件，且至少一个是边，本题既可使用正弦定理解决，也可使用余弦定理解决，
使用正弦定理时要考虑如何对所解得的答案进行取舍，使用余弦定理解决后要细心体会方程思想的灵活应
用．
6. 设变量 满足约束条件 ，则目标函数 的最小值为 ．
【答案】
【解析】
【分析】
画出约束条件表示的可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，利用数形结合得到最优解，联立方程组求
出最优解的坐标，代入目标函数即可得出最小值.
【详解】由约束条件 作出可行域如图所示：
化目标函数 为 .
联立方程组 ，解得 .
c c
ABC A B C a b c 5a = 7b = 60B = °
2 2 2 2 cosb a c ac B= + −
249 25 10 cos60c c= + − ° 2 5 24 0c c− − =
8c = 3c = −
8
,x y
1 0
{ 1 0
3 0
x
x y
x y
− ≤
+ + ≥
− + ≥
2z x y= +
3−
1 0
1 0
3 0
x
x y
x y
− ≤
+ + ≥
− + ≥
2z x y= + 2y x z= − +
1 0
3 0
x y
x y
+ + =
− + = ( 2,1)A −由图可知，当直线 过点 时，直线在 轴上的截距最小， 有最小值为
.
故答案为 .
点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一
画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对
应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标
代入目标函数求出最值.
7. 若关于 的方程 在 上有解，则实数 的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】
由 可得 ，求得二次函数 在区间 上的值域，由此可得出实数
的取值范围.
【详解】由 可得 ，
由题意可知，实数 的取值范围是函数 在区间 上的值域，
当 时， .
因此，实数 的取值范围是 .
故答案为： .
【点睛】本题考查利用方程在区间上有解求参数的取值范围，考查参变量分离法的应用，考查计算能力，
属于中等题.
8. 已知函数 是奇函数，当 时， ， ，则 .
【答案】5
【解析】
分析】【
2y x z= − + A y z
min 2 ( 2) 1 3z = × − + = −
3−
x 2 1 0x x a− − − = [ ]1,1− a
5 ,14
−
2 1 0x x a− − − = 2 1a x x= − − 2 1y x x= − − [ ]1,1− a
2 1 0x x a− − − = 2 1a x x= − −
a 2 1y x x= − − [ ]1,1−
[ ]1,1x∈ −
2
2 1 5 51 ,12 4 4y x x x = − − = − − ∈ −
a 5 ,14
−
5 ,14
−
( )y f x= 0x < 2( ) ( R)f x x ax a= + ∈ (2) 6f = a =先根据函数的奇偶性求出 的值,然后将 代入小于 0 的解析式,建立等量关系,解之即可.
【详解】 函数 是奇函数,
,而 ,
则 ,
将 代入小于 0 的解析式得
,
解得 ,
故答案为 5.
9. 将函数 的图象上所有的点向左平移 个单位，再将图象上的所有点的横坐标变为原来的
2 倍（纵坐标不变），则所得图象的函数解析式为________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据三角平移变换依次执行即可得答案.
【详解】将函数 的图象上所有的点向左平移 个单位长度，
得到函数 的图象，
再把图象上各点的横坐标扩大到原来的 2 倍(纵坐标不变)，
可得函数 的图象.
因此变换后所得图象对应的函数解析式为
故答案为： .
【点睛】本题主要考查三角函数的图像变换，是基础题.
( 2)f − 2x = −
∴ ( )y f x=
( ) ( )f x f x∴ − = − (2) 6f =
( 2) (2) 6f f− = − = −
2x = −
( 2) 4 2 6f a− = − = −
5a =
πsin 6y x = +
π
4
1 5sin 2 12y x
π = +
sin 6y x
π = + 4
π
5sin sin4 6 12y x x
π π π = + + = +
1 5sin 2 12y x
π = +
1 5sin 2 12y x
π = +
1 5sin 2 12y x
π = + 函数 的图像变换的技巧及注意事项:
（1）函数图象的平移变换规则是“ 左加右减”，“上加下减”；
（2）在变换过程中务必分清先相位变换，还是先周期变换，一定要注意两者的区别；
（3）变换只是相对于其中的自变量 而言的，如果 的系数不是 ，就要把这个系数提取后再确定变换的
单位长度和方向.
10. 已知函数 f（x）=f′（ ）sinx+cosx，则 f（ ）=
【答案】0
【解析】
试题分析：由原函数可得
考点：函数求导数求值
11. 正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱长为 ，则四面体 的外接球的体积为_______．
【答案】
【解析】
【分析】
四面体 A﹣B1CD1 的外接球即为正方体的外接球，球的直径就是正方体的对角线的长，求出半径即可求出球
的体积．
【详解】四面体 A﹣B1CD1 的外接球即为正方体的外接球，所以 2r ．
∴r＝3，V 球 πr3 π×27＝36π．
故答案为 36π
【点睛】本题是基础题，考查正方体的外接球的体积，注意四面体 A﹣B1CD1 的外接球即为正方体的外接球，
是解题的关键，考查计算能力．
12. 已知点 在由不等式组 确定的平面区域内，O 为坐标原点，点 ，则
的最大值是__________
( )siny A ωx φ= +
x x 1
2
π
4
π
( ) cos sin cos sin 12 2 2 2 2 2f x f x x f f f
π π π π π π′ ′ ′ ′ = − ∴ = − ∴ = −
′
( ) sin cos sin cos 04 4 4f x x x f
π π π ∴ = − + ∴ = − + =
2 3 1 1A B CD−
36π
23 (2 3)= ×
4
3
= 4
3
=
( , )P x y
3 0
1 0
1 0
x y
x y
x
+ − ≤
− − ≤
− ≥
( 1,2)A −
cosOP AOP⋅ ∠【答案】
【解析】
【分析】
先作可行域，再化简 ，最后结合图形求最值
【详解】先作可行域，如图，而
则直线 过点 B(1,2)时， 取最大值 3，即 的最大值是
【点睛】本题考查线性规划求最值以及向量数量积坐标表示，考查基本分析求解能力，属中档题.
13. 设椭圆 ： 恒过定点 ，则椭圆的中心到准线的距离的最小值________.
【答案】
【解析】
【分析】
设所求 ，由椭圆过 可得 ，进而化简可得 ，由方程有解可
得 ，进而可得 的最小值.
【详解】设椭圆的焦距为 ，
椭圆过定点 ，所以
3 5
5
| | cosOP AOP⋅ ∠
2| | cos
| | 5
OA OP x yOP AOP
OA
⋅ − +⋅ ∠ = =
2z x y= − + z | | cosOP AOP⋅ ∠ 3 5
5
C
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > ( )1,2A
5 2+
2 1=a
c t
(1 2)，A 2 2
1 4 1+ =
a b
2 4 2 2( 1) 5 0− + + =t a t a
0∆ ≥ t
2c
2
21,= ∴ =a c tac t
(1 2)，A，
或
或
椭圆过定点 ，
所以椭圆的中心到准线的距离的最小值为：
故答案为：
【点睛】本题考查了椭圆的几何意义，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于难题.
14. 设 是从 ，0，1 这三个整数中取值的数列，若 ，且
，则 中数字 0 的个数为________ .
【答案】11
【解析】
【分析】
由题意 中 1 的个数比 的个数多 9，则 中 2 的个数比 0 的个数多 9 个，
其他都是 1，由此可设 中有 个 1， 个 0，列方程组求解．
【详解】设 中有 个 1， 个 0，因为 ，所以 的个数为 ，
，又 ，
由 ，解得 ．
故答案为：11．
【点睛】本题考查推理，关键是认识到 是由 各加 1 得到的，因此数字的
个数存在相应的关系．这样可列出方程组求解．
二、解答题：本大题共 6 小题，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明
过程或计算步骤．
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
1 4 1 4 5 ( )+ = ⇒ + = ⇒ − = −b a a b a c a a ca b
2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 25 ( ) [ ( ) ] ( 1) 5 0⇒ − = − ⇒ − + + =a ta a a ta t a t a
2 2 2 2( 1) 20 0 2 5 1 0∆ = + − ≥ ⇔ − + ≥t t t t
5 2∴ ≥ +t 0 5 2< ≤ −t
10< 5 2∴ ≤ −
t
1 5+2≥
t
(1 2)，A
2 1 1∴ = >a
c t
5+2
5+2
1 2 50, , ,a a a 1− 1 2 50 9a a a+ + + =
( ) ( ) ( )2 2 2
1 2 501 1 1 107a a a+ + + + + + = 1 2 50, , ,a a a
1 2 50, , ,a a a 1− 1 2 501, 1, , 1a a a+ + +
1 2 50, , ,a a a m n
1 2 50, , ,a a a m n 1 2 50 9a a a+ + + = 1− 9m −
( ) ( ) ( )2 2 2
1 2 501 1 1 4 107a a a m n+ + + + + + = + = ( 9) 50m n m+ + − =
4 107
2 59
m n
m n
+ =
+ =
24
11
m
n
=
=
1 2 501, 1, , 1a a a+ + + 1 2 50, , ,a a a15. 设△ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，已知 a=1，b=2，cosC=
（1）求△ABC 周长；
（2）求 cos（A﹣C）的值．
【答案】（1）5 （2）
【解析】
试题分析：解：（Ⅰ）
的周长为
（Ⅱ）
，故 A 为锐角，
考点：余弦定理和正弦定理
点评：解决的关键是根据余弦定理和正弦定理来求解三角形，属于基础题．
16.
如图,在四棱锥 中,四边形 是菱形, , 为 的中点.
(1)求证: 面 ；
的
2 2 2 12 cos 1 4 4 44c a b ab C= + − = + − × =
2.c∴ =
ABC∴∆ 1 2 2 5.a b c+ + = + + =
2 21 1 15cos , sin 1 cos 1 ( ) .4 4 4C C C= ∴ = − = − =
15
sin 154sin 2 8
a CA c
∴ = = =
,a c A C< ∴ ( )S x ( ]0,b
x b= ( )y f x= ( )22
22 4 8
a ba bb ab b
++ − − + = − 综上可知，当 时，且当 时， ；
当 时，且当 时， .
【点睛】本题考查了二次函数模型的实际应用，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.
19. 已知数列 的首项 ， ， 、 、 ．
（1）求证：数列 为等比数列；
（2）记 ，若 ，求最大正整数 ；
（3）是否存在互不相等的正整数 、 、 ，使 、 、 成等差数列且 、 、 成等比数
列，如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2） ；（3）不存在，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）利用等比数列的定义可证明出数列 为等比数列；
（2）求得 的表达式，利用分组求和法可求得 ，然后解不等式 ，即可得出最大正整数 的值；
（3）假设存在 、 、 ，使 、 、 成等差数列且 、 、 成等比数列，由等比数列的
定义化简得出 ，利用基本不等式可得出结论.
【详解】（1） ， ，
， ， 数列 为等比数列；
（2） ，由（1）可求得 ， .
3a b≤
4
a bx
+= ( ) ( )2
max 4 8
a ba bf x f
++ = =
3a b> x b= ( ) ( ) 2
maxf x f b ab b= = −
{ }na 1
3
5a = 1
3
2 1
n
n
n
aa a+ = + 1n = 2
1 1
na
−
1 2
1 1 1
n
n
S a a a
= + + + 100nS < n
m s n m s n 1ma − 1sa − 1na −
max 99n =
1 1
na
−
1
na nS 100nS < n
m s n m s n 1ma − 1sa − 1na −
3 3 2 3m n s+ = ⋅
1
3
2 1
n
n
n
aa a+ = +
1
2 1 11 1 11 1 13 3 3
n n
n n n n
a a
a a a a+
+ −∴ − = − = = −
1
1 1 0a
− ≠ ( )*1 1 0
n
n Na
∴ − ≠ ∈ ∴ 1 1
na
−
1
1 21 3a
− =
11 2 11 2
33 3 n
n
na
− − = × =
1 2 13n
na
∴ = +，
由于 ，所以，数列 单调递增，
， ，且 ，因此， ；
（3）假设存在，则 ， ，
， ．
化简得： ，
由基本不等式可得 ，当且仅当 时等号成立．
又 、 、 互不相等，因此，不存在 、 、 满足题意.
【点睛】本题考查等比数列的证明，同时也考查了分组求和法、数列不等式的求解，考查分析问题和解决
问题的能力，属于中等题.
20.
已知函数 （ 是自然对数的底数）.
（1）若曲线 在 处的切线也是抛物线 的切线，求 的值；
（2）若对于任意 恒成立，试确定实数 的取值范围；
（3）当 时，是否存在 ，使曲线 在点 处的切线斜率与 在
上的最小值相等？若存在，求符合条件的 的个数；若不存在，请说明理由.
【答案】（1） 或 ；（2） （3）相等，一个.
【解析】
【分析】
（1）求出 在 的切线，与 联立，根据切线与抛物线只有一个交点，则
；（2）分 ， ， 根据导数讨论；（3）转化为函数的零点通过导数求解.
【详解】（1） ，
2
1 2
2 111 1 1 1 1 1 13 32 113 3 3 31 3
n
n n n
n
S n n na a a
− = + + + = + + + + = + = + − −
1
1
1 0n n
n
S S a+
+
− = > { }nS
99 99
1100 3S = − 100 100
1101 3S = − 99 100100S S< < max 99n =
2m n s+ = ( ) ( ) ( )21 1 1m n sa a a− ⋅ − = −
3
3 2
n
n na = +
2
3 3 31 1 13 2 3 2 3 2
n m s
n m s
∴ − ⋅ − = − + + +
3 3 2 3m n s+ = ⋅
3 3 2 3 2 3m n m n s++ ≥ ⋅ = ⋅ m n=
m n s m s n
e
( )y f x= 1x = 2 4( 1)y x= − a
, ( ) 0x R f x∈ > a
1a = − 0 (0, )x ∈ +∞ : ( ) ( )C y g x f x= − 0x x= ( )f x R
0x
1a e= − 1a e= − − ( ,0]a e∈ −
1x = 2 4( 1)y x= −
0∆ = 0a > 0a = 0a <
( ) , (1)xf x e a f e a′ ′= + = +所以在 处的切线为
即：
与 联立，消去 得 ，
由 知， 或
（2）
①当 时， 在 上单调递增，且当 时， ，
，故 不恒成立，所以 不合题意 ；
②当 时， 对 恒成立，所以 符合题意；
③当 时令 ，得 ，
当 时， ，
当 时， ，
故 在 上是单调递减，在 上是单调递增,
所以
又 ， ，
综上：
(3)当 时，
由（2）知 ，
设 ，
则 ，
假设存在实数 ，使曲线 在点 处的切线斜率与 在 上的最小值相
等， 即为方程的解，
令 得： ，
因为 ， 所以 .
1x = ( ) ( )( 1)y e a e a x− + = + −
( )y e a x= +
2 4( 1)y x= − y 2 2( ) 4 4 0e a x x+ − + =
0∆ = 1a e= − 1a e= − −
( ) xf x e a′ = +
0a > ( ) 0, ( )f x f x′ > R x → −∞ 0,xe ax→ → −∞
( )f x∴ → −∞ ( ) 0f x > 0a >
0a = ( ) 0xf x e= > x∈R 0a =
0a < '( ) 0xf x e a= + = ln( )x a= −
( , ,ln( ))x a∈ − ∞ − '( ) 0f x <
(ln( ), )x a∈ − +∞ '( ) 0f x >
( )f x ( ,ln( ))a−∞ − (ln( ), )a− +∞
min[ ( )] (ln( )) ln( ) 0,f x f a a a a= − = − + − >
,a e∴ > − 0a < ( ,0)a e∴ ∈ −
( ,0]a e∈ −
1a = −
min[ ( )] (ln( )) ln( ) 1f x f a a a a= − = − + − =
( ) ( ) ( ) lnx xh x g x f x e x e x= − = − +
1 1( ) ln 1 ln 1 1x x x xh x e x e e e xx x
′ = + − + = + − +
0 (0, )x ∈ +∞ : ( ) ( )C y g x f x= − 0x x= ( )f x R
0x
'( ) 1h x = 1(ln 1) 0xe x x
+ − =
0xe > 1ln 1 0x x
+ − =令 ，则 ，
当 是 ，当 时 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
,故方程 有唯一解为 1，
所以存在符合条件的 ，且仅有一个 .
【点睛】本题考查导数的综合应用. 复杂方程的根问题：1、转化为函数的交点求解；2、转化为函数的零点
求解.
1( ) ln 1x x x
ϕ = + − 2 2
1 1 1'( ) xx x x x
ϕ −= − =
0 1x< < '( ) 0xϕ < 1x > '( ) 0xϕ >
1( ) ln 1x x x
ϕ = + − (0,1) (1, )+∞
( ) (1) 0xϕ ϕ∴ > = 1(ln 1) 0xe x x
+ − =
0x 0 1x =
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