百师联盟2021届高三开学摸底联考新高考卷数学试卷 含答案及解析

1 百师联盟 2021 届高三开学摸底联考新高考卷 数学试卷 2020．9 一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1．复数 的虚部为 A．﹣1 B．1 C． D． 2．已知集合 A＝ ，B＝ ，则集合 A B 的子集个数为 A．32 B．31 C．16 D．15 3．已知函数 的图象如图所示，则 的解析式可能为 A． B． C． D． 4．已知平面 ，直线 l，m，n，满足 m∥ ，n∥ ，且 m，n 互为异面直线，则“l⊥m 且 l⊥n”是“l⊥ ”的 第 3 题 A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 5．我国历法中将一年分春、夏 、秋、冬四个季节，每个季节六个节气，如春季包含立春、 雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨．某大学美术学院的甲、乙、丙、丁四个同学接到绘制 二十四节气的彩绘任务，现四位同学抽签确定各自完成其中一个季节中的 6 幅彩绘，在 制签抽签公平的前提下，甲抽到绘制夏季 6 幅彩绘的概率是 A． B． C． D． 6．已知 m≠0，向量 ＝(m，n)， ＝(﹣2，m)，若 ，则实数 n＝ A． B． C．﹣2 D．2 7． 的展开式的常数项为﹣160，则实数 a＝ A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1 8．已知 ，则 A． B． C． D． 2i 1 i− 1 2 1 2 − { }2 1, x x n n Z= + ∈ { }0 10y y< <  ( )f x ( )f x 2 2 1( )f x x x = − 2 2 1( )f x xx = − 31( )f x xx = − 3 1( )f x x x = − α α α α 1 16 1 4 1 3 1 2 a b a b a b+ = −    2± 2 61( )ax x + 0 4 πθ< < sin cos cos(cos ) (cos ) (sin )θ θ θθ θ θ> > cos sin cos(sin ) (cos ) (cos )θ θ θθ θ θ> > cos cos sin(cos ) (sin ) (cos )θ θ θθ θ θ> > cos sin cos(cos ) (cos ) (sin )θ θ θθ θ θ> >2 二、 多项选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分， 共计 20 分．在每小题给出的四个选项中， 至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9．下表为 2019 年某煤炭公司 1~10 月份的煤炭生产量， 则下列结论正确的是 A．极差为 12.5 万吨 B．平均值为 24 万吨 C．中位数为 24 万吨 D．众数为 17.5 万吨 10．正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 2，用一个平面 截这个正方体，把该正方体分为 体积相等的两部分，则下列结论正确的是 A．这两部分的表面积也相等 B．截面可以是三角形 C．截面可以是五边形 D．截面可以是正六边形 11．如图是函数 (A＞0， ＞0， ＜ )的部分图象，若 在[0， ]内有且 只有一个最小值点， 的值可以为 A． B． C．1 D．2 12．双曲线 C： (a＞0，b＞0)的焦点在圆 O： 上，圆 O 与双曲线 C 的渐近线在第一、二象限分别交于点 M、N，点 E(0，a)满足 （其 中 O 为坐标原点），则 A．双曲线 C 的一条渐近线方程为 B．双曲线 C 的离心率为 C． D．△OMN 的面积为 6 三、填空题（本大题共 4 小题， 每小题 5 分，共计 20 分．请把答案填写在答题卡相应位置 上） 13．若 cos( ﹣ )＝ ，则 sin ＝ ． 14．若直线 与圆 有且仅有一个公共点，则实数 a 的值为 ． 15．在“全面脱贫”行动中，贫困户小王 2020 年 1 月初向银行借了扶贫免息贷款 10000 元， 用于自己开设的农产品土特产品加工厂的原材料进货，因产品质优价廉，上市后供不应 求，据测算每月获得的利润是该月月初投入资金的 20%，每月月底需缴纳房租 600 元 α ( ) sin( )f x A xω ϕ= + ω ϕ 2 π ( )f x 2π ω 1 3 2 3 2 2 2 2 1x y a b − = 2 2 13x y+ = EO EM EN 0+ + =    3 2 0x y− = 13 2 OE 1= 4 π 2 α 3 5 α 3 4 0x y a+ + = 2 2( 2) 4x y− + = 第 11 题3 和水电费 400 元，余款作为资金全部用于再进货，如此继续．预计 2020 年小王的农产 品加工厂的年利润为 元（取 1.211＝7.5，1.212＝9） 16．已知函数 在x (0，16]上有三个零点，则实数k的取值范围为 ． 四、解答题（本大题共 6 小题，共计 70 分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分 10 分） 已知三角形 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 acosB＋bcosA＝2ccosB． （1）求角 B； （2）若 A＝ ，角 B 的角平分线交 AC 于点 D，BD＝ ，求 CD 的长． 18．（本小题满分 12 分） 在① ， ， 成等差数列，② ， ， 成等比数列，③ ，三个条件中 任选一个，补充在下面的问题中，并作答．注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答 计分． 已知 为数列 的前 n 项和， ，(n )， ，且 ． （1）求数列 的通项公式； （2）记 ，求数列 的前 n 项和 ． 19．（本小题满分 12 分） 如图，在三棱锥 P—ABC 中，侧面 PBC 是边长为 2 的等边三角形，M，N 分别为 AB， AP 的中点，过 MN 的平面与侧面 PBC 交于 EF． （1）求证：MN∥EF； （2）若平面 PBC⊥平面 ABC，AB＝AC＝3，求直线 PB 与平面 PAC 所成角的正弦值． 2( ) logf x x kx= − ∈ 4 π 6 1a 1 4 2a 1a 2 1a + 3a 3 3 4S = nS { }na 13 2n nS a a= + N∗∈ 1 0a ≠ { }na 2 2logn nb a= − { }nb nT4 20．（本小题满分 12 分） 已知椭圆 M： (a＞b＞0)的离心率为 ，且过点(2， )． （1）求椭圆 M 的方程； （2）若 A，B 分别为椭圆 M 的上，下顶点，过点 B 且斜率为 k(k＞0)的直线 l 交椭圆 M 于另一点 N（异于椭圆的右顶点），交 x 轴于点 P，直线 AN 与直线 x＝a 相交于点 Q．求证： 直线 PQ 的斜率为定值． 21．（本小题满分 12 分） 随着电子商务的发展，人们的购物习惯也在改变，几乎所有的需求都可以通过网络购物 来解决，同时顾客的评价也成为电商的“生命线”．某电商平台在其旗下的所有电商中随机 抽取了 50 家，对电商的顾客评价，包括商品符合度、物流服务、服务态度、快递包装等方 面进行调查，并把调查结果转化为顾客的评价指数 x，得到了如下的频率分布表： 将表中的频率作为概率，并且估计出顾客评价指数在 65 及以上的电商占全体电商的 80%． （1）求 a，b 的值； （2）画出这 50 家电商顾客评价指数的频率分布直方图； （3）平台将对全体电商进行业务培训，预计培训后，原顾客评价指数在[45，65)、[65， 85)和[85，95)的电商的顾客评价指数将分别提高 20、10、5．现从这 50 家电商中随机抽取 两家，经培训后，记其顾客评价指数提高值的和为 ，求 的分布列和期望． 22．（本小题满分 12 分） 已知 ． （1）求 的极值； （2）若函数 有两个极值点 ， ，且 （e 为自然对数的底数）恒成立，求实数 a 的取值范围． 2 2 2 2 1x y a b + = 2 2 2 ξ ξ 21( ) ln2f x x a x= + ( )f x ( ) ( ) 2F x f x x= − 1x 2x 1 2 2( ) ( ) 2eF x F x+ > − −5 参考答案678910