考点 05 数列
一、单选题
1．（2020·湖北高三期中（理））记 为递增等差数列 的前 项和，若数列 也为等差数列，则
等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设等差数列 的公差为 ，则 ，
为递增等差数列 的前 项和，若数列 也为等差数列，
则 ， ，整理可得 ，
则 .
故选：B.
2．（2020·全国高三其他（理））《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中有这样一个问题：“某
贾人擅营，月入益功疾（意思是：某商人善于经营，从第 2 月开始，每月比前一月多入相同量的铜钱），3
月入 25 贯，全年（按 12 个月计）共入 510 贯”，则该人1 月的入贯数为（ ）
A．5 B．10 C．12 D．15
【答案】D
【解析】由题意知该商人每月收入构成等差数列 ，设首项为 ，公差为 ，前 项和为 ，
nS { }na n n
n
S
a
3
3
S
a
3 2 3
2 1
{ }na d 0d >
nS { }na n n
n
S
a
32 1
2 1 3
2 SS S
a a a
= + ( )1 1
1 1
2 2 3 31 2
a d a d
a d a d
+ +∴ = ++ + 1a d=
3 1
3 1
3 3 6 22 3
S a d d
a a d d
+= = =+
{ }na 1a d n nS则 解得 ．
故选：D．
3．（2020·山西迎泽�高三二模（理））设等差数列 的前 n 项和为 ，若 ， ，
，则 的值为（ ）
A．2020 B．4032 C．5041 D．3019
【答案】B
【解析】由题意得，设等差数列的首项为 ，公差为 ，
则 ，
解得 ，
所以 ，
所以 .
故选：B
4．（2020·高三其他）已知数列 ， ，其中 ，且 ， 是方程
的实数根，则 等于（ ）
A．24 B．32 C．48 D．64
【答案】D
3 1
12 1
2 25,
12 12 11 510,2
a a d
dS a
= + = = + × × =
1 15a =
{ }na nS 4ma = 0mS =
( )2 14 2,mS m m N ∗
+ = ≥ ∈ 2019a
1a d
1
1
2 1 2 1
( 1) 4
( 1) 02
2 (2 1) 14
m
m
m m m m
a a m d
m mS ma
S S a a a m d+ + +
= + − =
− = + =
− = + = + + =
1 4
5
2
a
m
d
= −
=
=
4 ( 1) 2 2 6na n n= − + − × = −
2019 2 2019 6 4032a = × − =
{ }na { }nb 1 1a = na 1na +
2 2 0n
nx b x− + = 10b【解析】因为 ， 是方程 的实数根，
所以 ， ，
又 ，所以 ；
当 时， ，所以 ，
因此 ，
所以 .
故选：D.
5．（2020·全国高三其他（理））在等比数列 中，设 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由等比数列的性质可知 ，
又 ，所以 ，易知 ，
所以 ，
故选：D．
6．（2020·全国高三一模（理））已知数列 为等差数列， 其前 n 项和，且 则 等于
A．25 B．27 C．50 D．54
na 1na +
2 2 0n
nx b x− + =
1n n na a b++ = 1 2n
n na a + =
1 1a = 2 2a =
2n ≥ 1
1 2n
n na a −
− = 1 1
1 1
2n n n
n n n
a a a
a a a
+ +
− −
= =
4
10 2 2 32a a= ⋅ = 5
11 1 2 32a a= ⋅ =
10 10 11 32 32 64b a a= + = + =
{ }na 1 3 5 6a a a+ + =
1 3 5
1 1 1 2a a a
+ + =
1 3 5a a a =
2 2± 3 3± 2 2 3 3
5 3 1
1 3 5 1 5
1 1 1 2a a a
a a a a a
+ ++ + = =
1 3 5 6a a a+ + = 1 5 3a a = 1 3 5 0a a a >
1 3 5 3 3a a a =
{ }na nS 2 43 6,a a= − 9S【答案】B
【解析】因为
所以
7．（2020·贵州六盘水高三其他（理））等差数列 中，已知 ，且公差 ，则其前 项和取
最小值时的 的值为( )
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【解析】
因为等差数列 中， ，所以 ，有 ，
所以当 时前 项和取最小值.故选 C.
8．（2020·全国高三二模（理））已知数列 是等比数列，若 ，则 （ ）
A．有最小值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最大值
【答案】C
【解析】设等比数列 的公比 ，∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，
，
∴
，当且仅当 ，即 时，取等号，
故选：C.
2 4 1 1 1 53 6 3 9 6, 4 3 3a a a d a d a d a= − ∴ + = + − + = ∴ =
9 1 9 5
9 ( ) 9 27.2S a a a= + = =
{ }na 6 11a a= 0d > n
n
{ }na 6 11a a= 6 11 6 11 1
150, 0, , 2a a a a a d= − = − 2[( 8) 64]2n
dS n= − −
8n = n
{ }na 2 5 8 8a a a = −
1 5 1 9 5 9
1 4 9
a a a a a a
+ +
7
2
7
2
5
2
5
2
{ }na q 2 5 8 8a a a = − 3
2 5 8 5 8a a a a= = − 5 2a = − 5
1 4 0aa q
= <
2
1 9 5 4a a a= =
9 5 1 9 1
1 5 1 9 5 9 1 5 9
4 9 9 81 4 9
8
a a a a a
a a a a a a a a a
+ + + −+ + = = −
( )1
1
1 4 1 51 9 1 2 368 8 2a a
= + − + ≥ + × = − 1
1
49a a
− = − 1
2 03a = −
( )1 1 12n n nS S S S+ −+ = + 15S
210 211 224 225【答案】D
【解析】结合 可知， ，得到
，所以 ，所以
所以 ，故选 D．
12．（2020·全国高三其他（理））已知数列 满足 ， ，若数列 的前 50 项和为
，则数列 的前 50 项和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意，数列 满足 ， ，若数列 的前 50 项和为 ，
所以 ，
所以 .
因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，
所以数列 的前 50 项和为
.
故选：B.
( )1 1 12n n nS S S S+ −+ = + 1 1 12 2n n nS S S a+ −+ − =
1 12 2n na a a+ − = = ( )1 2 1 2 1na n n= + ⋅ − = − 15 29a =
( ) ( )1 15
15
15 29 1 15 2252 2
a aS
+ + ⋅= = =
{ }na 1 1a = 2
1n n na a a+ − = { }2
na
m 1
1na
+
2
1
m
m+ 1
m
m+
1m
m
− 1
2
m
m
−
{ }na 1 1a = 2
1n n na a a+ − = { }2
na m
( ) ( ) ( )2 2 2
1 2 50 2 1 3 2 51 50 51 1 51 1m a a a a a a a a a a a a= + +⋅⋅⋅+ = − + − +⋅⋅⋅+ − = − = −
51 1a m= +
2
1n n na a a+ − = ( )2
1 1n n n n na a a a a+ = + = +
( )1
1 1 1 1
1 1n n n n na a a a a+
= = −+ + 1
1 1 1
1n n na a a +
= −+
1
1na
+
1 2 2 3 50 51 1 51 51
1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1
m
a a a a a a a a a m m
− + − +⋅⋅⋅+ − = − = − = − =+ +13．（2020·甘肃城关兰大附中高三月考（理））已知数列 满足条件 ， ， ，
则 的最小值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】C
【解析】因为 ，所以 ，
故 ，又因为 ，所以 ，
所以 ，
由题知，数列 为整数列，所以 ，
当 时，等号成立，下面举例说明 可以取到 3，
，
所以 的最小值为 1.
故选：C.
14．（2020·辽宁沙河口辽师大附中高三月考（理））已知数列 满足 … ，
设数列 满足： ,数列 的前 项和为 ，若 恒成立，则 的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
{ }na 1 0a = 1 1n na a+ = + *n∈N
1 2 11| |a a a+ +⋅⋅⋅+
1 1n na a+ = + 2 2
1 2 1n n na a a+ = + +
2 2
12 1n n na a a+= − − 1 0a = 2
2 1a =
( ) 2 2 2
1 2 11 12 1 122 11 11a a a a a a+ + + = − − = −
2
1 2 11 12
1 112a a a a+ + + = −
{ }na 2 2
12
1 111 3 11 12 2a − − =
12 3a = 12a
2 4 6 8 10 3 5 7 9 11 121, 2, 2, 3a a a a a a a a a a a= = = = = = = = = − = =
1 2 11a a a+ + +
{ }na 1 2
1
2a a+ + 2 *1 ( )na n n n Nn
+ = + ∈
{ }nb
1
2 1
n
n n
nb a a +
+= { }nb n nT *( )1n
nT n Nn
λ< ∈+ λ
1( , ) 4
+∞ 1[ , ) 4
+∞ 3[ , ) 8
+∞ 3( , )8
+∞【解析】因为 … ，
所以 … ，
故 即 ，其中 .
而令 ，则 ，故 ， .
，
故
，
故 恒成立等价于 即 恒成立，
化简得到 ，因为 ，故 .
故选 D.
15．（2020·高二开学考试（理））已知函数 f（x）＝ax2﹣1 的图象在点 A（1，f（1））处的
切线 l 与直线 8x﹣y+2＝0 平行，若 的前 n 项和为 Sn，则 S2020 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为
1 2
1
2a a+ + 2 *1 ( )na n n n Nn
+ = + ∈
1 2
1
2a a+ + ( ) ( )2 *
1
1 1 1 ( , 2)1 na n n n N nn −+ = − + − ∈ ≥−
1 2na nn
= 22na n= 2n ≥
1n = 2 2
1 1 1 2 2 1a = + = = × 22na n= 1n ≥
( ) ( )2 222
2 1 1 1 1
44 1 1n
nb nn n n
+= = −
× + +
( )22 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1
4 1 2 2 3 1nT n n
= − + − + + − +
( ) ( )
2
2 2
1 1 214 1 4 1
n n
n n
+= − =
+ +
*( )1n
nT n Nn
λ< ∈+ ( )
2
2
2
14 1
n n n
nn
λ+ < ++ ( )
2
4 1
n
n
λ+ 0 7n< < ( )f n 7 0n− < 7n >
( )f n ( )f n ( ) ( ) 17 8 64f f= =
n ( )( ) 26 2nn a m− + ≥ ( )( )2
max6 2nm n a≤ − +
2 1
64m ≤ m 1 1,8 8
−
1 1,8 8
−
n 1 21, , , , ,2tx x x ( )2 1 2log 1 2n ta x x x= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 2 1nt = −
*n N∈ { }na na =
3 1
2
n +【解析】由题意，根据 ，可得
，
设 ，即 ，可得 ，
则数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
故 ，所以 .
故答案为
20．（2020·河北桥西高三月考（理））已知等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，
则 的最大值为_________.
【答案】
【解析】解：设数列 的公差为 ，则 ， ，
又 ， ， ，
时， ，又
.
故答案为： .
21．（2020·广西贵港高三其他（理））已知 与 的等差中项为 ，等比中项为 ，则
( )2 1 2log 1 2n ta x x x= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
( )1 2 1 1 1 2 2log 1 (1 ) ( ( 2) 2) t tna x x x x x x x+ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
3 3 33 3
1 2
2
1 2log 3 12 n
tx x x a
⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = −
1 3( )n na t a t+ + = + 1 3 2n na a t+ = + 1
2t = −
1
2na −
1 32 2 2
− = 3
11 3 32 2
n
na −− = • 3 1,2
n
na n N+
+= ∈
3 1
2
n +
{ }na n nS 2 9a = 5 40S =
nS
55
{ }na d 5 35 40S a= = 3 8a∴ =
2 9a = 3 2 1d a a∴ = − = − ( )2 2 11na a n d n∴ = + − = −
11 0na n= − ≥ 11n ≤ *n∈N
max 10 11( ) 55nS S S∴ = = =
55
2log a 3log b 5
2 6 a b+ =____________．
【答案】31 或 17．
【解析】依题意得 ， ，
所以 ， 为方程 的两根，
∴ ， 或 ， ，
∴ 或
故答案为：31 或 17．
三、解答题
22．（2020·四川阆中中学高三一模（理））在数列 中， ， ．
（1）求证：数列 是等差数列；
（2）求数列 的前 项和 ．
【答案】(1)证明见解析.
(2) .
【解析】（1） 的两边同除以 ，得
，又 ，
所以数列 是首项为 4，公差为 2 的等差数列．
2 3
5log log 2 52a b+ = × = 2
2 3(log )(log ) ( 6) 6a b = =
2log a 3log b 2 5 6 0x x− + =
2log 2a = 3log 3b = 2log 3a = 3log 2b =
4 27 31a b+ = + = 8 9 17a b+ = + =
{ }na 1 4a = 2
1 ( 1) 2 2n nna n a n n+ − + = +
na
n
1
na
n nS
nS =
2( 1)
n
n +
2
1 ( 1) 2 2n nna n a n n+ − + = + ( 1)n n +
1 21
n na a
n n
+ − =+
1 41
a =
na
n
(2)由（1）得 ，即 ,
故 ，
所以
23．（2020·全国高三课时练习（理））已知数列 是公差不为零的等差数列， ，且存在实数 满足
， .
（1）求 的值及通项 ；
（2）求数列 的前 项和 .
【答案】（1） ； （2）
【解析】（1）设等差数列 的公差为 ，
由 ……①
得 ……②，
①-②得， ，
又因为 ，解得 ；
将 代入①
可得 ，即 ，
又因为 ，
所以 .
1 2( 1)na a nn
= + − 22 2, 2 2n
n
a n a n nn
= + ∴ = +
2
1 1 1 1 1
2 2 2 1na n n n n
= = − + +
1 1 1 1 1 1 1 11 12 2 2 3 1 2 1 2( 1)n
ns n n n n
= − + − + + − = − = + + +
{ }na 1 1a = λ
12 4n na aλ+ = + n +∈N
λ na
2{ }n na − n nS
2λ = 2 1na n= − nS 2 22 2 4n n n+= − − −
{ }na d
( )*
12 4n na a n Nλ+ = + ∈
( )*
12 4 , 2n na a n N nλ −= + ∈ ≥
2d dλ=
0d ≠ 2λ =
2λ =
1 2n na a+ − = 2d =
1 1a =
( )1 1 2 2 1na n n= + − × = −（2）由（1）可得 ，
所以
.
24．（2020·全国高三课时练习（理））已知等差数列{an}的公差是 1，且 成等比数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列 的前 n 项和 Tn．
【答案】(1) an＝n．(2)
【解析】（1）因为 是公差为 1 的等差数列，且 成等比数列，
所以 ，即 ，解得 ．
所以 ；
（2） ，
两式相减得
所以
所以 .
25．（2020·安徽相山高三其他（理））已知数列 为递增的等差数列，其中 ，且
( ) ( )1
2 2 2 1 2 2 1n
n n
na n n+
−
= − − = − +
( ) ( )2 3 12 2 2 3 5 2 1n
nS n+ = + +…+ − + + + +
( ) ( )4 1 2 3 2 1
1 2 2
n n n− + += −−
2 22 2 4n n n+= − − −
1 3 9, ,a a a
2 n
n
a
a
22 2n n
nT
+= −
{ }na 1 3 9, ,a a a
2
3 1 9a a a= ( )2
1 1 1( 2) 8a a a+ = + 1 1a =
1 ( 1)na a n d n= + − =
1 2 31 1 1 11 ( ) 2 ( ) 3 ( ) ( )2 2 2 2
n
nT n= × + × + × + + ×
( )2 3 11 1 1 1 11 ( ) 2 ( ) 1 ( ) ( )2 2 2 2 2
n n
nT n n += × + × + + − × + ×
1 2 3 11 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2
n n
nT n += + + + + − ×
1
1
1
1 1
1 1 12 2 ( ) 112 2 2 21 2
n
n
n n n
nT n
+
+
+
− = − × = − −
−
22 2n n
nT
+= −
{ }na 3 5a = 1 2 5, ,a a a成等比数列．
（1）求 的通项公式；
（2）设 记数列 的前 n 项和为 ，求使得 成立的 m 的最小正整数．
【答案】（1） ；（2）2.
【解析】（1）在等差数列中，设公差为 d≠0，
由题意 ，得 ，
解得 ．
∴an＝a1+（n﹣1）d＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1；
（2）由（1）知，an＝2n﹣1．
则 ＝ ，
∴Tn＝ ＝ ．
∵Tn+1﹣Tn＝ ＝ ＞0，
∴{Tn}单调递增，而 ，
∴要使 成立，则 ，得 m，
又 m∈Z，则使得 成立的 m 的最小正整数为 2．
26．（2020·东湖江西师大附中高三三模（理））已知数列 ， 满足 ，对任意 均有
{ }na
( )( )1
1
1 1n
n n
b a a +
= + + { }nb nT n
mT 5
<
2 1na n= −
{ }na { }nb 1 1 1a b= = *n N∈， ．
（1）证明：数列 和数列 均为等比数列；
（2）设 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】（1）证明见解析；（2） ．
（1）因为对任意 均有 ，
，
将两式两边相加可得 ，
又因为 ，
所以数列 是首项为 2，公比为 2 的等比数列；
将两式两边相乘可得 ，
又因为 ，
所以数列 是首项为 1，公比为 2 的等比数列．
（2）由（1）可知 ， ，
有 ．
所以 ，
所以 ，
2 2
1n n n n na a b a b+ = + + + 2 2
1n n n n nb a b a b+ = + − +
{ }n na b+ { }n na b⋅
( ) 1 11 2n
n
n n
c n a b
= + ⋅ ⋅ +
{ }nc n nT
22n
nT n += ⋅
*n N∈ 2 2
1n n n n na a b a b+ = + + +
2 2
1n n n n nb a b a b+ = + − +
( )1 1 2n n n na b a b+ ++ = +
1 1 2a b+ =
{ }n na b+
1 1 2n n n na b a b+ + =
1 1 1a b⋅ =
{ }n na b⋅
2n
n na b+ = 12n
n na b −⋅ =
1 1 2n n
n n n n
a b
a b a b
++ = =
( ) ( ) 11 11 2 1 2n n
n
n n
c n na b
+ = + ⋅ ⋅ + = + ⋅
( )2 3 4 12 2 3 2 4 2 1 2n
nT n += ⋅ + ⋅ + ⋅ + + + ⋅．
上两式相减得： ，
即 ，
所以 ．
27．（2020·全国高三月考（理））已知数列 的前 项和为 ，且 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）若数列 的前 项和为 ，证明： ．
【答案】（1） ．（2）见解析
【解析】（1）当 时， ，即 ，
当 时， ①，
②，
① ②，得： ，即 ，
，且 ，
数列 是以每一项均为 的常数列，则 ，即 ；
（2）由（1）得 ， ，
( )3 4 5 22 2 2 3 2 4 2 1 2n
nT n +⇒ = ⋅ + ⋅ + ⋅ + + + ⋅
( )2 3 4 1 22 2 2 2 2 1 2n n
nT n+ +− = ⋅ + + + + − + ⋅
( ) ( )
3 1
2 22 1 2
8 1 2 21 2
n
n n
nT n n
−
+ +
⋅ −
− = + − + ⋅ = − ⋅−
22n
nT n += ⋅
{ }na n nS 1 12n n nS na a= + −
{ }na
2
2
na
n nT 3
2nT <
( )*1na n n N= + ∈
1n = 1 1 1
1 12S a a= + − 1 2a =
2n ≥ 1 12n n nS na a= + −
( )1 1 1
1 1 12n n nS n a a− − −= − + −
− ( ) 1 12 1 2 2n n n n na na n a a a− −= − − + − ( ) 11n nna n a −= +
1
1
n na a
n n
−∴ =+
1 12
a =
∴
1
na
n
+ 1 11
na
n
=+
( )*1na n n N= + ∈
1na n= + ( ) ( )22
2 2 2 1 1
2 21na n n n nn
∴ = < = −+ ++.
28．（2020·盐城市第一中学高三三模）已知等差数列 和等比数列 的各项均为整数，它们的前 项
和分别为 ，且 ， .
（1）求数列 ， 的通项公式；
（2）求 ；
（3）是否存在正整数 ，使得 恰好是数列 或 中的项？若存在，求出所有满足条件的
的值；若不存在，说明理由.
【答案】（1） ；（2） ；（3）存在，1.
【解析】（1）设数列 的公差为 ，数列 的公比为 ，
因为 ，
所以 ，即 ，解得 ，或 （舍去）.
所以 .
（2） ，
，
所以 ，
所以 .
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 31 13 2 4 3 5 2 2 1 2 2nT n n n n
∴ < − + − + − + + − = + − −
1 3L<
*L N∈ 2L = 3L =
2L = ( )2 1 3mm − = ( )2 1
13m
m −
=
2 1( ) 3m
mf m
−=
2 2 2
1 1
( 1) 1 1 2 2 3( 1) ( ) 3 3 3m m m
m m m mf m f m + +
+ − − − −+ − = − = −
1m = (1) (2)f f< 2m ≥ ( ) ( )1 0f m f m+ − <
(1) (2) (3) (4)f f f f< > > > ⋅⋅⋅
1(1) 0, (2) 3f f= = ( )2 1
13m
m −
=
3L = 2 1 0m − = 1m = 2 1
2
1 3 31 3
m
m
m
m
+− + =− +
{ }na
1m = 1m m
m m
S T
S T
++
+ { }na
{ }na n nS 22 3nS n n= +
{ }na
1 2
1
n na a+ +
n nT 1
15nT <
( )*3 1,na n n N= − ∈【解析】（1）当 时， ，解得 ；
当 时， ，
两式相减，得 ，解得 .
又 时， ，
故 .
证明：（2）依题意，得 ，
则 ，
即 .
30．（2020·五华云南师大附中高三月考（理））已知数列 的前 n 项和为 ，且 （ ，
），数列 满足 ， .
（1）求数列的通项公式 ；
（2）令 ，证明：数列 为等差数列，并求数列 的前 n 项和 .
【答案】（1） ；（2）证明见解析， .
【解析】：（1）当 时，有 ，解得 .
当 时，由 ，得 ，
1n = 1 12 2 4S a= = 1 2a =
2n
2 2
12 3 ,2 3( 1) ( 1)n nS n n S n n−= + = − + −
2 6 2na n= − 3 1na n= −
1n = 1 3 1 1 2a = × − =
( )*3 1na n n N= − ∈
1 2
1 1 1 1 1
(3 2)(3 5) 3 3 2 3 5n na a n n n n+ +
= = − + + + +
1 1 1 1 1 1 1
3 5 8 8 11 3 2 3 5nT n n
= − + − + + − + +
1 1 1
3 5 3 5n
= − +
1 1 1
15 3(3 5) 15n
= −
微信/支付宝扫码支付