山东省2021届高三开学质量检测数学试题 含答案及评分标准

1 山东省 2021 届高三开学质量检测 数学 试卷满分：150 分 考试时长：120 分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题 卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将答题卡交回。 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1．设集合 ，则 i 2．已知复数 为 z 的共轭复数，则 ＝ 3．马林·梅森（Marin Mersenne， 1588—1648）是 17 世纪法国著名的数学家和修道士， 也是当时欧洲科学界一位独特的中心人物，梅森在欧几里得、费马等人研究的基础上对 作了大量的计算、验证工作，人们为纪念梅森在数论方面的这一贡献，将形如 （其中 p 是素数）的素数，称为梅森素数．在不超过 40 的素数中，随机选取两个不同的数，至少有一 个为梅森素数的概率是 4．已知参加 2020 年某省夏季高考的 53 万名考生的成绩 Z 近似地服从正态分布 ，估计这些考生成绩落在（552，651]的人数约为 (附： ，则 A．3 6014 B．72 027 C． 108 041 D． 168 222 2{ | ln 1}, { | 4 12 0}A x x B x x x= < = − − ≥ ( )kA B∪ = A. ( ,6) B. ( 2,6) C. (0,6]−∞ − .(0, )D e 1 ,z i z= + 1 z z + 3 1 1 3 1 3 A. B. c. D. 2 2 2 2 i i i i+ + − + 2 1p − 2 1p − 5 1 9 1 A. B. C. 11 6 2 D.2 22 2(453,99 )N 2~ ( , )Z N µ σ ( ) 0.6827, ( 2 2 ) 0.9545)P Z P Zµ σ µ σ µ σ µ σ− < ≤ + = − < ≤ + =2 5． “中国剩余定理”又称“孙子定理”． 1852 年，英国来华传教土伟烈亚力将《孙子算 经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲． 1874 年英国数学家马西森指出此法符合 1801 年由 高斯得到的关于问余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．此定理讲的是 关于整除的问题，现将 1 到 1009 这 1 009 个数中，能被 2 除余 1 且被 5 除余 1 的数按从小到 大的顺序排成一列，构成数列 ，则该数列共有 A． 100 项 B． 101 项 C．102 项 D． 103 项 6．已知△ABC 中， ，动点 P 自点 C 出发沿线段 CB 运动，到达 点 B 时停止，动点 Q 自点 B 出发沿线段 BC 运动，到达点 C 时停止，且动点 Q 的速度是动点 P 的 2 倍，若二者同时出发，且一个点停止运动时，另一个点也停止，则该过程中 的 最大值是 A．7 2 B． 4 C．49 2 D． 23 7．已知直线 y＝kx＋b 恒在函数 y＝ln（x＋4）的图象的上方，则 的取值范围是 8．已知 m∈R，过定点 A 的动直线 mx＋y＝0 和过定点 B 的动直线 x－my－m＋3＝0 交 于点 P，则 的取值范围是 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求。全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分。 9．若 a＞0，b＞0，且 a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是 10．将函数 的图象向右平移π 2个单位长度后得到函数 g（x）的 图象，且 g（0） ＝－1，则下列说法正确的是 { }na 4, 4 3, 8AB AC BC= = = AP AQ⋅  b k .(3, ) B. ( ,3] C. ( ,3) D. [3, )A +∞ −∞ −∞ +∞ | | 3 | |PA PB+ A. ( 10,2 10] B. ( 10, 30] C. [ 10, 30) D. [ 10,2 10] 2 2 1 1 1 1 1 1 A. 0 B. 2 C. 1 D. 4 8abab a b a b < ≤ < + ≥ ≤+ ( ) cos( )( 0)2f x x πω ω= − >3 A． g（z）为奇函数 B． g(－π 2) ＝0 C．当 ω＝5 时，g(x)在(0，π)上有 4 个极值点 D．若 g(x)在[0， π 5]上单调递增，则 ω 的最大值为 5 11．已知双曲线 ，过其右焦点 F 的直线 l 与双曲线交于两点 A，B，则 A．若 A，B 同在双曲线的右支，则 l 的斜率大于4 3 B．若 A 在双曲线的右支，则|FA|最短长度为 2 C． |AB|的最短长度为32 3 D．满足|AB|＝11 的直线有 4 条 12．如图，在直三棱柱 中， ，点 D，E 分 别是线段 BC， 上的动点（不含端点），且 ，则下列 说法正确的是 A． ED∥平面 ACC1 B．四面体 A—BDE 的体积是定值 C．异面直线 B1C 与 AA1 所成角的正切值为 D．二面角 A—EC—D 的余弦值为 4 13 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．高三一班周一上午有四节课，分别安排语文、数学、英语和体育．其中语文不安排 在第一节，数学不安排在第二节，英语不安排在第三节，体育不安排在第四节，则不同的课 表安排方法共有________种． 14．已知四面体 A—BCD 中， ，则其外接 球的体积为________． 15．已知数列 满足 的前 n 项的和记为 ，则 ________． 2 2 : 19 16 x yC − = 1 1 1ABC A B C− 1 2, 3, 90AA AC AB BAC °= = = ∠ = 1B C 1 EC DC B C BC = 13 2 5, 10, 13AB CD AC BD BC AD= = = = = = { }na sin1 ,{ }cos cos( 1)n na an n ° ° °= − nS 60 30 S S =4 16．某中学开设了剪纸艺术社团，该社团学生在庆中秋剪纸活动中剪出了三个互相外切 的圆，其半径分别为 （单位：cm），则三个圆之间空隙部分的面积为 ________cm2． 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17． （10 分） 已知数列 的前 n 项和为 ． （1）求数列 的通项公式； （2）数列 表示不超过 x 的最大整数，求 的前 1000 项和 ． 18．(12 分) 在 这三个条件中任 选－个，补充在下面的横线上，并加以解答． 已知△ABC 的内角 A， B，C 所对的边分别是 a，b，c，若________． (1)求角 B； (2)若 a＋c＝4，求△ABC 周长的最小值，并求出此时△ABC 的面积． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 19．(12 分) 如图，在几何体 ABCD－ EFGH 中，HD⊥底面 ABCD， HD// FB，AB// DC， AD⊥DC，AB＝1，DC＝2，∠BCD＝45° ， HD＝2，FB＝1，设点 M 在棱 DC 上，已知 AM⊥平面 FBDH． (1)求线段 DM 的长度； (2)求二面角 H－AM－F 的余弦值． 20．（12 分） 2020 年 1 月底，为严防新型冠状病毒疫情扩散，有效切断病毒传播途径，坚决遏制疫情 蔓延势头，确保人民群众生命安全和身体健康，多地相继做出了封城决定．某地在 1 月 23 日 至 29 日累计确诊人数如下表： 3 1,3 3, 3 1+ − − { }na 23 1 2 2nS n n= − { }na [lg ],[ ]n nb a x= { }nb 1000T cos 1, 2 sin tan , ( )sin sin( ) sin 3sin b B b A a B a c A c A B b Ba A += = − + + =① ② ③5 由上述表格得到如右散点图(1 月 23 日为封城第一天)． (1)根据散点图判断 y＝a＋bx 与 (c，d 均为大于 0 的常数)哪一个适宜作为累计确诊人数 y 与封城后的天数 x 的回归方程类型(给出判断即可，不必说明理由)；并根据上表 中的数据求出回归方程； （2）随着更多的医护人员投入疫情的研究，2 月 20 日武 汉影像科医生提出存在大量核酸检测呈阴性（阳性则确诊），但观其 CT 肺片具有明显病 变，这一提议引起了广泛的关注，2 月 20 日武汉疾控中心接收了 1 000 份血液样本，假设每 份样本的检验结果是阳性还是阴性都是相互独立的，且每份样本是阳性样本的概率为 0．7， 核酸试剂能把阳性样本检测出阳性结果的概率是 0．99（核酸检测存在阳性样本检测不出来 的情况，但不会把阴性检测呈阳性），求这 1000 份样本中检测呈阳性的份数的期望 参考数据 其中 ，参考公式： 对于一组数据 ，其回归直线 的斜率和截距的最小二 乘估计公式分别为 ． 21． （12 分） 已知椭圆 C： 过点 P（2，1）， 且该椭圆的一个短轴端点与两焦点 F1，F2 为等腰直角三角形的三个顶点． （1）求椭圆 C 的方程； xy c d= ⋅ 7 1 1lg , 7i i i i w y w w = = = ∑ 1 1 2 2( , ),( , ), ,( , )n nu w u w u w ˆˆˆw uα β= + 1 2 2 1 ˆ ˆˆ, n i i i n i i u w nuw w u u nu β α β= = − = = − − ∑ ∑ 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > >6 （2）设直线 l 不经过 P 点且与椭圆 C 相交于 A，B 两点·若直线 PA 与直线 PB 的斜率之 积为 1，证明：直线 l 过定点． 22． （12 分） 已知函数 ． (1)若 f(x)的最大值是 0，求函数 f(z)的图象在 x＝e 处的切线方程； （2）若对于定义域内任意 x， 恒成立，求 m 的取值范围． ( ) ln 1, ( ) ( 1)xf x x mx g x x e= + + = ⋅ − ( ) ( )f x g x≤78910