专题19 三角恒等变换-学会解题之高三数学万能解题模板【2021版】【解析版】

1 / 23 学会解题+万能模板 专题 19 三角恒等变换 【高考地位】 三角函数学习中，有关求值、化简、证明以及解三角方程与解几何问题等，都经常涉及到运用三角变 换的解题方法与技巧，而三角变换主要为三角恒等变换，是常用的解题工具. 但由于三角公式众多，方法灵 活多变，若能熟练掌握三角恒等变换的技巧，不但能加深对三角公式的记忆与内在联系的理解，而且对发 展数学逻 辑思维能力，提高数学知识的综合运用能力都大有益处. 在高考各种题型均有出现如选择题、填 空题和解答题，其试题难度属中档题. 方法一 运用转化与化归思想 万能模板 内 容 使用场景 含不同角的三角函数式类型 解题模板 第一步 利用各种角之间的数值关系，将它们互相表示，改变原角的形式； 第二步 运用有关公式进行变形，主要是角的拆变； 第三步 得出结论. 例 1 已知 ，则 的值为__________． 【答案】 【解析】第一步，利用各种角之间的数值关系，将它们互相表示，改变原角的形式： 第二步，运用有关公式进行变形，主要是角的拆变： 第三步，得出结论: ，故答案为 . 1sin 3 3x π + =   5sin 23 3x cos x π π   − − −       4 9 ππππππ −     +=−     +−=− 3232,323 5 xxxx 5 cos 2 2 cos 23 3 3 3sin x x sin x x π π π ππ π          − − − = − + − + −                     2cos2 1 2sin3 3 3 3sin x x sin x x π π π π       = − + + + = − + + − +               5sin 23 3x cos x π π   − − −       1 2 413 9 9 = − + − = 4 9 2 / 23 学会解题+万能模板 【点评】本题主要考查了三角函数的恒等变换，属于基础试题，本题的解答中注意角的整体性和配凑． 【变式演练 1】【2020 届高三第五次模拟】已知 ，且 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 首先利用二倍角公式求出 ，再根据同角三角函数的基本关系求出 ，最后利用两角和的正弦公式 计算可得； 【详解】 解：因为 ，所以 ，解得 或 ，因为 ，所以 ， 所以 故选：B 【点睛】 本题考查同角三角函数的基本关系的应用，两角和的正弦公式及二倍角公式的应用，属于基础题. 【变式演练 2】【2020 届吉林省高三第二次模拟】设 ， ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 ,02 πθ  ∈ −   cos2 sin 0θ θ+ = sin 4 πθ + =   2 3 2 − 6 2 4 − 6 2 4 + 2 3 4 + sinθ cosθ cos2 sin 0θ θ+ = 21 2sin sin 0θ θ− + = sin 1θ = 1sin 2 θ = − ,02 πθ  ∈ −   1sin 2 θ = − 2 3cos 1 sin 2 θ θ= − = 1 2 3 2 6 2sin sin cos cos sin4 4 4 2 2 2 2 4 π π πθ θ θ − + = + = − × + × =   1tan 2 α = 4cos( ) ( (0, ))5 π β β π+ = − ∈ tan 2( )α β− 7 24 − 5 24 − 5 24 7 24 3 / 23 学会解题+万能模板 利用倍角公式求得 的值，利用诱导公式求得 的值，利用同角三角函数关系式求得 的值， 进而求得 的值，最后利用正切差角公式求得结果. 【详解】 ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：D. 【点睛】 该题考查的是有关三角函数求值问题，涉及到的知识点有诱导公式，正切倍角公式，同角三角函数关系式， 正切差角公式，属于基础题目. 方法二 运用函数方程思想 万能模板 内 容 使用场景 一般三角函数类型 解题模板 第一步 将把某个三角函数式看作未知数，利用已知条件或公式列出关于未知数的方 程； 第二步 求解方程组； 第三步 得出结论. 例 2 已知 ，则 ( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】第一步，将把某个三角函数式看作未知数，利用已知条件或公式列出关于未知数的方程： 由 可得： tan 2α cos β sin β tanβ 1tan 2 α = 2 2tan 4tan2 1 tan 3 αα α= =− ( ) 4cos cos5 π β β+ = − = − ( )( 0,β π∈ 4cos 5 β∴ = 3sin 5 β = 3tan 4 β = ( ) 4 3 tan2 tan 73 4tan 2 4 31 tan2 tan 241 3 4 α βα β α β −−− = = =+ + × 1sin 4 3x π + =   sin4 2cos3 sinx x x− = 7 9 7 9 − 4 2 9 4 2 9 − ( )sin4 sin 3 x sin3xcosx cos3xsinxx x= + = + 4 / 23 学会解题+万能模板 第二步，得出结论： 所以原式 ，故选：B 【点评】三角函数也是函数中的一种，其变换的实质仍是函数的变换.因此，有时在三角恒等变换中，可 以把某个三角函数式看作未知数 ，利用条件或公式列出关于未知数的方程求解. 【变式演练 3】【陕西省西安市八校2020 届高三联考】已知 sinα、cosα 是方程 5x2﹣ x﹣2＝0 的两个实 根，且 α∈（0，π），则 cos（α+ ）＝（ ） A． B．﹣ C． D．﹣ 【答案】D 【解析】 【分析】 根据韦达定理可得 ， ，结合 ，可得 ，根 据两角和的余弦公式可得 ，由 此可得结果. 【详解】 因为 sinα、cosα 是方程 5x2﹣ x﹣2＝0 的两个实根， 所以 ， ， 因为 ，且 ，所以 且 ， 所以 ， 所以 sin4 2cos3 sin sin3xcosx cos3xsinxx x x− = − 142sin2422cos2sin 2 −     +=     +−== ππ x 9 7−= 5 4 π 10 10 10 10 3 10 10 3 10 10 5sin cos 5 α α+ = 2sin cos 5 α α⋅ = − (0, )α π∈ cos sin 0α α− < 2cos( ) (cos sin )4 2 πα α α+ = − 22 (cos sin ) 4sin cos2 α α α α= − + − 5 5sin cos 5 α α+ = 2sin cos 5 α α⋅ = − (0, )α π∈ sin cos 0α α⋅ < sin 0α > cos 0α < cos sin 0α α− < cos( ) cos cos sin sin4 4 4 π π πα α α+ = − 2 (cos sin )2 α α= − 22 (cos sin )2 α α= − − 22 (cos sin ) 4sin cos2 α α α α= − + − ⋅ 5 / 23 学会解题+万能模板 . 故选：D. 【点睛】本题考查了韦达定理，两角和的余弦公式，属于基础题. 【变式演练 4】【2020 届河南省商丘周口市部分学校联考高三 5 月质量检测】已知 是方程 的一根，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 将 代入方程，利用同角三角函数的基本关系式进行化简，求得 的值，利用降次公式、诱导公式 求得所求表达式的值. 【详解】 由题意， ，则 ，得 ，得 ，所以 ，所以 . 故选：C. 【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式、二倍角公式、降次公式、诱导公式，属于基础题. 方法三 运用换元思想 万能模板 内 容 使用场景 一般求值题 2 2 5 242 5 5  = − + ×    2 3 5 3 10 2 5 10 = − × = − tanθ 2 6 1 0x x− + = 2cos 4 πθ + =   3 4 1 2 1 3 1 5 tanθ sin 2θ 2tan 6tan 1 0θ θ− + = 2 2 sin 6sin 1 0cos cos θ θ θ θ− + = 2 2sin 6sin cos cos 0θ θ θ θ− + = 1sin cos 6 θ θ = 1sin 2 2sin cos 3 θ θ θ= = 2 1 cos 2 1 sin 22cos =4 2 2 πθπ θθ  + +  −   + =   11 13 2 3 − = = 6 / 23 学会解题+万能模板 解题模板 第一步 运用换元法将未知向已知转化； 第二步 利用特定的关系，把某个式子用新元表示，实行变量替换； 第三步 得出结论. 例 3 若 求 的取值范围. 【答案】 . 【解析】第一步，运用换元法将未知向已知转化： 令 ，则 第二步，利用特定的关系，把某个式子用新元表示，实行变量替换： 即 ，所以 所以 ，即 第三步，得出结论： 所以 【点评】本题属于“理解”层次，解题的关键是将要求的式子 看作一个整体，通过 代数、三角变换等手段求出取值范围. 【变式演练 5】【江苏省2020 届高三下学期 6 月高考押题】已知 ，则 的值为____________. 【答案】 【解析】 【分析】 先平方求出 ，再利用二倍角公式求出 ，即可求解. 【详解】 ,2 2sinsin =+ βα βα coscos + βα coscos + 14 14[ , ]2 2 − t=+ βα coscos ( ) ( ) 2 1coscossinsin 222 +=+++ tβαβα ( ) 2 1cos2 2 +=−+ tβα ( ) 2 3cos 2 −=− tβα 22 32 2 ≤−≤− t 2 14 2 14 ≤≤− t 2 14coscos2 14 ≤+≤− βα 2 5sin cos 5 α α+ = 2 4sin cosα α+ 18 25 sin 2α 4cos α 7 / 23 学会解题+万能模板 即 故答案为： 【点睛】 此题考查二倍角公式，关键熟记二倍角的各种变形，属于简单题目. 【高考再现】 1.【2020 年高考全国Ⅲ卷理数 9】已知 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路导引】利用两角和的正切公式，结合换元法，解一元二次方程，即可得出答案． 【解析】 ， ，令 ，则 ，整 理得 ，解得 ，即 ．故选 D． 【专家解读】本题考查了三角函数知值求值问题的解法，考查两角和的正切公式，考查数学运算、数学建 模等学科素养．解题关键是灵活运用三角函数有关公式进行计算． 2.【2017 全国 III 文，4】已知 ，则 =（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 . 所以选 A. 【考点】二倍角正弦公式 【名师点睛】应用三角公式解决问题的三个变换角度 2 5sin cos 5 α α+ = ( )2 4sin cos 1 sin 2 5 α α α∴ + = + = 1sin 2 5 α = − 2 1 234 1 2sin 2 1 2 25 25cos α α= − = − × = 1 23 182 4 5 25 25sin cosα α+ = − + = 18 25 2tan tan 74 θ θ π − + =   tanθ = 2− 1− 1 2 2tan tan 74 πθ θ − + =   tan 12tan 71 tan θθ θ +∴ − =− tan , 1t tθ= ≠ 12 71 tt t +− =− 2 4 4 0t t− + = 2t = tan 2θ = 4sin cos 3 α α− = sin 2α 7 9 − 2 9 − 2 9 7 9 ( )2sin cos 1 7sin 2 2sin cos 1 9 α αα α α − −= = = −− 8 / 23 学会解题+万能模板 (1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”. (2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等. (3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代 换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等. 3.【2018 年全国 I 卷】已知角훼的顶点为坐标原点，始边与푥轴的非负半轴重合，终边上有两点퐴(1 ，  푎)，퐵 (2 ，  푏)，且cos2훼 = 2 3，则|푎 ― 푏| = A． 1 5 B． 5 5 C． 2 5 5 D． 1 【答案】B 【解析】 【分析】 首先根据两点都在角的终边上，得到푏 = 2푎，利用cos2훼 = 2 3，利用倍角公式以及余弦函数的定义式，求得푎2 = 1 5，从而得到|푎| = 5 5 ，再结合푏 = 2푎，从而得到|푎 ― 푏| = |푎 ― 2푎| = 5 5 ，从而确定选项. 【详解】 由푂,퐴,퐵三点共线，从而得到푏 = 2푎， 因为cos2훼 = 2cos2훼 ― 1 = 2 ⋅ ( 1 푎2 + 1) 2 ― 1 = 2 3， 解得푎2 = 1 5，即|푎| = 5 5 ， 所以|푎 ― 푏| = |푎 ― 2푎| = 5 5 ，故选 B. 【点睛】 该题考查的是有关角的终边上点的纵坐标的差值的问题，涉及到的知识点有共线的点的坐标的关系，余弦 的倍角公式，余弦函数的定义式，根据题中的条件，得到相应的等量关系式，从而求得结果. 4．【2018 年全国卷Ⅲ】若sin훼 = 1 3，则cos2훼 = A． 8 9 B． 7 9 C． ― 7 9 D． ― 8 9 【答案】B 【解析】 分析：由公式cos2α = 1 ― 2푠푖푛2훼可得。 详解：cos2α = 1 ― 2푠푖푛2훼 = 1 ― 2 9 = 7 9 9 / 23 学会解题+万能模板 故答案为 B. 5.【2020 年高考江苏卷 8】已知 ，则 的值是________． 【答案】 【解析】∵ ，由 ，解得 ． 【专家解读】本题考查了二倍角公式，考查数学运算学科素养． 6.【2020 年高考浙江卷 13】已知 ，则 ； ． 【答案】 ； 【思路导引】利用二倍角余弦公式以及弦化切得 ，根据两角差正切公式得 【解析】 ， ，故 答案为： ； ． 【专家解读】本题考查了二倍角公式，考查两角差的正切公式，考查数学运算学科素养． 7.【2018 年全国卷 II】已知tan(훼 ― 5휋 4 ) = 1 5，则tan훼 = __________． 【答案】3 2. 【解析】 分析：利用两角差的正切公式展开，解方程可得tan훼 = 3 2. 详解：tan(훼 ― 5휋 4 ) = tan훼 ― tan5휋 4 1 + tan훼 ⋅ tan5휋 4 = tan훼 ― 1 1 + tan훼 = 1 5， 解方程得tan훼 = 3 2. 点睛：本题主要考查学生对于两角和差公式的掌握情况，属于简单题型，解决此类问题的核心是要公式记 忆准确，特殊角的三角函数值运算准确. 8.【2018 年浙江卷】已知角 α 的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，它的终边过点 P（ ― 3 5， ― 4 5）． （Ⅰ）求 sin（α+π）的值； 2 2sin ( )4 3 π α+ = sin2α 1 3 2 2sin ( )4 3 π α+ = 2 1 1 2sin ( ) (1 cos( 2 )) (1 sin2 )4 2 2 2 3 π πα α α+ = − + = + = 1sin2 3 α = tan 2θ = cos2θ = πtan 4 θ − =   3 5 − 1 3 cos2θ tan( )4 πθ − 2 2 2 2 2 2 2 2 cos sin 1 tan 3cos2 cos sin cos sin 1 tan 5 θ θ θθ θ θ θ θ θ − −= − = = = −+ + tan 1 1tan 4 1 tan 3 π θθ θ − − = =  +  3 5 − 1 3 10 / 23 学会解题+万能模板 （Ⅱ）若角 β 满足 sin（α+β）= 5 13，求 cosβ 的值． 【答案】（Ⅰ）4 5；（Ⅱ） ― 56 65 或 - 16 65 . 【解析】 分析：（Ⅰ）先根据三角函数定义得sin훼，再根据诱导公式得结果，（Ⅱ）先根据三角函数定义得cos훼，再 根据同角三角函数关系得cos(훼 + 훽)，最后根据훽 = (훼 + 훽) ― 훼，利用两角差的余弦公式求结果. 详解：（Ⅰ）由角훼的终边过点푃( ― 3 5, ― 4 5)得sin훼 = ― 4 5， 所以sin(훼 + π) = ― sin훼 = 4 5. （Ⅱ）由角훼的终边过点푃( ― 3 5, ― 4 5)得cos훼 = ― 3 5， 由sin(훼 + 훽) = 5 13得cos(훼 + 훽) =± 12 13. 由훽 = (훼 + 훽) ― 훼得cos훽 = cos(훼 + 훽)cos훼 + sin(훼 + 훽)sin훼， 所以cos훽 = ― 56 65或cos훽 = ― 16 65. 点睛：三角函数求值的两种类型： (1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数. (2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异. ①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用； ②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的. 【反馈练习】 1．【2020 届高三第五次模拟】已知 ，且 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 首先利用二倍角公式求出 ，再根据同角三角函数的基本关系求出 ，最后利用两角和的正弦公式 ,02 πθ  ∈ −   cos2 sin 0θ θ+ = sin 4 πθ + =   2 3 2 − 6 2 4 − 6 2 4 + 2 3 4 + sinθ cosθ 11 / 23 学会解题+万能模板 计算可得； 【详解】 解：因为 ，所以 ，解得 或 ，因为 ，所以 ， 所以 故选：B 【点睛】 本题考查同角三角函数的基本关系的应用，两角和的正弦公式及二倍角公式的应用，属于基础题. 2．【2020 届福建省漳州市高三第一次教学质量检测】若 ，则 （ ） A． 或 B． 或 C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 由二倍角正切公式计算出 的值，再将所求分式变形为 ，然后利用弦化切的思想 即可求出所求分式的值. 【详解】 由二倍角的正切公式得 ，整理得 ， 解得 或 ，所以， . 当 时，原式 ；当 时，原式 . cos2 sin 0θ θ+ = 21 2sin sin 0θ θ− + = sin 1θ = 1sin 2 θ = − ,02 πθ  ∈ −   1sin 2 θ = − 2 3cos 1 sin 2 θ θ= − = 1 2 3 2 6 2sin sin cos cos sin4 4 4 2 2 2 2 4 π π πθ θ θ − + = + = − × + × =   3tan 2 4 α = − 2 2 sin 2 cos 1 2sin α α α + =+ 1 4 − 1 4 3 4 1 4 3 4 1 4 tanα 2 2 2 2sin cos cos 3sin cos α α α α α + + 2 2tan 3tan 2 1 tan 4 αα α= = −− 23tan 8tan 3 0α α− − = tan 3α = 1 3 − 2 2 2 2 2 2 2sin cos cos 2tan 1 3sin cos 3tan 1 sin 2 cos 1 2sin α α α αα α α α α α ++ = +=+ + + tan 3α = 2 2 3 1 1 3 3 1 4 × += =× + 1tan 3 α = − 2 12 1 13 413 13  × − +  = =  × − +   12 / 23 学会解题+万能模板 综上所述， . 故选：D. 【点睛】 本题考查利用二倍角的正切公式以及弦化切思想求值，解题的关键就是求出 的值，考查计算能力，属 于中等题. 3．【2020 届高三高考仿真模拟】已知 ，且 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 化简式子，可得 ，由平方关系求出 ，最后利用二倍角的余弦公式，可得结果. 【详解】 由 因为 ，则 ，所以 所以 ， 又 所以 则 2 2 sin 2 cos 1 1 2sin 4 α α α + =+ tanα 0, 2 πα  ∈   cos 3 2cos 1 sin2 α α α = − cosα = 4 5 2 5 5 3 5 5 5 2sin cos2 2 α α= 2cos 2 α cos 2 α 2 2 21 sin cos 2sin cos sin cos sin2 2 2 2 2 2 α α α α α αα  − = − + = −   0, 2 πα  ∈   0,2 4 α π ∈   cos sin2 2 α α> 1 sin cos sin2 2 α αα− = − 2 2cos cos sin cos sin cos sin2 2 2 2 2 2 α α α α α αα   = − = − +     cos sin cos sincos 2 2 2 2 cos 1 sin cos cos sin2 2 2 2 α α α α α α α α αα   − +    =  − −   cos sincos 32 2 2cos 1 sin cos2 2 α α α α αα + = = − 13 / 23 学会解题+万能模板 化简可得： ， 所以 故选：C 【点睛】 本题考查同角三角函数的基本关系以及二倍角公式的应用，本题关键在于根式里使用平方关系以及二倍角 的正弦公式化简，考查计算能力，属中档题. 4．【2020 届山西省晋中市高三下学期一模】已知 为正整数， ， ，且 ，则当函数 取得最大值时， （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 利用正切的差角公式，结合已知条件求得参数 ；再利用辅助角公式化简 ，根据其最值，求得 即 可. 【详解】 由条件知 ，则由 ， 得 ， 即 ， 解得 或 （舍去）， 则 ． 因为 ， 所以 ． 2 2 2 25 42sin cos ,sin cos cos 1,cos2 2 2 2 4 2 2 5 α α α α α α= + = = = 2 3cos 2cos 12 5 αα = − = a tan 1 lgaα = + tan lgaβ = 4 α β π= + ( ) sin 3cos ( [0, ])f x a θ θ θ π= − ∈ θ = 2 π 2 3 π 5 6 π 4 3 π a ( )f x θ 4 α β− = π tan( ) 1α β− = tan tan (1 lg ) lgtan( ) 11 tan tan 1 (1 lg )lg a a a a α βα β α β − + −− = = =+ + + (1 lg )lg 0a a+ = 1a = 1 10a = ( ) sin 3cos 2sin 3f x πθ θ θ = − = −   [0, ]θ π∈ 2,3 3 3 π π πθ  − ∈ −   14 / 23 学会解题+万能模板 则当 ，即 时， 函数 取得最大值， 故选：C． 【点睛】 本题考查正切的差角公式的应用，对数运算，以及三角恒等变换，涉及正弦型函数取得最值时自变量的求 解，属综合中档题. 5．【卓越高中千校联盟2020 届高考文科数学终极押题】已知函数 ， ，则 的最大值是______. 【答案】 【解析】 【分析】 利用降幂公式、两角和差余弦公式以及辅助角公式，将所求的函数式化为余弦型函数，根据余弦函数的性 质，即可求解. 【详解】 . 所以，当 时， 取最大值 . 故答案为： . 3 2 π πθ − = 5 6 πθ = ( )f x ( ) cos 4f x x π = −   x∈R 2 2 6 12f x f x π π      + − +             6 2 4 − 2 2 2 2cos cos6 12 12 6f x f x x x π π π π          + − + = − − −                     ( ) 1 cos 2 1 cos 2 1 3 16 3 cos2 sin 22 2 2 2 x x x x π π   + − + −    −   = − = ⋅ − 6 2 cos 24 4x π−  +   = cos 2 14x π + =   2 2 6 12f x f x π π      + − +             6 2 4 − 6 2 4 − 15 / 23 学会解题+万能模板 【点睛】 本题考查三角恒等变换化简三角函数，以及余弦函数的性质，考查计算求解能力，属于基础题. 6．【2020 届山西省运城市高中联合体高三模拟】 ， 是方程 的两个根，则 ___________. 【答案】 【解析】 【分析】 根据根与系数关系，得到 ， ，再由两角和的正切公式，即 可计算出结果. 【详解】 因为 ， 是方程 的两个根， 所以 ， ， 所以 ， 所以 . 故答案为： . 【点睛】 本题主要考查三角恒等变换的应用，熟记两角和的正切公式即可，属于常考题型. 7．【2020 届重庆市第八中学高三 6 月三诊】若 ，且 ，则 ________. 【答案】 【解析】 【分析】 tanθ tan 4 π θ −   2 3 0x ax+ − = a = 4− tan tan 4 a πθ θ + − = −   tan tan 34 πθ θ − = −   tanθ tan 4 π θ −   2 3 0x ax+ − = tan tan 4 a πθ θ + − = −   tan tan 34 πθ θ − = −   tan tan 4tan tan 14 4 41 tan tan 4 a πθ θπ πθ θ πθ θ  + −     = + − = = − =       − −   4a = − 4− 0, 2 πα  ∈   10sin 2cos 2 α α+ = tan 4 πα + =   2− 16 / 23 学会解题+万能模板 先把 两边平方得到 ，利用弦切互化所得方程可 以化成关于 的方程结合 ，解出 后可求 的值． 【详解】 由 可以得到 ， 故 ， 也就是 ， 整理得到 ，故 或 ． 又 ，所以 故答案为： 【点睛】 本题考查三角函数给值求值问题，三角函数中的化简求值问题，往往从次数的差异、函数名的差异、结构 的差异和角的差异去分析，处理次数差异的方法是升幂降幂法，解决函数名差异的方法是弦切互化，而结 构上差异的处理则是已知公式的逆用等，属于中档题. 8．【江苏省盐城市滨海县八滩中学2020 届高三下学期四模】已知锐角 满足 ，则 的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】 利用二倍角的正弦、余弦公式结合弦化切思想可得出关于 的二次方程，可解出正数 的值，然后 10sin 2cos 2 α α+ = 2 2 5sin 4sin cos 4cos 2 α α α α+ + = tanα 0, 2 πα  ∈   tanα tan 4 πα +   10sin 2cos 2 α α+ = 2 2 5sin 4sin cos 4cos 2 α α α α+ + = 2 2 2 2 sin 4sin cos 4cos 5 sin cos 2 α α α α α α + + =+ 2 2 tan 4tan 4 5 tan 1 2 α α α + + =+ 23tan 8tan 3 0α α− − = tan 3α = 1tan 3 α = − 0, 2 πα  ∈   tan 3α = 1+ tan 1 3tan 24 1 tan 1 3 π αα α + + = = = −  − −  2− α sin 2 2cos2 1α α− = − tan 4 πα −   1 2 − tanα tanα 17 / 23 学会解题+万能模板 利用两角差的正切公式可求得 的值. 【详解】 ， ， 即 ，即 ， 整理得 ， 为锐角，所以 ，解得 ， 因此， . 故答案为： . 【点睛】 本题考查利用二倍角公式以及两角差的正切公式求值，利用弦化切思想求出 的值是解题的关键，考查 计算能力，属于中等题. 9．【黑龙江省绥化市2020 届全市普通高中高三模拟联考质量检测】已知 ， 则 ________. 【答案】 【解析】 【分析】 等式平方相加得到 ，解得答案. 【详解】 由 平方相加得 ， 即 . 故答案为： . 【点睛】 tan 4 πα −   sin 2 2cos2 1α α− = − ( )2 22sin cos 2 cos sin 1α α α α∴ − − = − 2 2 2 2 2sin cos 2sin 2cos 1sin cos α α α α α α + − = −+ 2 2 2tan 2tan 2 1tan 1 α α α + − = −+ 23tan 2tan 1 0α α+ − = α tan 0α > 1tan 3 α = 1 1tan tan 134tan 14 21 tan tan 1 14 3 παπα πα −− − = = = −   + + × 1 2 − tanα 1sin cos cos sin 5 α β α β− = + = sin( )α β− = 24 25 22 2sin cos 2cos sin 25 α β α β− + = 1sin cos cos sin 5 α β α β− = + = 22 2sin cos 2cos sin 25 α β α β− + = 24sin( ) sin cos cos sin 25 α β α β α β− = − = 24 25 18 / 23 学会解题+万能模板 本题考查了三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和转化能力. 10．【2020 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学样卷】平面直角坐标系 中，点 是单位 圆在第一象限内的点， ，若 ，则 为______. 【答案】 【解析】 【分析】 利用任意角的三角函数的定义可知 ，同角三角函数的基本关系求得 的值， 再利用两角差的正余弦公式求得 的值，两者相加即可得解． 【详解】 由题意知： ， ， 由 ，得 ， ， ， 所以 . 故答案为： 【点睛】 xOy ( )0 0,P x y 2xOP πα α ∠ = cos 2sinα α= 2 2sin cos 1α α+ = 25 cos 14 α = cos 0α > 2 5cos 5 α = 2 55 ( ) ( )1 tan 20 1 tan 25° °+ ⋅ + = tan25 tan20tan 45 11 tan20 tan25 ° ° ° °= − + = tan25 tan20° °+ tan20 tan25° ° ( ) ( )1 tan20 1 tan25 1 tan25 tan20 tan20 tan25° ° ° ° ° °+ ⋅ + = + + + tan25 tan20tan 45 11 tan20 tan25 ° ° ° °= − + = 1tan25 tan20 tan20 tan25° ° ° °+ = − ( ) ( )1 tan20 1 tan25 1 tan25 tan20 tan20 tan25 2° ° ° ° ° °+ ++ ⋅ + = =+ BC ABC∆ ABC∆ PQRS BC a= ABC θ∠ = 21 / 23 学会解题+万能模板 的面积为 ，正方形 的面积为 ，当 固定， 变化时，则 的最小值是__________． 【答案】 【解析】 ，令 ，则 ， ， 函数 在 上递减，因此当 时， 有 最小值， ，此时 ， 当 时，“规划合理度”最小，最小值为 ，故答案为 . 15．【江苏省南京师大附中2020 届高三下学期高考模拟】已知 ， ， ，且 ． （1）求 的值； （2）若 ，求 的值． 【答案】（1） ；（2） ． 【解析】 【分析】 （1）利用向量数量积的坐标运算公式列出 与 的关系式，再联立 求解 的值； （2）利用 、 的值分别求出 、 、 ，再利用余弦的差角公式求解 的 值. ABC∆ 1S PQRS 2S a θ 1 2 S S 9 4 ( ) 2 2 1 2 111 cos1 1 12 2 12 2 2 2 4 sinsinS sinS sin sin sin θθ θ θθ θ θ  + +  = ⋅ = = + + 2 , 0 , 0 22t sin πθ θ θ π= < < ∴ <