第 13 讲-导数的概念及运算
一、 考情分析
1.通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道
导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想；
2.体会极限思想；
3.通过函数图象直观理解导数的几何意义；
4.能根据导数定义求函数 y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1
x
，y＝ x的导数；
5.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数；能求简单
的复合函数(限于形如 f(ax＋b))的导数；
6.会使用导数公式表.
二、 知识梳理
1.函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数
(1)定义：函数 y＝f(x)在点 x0 的瞬时变化率f（x0＋Δx）－f（x0）
Δx
＝l，通常称为 f(x)在点 x0 处的导
数，并记作 f′(x0)，即 f（x0＋Δx）－f（x0）
Δx
＝f′(x0).
(2)几何意义：函数 f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)的几何意义是曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))的切线的斜
率等于 f′(x0).
2.函数 y＝f(x)的导函数
如果 f(x)在开区间(a，b)内每一点 x 导数都存在，则称 f(x)在区间(a，b)可导.这样，对开区间(a，
b)内每个值 x，都对应一个确定的导数 f′(x).于是，在区间(a，b)内，f′(x)构成一个新的函数，我们
把这个函数称为函数 y＝f(x)的导函数，记为 f′(x)(或 yx′、y′).
3.导数公式表
基本初等函数 导函数
f(x)＝c(c 为常数) f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈Q*) f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sin x f′(x)＝cos x
f(x)＝cos x f′(x)＝－sin xf(x)＝ex f′(x)＝ex
f(x)＝ax(a＞0) f′(x)＝axln a
f(x)＝ln x f′(x)＝1
x
f(x)＝logax (a＞0，a≠1) f′(x)＝ 1
xln a
4.导数的运算法则
若 f′(x)，g′(x)存在，则有：
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
(3)[f(x)
g(x)]′＝f′(x)g(x)－f(x)g′(x)
[g(x)]2 (g(x)≠0).
5.复合函数的导数
复合函数 y＝f(g(x))的导数和函数 y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为 yx′＝yu′·ux′.
[微点提醒]
1.f′(x0)代表函数 f(x)在 x＝x0 处的导数值；(f(x0))′是函数值 f(x0)的导数，且(f(x0))′＝0.
2.[ 1
f(x) ]′＝－ f′(x)
[f(x)]2.
3.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点.
4.函数 y＝f(x)的导数 f′(x)反映了函数 f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小
|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”.
三、 经典例题
考点一 导数的运算
【例 1－1】 分别求下列函数的导数：
(1)y＝exln x；
(2)y＝x(x2＋1
x
＋1
x3)；
(3)f(x)＝ln 1＋2x.
【解析】(1)y′＝(ex)′ln x＋ex(ln x)′＝exln x＋ex
x
＝ex(ln x＋1
x).(2)因为 y＝x3＋1＋1
x2
，所以 y′＝3x2－2
x3.
(3)因为 y＝ln 1＋2x＝1
2ln(1＋2x)，
所以 y′＝1
2· 1
1＋2x·(1＋2x)′＝ 1
1＋2x.
【例 1－2】 (2019·天津河西区调研)已知函数 f(x)的导函数是 f′(x)，且满足 f(x)＝2xf′(1)＋ln 1
x
，
则 f(1)＝( )
A.－e B.2 C.－2 D.e
【解析】由已知得 f′(x)＝2f′(1)－1
x
，令 x＝1 得 f′(1)＝2f′(1)－1，解得 f′(1)＝1，则 f(1)＝2f′(1)＝2.
答案 B
规律方法 1.求函数的导数要准确地把函数分割成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算
法则求导.
2.复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.
3.抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.
考点二 导数的几何意义
【例 2－1】（2020·广西壮族自治区钦州一中高二月考（理））已知曲线 在点
处的切线方程为 ，则（ ）
A． B． C． D．
【解析】
，
将 代入 得 ，故选 D．
【例 2－2】 （2020·梁河县第一中学高二期中（文））函数 的图象存在与直线
平行的切线，则实数 的取值范围是( )
A． B．
C． D．
【答案】B
e lnxy a x x= + ( )1,ae
2y x b= +
, 1a e b= = − , 1a e b= = 1, 1a e b−= = 1, 1a e b−= = −
ln 1,xy ae x′ = + +
1| 1 2xk y ae=′= = + = 1a e−∴ =
(1,1) 2y x b= + 2 1, 1b b+ = = −
( )f x ln x ax+＝
2 0x y－ ＝ a
( ]2∞－ ， ( )2∞－ ，
( )2，＋∞ ( )0 ∞，＋【解析】函数 的图象存在与直线 平行的切线，即 在
上有解.
在 上有解，则 .
因为 ，所以 ，所以 的取值范围是 .
【例 2－3】（2020·江西省高二月考（文））设曲线 f(x)＝xn＋1(n∈N*)在点(1，1)处的切
线与 x 轴的交点的横坐标为 xn，则 x1·x2·x3·x4·…·x 2 017＝
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由 f(x)＝xn＋1 得 f′(x)＝(n＋1)xn，切线方程为 y－1＝(n＋1)(x－1)，令 y＝0 得 xn＝ ，
故 x1·x2·x3·x4·…·x 2 017＝ .选 D.
规律方法 1.求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线，曲线 y＝f(x)在
点 P(x0，f(x0))处的切线方程是 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，
再依据已知点在切线上求解.
2.处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参
数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.
[方法技巧]
1.对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则.求导时，不但要重视求导法则的应用，
而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避
免不必要的运算失误.对于复合函数求导，关键在于分清复合关系，适当选取中间变量，然后“由
外及内”逐层求导.
2.求曲线的切线方程要注意分清已知点是否是切点.若已知点是切点，则可通过点斜式直接写方
程，若已知点不是切点，则需设出切点.
3.处理与切线有关的参数问题时，一般利用曲线、切线、切点的三个关系列方程求解.
4.求导常见易错点：①公式(xn)′＝nxn－1 与(ax)′＝axln a 相互混淆；②公式中“＋”“－”号记混，
如出现如下错误：[f(x)
g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
[g(x)]2
，(cos x)′＝
sin x；③复合函数求导分不清内、外层函数.
5.求切线方程时，把“过点切线”问题误认为“在点切线”问题.
( )f x ln x ax+＝ 2 0x y－ ＝ ( )' 2f x ＝ ( )0 ∞，＋
( ) 1 2f x ax
′∴ +＝ ＝ ( )0 ∞，＋ 12a x
−＝
x 0＞ 12 2x
− < a ( )2∞－ ，
2016
2017
1
2017
2017
2018
1
2018
1
n
n +
1 2 2017 1
2 3 2018 2018
× × × =四、 课时作业
1．（2020·蚌埠田家炳中学高二开学考试（理））已知 ， 等于（ ）
A．1 B．-1 C．3 D．
【答案】C
【解析】因为 ，
所以 .
2．（2020·四川省成都为明学校高二月考（理））曲线 在点 处的切线的倾斜角为
（ ）
A．30° B．60° C．45° D．120°
【答案】C
【解析】 求导得：
在点 处的切线斜率即为导数值 1.
所以倾斜角为 45°.
3．（2020·通化县综合高级中学高二期中（理））曲线 在 处的切线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 ,当 x=0 时，y’=2,即切线的斜率为 2，通过选项可看出 C 符合题意
4．（2020·陕西省榆林十二中高二期中（理））在曲线 上切线的倾斜角为 的点是（ ）
A．（0,0） B．（2,4） C． D．
【答案】D
【解析】依题意 ，此时 ，故选 .
5．（2020·西宁市海湖中学高二月考（理））设曲线 在点 处的切线与直线 垂直，则
（ ）
(1) 1f ′ =
0
(1 3 ) (1)lim
x
f x f
x∆ →
+ ∆ −
∆
1
3
(1) 1f ′ =
0 0
(1 3 ) (1) (1 3 ) (1)lim 3 lim 3 (1) 33x x
f x f f x f fx x∆ → ∆ →
+ ∆ − + ∆ − ′= = =∆ ∆
3 2 4y x x= − + (13)，
3 2 4y x x= − + 2' 3 2y x= −
(1,3)
sin xy x e= + 0x =
3 3 0x y− + = 2 2 0x y- + = 2 1 0x y− + = 3 1 0x y− + =
y cosx xe=′ +
2y x=
4
π
1 1,4 16
1 1,2 4
π 12 tan 1,4 2y x x′ = = = =
21 1
2 4y = = D
ln
1
xy x
= + (1,0) 1 0x ay− + =
a =A． B． C．-2 D．2
【答案】A
【解析】由题意得， ，
∵在点 处的切线与直线 垂直，∴ ，解得 ，
6．（2020·南昌县莲塘第一中学高二开学考试（文））若曲线 在点 处的切线与直线
平行，则 a=（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解析】因为 ，所以 ，解得 ，故选 C.
7．（2020·江西省奉新县第一中学高二月考（理））函数 在 处的切线方程是()
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】求曲线 y＝exlnx 导函数，可得 f′（x）＝exlnx
∴f′（1）＝e，
∵f（1）＝0，∴切点（1，0）．
∴函数 f（x）＝exlnx 在点（1，f（1））处的切线方程是：y﹣0＝e（x﹣1），
即 y＝e（x﹣1）
8．（2020·江西省高二月考（文））已知方程 有且仅有两个不同的实数解 ，
，则以下有关两根关系的结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
1
2
− 1
2
2
(ln )'( 1) ln ( 1)'' ( 1)
x x x xy x
+ − += + 2
11 ln
( 0)( 1)
xx xx
+ −
= >+
(1,0) 1 0x ay− + = 2 ln1
4 a
− = − 1
2a = −
2y x ax= + (1, 1)a + 7y x=
2y x a′ = + 2 7a+ = 5a =
( ) lnxf x e x= 1x =
( )1y e x= − 1y ex= − ( )2 1y e x= − ey x= −
xe
x
+
cos ( 0)x k kx
= > θ
( )ϕ θ ϕ>
cos sinϕ ϕ θ= sin cosϕ ϕ θ= − cos cosθ θ ϕ= sin sinθ θ ϕ= −【解析】
方程 有且仅有两个不同的实数解，
等价于 有且仅有两个不同的实数解，
即 ，有且仅有两个不同的交点（原点除外）.
画图 ， 的图象.
由图可知， 与 相切时符合题意，
设 ，
因为 ，所以 为切点横坐标，且 是直线 与 的交点横坐标，
因为切线过原点，所以切线斜率 ，
所以 ，故选 A.
9．（2020·江西省高二月考（文））已知 ，直线 与函数 的图象在
处相切，设 ，若在区间[1，2]上，不等式 恒成立．则实数 m
（ ）
A．有最大值 B．有最大值 e C．有最小值 e D．有最小值
【答案】A
【解析】∵ ，∴ ，
∴ ，又点 在直线 上，
∴-1=2 +b+ ，∴b＝﹣1，
∴g（x）＝ex﹣x2+2，g'（x）＝ex﹣2x，g''（x）＝ex﹣2，
cos ( 0)x k kx
= >
( )cos , 0x kx k= >
( )cos , , 0y x y kx k= = >
cosy x= y kx=
y kx= cosy x= −
( ) cosf x x= − ( )' sin ,f x x=
θ ϕ> θ ϕ y kx= cosy x=
k cos cossin
θ ϕθ θ ϕ
−= = =
cos sinϕ θϕ=
,a b∈R
2y ax b
π= + + ( ) tanf x x=
4
πx = − ( ) 2xg x e bx a= + + ( ) 2 2m g x m≤ ≤ −
1e + e−
sin( ) tan cos
xf x x x
= = 2
2 2
cos sin ( sin ) 1( ) cos cos
x x xf x x x
− ⋅ − =′ =
( ) 24a f
π′= − = ( , 1)4
π− − πy ax b 2
= + +
⋅ ( )4
π− π
2当 x∈[1，2]时，g''（x）≥g''（1）＝e﹣2＞0，
∴g'（x）在[1，2]上单调递增，
∴g'（x）≥g（1）＝e﹣2＞0，∴g（x）在[1，2]上单调递增，
解得 或 e≤m≤e+1，
∴m 的最大值为 e+1，无最小值，
10．（2020·黑龙江省校高二期中（理））设函数 的导函数为 ，则
图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，所以 ，所以 ，
所以函数 是奇函数，其图象关于原点成中心对称，而函数 为偶函数，其图象关于 轴对称，所以
选项 B，C 错误；又因为其图象过原点 ，所以选项 A 错误.
11．（2019·福清龙西中学高二期中（理））下列各式正确的是( )
A． (a 为常数) B．
C． D．
【答案】C
【解析】由基本的求导公式可得：
(a 为常数)； ； ； .
12．（2020·四川省南充市白塔中学高二月考（理））已知函数 ，则 ( )
A． B．e C． D．1
【答案】C
【解析】由题得 ，
min
2 2
max
) (1) 1
2 ) (2) 2
m g x g e
m g x g e
≤ = = +
− ≥ = = −
（
（
m e≤ −
( ) 4cosf x x x= − − ( )g x
( )g x
( ) 4cosf x x x= − − ( ) 3' sin 4f x x x= − ( ) 3sin 4g x x x= −
( )g x ( )g x y
O
( )sin cosa a′ = ( )cos sinx x′ =
( )sin cosx x′ = ( )5 61
5x x
′− −= −
( )'sin 0a = ( )'cos sinx x= − ( )'sin cosx x= ( )'5 65x x− −= −
( ) 2 ( ) lnf x xf e x′= + ( )f e =
e− 1−
1 1 1( ) 2 ( ) , ( ) 2 ( ) , ( )f x f e f e f e f ex e e
′ ′ ′ ′ ′= + ∴ = + ∴ = −所以 .
13．（2020·河南省高二月考（理））给出定义：若函数 在 D 上可导，即 存在，且导函数 在 D
上也可导，则称 在 D 上存在二阶导函数，记 ，若 在 D 上恒成立，则称
在 D 上为凸函数．以下四个函数在 上不是凸函数的是 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】若 ，则 ，
在 上，恒有 ；
若 ，则 ，在 上，恒有 ；
若 ，则 ，在 上，恒有 ；
若 ，则 .
在 上，恒有 ，故选 D.
14．（2020·高二开学考试（理））求形如 的函数的导数，我们常采用以下做法：
先两边同取自然对数得： ，再两边同时求导得 ，
于是得到： ，运用此方法求得函数 的一个单调递增区
间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
1( ) 2 ( ) ln 2 ( ) 1 1f e ef e e e e
= + = × +′ − = −
( )f x '( )f x '( )f x
( )f x ''( ) ( '( ))'f x f x= ''( ) 0f x < ( )f x
0, 2
π
( ) sin cosf x x x= + ( ) ln 2f x x x= −
3( ) 2 1f x x x= − + − ( ) e xf x x −= −
( ) sin cosf x x x= + ( ) sin cosf x x x′′ = − −
0, 2x
π ∈ ( ) 0f x′′ <
( ) ln 2f x x x= −
2
1( )f x x
′′ = − 0, 2x
π ∈ ( ) 0f x′′ <
3( ) 2 1f x x x= − + − ( ) 6f x x′′ = − 0, 2x
π ∈ ( ) 0f x′′ <
( ) xf x xe−= − ( ) 2 (2 )x x xf x e xe x e′′ − − −= − = −
0, 2x
π ∈ ( ) 0f x′′ >
( )( )g xy f x=
ln ( )ln ( )y g x f x= 1 1( )ln ( ) ( ) ( )( )y g x f x g x f xy f x
′ ′ ′= +
( ) 1( ) ( )ln ( ) ( ) ( )( )
g xy f x g x f x g x f xf x
′ ′ ′ = +
1
xy x=
( ,4)e (3 6)， (0 )e， (2 3)，【解析】由题意知 y′= •（﹣ •lnx+ ）= • ，（x＞0）
令 y'＞0，得 1﹣lnx＞0
∴0＜x＜e
∴原函数的单调增区间为（0，e）
15．（2020·天津耀华中学高二月考）点 是曲线 上任意一点, 则点 到直线 的距离的最
小值是（ ）
A．１ B． C．２ D．
【答案】B
【解析】 ，则 ，即 ，
所以 ，故选 B．
16．（2020·南昌市实验中学高二月考）已知直线 y=x+1 与曲线 相切，则 α 的值为
A．1 B．2 C．-1 D．-2
【答案】B
【解析】设切点 ，则 ，又
，故答案选 B。
17．（2020·榆林市第二中学高三月考（理））设函数 f(x)的导函数为 ，f(0)=1，且 ,则
的解集是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】构造函数 ， ，故 .
，故 为常函数.
1
xx
1
x 2
1
x
1
xx 2
1 ln x
x
−
P 2 lny x x= − P 2y x= −
2 2 2
1' 2 1y x x
= − = 1x = ( )1,1P
2 2
2
d = =
'( )f x 3 ( ) '( ) 3f x f x= −
4 ( ) '( )f x f x>
ln 4( , )3
+∞ ln 2( , )3
+∞ 3( , )2
+∞ ( , )3
e +∞
( ) ( )
3
1
x
f xg x e
+= ( )0 1f = ( ) ( )
0
0 10 2fg e
+= =
( ) ( ) ( )( )
( )
( ) ( )3 3
2 33
' 3 1 ' 3 3' 0
x x
xx
f x e f x e f x f xg x ee
− + − −= = = ( )g x故 ， ， ，
，即 ，解得 .
18．（2019·山西省山西实验中学高三月考）已知函数 ，其中 为函数 的导数，
则 （ ）
A．2 B．2019 C．2018 D．0
【答案】A
【解析】
令 ，则有
因为 的定义域是 R，
所以 是奇函数，所以 是偶函数
所以 ，
所以
19．（2019·全国高二课时练习）定义在 上的函数 ， 是它的导函数，且恒有
成立，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为 ,所以 , .
由 ，得 .
令 ，（ ），则 ，
( ) ( )
3
1 2x
f xg x e
+= = ( ) 32 1xf x e= − ( ) 3' 6 xf x e=
4 ( ) '( )f x f x> 3 38 4 6x xe e− > ln 2
3x >
2
2
( 1) sin( ) 1
x xf x x
+ += +
( )f x′ ( )f x
(2018) ( 2018) (2019) ( 2019)f f f f′ ′+ − + − − =
2 2
2 2 2
( 1) sin 2 1 sin 2 sin( ) 11 1 1
x x x x x x xf x x x x
+ + + + + += = = ++ + +
( ) 2
2 sin
1
x xg x x
+= +
( )( ) ( ) 1, ( )f x g x f x g x′ ′= + =
( )g x ( ) ( )2
2 sin
1
x xg x g xx
− −− = = −+
( )g x ( )g x′
(2018) ( 2018) 0g g+ − = ( ) ( )2019 2019 0g g′ ′− − =
(2018) ( 2018) (2019) ( 2019)f f f f′ ′+ − + − −
( ) ( ) ( ) ( )2018 1 2018 2019 2019 21g g g g= + + − + + ′ ′− − =
(0, )2
π ( )f x ( )'f x
( ) ( )' tanf x f x x<
3 ( ) ( )6 3f f
π π< ( )1 2 ( )sin16f f
π<
2 ( ) ( )6 4f f
π π> 3 ( ) 2 ( )4 3f f
π π>
0, 2x
π
sin 0x > cos 0x >
( ) ( )' tanf x f x x< ( ) ( )' sin cos 0f x x f x x− >
( ) ( )
g sin
f xx x
= 0, 2x
π
( ) ( ) ( )
2
' sin cosg' 0(sin )
f x x f x xx x
−= > 所以函数 在 上为增函数，
则 ，即 ，所以 ，
即 ，故答案为 A.
20．（2020·天津耀华中学高二月考）若直线 是曲线 的切线，也是曲线 的切
线，则 ．
【答案】
【解析】对函数 求导得 ，对 求导得 ，设直线 与曲线
相切于点 ，与曲线 相切于点 ，则 ，
由点 在切线上得 ，由点 在切线上得
，这两条直线表示同一条直线，所以 ，解得
.
21．（2018·全国高二单元测试）曲线 在点 处的切线方程为__________.
【答案】
【解析】由题得
因为 f(2)=6,所以切点为（2,6），
所以切线方程为 .
故答案为 .
22．（2020·广东省高三其他（文））设函数 ，若曲线 在点 处的切线与直线
( )g x 0, 2
π
g g6 3
π π
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