第五单元 平面向量（ B卷 滚动提升检测）-2021年高考数学（理）一轮复习单元滚动双测卷（解析版）

第五单元 平面向量 B 卷 滚动能力检测 一、选择题：本题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。 1．（2020·河南开封高三二模（理））己知平行四边形 中， ， ，对角线 与 相交于点 ，点 是线段 上一点，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 解析：．A 如图所示，以 的中点为坐标原点，以 所在直线为 轴，以 所在直线为 轴，建立 所示的直角坐标系，则 ， 所以直线 的方程为 ， 设点 ， ，所以 ， 所以 ， 当 时， 取到最小值 . 故选：A. 2．（2020·朝阳高一期中）已知向量 不共线，且 ， ，则一定共线的三点是（ ） A． B． C． D． A 【解析】 解析：∵ ， ∴ ，∴ 三点共线. ABCD 2AB AD= = 60DAB∠ = ° AC BD O M BC OM CM⋅  9 16 − 9 16 1 2 − 1 2 BD BD x CA y ( 1,0), (0, 3)B C− − BC 3 3y x= − − ( , 3 3)M x x− − ( 1 0)x− ≤ ≤ ( , 3 3), ( , 3 )OM x x CM x x= − − = −  2 2 23 3 4 3OM CM x x x x x⋅ = + + = +  3 8x = − OM CM⋅  9 16 − ,a b  2 , 5 6AB a b BC a b= + = − +     7 2CD a b= −   , ,A B D , ,A B C , ,B C D , ,A C D 2 4BD BC CD a b= + = +     2BA AB a b= − = − −    2BD BA= −  , ,A B D故选：A. 3．（2020·黑龙江香坊校高三三模（理））已知向量 且 ， 则 （ ） A． B． C． D． 【详解】 ， 因为 ，故 ，故 . 故选：C. 4．（2020·江西东湖高三其他（理））若向量 ＝ ，| |＝2 ，若 ·( － )＝2，则 向量 与 的夹角( ) A． B． C． D． A【解析】由已知可得： ，得 ， 设向量 与 的夹角为 ，则 所以向量 与 的夹角为 故选 A. 5．（2019·宁夏兴庆高三月考（理））在△ABC 中，若 2 2= ，则△ABC 是（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 B【解析】解： ，化简可得： ， ∴△ABC 是直角三角形． 故选 B． 6．（2020·黑龙江齐齐哈尔高三二模（理））如图，在 中，点 为线段 上靠近点 的三等分点， (1, 2), ( ,1)a b k= − =  ( )a a b⊥ +   k = 1 2 3− 2− ( )1 , 1a b k+ = + −  ( )a a b⊥ +   ( ) ( ) ( )1 1 2 1 0k× + + − × − = 3k = − a 1 3,2 2  −    b 3 a b a a b 6 π 4 π 3 π 2 π 2 2a b a− =    3a b =   a b θ 3cos .2 a b a b θ = = ×     a b 6 π AB BC− AB AC⋅  2 2CAB B AB AC− = ⋅     2 2 cosc a bc A∴ − = 2 2 2c a b= + ABC∆ Q AC A点 为线段 上靠近点 的三等分点，则 （ ） A． B． C． D． B【解析】 .故选：B. 7．（2019·陕西省汉中中学高三月考（理））在△ABC 中，N 是 AC 边上一点，且 ＝ ，P 是 BN 上 的一点，若 ＝m ＋ ，则实数 m 的值为(　　) A． B． C．1 D．3 B【解析】设 ， 所以 所以 故选 B. 8．（2020·陕西高三其他（理））在四边形 中， ，且 ， ， ， 则边 的长（ ） A． B． C． D． D 【解析】 ， ， P BQ B PA PC+ =  1 2 3 3BA BC+  5 7 9 9BA BC+  1 10 9 9BA BC+  2 7 9 9BA BC+  2 3PA PC BA BP BC BP BA BC BQ+ = − + − = + −         2 ( )3BA BC BA AQ= + − +    1 2 3 3BA BC= + − ×  1 3 AC 1 2 5 7( )3 9 9 9BA BC BC BA BA BC= + − − = +      AN 1 2 NC AP AB 2 9 AC 1 9 1 3 NP NBλ=  AP AN NP= +   1 3 AC NBλ= +  = 1 ( )3 AC NA ABλ+ +   1 1( )3 3 AC ABλ λ= − +  1 1 2 ,3 3 9 λ− = 1.3 λ = ABCD 2D B∠ = ∠ 1AD = 3CD = 3cos 3B∠ = AC 3 4 2 2 2 3 2D B∠ = ∠ 2 2 3 1cos cos2 2cos 1 2 13 3D B B  ∴ ∠ = ∠ = ∠ − = × − = −   由余弦定理得 ， 因此， .故选：D. 9．（2020·浙江西湖学军中学高三其他）已知非零平面向量 ， ， .满足 ， ，且 ，则 的最小值是（ ） A． B． C．2 D．3 A【解析】 【分析】如图 1： 令 ， ， ，不妨设 取 中点 ，由 ，可得 ，由极化恒等式得 ； 要求 的最小值，即 最小时取到；显然 ，此时 ， ， 三点共 线，如图 2： 2 2 2 2 2 12 cos 1 3 2 1 3 123AC AD CD AD CD D  = + − ⋅ ⋅ ∠ = + − × × × − =   2 3AC = a b c 4a = 2b c=  ( ) ( ) 3a c b c− ⋅ − =    a b−  2 6 3 3 5 5 a OA=  b OB=  c OC=  2c OC r b OB r= = ⇒ = =    AB M ( ) ( ) 3a c b c− ⋅ − =    3CA CB⋅ =uuur uuur 2 21 34CA CB CM AB⋅ = − =  a b AB− =   CM minCM OM OC= − O C M设此时 ，因为 由余弦定理可知： 所以 ，即 .故选:A. 10．（2020·黑龙江让胡路铁人中学高三其他（理））在平行四边形 中， ， 是 的中点， 点在边 上，且 ，若 ，则 （ ） A． B． C． D． C【解析】如图，结合条件可得 ， ， 则 ， 又因为 ，即有 ， 所以 ， 解得 ，所以 .故选：C. 11．（2020·安徽相山高三其他（理））在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 边上的高为 ，则 的最大值是（ ） A．8 B．6 C． D．4 D【解析】 2 3CM t AM BM t= ⇒ = = − cos cos 0OMA OMB∠ + ∠ = 2 2 2 2 2 2 0OM AM OA OM BM OB+ − + + − = ( ) ( )2 2 22 2 3 16 4r t t r⇒ + + − = + 2 22 11 2 0r tr r⇒ + + − = 2 2 2 114 44 8 0 3t t t∆ = − + ≥ ⇒ ≥ 2 2 62 3 3AB t= − ≥ ABCD 2 2 3AB AD= = E BC F CD 2CF FD= 17 2AE BF⋅ = −  DAB∠ = 30 60 120 150 1 1 2 2AE AB BE AB BC AB AD= + = + = +       2 2 3 3BF BC CF AD CD AD AB= + = + = −       2 21 2 2 2 1 2 3 3 3 2AE BF AB AD AD AB AB AD AB AD   ⋅ = + ⋅ − = ⋅ − +                    2 2 3AB AD= = 3AD = ( ) ( )2 22 2 1 172 3 3 cos 2 3 33 3 2 2AE BF DAB⋅ = × × × ∠ − × + × = −  1cos 2DAB∠ = − 120DAB∠ =  ABC∆ A B C a b c BC 3 6 a c b b c + 3 2，这个形式很容易联想到余弦定理：cosA ，① 而条件中的“高”容易联想到面积， bcsinA，即 a2＝2 bcsinA，② 将②代入①得：b2＋c2＝2bc(cosA＋ sinA)， ∴ ＝2(cosA＋ sinA)＝4sin(A＋ )，当 A＝ 时取得最大值 4，故选 D． 12．（2020·河北桥西高三月考（理））如图，圆 是等边三角形 的外接圆，点 为劣弧 的中点，则 （ ） A B． C． D． 【详解】 解：连接 ，易知 ， ， 三点共线，设 与 的交点为 ， 则 . 故选：A. 二、填空题：本大题共 4 小题，共 20 分。 13．（2020·上海高三课时练习）函数 的最大值为 ． 【解析 ，所以函数 的最大值是 ； 2 2b c b c c b bc ++ = 2 2 2 2 b c a bc + −= 1 3 1 2 6 2a a× = 3 3 b c c b + 3 6 π 3 π O ABC D AC OD = 2 1 3 3BA AC+  2 1 3 3BA AC−  1 2 3 3BA AC+  4 2 3 3BA AC+  BO B O D OD AC E ( ) ( )2 2 1 1 2 1 3 3 2 3 3 3OD BO BE BA BC BA BA AC BA AC= = = × + = + + = +          sin( )cos( )2 6y x x π π= + − 2 3 4 + 23 1 3 1sin( )cos( ) cos ( cos sin ) cos sin cos2 6 2 2 2 2y x x x x x x x x π π= + − = + = + = 3 1 3 1 3 1 3 1 3(1 cos2 ) sin 2 cos2 sin 2 (sin cos2 cos sin 2 ) sin(2 )4 4 4 4 4 2 3 3 4 2 3 4x x x x x x x π π π+ + = + + = + + = + + 2 3 4 +14．（2019·贵州高考模拟（理））在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，其中最大的角等于 另外两个角的和，当最长边 时， 周长的最大值为_______. 【解析】依题意， ，结合三角形的内角和定理，得 ，所以 ， ， ， 所以， 的周长为 ， ， ， 当 时，即当 时， 的周长取得最大值 ，故答案为 . 15．（2020·江苏泰州高三三模）在锐角 中，点 、 、 分别在边 、 、 上，若 ， ，且 ， ，则实数 的值为_______． 【解析】 【分析】 将 表示为 ，由题意得知 与 不垂直，由 可得出 ， 进而可求得实数 的值. 【详解】 如下图所示： ， ， ， ， ABC∆ A B C a b c 1c = ABC∆ 2 1+ C A B= + A B C π+ + = 2C π= sin sina c A A∴ = = cos cosb c A A= = ABC∆ sin cos 1 2 sin 14a b c A A A π + + = + + = + +   0 2A π< = = =×     | || | 1sin( )4 2x π− = (0, )2x π∈ ( , )4 4 4x π π π− ∈ − 4 6x π π∴ − = 5 12x π= x 5 12 π ABC A B C a b c 2a = 3B π= − 6AB AC⋅ =  c ( )sin A C− 3c = 5 314 − 6AB AC⋅ =  cos 6bc A = 2 2 2 62 b c abc bc + −⋅ = 2 2 2 12b c a+ − = 3B π= 2 2 2 2 22 cosb a c ac B a c ac= + − = + − 2a = 2 6 0c c− − = 3c = 2c = − 3c = 3c = 2 4 9 2 3 7b = + − × = 0b > 7b =又由余弦定理得 ． 因为 ，所以 ， 则 ， ． 又 ， 所以 ． 21．（2020·浙江高三其他）已知向量 . （1）若 ，求实数 的值； （2）当 时，记函数 ，求 的最小值和最大值. （1） （2）最小值 ；最大值 【解析】（1）因为 ，且 ， 所以 ，由 得， ，即 ， 所以 ，所以 ， 因为 ，所以 ，所以 ， 所以 ，又 ，所以 ， 所以 ，所以 . 2 2 2 2 77 9 4cos 2 76 7 b c aA bc + − + −= = = ( )0,A π∈ 2 21sin 1 cos 7A A= − = 2 1cos2 2cos 1 7A A= − = 4 3sin 2 2sin cos 7A A A= = 2 3C A B Aπ π= − − = − 2 2sin( ) sin sin 23 3A C A A A π π    − = − − = −         2 2 1 4 3 3 1 5sin 2 cos cos2 sin 33 3 2 7 2 7 14A Aπ π= − = − × − × = − (sin ,tan ), (cos , ),a x x b x Rλ λ= = ∈  1,0 , (0,5a b x π + = ∈     λ 0λ = ( )f x a b= ⋅  ( ) 0,6 2y f x f x x π π    = + − ∈        4 3 λ = 3 4 − 3 2 (sin ,tan ), (cos , )a x x b x λ= =  1,05a b  + =      1sin cos , tan5x x xλ+ = = − 1sin cos 5x x+ = 2 1(sin cos ) 25x x+ = 11 2sin cos 25x x+ = 242sin cos 25x x = − 2 49(sin cos ) 1 2sin cos 25x x x x− − == (0, )x π∈ sin 0,cos 0x x> < sin cos 0x x− > 7sin cos 5x x− = 1sin cos 5x x+ = 4 3sin ,cos5 5x x= = − sin 4tan cos 3 xx x = = − 4tan 3xλ = − =（2）当 时， ，所以 ，所以 ， 因为 ，所以 ，从而 ， 所以当 ，即 时，函数 取得最小值 ；当 ，即 时，函数 取得最大值 . 22．（2020·全国高三课时练习）已知 ， ， ， （其中 O 为坐 标原点） （1）求使 取得最小值时的 ； （2）对（1）中求出的点 C，求 ． （1） ；（2） 【解析】（1）由题知 ， 所以 当 时 取最小值，此时 ； （2）由（1） ， ， ， ， 所以， 0λ = 1( ) sin cos sin22f x a b x x x= ⋅ = ⋅ =  1 sin 26 2 3f x x π π   − = −       1 1 1 1 3( ) sin2 sin 2 sin2 sin2 cos26 2 2 3 2 4 4y f x f x x x x x x π π   = + − = + − = + −       3 3 3 3sin 2 cos2 sin 2 cos cos2 sin sin 24 4 2 6 6 2 6x x x x x π π π   = − = − = −       0, 2x π ∈   52 ,6 6 6x π π π − ∈ −   1 sin 2 12 6x π − −    2 6 6x π π− = − 0x = ( ) 0,6 2y f x f x x π π    = + − ∈        3 4 − 2 26x ππ− = 3x π= ( ) 0,6 2y f x f x x π π    = + − ∈        3 2 ( )2,1OP = ( )1,7OA = ( )5,1OB = OC tOP=  CA CB⋅  OC cos ACB∠ ( )4,2OC = 4 17cos 17ACB∠ = − ( ) ( )2,1 2 ,OC tOP t t t= = =  ( )1 2 ,7CA OA OC t t= − = − −   ( )5 2 ,1CB OB OC t t= − = − −   ( )( ) ( )( ) ( )21 2 5 2 7 1 5 2 8CA CB t t t t t⋅ = − − + − − = − −  2t = CA CB⋅  ( )4,2OC = ( )3,5CA = − ( )1, 1CB = − 34CA = 2CB = 8CA CB⋅ = −  8 4 17cos 1734 2 CA CBACB CA CB ⋅ −∠ = = = − ⋅⋅    