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专题 7 数列
数列是高考重点考查的内容之一，命题形式多种多样，大小均有.其中，小题重点考查等差数列、等比数列
基础知识以及数列的递推关系；解答题的难度中等或稍难，将稳定在中等难度.往往在利用方程思想解决数
列基本问题后，进一步数列求和，在求和后可与不等式、函数、最值等问题综合.在考查等差数列、等比数
列的求和基础上，进一步考查“裂项相消法”、“错位相减法”等，与不等式结合，“放缩”思想及方法尤为重
要．
预测 2021 年将保持稳定，注意主观题与不等式、函数等相结合.
1．（2020·山东海南省高考真题）将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前 n
项和为________．
【答案】
【解析】
因为数列 是以 1 为首项，以 2 为公差的等差数列，
数列 是以 1 首项，以 3 为公差的等差数列，
所以这两个数列的公共项所构成的新数列 是以 1 为首项，以 6 为公差的等差数列，
所以 的前 项和为 ，
故答案为： .
2．（2020·海南省高考真题）已知公比大于 的等比数列 满足 ．
（1）求 的通项公式；
（2）求 .
【答案】（1） ；（2）
【解析】
23 2n n−
{ }2 1n −
{ }3 2n −
{ }na
{ }na n 2( 1)1 6 3 22
n nn n n
−⋅ + ⋅ = −
23 2n n−
1 { }na 2 4 320, 8a a a+ = =
{ }na
1
1 2 2 3 1( 1)n
n na a a a a a−
+− +…+ −
2n
na = 2 38 2( 1)5 5
n
n
+
− − 2 / 39
(1) 设等比数列 的公比为 q(q>1)，则 ，
整理可得： ，
，
数列的通项公式为： .
(2)由于： ，故：
.
3．（2020·山东省高考真题）已知公比大于 的等比数列 满足 ．
（1）求 的通项公式；
（2）记 为 在区间 中的项的个数，求数列 的前 项和 ．
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
（1）由于数列 是公比大于 的等比数列，设首项为 ，公比为 ，依题意有 ，解得
解得 ，或 (舍)，
所以 ，所以数列 的通项公式为 .
（2）由于 ，所以
对应的区间为： ，则 ；
对应的区间分别为： ，则 ，即有 个 ；
对应的区间分别为： ，则 ，即有 个 ；
{ }na
3
2 4 1 1
2
3 1
20
8
a a a q a q
a a q
+ = + =
= =
22 5 2 0q q− + =
11, 2, 2q q a> = =
12 2 2n n
na −= ⋅ =
( ) ( ) ( )1
1 2 11 1 11 2 21 1 2n nn n nn
n na a − −+ +−
+ = − × × = −−
1
1 2 2 3 1( 1)n
n na a a a a a−
+− +…+ −
3 5 7 9 1 2 12 2 2 2 ( 1) 2n n− += − + − +…+ − ⋅
( )
( )
3 2
2 3
2
2 1 2 8 2( 1)5 51 2
n
n
n
+
− − = = − −
− −
1 { }na 2 4 320, 8a a a+ = =
{ }na
mb { }na *(0, ]( )m m∈N { }mb 100 100S
2n
na = 100 480S =
{ }na 1 1a q
3
1 1
2
1
20
8
a q a q
a q
+ =
=
1 2, 2a q= = 1
132, 2a q= =
2n
na = { }na 2n
na =
1 2 3 4 5 6 72 2,2 4,2 8,2 16,2 32,2 64,2 128= = = = = = =
1b ( ]0,1 1 0b =
2 3,b b ( ] ( ]0,2 , 0,3 2 3 1b b= = 2 1
4 5 6 7, , ,b b b b ( ] ( ] ( ] ( ]0,4 , 0,5 , 0,6 , 0,7 4 5 6 7 2b b b b= = = = 22 2 3 / 39
对应的区间分别为： ，则 ，即有 个 ；
对应的区间分别为： ，则 ，即有 个 ；
对应的区间分别为： ，则 ，即有 个 ；
对应的区间分别为： ，则 ，即有 个
.
所以 .
4．（2020·全国高考真题（理））设数列{an}满足 a1=3， ．
（1）计算 a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；
（2）求数列{2nan}的前 n 项和 Sn．
【答案】（1） ， ， ，证明见解析；（2） .
【解析】
（1）由题意可得 ， ，
由数列 的前三项可猜想数列 是以 为首项，2 为公差的等差数列，即 ，
证明如下：
当 时， 成立；
假设 时， 成立.
那么 时， 也成立.
则对任意的 ，都有 成立；
（2）由（1）可知，
，①
，②
由① ②得：
8 9 15, , ,b b b ( ] ( ] ( ]0,8 , 0,9 , , 0,15 8 9 15 3b b b= = = = 32 3
16 17 31, , ,b b b ( ] ( ] ( ]0,16 , 0,17 , , 0,31 16 17 31 4b b b= = = = 42 4
32 33 63, , ,b b b ( ] ( ] ( ]0,32 , 0,33 , , 0,63 32 33 63 5b b b= = = = 52 5
64 65 100, , ,b b b ( ] ( ] ( ]0,64 , 0,65 , , 0,100 64 65 100 6b b b= = = = 37
6
2 3 4 5
100 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 37 480S = × + × + × + × + × + × =
1 3 4n na a n+ = −
2 5a = 3 7a = 2 1na n= + 1(2 1) 2 2n
nS n += − ⋅ +
2 13 4 9 4 5a a= − = − = 3 23 8 15 8 7a a= − = − =
{ }na { }na 3 2 1na n= +
1n = 1 3a =
n k= 2 1ka k= +
1n k= + 1 3 4 3(2 1) 4 2 3 2( 1) 1k ka a k k k k k+ = − = + − = + = + +
*n N∈ 2 1na n= +
2 (2 1) 2n n
na n⋅ = + ⋅
2 3 13 2 5 2 7 2 (2 1) 2 (2 1) 2n n
nS n n−= × + × + × + + − ⋅ + + ⋅
2 3 4 12 3 2 5 2 7 2 (2 1) 2 (2 1) 2n n
nS n n += × + × + × + + − ⋅ + + ⋅
− ( )2 3 16 2 2 2 2 (2 1) 2n n
nS n +− = + × + + + − + ⋅ 4 / 39
，
即 .
5.（2020·浙江省高考真题）已知数列{an}，{bn}，{cn}中，
．
（Ⅰ）若数列{bn}为等比数列，且公比 ，且 ，求 q 与{an}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{bn}为等差数列，且公差 ，证明： ．
【答案】（I） ；（II）证明见解析.
【解析】
（I）依题意 ，而 ，即 ，由于 ，所以解得 ，所以
.
所以 ，故 ，所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，所以
.
所以 （ ）.
所以
（II）依题意设 ，由于 ，
所以 ，
故
.
( )2 1
12 1 2
6 2 (2 1) 21 2
n
nn
−
+
−
= + × − + ⋅
×
−
1(1 2 ) 2 2nn += − ⋅ −
1(2 1) 2 2n
nS n += − ⋅ +
1 1 1 1 1
2
1, , ( )n
n n n n n
n
ba b c c a a c c nb+ +
+
= = = = − = ⋅ ∈ *N
0q > 1 2 36b b b+ =
0d > 1 2
11nc c c d
+ + + < + *( )n N∈
11 4 2, .2 3
n
nq a
− += =
2
1 2 31, ,b b q b q= = = 1 2 36b b b+ = 21 6q q+ = 0q > 1
2q =
1
1
2n nb −=
2 1
1
2n nb + += 1
1
1
1
2 41
2
n
n n n
n
c c c
−
+
+
= ⋅ = ⋅ { }nc 1 4
14n
nc −=
1
1 4n n n
na a c −
+ = =− *2,n n N≥ ∈
1
2
1
4 21 4 4 .3
n
n
na a
−
− += + + +⋅⋅⋅+ =
( )1 1 1nb n d dn d= + − = + − 1
2
n n
n n
c b
c b
+
+
=
1
1 1
n n
n n
c b
c b
−
− +
= ( )*2,n n N≥ ∈
1 3 2
1
1 2 2 1
n n
n
n n
c c c cc cc c c c
−
− −
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 1 2 3 2 1
1
1 1 4 3
n n n
n n n
b b b b b cb b b b b
− − −
+ −
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
1 2
1 1 1
1 1 1 1 1 11
n n n n n n
b b d
b b d b b d b b+ + +
+ = = − = + − 5 / 39
所以
.
由于 ，所以 ，所以 .
即 ， .
一、单选题
1．（2020·山东省威海市三模）我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节
气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度）．二十四节气及晷长变化
如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏
至的晷长为一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则说法不正确的是（ ）
A．相邻两个节气晷长减少或增加的量为一尺
B．春分和秋分两个节气的晷长相同
C．立冬的晷长为一丈五寸
D．立春的晷长比立秋的晷长短
【答案】D
【解析】
1 2
1 2 2 3 1
1 1 1 1 1 1 11n
n n
c c c d b b b b b b +
+ + + = + − + − + + −
1
1 11 1
nd b +
= + −
10, 1d b> = 1 0nb + >
1
1 1 11 1 1
nd b d+
+ − < +
1 2
11nc c c d
+ +…+ < + *n N∈ 6 / 39
由题意可知夏至到冬至的晷长构成等差数列 ,其中 寸， 寸，公差为 寸，则
，
解得 （寸），
同理可知由冬至到夏至的晷长构成等差数列 ,首项 ，末项 ，公差 （单位都为
寸）.
故选项 A 正确；
春分的晷长为 ，
秋分的晷长为 ， ，所以 B 正确；
立冬的晷长为 ， ，即立冬的晷长为一丈五寸，C 正确；
立春的晷长，立秋的晷长分别为 ， ，
， ，
，故 D 错误.
故选：D
2．（2020·山东省仿真联考 3）已知正项数列 满足： ， 是 的前 n 项和，则下列四个命
题中错误的是（ ）
A． B．
C． D． 是递增数列
【答案】D
【解析】
A. ，根据已知可知 ，
，故 A 正确；
B. ， ，
由 A 可知 ， ，…… ,
{ }na 1 15a = 13 135a = d
135 15 12d= +
10d =
{ }nb 1 135b = 13 15b = 10d = −
7b 7 1 6 135 60 75b b d∴ = + = − =
7a 7 1 6 15 60 75a a d∴ = + = + =
10a 10 1 9 15 90 105a a d∴ = + = + =
4b 4a
4 1 3 15 30 45a a d∴ = + = + = 4 1 3 135 30 105b b d= + = − =
4 4b a∴ >
{ }na 1 2n na a+ > nS { }na
1 12n
na a+ > ( )2 1 2k
k kS S> + ⋅
12 ( 2)n nS a a n< − ≥ 1n
n
a
a
+
0na > 2 3
1 1 2 12 2 2 ...... 2n
n n n na a a a a+ − −> > > >
1 12n
na a+∴ >
0na > ( ) ( )1 2 1 2 22
1 2
... ...
...
k k k kk
k k
a a a a a aS
S a a a
+ ++ + + + + + += + + +
1 2 2
1 2
...1 ...
k k k
k
a a a
a a a
+ ++ + += + + + +
1 12k
ka a+ > 2 22k
ka a+ > 2 2k
k ka a> 7 / 39
，
，故 B 正确；
C.由 A 可知 ……, ，
，
由 A 可知 ，
，
，故 C 成立；
D.若数列 是正项等比数列，并且公比 ，则 ，此时 是常数列，不是递增数列，
故 D 不正确.
故选：D
3．（2020·山东省最后一卷）对 n 个不同的实数 a1，a2，…，an 可得 n！个不同的排列，
每个排列为一行写成一个 n！行的数阵.对第 i 行 ai1，ai2，…，ain，记 bi=－ai1+2ai2－3ai3+…+(－1)nnain，
i=1，2，3…，n！.例如用 1，2，3 可得数阵如图，对于此数阵中每一列各数之和都是 12，所以 bl+b2+…b6=
－12+2×12－3×12=－24.那么，在用 1，2，3，4，5 形成的数阵中，b1+b2+…b120 等于（ ）
1 2 2
1 2
... 2...
kk k k
k
a a a
a a a
+ ++ + +∴ >+ + +
( )2
21 2 1 2k kk
k k
k
S S SS
∴ > + ⇒ > +
1 12 2
n
n n n
aa a a− −> ⇒ < 2
2 2 22 2
n n
n n
aa a a−
−> ⇒ < 1
1 1 12 2
n n
n n
aa a a−
−> ⇒ < ( )2n ≥
1 2 3 1 2 3... ...2 2 2 2
n n n n
n n nn n n
a a a aS a a a a a− − −∴ = + + + + < + + + + +
1 2
1 1 ...... 12 2n n na − −
= + + +
11 12 2 11 21 2
n
n n na a
− = = − −
12 2
n
n n
aa −= −
112
n
n
a a− > ( )2n ≥
112 22
n
n nn
aa a a−∴ − < −
12n nS a a∴ < − ( )2n ≥
{ }na 4q = 1 4 2n
n
a
a
+ = > 1n
n
a
a
+
8 / 39
A．－3600 B．－1800 C．－1080 D．－720
【答案】C
【解析】
由题意可知：数阵中行数为： ，
在用 1，2，3，4，5 形成的数阵中，
每一列各数字之和都是： ，
.
故选：C
4．（2020·山东省泰安市模拟）已知函数 ，若等差数列 的前 项和为 ，
且 则 （ ）
A． B．0
C．2020 D．4040
【答案】C
【解析】
因为 定义域为 ，关于原点对称，且
，所以 为奇函数，
由 得， ，所以 ，
因为 为等差数列，所以 ，
故选:C.
5．（2020·山东省潍坊市 6 月模拟）在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽
马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，
日减半里：良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢.问相逢时良马比驽马多行（ ）里.
A．540 B．426 C．963 D．114
【答案】A
5! 120=
( )5! 5 1 2 3 4 5 360÷ × + + + + =
( ) ( )1 2 120... 360 1 2 3 4 5 360 3 1080b b b+ + + = × − + − + − = × − = −
( ) ( )3 21 1f x x g x x= + + + { }na n nS
( ) ( )1 20201 10, 1 10f a f a− = − − = ， 2020 =S
4040−
( ) ( )3 21 1f x x g x x= + + + R
( ) ( ) ( )3 2 3
2
11 1 lg
1
f x x g x x x
x x
− = − + + − = − +
+ +
( ) ( )3 21 1x g x x f x= − − + + = − ( )f x
( ) ( ) ( )1 2020 20201 1 1f a f a f a− = − − = − 1 20201 1a a− = − 1 2020 2a a+ =
{ }na ( )1 2020
2020
2020= 20202
a aS
+ = 9 / 39
【解析】
由题意得，两马共同走完两倍的齐至长安的距离，假设两马 日相逢，因为良马首日行 103 里，所以第 日
行 里，故相遇时良马行 里，同理驽马行
里，两马同行 里,
则 ，
解得 或 （舍），
此时良马共行走了 里，驽马共行走了 里，而
（里）.
故选：A.
二、多选题
6．（2020·山东省济南市 6 月模拟）设 是无穷数列，若存在正整数 k，使得对任意 ，均有 ，
则称 是间隔递增数列，k 是 的间隔数，下列说法正确的是（ ）
A．公比大于 1 的等比数列一定是间隔递增数列
B．已知 ，则 是间隔递增数列
C．已知 ，则 是间隔递增数列且最小间隔数是 2
D．已知 ，若 是间隔递增数列且最小间隔数是 3，则
【答案】BCD
【解析】
A. ，因为 ，所以当 时， ，故错误；
B. ，令 ，t 在
单调递增，则 ，解得 ，故正确；
C. ，当 为奇数时，
，存在 成立，当 为偶数时， ，存在 成立，综上： 是
间隔递增数列且最小间隔数是 2，故正确；
k k
103 13( 1)k+ − [103 103 13( 1)]
2
k k+ + − × [97 97 0.5( 1)]
2
k k+ − − ×
1125 2 2250× =
[103 103 13( 1)] [97 97 0.5( 1)] 22502 2
k k k k+ + − × + − − ×+ =
9k = 40k = −
[103 103 13 8] 9 13952
+ + × × = [97 97 0.5 8] 9 8552
+ − × × =
1395 855 540− =
{ }na n +∈N n k na a+ >
{ }na { }na
4
na n n
= + { }na
( )2 1 n
na n= + − { }na
2 2020na n tn= − + { }na 4 5t≤ <
( )1 1 1
1 1 1 1n k n n
n
k
k na a a aq q qa q+ − − −
+ = − =− − 1q > 1 0a < n k na a+ <
( ) ( )
24 4 4 41 + +n k n
n kna a n k n k kn k n n k n n k n+
+ − − = + + − + = − = +
2 4t n kn= + − n ∗∈N
( )1 1 4 0t k= + − > 3k >
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 1 2 1 2 1 1 1n k n n k
n k na a n k n k+
+
− = + + − − + − = + − − − n
( )2 1 1 0kk − − + > 1k ³ n ( )2 1 1 0kk + − − > 2k ≥ { }na 10 / 39
D. 若 是间隔递增数列且最小间隔数是 3，
则 ， 成立，
则 ，对于 成立，且 ，对于 成立
即 ，对于 成立，且 ，对于 成立
所以 ，且
解得 ，故正确.
故选：BCD
7．（2020 届山东省青岛市三模）在悠久灿烂的中国古代文化中，数学文化是其中的一朵绚丽的奇葩．《张丘
建算经》是我国古代有标志性的内容丰富的众多数学名著之一，大约创作于公元五世纪．书中有如下问题：
“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈，问日益几何？”．其大意为：“有一女子擅长织
布，织布的速度一天比一天快，从第二天起，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织 尺，一个月共织
了九匹三丈，问从第二天起，每天比前一天多织多少尺布？”．已知 匹 丈， 丈 尺，若这一个月有
天，记该女子这一个月中的第 天所织布的尺数为 ， ，对于数列 、 ，下列选项中正
确的为（ ）
A． B． 是等比数列 C． D．
【答案】BD
【解析】
由题意可知，数列 为等差数列，设数列 的公差为 ， ，
由题意可得 ，解得 ， ，
， （非零常数），则数列 是等比数列，B 选项正确；
， ， ，A 选项错误；
， ，C 选项错误；
， ，
{ }na
( ) ( ) ( )2 2 22020 2020 2 0n k na a n k t n k n tn kn k tk+ − = + − + + − − + = + − > n ∗∈N
( )2 2 0k t k+ − > 3k ≥ ( )2 2 0k t k+ − ≤ k 2≤
( )2 0k t+ − > 3k ≥ ( )2 0k t+ − ≤ k 2≤
2 3t − < 2 2t − ≥
4 5t≤ <
5
1 4= 1 10=
30 n na 2 na
nb = { }na { }nb
10 58b b= { }nb 1 30 105a b = 3 5 7
2 4 6
209
193
a a a
a a a
+ + =+ +
{ }na { }na d 1 5a =
1
30 2930 3902
da
×+ = 16
29d = ( )1
16 1291 29n
na a n d
+∴ = + − =
2 na
nb =
1
11 2 2 22
n
n n
n
a
a a dn
a
n
b
b
+
+ −+∴ = = = { }nb
16 805 5 329 29d = × = ≠ ( )5 5 310
5
2 2 2d db
b
= = ≠
10 58b b∴ ≠
30 1 29 5 16 21a a d= + = + = 21
1 30 5 2 105a b∴ = × >
4 1
16 1933 5 3 29 29a a d= + = + × = 5 1
16 2094 5 4 29 29a a d= + = + × = 11 / 39
所以， ，D 选项正确.
故选：BD.
三、解答题
8．（2020·山东省威海市三模）从条件① ，② ，③ ，
中任选一个，补充到下面问题中，并给出解答．
已知数列 的前 项和为 ， ，________．若 ， ， 成等比数列，求 的值．
【答案】若选择①， ；若选择②， ；若选择③， .
【解析】
若选择①，
因为 ， ，所以 ， ，
两式相减得 ，整理得 ．
即 ， ．
所以 为常数列． ，所以 ．
（或由 ，利用相乘相消法，求得 ）
所以 ， ，
又 ， ， 成等比数列，所以 ，
所以 ，解得 或 （舍），
所以 ．
若选择②，
由 变形得， ，
所以 ，
3 5 7 5 5
2 4 6 4 4
3 209
3 193
a a a a a
a a a a a
+ + = = =+ +
( )2 1n nS n a= + ( )1 2n n nS S a n−+ = ≥ 0na >
2 2n n na a S+ =
{ }na n nS 1 1a = 1a ka 2kS + k
6k = 3k = 6k =
( )2 1n nS n a= + *n N∈ ( )1 12 2n nS n a+ += + *n N∈
( ) ( )1 12 2 1n n na n a n a+ + −= + + ( )1 1n nna n a+ = +
1
1
n na a
n n
+ =+
*n N∈
na
n
1 11
na a
n
= = na n=
1 1n
n
a n
a n
+ +=
na n=
ka k= ( )( ) ( )( )
2
2 1 2 2 3
2 2k
k k k kS +
+ + + + += =
1a ka 2kS + ( )( ) 22 3 2k k k+ + =
2 5 6 0k k− − = 6k = 1k = −
6k =
( )1 2n n nS S a n−+ = ≥ 1 1n n n nS S S S− −+ = −
( )( )1 1 1n n n n n nS S S S S S− − −+ = + − 12 / 39
易知 ，所以 ，
所以 为等差数列，又 ，所以 ， ，
∴ ，
又 时， 也满足上式，
所以 .
因为 ， ， 成等比数列，∴ ，
∴ 或 ，又 ，∴ ．
若选择③，
因为 ，所以 ，
两式相减得 ，
整理得 ，
因为 ，∴ ，所以 是等差数列，
所以 ，
，
又 ， ， 成等比数列，∴ ，
∴ 或 ，又 ，∴ ．
9．（2020·山东省泰安市模拟）已知数列 的前 项和为 ，且 .
（1）求证：数列 为等比数列；
（2）设 ，求数列 的 项和 .
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【解析】
（1）当 时，因为 ，①，所以 .②
0nS > 1 1n nS S −− =
{ }nS 1 1 1S a= = nS n= 2
nS n=
1 2 1n n na S S n−= − = − ( )2n ≥
1n = 1 1a =
2 1na n= −
1a ka 2kS + ( ) ( )2 22 2 1k k+ = −
3k = 1
3k = − *k N∈ 3k =
( )2 *2n n na a S n N+ = ∈ ( )2
1 1 12 2n n na a S n− − −+ = ≥
( )2 2
1 1 12 2 2 2n n n n n n na a a a S S a n− − −− + − = − = ≥
( )( ) ( )1 1 1 2n n n n n na a a a a a n− − −− + = + ≥
0na > ( )1 1 2n na a n−− = ≥ { }na
( )1 1 1na n n= + − × =
( )( ) ( )( )
2
2 1 2 2 3
2 2k
k k k kS +
+ + + + += =
1a ka 2kS + ( )( ) 22 3 2k k k+ + =
6k = 1k = − *k N∈ 6k =
{ }na n nS 2 1n nS a n= + −
{ }1na +
( )1n nb n a= + { }nb n nT
( )1 2 1n
nT n= − ⋅ +
2n ≥ 2 1n nS a n= + − ( )1 12 1 1n nS a n− −= + − − 13 / 39
由① ②得 ，即 ，所以 .
当 时， ，得 ，则 .
所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列；
（2）由（1）知 ，所以 .
所以 ，③
则 ，④
由③ ④，得 ，
所以 .
10．（2020·山东省泰安市 6 月三模）在① ，② ，③
这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并加以解答.
设等差数列 的前 项和为 ，数列 为等比数列，_________， .
求数列 的前 项和 .
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】不论选哪个条件，始终有
【解析】
选①
当 时， ，
当 时， ，
又 满足 ，所以 ；
选②
−
12 1n na a −= + ( )11 2 1n na a −+ = +
1
1 21
n
n
a
a − + =+
1n = 1 12S a= 1 0a = 1 1 1a + =
{ }1na + 1 2
11 2n
na −+ = ( ) 11 2n
n nb n a n −= + = ⋅
0 1 2 11 2 2 2 3 2 2n
nT n −= × + × + × +⋅⋅⋅+ ⋅
1 2 32 1 2 2 2 3 2 2n
nT n= × + × + × +⋅⋅⋅+ ⋅
− ( )0 1 2 1 1 21 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 11 2
n
n n n n
nT n n n− −− = × + × + × +⋅⋅⋅+ × − ⋅ = − ⋅ = − −−
( )1 2 1n
nT n= − ⋅ +
2
nS n n= + 3 5 3 516, 42a a S S+ = + = 1
7
1, 56n
n
a n Sa n
+ += =
{ }na n nS { }nb 1 2
1 1 2, 2
a ab a b= =
1
n
n
bS
+
n nT
1 12 11
n
nT n
+= − −+
1n = 1 1 2a S= =
2n ≥ 1 2n n na S S n−= − =
1n = 2na n= ( ) ( )2 *2 22 , 2n n
n na n S n n n N
+= = = + ∈ 14 / 39
设公差为 ，由 ，得
解得 所以 ；
选③
由 ，得 ，所以 ，即 ，
，所以 ，
所以 .
①②③均可求得 ，
设 的公比为 q，又因为 ，由 ，
得 ，所以 ，
所以数列 的前 n 项和为 ，
因为 ，
数列 的前 项和为 ，
故 .
11．（2020·山东省日照丶潍坊、临沂部分 6 月模拟）在① ，② ，③ 这三
个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.
已知等比数列 的公比 ，前 n 项和为 ，若_________，数列 满足 ， .
（1）求数列 ， 的通项公式；
（2）求数列 的前 n 项和 ，并证明 .
d 3 5 3 516, 42a a S S+ = + = 1
1
2 6 16,
8 13 42,
a d
a d
+ =
+ =
1 2,
2,
a
d
=
=
( ) ( )2 *2 22 , 2n n
n na n S n n n N
+= = = + ∈
1 1n
n
a n
a n
+ += 1
1
n na a
n n
+ =+
1
1
na a
n
= 1na a n=
7 4 17 28 56S a a= = = 1 2a =
( ) ( )2 *2 22 , 2n n
n na n S n n n N
+= = = + ∈
( ) ( )2 *2 22 , 2n n
n na n S n n n N
+= = = + ∈
{ }nb 1 22, 4a a= = 1 2
1 1 22, 42
a ab a b= = = =
1 2, 2b q= = ( )*2n
nb n N= ∈
{ }nb
1
12 2 2 21 2
n
n
+
+− = −−
( )2
1 1 1 1 1
1 1nS n n n n n n
= = = −+ + +
1
nS
n 1 1 1 1 1 11 12 2 3 1 1n n n
− + − +⋅⋅⋅+ − = −+ +
1 11 12 2 1 2 11 1
n n
nT n n
+ += − + − = − −+ +
2 3 42a a a+ = 2 2n nS a= − 4 25S S=
{ }na 0q > nS { }nb 1
1
3b = 1n n na b b+ =
{ }na { }nb
{ }1n n na b b + nT 1
3nT
1n n na b b+ = 1
1
3b =
1 1 1 1a b b+ = 1 2a =
2n
na =
1 1
1 2 1n n
n
b a
= =+ +
1 1 1
2 1 1
(2 1)(2 1) 2 1 2 1
n
n n n n n n na b b + + += = −+ + + +
2 2 3 1
1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( )2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1n n nT += − + − + + −+ + + + + + 1
1 1 1
3 2 1 3n+= − + 1 1n na a −− = { }na 1 1a = 1d =
{ }na ( )1 1na a n d n= + − =
na n= 2 2
+2 2log log1 1
n
n
n
a nb a n
+= =+ +
{ }nb n
1 2 3 2 2 2 2
3 4 5 2log log log log2 3 4 1n
nb b b b n
++ + +⋅⋅⋅+ = + + +⋅⋅⋅+ +
( )2 2
3 4 5 2log log 2 12 3 4 1
n nn
+ = × × ×⋅⋅⋅× = + − +
( )1 2 3 nb b b b k k Z+ + +⋅⋅⋅ = ∈ ( ) 1
2log 2 1 , 2 2kn k n ++ − = = −
( )0,2020 ,n k Z∈ ∈ 10k < k ∗∈N
( )0,2020
( ) ( ) ( ) ( )2 3 4 102 2 2 2 2 2 2 2S −= − + − + − +⋅⋅⋅+ −
( ) ( )2 9
2 3 4 10 112 1 2
2 2 2 2 18 18 2 22 20261 2
−
= + + +⋅⋅⋅+ − = − = − =−
{ }na n nS ( )*2 1n nS a n N= − ∈
{ }na
1
n
n
n n
ab S S +
= ⋅ { }nb n nT nT m≥ *n N∈ m
12n
na -=
1
3m ≤
( )*2 1n nS a n N= − ∈ 22 / 39
所以 ②
由①式 ②式得 ，即 ，
又当 时， ，解得 ，
所以 是以 1 为首项，2 为公比的等比数列，
所以 .
（2） ，
，
，
所以 单调递增，
所以 ，
所以 .
17．（2020·山东省济南市 6 月模拟）已知数列 的前 n 项和为 ，且 .
（1）求 的通项公式；
（2）设 求数列 的前 2n 项和 .
【答案】（1） （2）
【解析】
（1）因为 ，所以当 时， ，
当 时， ，
( )1 12 1 2n nS a n− −= − ≥
− ( )12 2 2n n na a a n−= − ≥ ( )12 2n na a n−= ≥
1n = 1 12 1a a= − 1 1a =
{ }na
12n
na -=
.1 2 2 11 2
n
n
nS
−= = −−
( )( )
1
11
1
2 1 1 1( )2 2 1 2 12 1 2 1
n
n
n n nn n
n n
ab S S
−
++
+
= = = −⋅ − −− −
1 2 2 3 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 112 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1n n n nT + +
= − + − + + − = − − − − − − − −
1 1 2
1 1 1( ) 02 2 1 2 1n n n nT T+ + +− = − >− −
nT
( ) 1min
1
3nT T= =
1
3m ≤
{ }na nS 21 1
2 2nS n n= +
{ }na
+
+
, 2 1,
2 , 2 ,n
n
n a
a n k k Nb n k k N
= − ∈= = ∈
{ }nb 2nT
na n= 1
2 4 4
3 3
n
n
+
+ −
21 1
2 2nS n n= + 1n = 1 1 1a S= =
2n ≥ ( ) ( )22
1
1 1 1 11 12 2 2 2n n na S S n n n n n−
= − = + − − + − = 23 / 39
又 时符合上式，所以 .
（2）因为 所以对任意的 ，
，
则 是以 1 为首项，2 为公差的等差数列；
，则 是以 4 为首项，4 为公比的等比数列.
所以
.
18．（2020·山东省滨州市三模）在下面的数表中，各行中的致从左到右依次成公差为正数的等差数列，各列
中的数从上到下依次成公比为正数的等比数列，且公比都相等， 表示第 行，第 列的数．已知
．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 n 项和 .
【答案】（1） （2）
【解析】
（1）设第一行中的数从左到右组成的等差数列的公差是 ，各列中的数从上到下组成的等比数列
1n = na n=
+
+
, 2 1,
2 , 2 ,n
n
n a
a n k k Nb n k k N
= − ∈= = ∈
k +∈N
( ) ( )2 1 2 1 2 1 2 1 2k kb b k k+ −− = + − − =
{ }2 1kb +
2 2
2 2
2
2
2= 42
k
k
k
k
b
b
+
+ = { }2kb
( ) ( )2 1 3 5 2 1 2 4 6 2n n nT b b b b b b b b−= + + + + + + + + +
( ) ( )2 4 6 21 3 2 1 2 2 2 2 nn= + + + − + + + + +
( ) ( ) 1
24 1 41 2 1 4 4
2 1 4 3 3
n nn n n
+−+ −= + = + −−
( ),n ma n m
( ) ( ) ( )1,1 2,2 3,31, 4, 12a a a= = =
( ){ },2na
( ) ( )2 ,2 ,2
1
1log ,n nn n
n n
b a c a b b +
= = + { }nc nS
( ),2 2= n
na 1 22 .1
+ += − +
n
n
nS n
( )0d d > 24 / 39
的公比是 ，
则 ，
，从而 .①
，从而 ②
联立①②解得， 或 （舍去）
从而 ，
所以 .
（2）由（1）知， .
所以 ，
所以 ，
所以
19．（2020·山东省德州市 6 月二模）给出以下三个条件:
①数列 是首项为 2，满足 的数列；
②数列 是首项为 2，满足 （λ∈R）的数列；
③数列 是首项为 2，满足 的数列..
( )0q q >
( ) ( )1,2 1,31 , 1 2a d a d= + = +
( ) ( ) ( )2.2 1.2 1a qa q d= = + ( )1 4q d+ =
( ) ( ) ( )2 2
3.3 1.3 1 2a q a q d= = + ( )2 1 2 12q d+ =
1,
2,
d
q
=
=
1 ,3
6.
d
q
= −
=
( )1.2 2a =
( ) ( )
1 1
,2 1.2 2 2 2n n n
na a q − −= ⋅ = × =
( ),2 2= n
na
( )2 2,2log log 2n
n nb a n= = =
( )
1 1 12 21 1
n n
nc n n n n
= + = + −+ +
1 2 3 1n n nS c c c c c−= + + +⋅⋅⋅+ +
2 3 11 1 1 1 1 1 1 1 1 12 2 2 2 21 2 2 3 3 4 1 1
n n
n n n n
− = + − + + − + + − +⋅⋅⋅+ + − + + − − +
( )2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 12 2 2 2 2 1 2 2 3 3 4 1
n n
n n
− = + + +⋅⋅⋅+ + + − + − + − +⋅⋅⋅+ − −
11 1 2 2 111 1 2 1
n
n n n
+− + − = + − + − +
1 11 22 1 2 .1 1
n n n
n n
+ + += − − = −+ +
{ }na 1 4 2n nS S+ = +
{ }na 2 13 2 n
nS λ+= +
{ }na 13 2n nS a += − 25 / 39
请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并求解.
设数列 的前 n 项和为 ， 与 满足______，记数列 ，
，求数列{ }的前 n 项和 ；
（注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
【答案】见解析
【解析】
选①，由已知 （1），
当 时， （2），
（1）-（2）得： ，即 ，
当 时， ，由 ，所以 ，
所以 ，满足 ，
故 是以 2 为首项 4 为公比的等比数列，所以 .
，
，
所以 .
选②，由已知 （1），
当 时， （2），
（1）-（2）得， ，即 ，
当 时， 满足 ，
故 是以 2 为首项 4 为公比的等比数列，所以 .
下同选①；
{ }na nS na nS 2 1 2 2 2log log logn nb a a a= + + +
2
1+
+=n
n n
n nc b b nc nT
1 4 2n nS S+ = +
2n ≥ 14 2n nS S −= +
( )1 14 4n n n na S S a+ −= − = 1 4n na a+ =
1n = 2 14 2S S= + 1 2a = 22 4 2 2a+ = × +
2 8a = 2 14a a=
{ }na 2 12 n
na −=
( )2 1 2 2 2 2 1 2log log log logn n nb a a a a a a= + +⋅⋅⋅+ = 21 3 (2 1)n n= + +⋅⋅⋅+ − =
2
2 2
1
( 1) 1 1 1
( 1) ( 1) 1n
n n
n n n nc b b n n n n n n+
+ += = = = −+ + +
1 1
1 1 1 1 11 2 2 3 1n nT c c c n n
= + +⋅⋅⋅+ = − + − +⋅⋅⋅+ − +
11 1 1
n
n n
= − =+ +
2 13 2 n
nS λ+= +
2n ≥ 2 1
13 2 n
nS λ−
− = +
2 1 2 1 2 13 2 2 3 2n n n
na + − −= − = ⋅ 2 12 n
na −=
1n = 1 2a = 2 12 n
na −=
{ }na 2 12 n
na −= 26 / 39
选③，由已知 （1），
则 时， （2），
（1）-（2）得 ，即 ，
当 时， ，而 ，得 ，满足 ，
故 是以 2 为首项 4 为公比的等比数列，所以 .
下同选①.
20．（2020·山东省仿真联考 3）已知数列 满足 ， ， .
（1）证明：数列 为等比数列；
（2）求数列 的前 项和.
【答案】（1）见证明；（2）
【解析】
证明：（1）∵ ，∴ .
又∵ ，∴ .
又∵ ，
∴数列 是首项为 2，公比为 4 的等比数列.
解：（2）由（1）求解知， ，
∴ ，
∴
.
21．（2020·山东省仿真联考 1）设数列 的前 项和为 ，且 .
（1）求 的通项公式；
13 2n nS a += −
2n ≥ 13 2n nS a− = −
13 n n na a a+= − 1 4n na a+ =
1n = 1 23 2a a= − 1 2a = 2 8a = 2 14a a=
{ }na 2 12 n
na −=
{ }na 1 1a = 1 4 3 1n na a n+ = + − n nb a n= +
{ }nb
{ }na n
( ) 22 1 14 13 2 2
n n n− − −
n nb a n= + 1 1 1n nb a n+ += + +
1 4 3 1n na a n+ = + − ( )1 1 4 3 1 11 nn n
n n n
a n nb a n
b a n a n
+ + + − + ++ += =+ +
( )4 4n
n
a n
a n
+= =+
1 1 1 1 1 2b a= + = + =
{ }nb
12 4n
nb −= ×
12 4n
n na b n n−= − = × −
( ) ( )2 1
1 2
2 1 4 12(1 4 4 4 ) (1 2 3 ) 1 4 2
n
n
n n
n nS a a a n−
− += + +…+ = + + + + − + + + + = −−
( ) 22 1 14 13 2 2
n n n= − − −
{ }na n nS 2 2nS n n= +
{ }na 27 / 39
（2）若 ，求数列 的前 项和 .
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
（1）当 时， ，当 时， ，
，当 时， 满足上式，
故 .
（2）由（1）可得 ，则
.
22．（2020·山东省仿真联考 2）在等差数列 中，已知 .在① ，②
，③ 这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并对其求解.
（1）求数列 的通项公式 ；
（2）若___________，求数列 的前 项和 .
【答案】（1） ；（2）答案见解析.
【解析】
（1）设等差数列 的公差为 ，则 ，
即 ，
故 .
（2）选①，
1
1
n n
n
n n
a ab a a
+
+
= + { }nb n nT
2 1na n= + 4 26 9n
n nnT = ++
1n = 1 1 1 2 3a S= = + = 2n ≥ ( ) ( )2 2
1 1 2 1 1nS n n n− = − + − = −
( ) ( )2 2
1 2 1 2 1 2n n na S S n n n n n−= − = + − − = + ≥ 1n = 1 3a =
2 1na n= +
2 3 2 1 2 2 22 1 2 3 2 1 2 3n
n nb n n n n
+ += + = − ++ + + +
1 2 3
2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 23 5 5 7 7 9 2 1 2 3n nT b b b b n n
= + + + + = − + + − + + − + + + − + + +
2 2 2 2 2 2 2 2 23 5 5 7 7 9 2 1 2 3 nn n
= − + − + − + + − + + +
2 2 42 23 2 3 6 9
nn nn n
= − + = ++ +
{ }na 6 1616, 36a a= =
1
4
n
n n
b a a +
=
( 1)n
n nb a= − ⋅ 2 na
n nb a= ⋅
{ }na na
{ }nb n nS
2 4na n= +
{ }na d 16 6 (16 6)a a d= + −
36 16 10 , 2d d= + =
16 ( 6) 2na n= + − × 2 4n= + 28 / 39
由
得 .
选②，由 得
当 为偶数时， .
当 为奇数时， ，
故
选③，
由 得
，①
则 ，②
①-②，得
，
故.
23．（2020·山东省济南市二模）如图 1，杨辉三角是我国南宋数学家杨辉于 1261 年所著的《详解九章算法》
中列出的一张图表，如图 2，把杨辉三角左对齐排列，将同一条斜线上的数字求和，会得到一个数列 ，
其中 ， ， …设数列 的前 项和为 ．
1
4 4 1
(2 4)[2( 1) 4] ( 2)( 3)n
n n
b a a n n n n+
= = =+ + + + +
1 1
2 3n n
= −+ +
1 1 1 1 1 1 1 1
3 4 4 5 2 3 3 3 3( 3)n
nS n n n n
= − + − + + − = − =+ + + +
( 1) ( 1) (2 4)n n
n nb a n= − = − +
n 2[ 3 4 5 6 ( 2)]nS n= − + − + − + + 2 12
n n= × × =
n 2[ 3 4 5 2)]6 ( 1) (nS n n= − + − + − + − − +
12 1 ( 2) 52
n n n
− = × − + = − −
( ),
5 ( )n
n nS n n
= − −
为偶数
为奇数
2 4(2 4) 2 n
nb n += + ⋅
6 8 10 2 46 2 8 2 10 2 (2 4) 2 n
nS n += ⋅ + ⋅ + ⋅ + + + ⋅
8 10 2 4 2 64 6 2 8 2 (2 2) 2 (2 4) 2n n
nS n n+ += ⋅ + ⋅ + + + ⋅ + + ⋅
6 8 10 2 4 2 63 6 2 2 2 2 2 2 2 (2 4) 2n n
nS n+ +− = ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ − + ⋅
8 2 4 2
6 2 6
2
2 2 26 2 2 (2 4) 21 2
n
nn
+
+ − ⋅= ⋅ + − + ⋅ −
7 2 75 52 23 3
nn + = ⋅ − + ⋅
2 73 5 64029 9
n
n
nS ++= ⋅ −
{ }na
1 1a = 2 1a = 3 2a = { }na n nS 29 / 39
（1）求 的值，并写 ， ， 出满足的递推关系式（不用证明）；
（2）记 ，用 表示 ．
【答案】（1） ； ；（2） .
【解析】
（1） ； ．
（2）因为 ， ，… ， ，
相加得 ，
所以 ，所以 ．
24．（2020 届山东省潍坊市高三模拟一）已知等差数列 的前 n 项和为 ， ， .
（1）求 的通项公式；
（2）设 ，记 为数列 的前 n 项和.若 ，求 m.
【答案】（1） （2） .
【解析】
（1）设数列 的首项为 ，公差为 d，
由已知得
解得 ，
8a na 1na + 2na +
2022a m= m 2020S
8 21a = 2 1 ( )n n na a a n N+ + += + ∈ 2020 1S m= −
8 1 6 10 4 21a = + + + = 2 1 ( )n n na a a n N+ + += + ∈
3 2 1a a a= + 4 3 2a a a= + 2021 2020 2019a a a= + 2022 2021 2020a a a= +
( )3 4 2022 2 3 2021 1 2 2020a a a a a a a a a+ + + = + + + + + + +… … …
2022 2 2020a a S− = 2020 1S m= −
{ }na nS 3 4a = 6 27S =
{ }na
2 na
nb = nT { }nb 124mT =
1na n= + 5m =
{ }na 1a
1
1
2 4
6 15 27
a d
a d
+ =
+ =
1 2
1
a
d
=
= 30 / 39
所以 .
（2）由（1）可得 ，
是首项为 4，公比为 2 的等比数列，
则 .
由 ，得 ，
解得 .
25．（2020 届山东省潍坊市高三模拟二）已知数列{an}的首项为 a1＝1，且 .
（Ⅰ）证明：数列{an+2}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设 bn＝log2（an+2）﹣log23，求数列 的前 n 项和 .
【答案】(1) ;(2) .
【解析】
（Ⅰ）， ，
则数列 是以 3 为首项，以 2 为公比的等比数列，
，即 .
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ， .
，
，
，
则 .
26．（2020 届山东省六地市部分学校高三 3 月线考）数列 满足：
( )1 1 1na a n d n= + − = +
12n
nb +=
{ }nb∴
( ) ( )4 1 2
4 2 11 2
n
n
nT
−
= = −−
124mT = ( )4 2 1 124m − =
5m =
*
1 2( 1)( )n na a n N+ = + ∈
3
2
n
n
b
a
+ nT
( )13 2 2n
na n N− ∗= × − ∈
1
12 2n n
nT −
+= −
( ) ( )1 12 1 , 2 2 2n n n na a a a+ += + ∴ + = +
{ }2na +
12 3 2n
na −∴ + = × ( )1 *3 2 2n
na n N−= × − ∈
( ) 1
2 2 2log 2 log 3 log 2 1n
n nb a n−= + − = = − 1
3 1
2 2
n
n
n
b n
a −
−∴ =+
0 1 2 2 1
0 1 2 2 1
2 2 2 2 2n n n
n nT − −
− −∴ = + + +…+ +
1 2 3 1
1 0 1 2 2 1
2 2 2 2 2 2n n n
n nT −
− −= + + +…+ +
1 3 n 1
1 1
1 1 1 1 1 1 12 2 112 2 2 2 2 2 21 2
n
n n n n
n n nT −
−− − +∴ = + +…+ − = − = −
−
1
12 2n n
nT −
+= −
{ }na 1 2 3a a a+ + +L ( )1 3 12
n
na+ = − 31 / 39
（1）求 的通项公式；
（2）若数列 满足 ，求 的前 项和 .
【答案】（1） ;
（2） .
【解析】
（1）令
时，
时， ， 满足
所以 ；
（2）由 ，
①
②
① ②得
27．（2020 届山东济宁市兖州区高三网络模拟考）在① ；② ；③
，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
已知等差数列 的公差为 ，前 n 项和为 ，等比数列 的公比为 q，且 ，
____________．
（1）求数列 ， 的通项公式．
{ }na
{ }nb 3 n na b
na = { }nb n nT
13 −= n
na
13 2 1 1( )( )4 4 3
n
n
nT -+= -
1 2 3Sn na a a a= + + +
1n = 1 1a =
2n ≥ 1
1 3n
n n na S S -
-= - = 1 1a =
13 −= n
na
3 n na b
na = 11( 1)( )3
n
nb n -= -
1 2n nT b b b= + + = 21 12 ( )3 3 + ´ +
11( 1)( )3
nn --
2 31 1 1( ) 2 ( )3 3 3nT = + ´
11( 2)( )3
nn -+ -
1( 1)( )3
nn+ -
−
22 1 1( )3 3 3nT = + +
11 1( ) ( 1)( )3 3
n nn - - -
11 1[1 ( ) ]2 3 3
13 1 ( )3
n
nT
--
=
-
1( 1)( )3
nn- -
13 2 1 1( )( )4 4 3
n
n
nT -+= -
3 2 5 25 6a a a b= + =， 2 3 4 32 3b a a b= + =，
3 4 5 29 8S a a b= + =，
{ }na ( )1d d > nS { }nb 1 1a b d q= =，
{ }na { }nb 32 / 39
（2）记 ，求数列 ，的前 n 项和 ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】
方案一：选条件①
（1）
解得 或 （舍去）
（2）
n
n
n
ac b
= { }nc nT
3 2 5 2 1 15 6 1a a a b a b d q d= = = = > ， ＋ ， ， ，
1
1 1
2 5
2 5 6
a d
a d a d
+ =∴ + =
1 1
2
a
d
=
=
1
25
6
5
12
a
d
=
=
1 1
2
b
q
=∴ =
( )1 –1n n dα α∴ = ＋
2 1n= −
1 1
1 2n n
nb b q - -= =
n
n
n
ac b
=
1
1
2 1 1(2 1) ( )2 2
n
n n
nc n −
−
−∴ = = − ×
2 2 11 1 1 11 3 5 (2 3) (2 1)2 2 2 2
n n
nT n n
− − ∴ = + × + × + + − × + − ×
2 3 11 1 1 1 1 13 5 (2 3) (2 1)2 2 2 2 2 2
n n
nT n n
− ∴ = + × + × + + − × + − ×
2 11 1 1 1 11 2 (2 1)2 2 2 2 2
n n
nT n
− ∴ = + + + + − − × 33 / 39
方案二：选条件②
（1）
解得 或 （舍去）
（2）
11 112 2 11 2 (2 1)1 21 2
n
n
n
− − = + × − − × −
13 (2 3) 2
n
n = − + ×
116 (2 3) 2
n
nT n
− ∴ = − + ×
2 3 4 3 1 12, 3 , , , 1b a a b a b d q d= + = = = >
1
2
1 1
2
2 5 3
a d
a d a d
=∴ + =
1
1
2
2 5 6
a d
a d d
=∴ + =
1 1
2
a
d
=
=
1 1
2
a
d
= −
= −
1 1
2
b
q
=∴ =
1 ( 1) =na a n d∴ + − =2n-1
1 1
1 2n n
nb b q - -= =
n
n
n
ac b
=
1
1
2 1 1(2 1) ( )2 2
n
n n
nc n −
−
−∴ = = − ×
2 2 11 1 1 11 3 5 (2 3) (2 1)2 2 2 2
n n
nT n n
− − ∴ = + × + × + + − × + − ×
2 3 11 1 1 1 1 13 5 (2 3) (2 1)2 2 2 2 2 2
n n
nT n n
− ∴ = + × + × + + − × + − × 34 / 39
方案三：选条件③
解得 或 （舍去）
（2）
2 11 1 1 1 11 2 (2 1)2 2 2 2 2
n n
nT n
− ∴ = + + + + − − ×
11 112 2 11 2 (2 1)1 21 2
n
n
n
− − = + × − − × −
13 (2 3) 2
n
n = − + ×
116 (2 3) 2
n
nT n
− ∴ = − + ×
3 4 5 2 1 19, 8 , , , 1S a a b a b d q d∴ = + = = = >
1
1 1
3
2 7 8
a d
a d a d
+ =∴ + =
1 1
2
a
d
=
=
1
21
8
3
8
a
d
=
=
1 1
2
b
q
=
=
1 ( 1)na a n d∴ = + − 2 1n= −
1
1
n
nb bq −= 12n−=
n
n
n
ac b
=
1
1
2 1 1(2 1)2 2
n
n n
nc n
−
−
− ∴ = = − ×
2 2 11 1 1 11 3 5 (2 3) (2 1)2 2 2 2
n n
nT n n
− − ∴ = + × + × + + − × + − × 35 / 39
28．（2020 届山东省淄博市高三二模）已知数列 满足 ，且 .
（1）求证：数列 是等差数列，并求出数列 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 .
【答案】（1）证明见解析， ；（2） .
【解析】
（1）因为 ，所以 ，即 ，
所以数列 是等差数列，且公差 ，其首项
所以 ，解得 ；
（2） ，①
，②
① ②，得 ，
所以 .
2 3 11 1 1 1 1 13 5 (2 3) (2 1)2 2 2 2 2 2
n n
nT n n
− ∴ = + × + × + + − × + − ×
2 11 1 1 1 11 2 (2 1)2 2 2 2 2
n n
nT n
− ∴ = + + + + − − ×
11 112 2 11 2 (2 1)1 21 2
m
n
n
− − = + × − − × −
13 (2 3) 2
n
n = − + ×
116 (2 3) 2
n
nT n
− ∴ = − + ×
{ }na 1
3
2a = ( )1
1
1 2,2 2
n
n n
aa n n ∗−
−= + ≥ ∈N
{ }2n
na { }na
{ }na n nS
2 1
2n n
na
+= 2 55 2n n
nS
+= −
( )1
1
1 2,2 2
n
n n
aa n n ∗−
−= + ≥ ∈N 1
12 2 2n
n
n
n a a−
−= + 1
12 2 2n n
n na a−
−− =
{ }2n
na 2d = 12 3a =
2 3 ( 1) 2 2 1n
na n n= + − × = + 2 1
2n n
na
+=
2 3 1
3 5 7 2 1 2 1
2 2 2 2 2n n n
n nS −
− += + + + ⋅⋅⋅+ +
42 3 1
3 5 7 2 1 2 1
2 2 2 2 2 2
n
n n
S n n
+
− += + + + ⋅⋅⋅+ +
−
2 3 1 1
1
1 12 13 1 1 1 2 1 3 2 14 22 12 2 2 2 2 2 2 21 2
n
n n
n
n
S n n−
+ +
× × − + + = + × + +⋅⋅⋅+ − = + − −
1
5 2 5
2 2n
n
+
+= −
2 55 2n n
nS
+= − 36 / 39
29．（2020 届山东省高考模拟）已知数列 的前 项和为 ，且 （ ），数列 满
足 ， （ ）．
（Ⅰ）求数列 通项公式；
（Ⅱ）记数列 的前 项和为 ，证明： ．
【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）证明见解析
【解析】
（Ⅰ） （ ），①
当 时， ，②
① ②得 ，
即 ， ，
， ，
又 ， ，
数列 是首项为 1，公比为 2 的等比数列，
．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得 ，
（ ），
，
，
.
{ }na n nS 12n nS a a= − *n N∈ { }nb
1 6b = 1 4n n
n
b S a
= + + *n N∈
{ }na
1
nb
n nT 1
2nT ＜
12n
na −=
12n nS a a= − *n N∈
∴ 2n ≥ 1 1 12n nS a a− −= −
− 12 2n n na a a −= −
12n na a −= 2n ≥
1 4n n
n
b S a
= + + ∴ 1 1
1
1 4b a a
= + +
1 6b = ∴ 1 1a =
∴ { }na
∴ 12n
na -=
12 2 1n
n nS a a= − = −
∴
2 1 1
1 1
1 1 2 3 2 14 2 1 42 2
n n
n
n n n n
n
b S a
− −
− −
+ ⋅ += + + = − + + = *n N∈
∴ ( )( )
1 1
2 1 1 11
1 2 2 1 1
2 3 2 1 2 1 2 12 1 2 1
n n
n n n nn n
nb
− −
− − −−
= = = −+ ⋅ + + ++ +
∴
0 1 1 2 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2n n n nT −= − + − + + − = −+ + + + + + + ＜
∴ 1
2nT ＜ 37 / 39
30．（2020·2020 届山东省淄博市高三二模）设函数 .
（Ⅰ）讨论函数 的单调性；
（Ⅱ）如果对所有的 ≥0，都有 ≤ ，求 的最小值；
（Ⅲ）已知数列 中， ，且 ，若数列 的前 n 项和为 ，求证：
.
【答案】（Ⅰ）函数 在 上单调递减，在 单调递增；（Ⅱ） ；（Ⅲ）证明
见解析．
【解析】
（Ⅰ） 的定义域为 ， 1 分
当 时， ，当 时， 2 分
所以函数 在 上单调递减，在 单调递增. 3 分
（Ⅱ）设 ，则
因为 ≥0，故 5 分
（ⅰ）当 时， ， ，所以 在 单调递减，而 ，所以对所有
的 ≥0， ≤0，即 ≤ ；
（ⅱ）当 时， ，若 ，则 ， 单调递增，而
，所以当 时， ，即 ；
( ) ( ) 2
2ln 1 1
xf x x x
= + + +
( )f x
x ( )f x ax a
{ }na 1 1a = ( )( )11 1 1n na a+− + = { }na nS
1
1ln2
n
n n
n
aS aa
+
+> −
( )f x ( )1 -2 2− +， ( )-2 2,+ +∞ 2
( )f x ( )1− + ∞， ( ) ( )
2
2
4 2
1
x xf x
x
+ +=
+
′
1 2 2x− < < − + ( ) 0f x′ < 2 2x > − + ( ) 0f x′ >
( )f x ( )1 -2 2− +， ( )-2 2,+ +∞
( ) ( ) 2
2ln 1 1
xg x x axx
= + + −+
( ) ( )
( ) ( )
( )
2 22
2 2
1 2 1 14 2 1 1 211 1
x xx xg x a a axx x
+ + + −+ + = − = − = − − + − + + +
′
x
211 1 01x
− < − − ≤ +
2a ≥ 2 0a− ≤ ( ) 0g x′ ≤ ( )g x [ )0, + ∞ ( )0 0g =
x ( )g x ( )f x ax
1 2a< < 0 2 1a< − < 2 20, 1
a ax a
− + −∈ −
( ) 0g x′ > ( )g x
( )0 0g = 2 20, 1
a ax a
− + −∈ −
( ) 0g x > ( )f x ax> 38 / 39
（ⅲ）当 时， ， ，所以 在 单调递增，而 ，所以对所有
的 ， ，即 ；
综上， 的最小值为 2. 8 分
（Ⅲ）由 得， ，由 得， ，
所以 ，数列 是以 为首项，1 为公差的等差数列，
故 ， ， 9 分
由（Ⅱ）知 时， ， ，
即 ， . 10 分
法一：令 ，得 ，
即
因为 11 分
所以 12 分
故 12 分
法二：
下面用数学归纳法证明．
1a ≤ 2 1a− ≥ ( ) 0g x′ > ( )g x [ )0, + ∞ ( )0 0g =
0x > ( ) 0g x > ( )f x ax>
a
( )( )11 1 1n na a+− + = 1 1n n n na a a a+ +− = ⋅ 1 1a = 0na ≠
1
1 1 1
n na a+
− = 1
na
1
1 1a
=
1
n
na
= 1
na n
= 1
1
1na n+ = +
1
1ln2
n
n n
n
aS aa
+
+> − ⇔ ( ) ( )
1 1 1ln 1 12 1 2 3
nn n n
+ + < + + + ++
2a = ( ) 2
2ln 1 21
xx xx
+ + ≤+ 0x >
( ) ( )
2
ln 1 2 1
xx xx
+ +
1x n
= ( )
1 1 1ln 2 1
n
n n n n
+ + − ⇔ ( ) ( )
1 1 11 ln 12 3 2 1
nnn n
+ + + + > + + + 39 / 39
（1）当 时，令 代入 ，即得 ，不等式成立
（2）假设 时，不等式成立，即
则 时，
令 代入 ，得
即
由（1）（2）可知不等式 对任何 都成立.
故 12 分
1n = 1x = ( ) ( )
2
ln 1 2 1
xx xx
+ + +
( )*, 1n k k N k= ∈ ≥ ( ) ( )
1 1 11 ln 12 3 2 1
kkk k
+ + + + > + + +
1n k= + ( ) ( )
1 1 1 1 11 ln 12 3 1 2 1 1
kkk k k k
+ + + + + > + + ++ + +
1
1x k
= + ( ) ( )
2
ln 1 2 1
xx xx
+ + ++ + + +
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
1 2 1ln 1 ln 1 ln2 1 1 2 1 1 2 1 2
k k kk kk k k k k k
++ + + > + + + ++ + + + + +
( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
2 1 1ln 2 ln 22 1 2 2 2
k k kk kk k k
+ + += + + = + ++ + +
( ) ( )
1 1 1 1 21 ln 22 3 1 2 2kk k k
+ + + + + > + ++ +
( ) ( )
1 1 11 ln 12 3 2 1
nnn n
+ + + + > + + + n *N∈
1
1ln2
n
n n
n
aS aa
+
+> −
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