高三数学参考答案 第 页（共 4 页） 1
绝密★考试结束前
宁海中学 2021 届高三第一次模拟考试
数学参考答案
2020.9
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1-10：ABDBA BDCDB
二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分。
11．1458푥；4096 12．54
13．휋；(− 휋
6 + 푘휋
2 , 0)(푘 ∈ 퐙) 14．2；−∞,1
15．(3,4) ∩ (4,12) ∩ (12, +∞)
16．4
17．√5−3
2
；5
1
4
（评分说明：第 13 题第二问，没写成坐标形式或漏掉푘 ∈ 퐙的不给分；所有开闭区间均作
要求；其余答案只要数值正确，均可给分）
三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18．（本题满分 14 分）
（Ⅰ）证明：不妨设푎 = 푛 + 1, 푏 = 푛, 푐 = 푛 − 1，由正弦定理：푛+1
푛−1 = 푠푖푛 2휃
푠푖푛 휃 = 2 푐표푠 휃①....2 分
由余弦定理：2푐표푠 휃 = 푛2+(푛+1)2−(푛−1)2
푛(푛+1) = 푛+4
푛+1②............................3 分
联立①、②可得：푛 = 5，故三角形的三边长为 6,4,5............................4 分
由余弦定理：푐표푠 퐵 = 푎2+푐2−푏2
2푎푐 = 9
16
；푐표푠 퐶 = 푎2+푏2−푐2
2푎푏 = 3
4
故푐표푠 퐵 = 푐표푠2 퐶，证毕.....................................................6 分
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知푠푖푛 퐶 = √7
4
................................................7 分
故푠푖푛( 휃 + 퐶) = 3
4 푠푖푛 휃 + √7
4 푐표푠 휃 = 1
2
，解得푐표푠 휃 = √7±3√3
8
.....................10 分
将푐표푠 휃 = √7+3√3
8
代入，解得푠푖푛 휃 < 0，这与휃 ∈ (0, 휋)矛盾，故舍去............12 分
将푐표푠 휃 = √7−3√3
8
代入，符合题意
综上，푐표푠 휃 = √7−3√3
8
.......................14 分
（评分说明：第一问，算出余弦值后未说明结论的扣 1
分；第二问，未经检验就得出答案的不给分。其余解法，
只要逻辑合理，条理清晰，均可酌情给分）
19．（本题满分 15 分）
（Ⅰ）证明：如答图 1，延长퐴퐸, 퐶퐺交于点푃，作Δ퐴푃퐶
的中线푃푂交퐴퐶于点푂...................1 分
퐴퐸 = 퐺퐶 ⇒ 푃푂 ⊥ 퐴퐶.....................2 分
由比例关系：퐴푃 = 푃퐶 = √14
2
，푃点到平面퐴퐵퐶퐷
O
P
A
B C
D
E
F
H
G
第 19 题答图 1 高三数学参考答案 第 页（共 4 页） 2
的距离ℎ = 3
2.............................3 分
퐴퐵 = 1, 퐵퐶 = 2 ⇒ 퐴푂 = √5
2
，由勾股定理：
푃푂 = √퐴푃2 − 퐴푂2 = 3
2 = ℎ..................5 分
从而，푃푂 ⊥平面퐴퐵퐶퐷，푃푂 ⊂平面퐴퐶퐺퐸 ⇒平面퐴퐶퐺퐸 ⊥平面
퐴퐵퐶퐷.....................................................7 分
（Ⅱ）解法一：如答图 2，将台体补形至四棱锥푃 − 퐴퐵퐶퐷，取퐵퐶中点푅，连퐴푅，取퐴푅三等分点
푄，连
퐵푄, 퐶푄, 퐹푄, 퐺푄...........................8 分
푆퐴퐵퐶퐷 = (1+2)×1
2 = 3
2 ⇒ 3푉푃−퐴퐵퐶퐷 = 3
2 × 3
2 = 9
4....9 分
푆퐵푄퐶 = 4
9 푆퐴퐵퐶퐷 ⇒ 푉푃−퐵푄퐶 = 4
9 푉푃−퐴퐵퐶퐷.........10 分
푆퐵퐹퐺퐶 = 8
9 푆푃퐵퐶 ⇒ 3푉푄−퐵퐹퐺퐶 = 24
9 푉푃−퐵푄퐶 =
96
81 푉푃−퐴퐵퐶퐷 =
8
9 .........................................11
分
将梯形퐸퐹퐺퐻投影至平面퐴퐵퐶퐷，由勾股定理计算得
퐵퐹 = 퐶퐺 = √14
3 , 퐶푄 = √19
3
...............13 分
计算得푆퐵퐹퐺퐶 = 4√10
9
.......................14 分
故3푉푄−퐵퐹퐺퐶 = 퐺푄 푠푖푛 휃 × 푆퐵퐹퐺퐶 = 4√190
27 푠푖푛 휃 = 8
9
解得푠푖푛 휃 = 3√190
95
，故直线퐴퐻与平面퐵퐶퐺퐹所成
角的正弦值为3√190
95
.....................15 分
解法二：如答图 3，将台体补形至四棱锥푃 − 퐴퐵퐶퐷，
取퐴퐶中点푂，以푂为原点建立如图所示的空间直
角坐标系，其中푥轴平行于퐵퐶，푦轴平行于퐴퐵，
푧轴垂直于平面퐴퐵퐶퐷....................8 分
易知퐴(−1, 1
2 , 0), 퐻(0, 1
6 , 1), 푃(0,0, 3
2), 퐵(−1,− 1
2 , 0)
퐶(1, − 1
2 , 0)..............................10 分
故퐵푃⃗⃗⃗⃗⃗ = (1, 1
2 , 3
2), 퐶푃⃗⃗⃗⃗⃗ = (−1, 1
2 , 3
2), 퐴퐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (1, − 1
3 , 1),平
面퐵퐶퐺퐹的法向量푛⃗ = (0, −3,1)...13 分
푠푖푛 휃 = |푐표푠 < 푛⃗ , 퐴퐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >| = 푛⃗ ⋅퐴퐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗
|푛⃗ |⋅|퐴퐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = 3√95
190 .....15 分
（评分说明：第一问，逻辑混乱、混淆伪证的酌情扣
分；第二问，强调作证求三步条理清晰，不明确的可
酌情扣分。其余解法，只要逻辑合理，条理清晰，均可酌情给分）
20．（本题满分 15 分）
（Ⅰ）解：设퐴푛(푆푛−1,0)，则퐵푛(푆푛−1+푆푛
2 , √푆푛−1+푆푛
2 ).................................1 分
由题意可知：√푆푛−1+푆푛
2 = √3
2 푎푛 ⇒ 2(푆푛−1 + 푆푛) = 3푎푛2,2(푆푛+1 + 푆푛) = 3푎푛+1
2 ...2 分
两式相减：3(푎푛+1 + 푎푛)(푎푛+1 − 푎푛) = 2(푎푛+1 + 푎푛) ⇒ 푎푛+1 − 푎푛 = 2
3....4 分
易知푎1 = 2
3，故数列{푎푛}是以2
3为首项，2
3为公差的等差数列...................5 分
故푎푛 = 2
3 푛, 푏푛 = √푛.......................................................7 分
A
B C
D
E
F
H
G
P
Q
R
第 19 题答图 2
O
P
第 19 题答图 3
x
y
z 高三数学参考答案 第 页（共 4 页） 3
（Ⅱ）证明：由题意可知：
푐푛 = 1
(√푛−1+√푛)(√푛−1+√푛+1)(√푛+1+√푛) = 1
2 ⋅ √푛+1−√푛−1
(√푛−1+√푛)(√푛+1+√푛)
= 1
2 [ 1
√푛−1+√푛 − 1
√푛+1+√푛].............................................13 分
故푐2 + 푐3 + ⋯+ 푐2020 = 1
2 ( 1
1+√2 − 1
√2020+√2021) = 1
2 (√2 − 1 − 1
√2020+√2021) < √2−1
2
故命题得证..............................................................15 分
（评分说明：第一问，两个通项公式各 1 分；第二问，通项 1 分，有理化 2 分，裂项 3 分，
求和 2 分。其余解法，只要逻辑合理，条理清晰，均可酌情给分）
21．（本题满分 15 分）
（Ⅰ）解：设푙: 푥 = 푚푦 + 푝, 퐵(푚푦1 + 푝, 푦1), 퐶(푚푦2 + 푝, 푦2)...........................1 分
与抛物线联立得：푦2 − 2푝푚푦 − 2푝2 = 0，由韦达定理：푦1 + 푦2 = 2푝푚, 푦1푦2 = −2푝22 分
퐵퐹 = 3푝
2 + 푚푦1, 퐶퐹 = 3푝
2 + 푚푦2, 퐵퐶2 = (1 + 푚2)(4푝2푚2 + 8푝2)...........3 分
由余弦定理：푐표푠 ∠ 퐵퐹퐶 = (3푝
2 +푚푦1)2+(3푝
2 +푚푦2)2−4푝2(1+푚2)(푚2+2)
2(3푝
2 +푚푦1)(3푝
2 +푚푦2)
= −1 + 1
2푚2+9
2
≤ − 7
9.......................................................5 分
故푐표푠( 휃1 + 휃2) = − 푐표푠 ∠ 퐵퐹퐶 ≥ 7
9，即푐표푠( 휃1 + 휃2)的最小值是7
9.................6 分
（Ⅱ）解：设퐵(2푝푡2, 2푝푡), 퐹퐵⃗⃗⃗⃗⃗ = (푝(2푡2 − 1
2),2푝푡), 퐴퐵⃗⃗⃗⃗⃗ = (2푝푡2 − 푥0, 2푝푡).................8 分
要使휃1,휃2恒为锐角，只需满足퐹퐵⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ 퐴퐵⃗⃗⃗⃗⃗ 恒大于 0 即可
퐹퐵⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ 퐴퐵⃗⃗⃗⃗⃗ = 4푝2푡4 + (3푝 − 2푥0)푝푡2 + 푝푥0
2 .....................................10 分
①若푥0 > 3푝
2 ，则Δ = (3푝 − 2푥0)2푝2 − 8푝3푥0 = 푝2(2푥0 − 푝)(2푥0 − 9푝) < 0.......12 分
即3
2 푝 ≤ 푥0 < 9
2 푝..........................................................13 分
①若푥0 < 3푝
2 ，显然成立...................................................14 分
注意到，휃1,휃2 ≠ 0，故푥0 ≠ 푝
2
故푥0 ∈ (0, 푝
2) ∩ (푝
2 , 9푝
2 )....................................................15 分
（评分说明：第一问，直接特殊位置得出最值的仅给答案 2 分；第二问，也可利用锐角三
角形三边平方不等关系求解。其余解法，只要逻辑合理，条理清晰，均可酌情给分）
22．（本题满分 15 分）
（Ⅰ）푓′(푥) = 푎푒푎푥−1 ⋅ 푐표푠 푥 − 푒푎푥−1 ⋅ 푠푖푛 푥 = 푐표푠 푥 ⋅ 푒푎푥−1(푎 − 푡푎푛 푥)............2 分
当푎 = √3时，푓′(푥) = 푐표푠 푥 ⋅ 푒√3푥−1(√3 − 푡푎푛 푥)
所以函数푓(푥)的极大值点为휋
3...............................................4 分
（Ⅱ）证明：
（i）因为푎 > 0，所以在(0,
휋
2)上必存在唯一的实数푥0，使得푡푎푛푥0 = 푎
所以푥 ∈ (0, 푥0)，푓′(푥) > 0，푓(푥)为增函数
푥 ∈ (푥0, 휋
2)，푓′(푥) < 0，푓(푥)为减函数
要证明푓(푥)在(0, 푎
√1+푎2)上单调递增，只需证明 푎
√1+푎2 ≤ 푥0即可
又因为푡푎푛 푥0 = 푎，所以 푎
√1+푎2 = 푡푎푛푥0
√1+푡푎푛2 푥0
=
푠푖푛 푥0
푐표푠푥0
√1+푠푖푛2 푥0
푐표푠2 푥0
= 푠푖푛 푥0
即证푠푖푛 푥0 ≤ 푥0，设 ( ) sing x x x=−，푔′(푥) = 푐표푠 푥 − 1 ≤ 0，所以푔(푥)在0,
휋
2)为减函数
当푥 ∈ (0,
휋
2)时，푔(푥0) < 푔(0) = 0，푠푖푛 푥0 − 푥0 < 0，即푠푖푛 푥0 < 푥0， 高三数学参考答案 第 页（共 4 页） 4
即 푎
√1+푎2 < 푥0，所以푓(푥)在(0, 푎
√1+푎2)上单调递增..........................8 分
（ii）先证明函数푓(푥)的最大值푓(푥0) > 푒−1
푎.
因为푡푎푛 푥0 = 푎，所以푐표푠 푥0 = 1
√1+푎2，푠푖푛 푥0 = 푎
√1+푎2.
（法一）∵푒
1
푐표푠푥0
−1 ≥ 1
푐표푠 푥0
，∴푐표푠 푥0 ≥ 푒1− 1
푐표푠푥0，
∴푓(푥0) = 푒푎푥0−1 ⋅ 푐표푠 푥0 ≥ 푒푎푥0− 1
푐표푠푥0 > 푒푎 푠푖푛 푥0− 1
푐표푠푥0，
下证푒푎 푠푖푛 푥0− 1
푐표푠푥0 > 푒−1
푎，即证푎 푠푖푛 푥0 − 1
푐표푠 푥0
> − 1
푎
，即证 푎2
√1+푎2 − √1 + 푎2 > − 1
푎
，
∵ 푎2
√1+푎2 − √1 + 푎2 = − 1
√1+푎2 > − 1
푎
，
∴푓(푥0) > 푒−1
푎
（法二）∵푒훼푥0−1 ≥ 푎푥0 > 푎 푠푖푛 푥0，
∴푓(푥0) = 푒푎푥0−1 ⋅ 푐표푠 푥0 > 푎 푠푖푛 푥0 푐표푠 푥0 = 푎2
1+푎2，
下证 푎2
1+푎2 > 푒−1
푎，令푡 = − 1
푎
，则푡 < 0，
即证 1
1+푡2 > 푒푡（푡 < 0），即证(1 + 푡2)푒푡 − 1 < 0（푡 < 0），
令퐹(푡) = (1 + 푡2)푒푡 − 1，则퐹′(푡) = (1 + 푡)2푒푡 ≥ 0，
∴函数퐹(푡)为单调递增函数，
∴当푡 < 0时，퐹(푡) < 퐹(0) = 0，∴(1 + 푡2)푒푡 − 1 < 0（푡 < 0），
∴푓(푥0) > 푒−1
푎，
（法三）欲证푒푎푥0−1 ⋅ 푐표푠 푥0 > 푒−1
푎，即证푒푎푥0+1
푎−1 > 1
푐표푠 푥0
，
只需证푎푥0 + 1
푎 > 1
푐표푠 푥0
，即证푥0 푡푎푛 푥0 + 1
푡푎푛푥0
> 1
푐표푠 푥0
，
即证푥0 푠푖푛 푥0
푐표푠 푥0
+ 푐표푠 푥0
푠푖푛 푥0
> 1
푐표푠 푥0
，即证 22
0 0 0 0sin cos sinx x x x+，
只需证 32
0 0 0sin cos sinx x x+，即证 32
0 0 0sin sin sin 1 0x x x− − + ，
即证(푠푖푛 푥0 − 1)2(푠푖푛 푥0 + 1) > 0，
又푥0 ∈ (0, 휋
2)，所以(푠푖푛 푥0 − 1)2(푠푖푛 푥0 + 1) > 0显然成立，
∴푓(푥0) > 푒−1
푎
再求函数푔(푥)在푥0, 휋
2
上的零点个数，
∵푔 (휋
2) = −푒−1
푎 < 0，푔(푥0) > 0，且函数푔(푥)在푥0, 휋
2
上单调递减，
∴函数푔(푥)在푥0, 휋
2
上有唯一零点，即函数푔(푥)在푥0, 휋
2
上的零点个数为 1；
再求函数푔(푥)在[0, 푥0]上的零点个数，
∵푔(0) = 1
푒 − 푒−1
푎，푔(푥0) > 0，且函数푔(푥)在[0, 푥0]上单调递增，
∴①当0 < 푎 < 1时，1
푒 > 푒−1
푎，即푔(0) > 0，故函数푔(푥)在[0, 푥0]上没有零点，
即函数푔(푥)在[0, 푥0]上的零点个数为 0；
②当푎 ≥ 1时，1
푒 ≤ 푒−1
푎，即푔(0) ≤ 0，故函数푔(푥)在[0, 푥0]上有唯一零点，
即函数푔(푥)在[0, 푥0]上的零点个数为 1；
综上所述：当0 < 푎 < 1时，零点个数为 1；当푎 ≥ 1时，零点个数为 2.............15 分
（评分说明：条理逻辑不清晰的，可酌情扣分。其余解法，只要逻辑合理，条理清晰，均
可酌情给分）
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