河北衡水中学2021届全国高三第一次联合考试数学试题.pdf

1 / 4 绝密★启用前 河北衡水中学 2021 届全国高三第一次联合考试 数 学 本试卷 4 页。总分 150 分。考试时间 120 分钟。 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在 本试卷上无效 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符题目要求的。 1.设集合 2{ | 4 3 0}A x x x= − + ， { |1 5}B x Z x=    ,则 AB= A.{2} B.{3} C.{2,3} D.{1,2,3} 2.若复数 1iz =−,则||1 z z =− A.1 B. 2 C. 22 D. 4 3.某班级要从 6 名男生、3 名女生中选派 6 人参加社区宣传活动,如果要求至少有 2 名女生 参加,那么不同的选派方案种数为 A.19 B. 38 C. 55 D. 65 4.数列 1,1,2,3,5,8,13,21,34,…称为斐波那契数列,是意大利著名数学家斐波那契于 1202 年在他撰写的《算盘全书》中提出的,该数列的特点是:从第三项起,每一项都等于它前面两 项的和在该数列的前 2020 项中,偶数的个数为 A.505 B. 673 C. 674 D. 1010 5.已知非零向量 a , b 满足| | | |=ab,且| | | 2 |+ = −a b a b ,则 与 的夹角为 A. 2 π3 B. π 2 C. π 3 D. π 6 6.为加快新冠肺炎检测效率,某检测机构采取合并检测法,即将多人的拭子样本合并检测,若 为阴性,则可以确定所有样本都是阴性的,若为阳性,则还需要对本组的每个人再做检测.现 对 20 名密切接触者的拭子样本进行合并检测,每份样本的检测结果是阴性还是阳性都是相 2 / 4 互独立的,每人检测结果呈阳性的概率为 p ,且检测次数的数学期望为 20,则 的值为 A. 1 2011 ( )20− B. 1 2111 ( )20− C. 1 2011 ( )21− D. 1 2111 ( )21− 7.已知未成年男性的体重 G(单位:kg)与身高 x(单位:cm)的关系可用指数模型 ebxGa= 来描 述,根据大数据统计计算得到 2.004a = , 0.0197b = .现有一名未成年男性身高为 110cm,体 重为 17.5kg,预测当他体重为 35kg 时,身高约为(ln2≈0.69) A. 155 cm B.150cm C. 145 cm D. 135 cm 8.已知正方体 1 1 1 1ABCD A B C D− 的棱长为 2 , M 为 1CC 的中点,点 N 在侧面 11ADD A 内,若 1BM A N⊥ .则 ABN△ 面积的最小值为 A. 5 5 B. 25 5 C. 1 D. 5 二、选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目 要求。全部选对的得 5 分,有选错的得 0 分,部分选对的得 3 分。 9.已知 π 3cos( )55 +=,则 3sin(2 π)5 −= A. 24 25− B. 12 25− C. 12 25 D. 24 25 10.已知抛物线 2:4C y x= ,焦点为 F ,过焦点的直线 l 抛物线C 相交于 11( , )A x y , 22( , )B x y 两点,则下列说法一定正确的是 A. ||AB 的最小值为 2 B. 线段 AB 为直径的圆与直线 1x =− 相切 C. 12xx 为定值 D. 若 ( 1,0)M − ，则 AMF BMF =  11.已知 ()fx是定义在 R 上的奇函数,其图象关于直线 1x = 对称,则 A. ( 4) ( )f x f x+= B. ()fx在区间( 2,0)− 上单调递增 C. ()fx有最大值 D. π( ) sin 2 xfx= 是满足条件的一个函数 12.若存在实数 t ,对任意的 (0, ]xs ,不等式 2(2 )(1 ) 0x x t t x− − − − 恒成立,则 s 的值可以 为 A. 51 2 − B. 51 2 + C. 35 2 − D. 35 2 + 三、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13.已知 1F ， 2F 为双曲线 2 2 14 yx −=的左、右焦点, P 为双曲线右支上一点,且 12| | 2 | |PF PF= 3 / 4 则 12PF F△ 的面积为 . 14.已知实数 a ， ( 2, )b + ,且满足 22 11ln b a b a− ，则 ，b ， ab 的大小关系是 . 15.数学多选题有 A,B,C,D 四个选项,在给出选项中,有多项符合题目要求全部选对的得 5 分,部分选对的得 3 分,有选错的不得分.已知某道数学多选题正确答案为 B,D,小明同学不 会做这道题目,他随机地填涂了至少一个选项,则他能得分的概率为 . 16.在三棱锥 P ABC− 中, PA AB⊥ , 4PA = ， 3AB = ,二面角 P AB C−−的大小为 30°, 在侧面 PAB△ 内(含边界)有一动点 M ,满足 到 PA 的距离与 到平面 ABC 的距离相等, 则 的轨迹的长度为 . 四、解答题:本题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(10 分) 在①对任意 1n  ,满足 112( 1)n n nS S S+−+ = + ,② 1 2n n nS S a+ − = + ③ 1 ( 1)nnS na n n+= − + 这三 个条件中任选一个,补充在下面问题中. 问题:已知数列{}na 的前 n项和为 nS , 2 =4a , ,若数列 是等差数列,求 数列 的通项公式;若数列 不一定是等差数列,说明理由. (注:如果选择多个条件分别作答,则按第一个解答计分) 18.(12 分) 振华大型电子厂为了解每位工人每天制造某种电子产品的件数,记录了某天所有工人每人的 制造件数,并对其进行了简单随机抽样统计,统计结果如下： 制造电子产品的件数 [40,50) [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] 工人数 1 3 11 x 4 1 (1)若去掉 内的所有数据,则件数的平均数减少 2 到 3(即大于等于 2,且小于 3),试求 样本中制造电子产品的件数在 的人数 的取值范围;(同一区间数据用该组区间数据 的中点值作代表) (2)若电子厂共有工人 1500 人,且每位工人制造电子产品的件数 2(70,11 )XN ,试估计制造 电子产品件数小于等于 48 件的工人的人数. 附:若 2( , )XN ,则 ( ) 0.68Px   −  +  ， ( 2 2 ) 0.96Px   −  +  . 4 / 4 19.(12 分) 如图, 在 四 边 形 ABCD 中 , AC 与 BD 相交于点O , sin sinOB ABD OD ADB  =   π 3ABC=， 33AB BC==. (1)求sin DAC ; (2)若 2π 3ADC=,求四边形 的面积. 20.(12 分) 如图,在四棱锥 P ABCD− 中,底面 为菱形,平面 PAC ⊥底面 , PA PC AC==. (1)证明: AC PB⊥ . (2)若 PB 与底面所成的角为 45 ,求二面角 B PC A−−的余弦值. 21.(12 分) 知椭圆C 的焦点在 x 轴上,并且经过点(0,1) ,离心率为 3 2 . (1)求椭圆 的标准方程; (2)动直线 l 与圆 22:1O x y+=相切于点 M ,与椭圆 相交于 A, B 两点,线段 AB 的中点为 D ,求 OMD△ 面积的最大值,并求此时点 的坐标. 22.(12 分) 已知函数 1( ) lnex xf x x x−=− (1)求函数 ()y f x= 在 1x = 处的切线方程 (2)证明:(i) ( ) 2fx ; (ii)意 *nN , 1e (2 ln )nnnn− − . O D C BA D CB A P