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专题 01 集合与常用逻辑用语
易错点 1 代表元素意义不清致错
☞典例分析
【例 1】集合 A＝{y|y＝x2，x∈R}，B＝{(x，y)|y＝x＋2，x∈R}，则 A∩B 等于( )
A．{(－1,1)，(2,4)} B．{(－1,1)} C．{(2,4)} D．∅
【错解】由Error!得Error!或Error!故选 A.
【错因】导致错误的原因是没有弄清集合中元素的意义，A 中的元素是实数 y，而 B 中的元素是实数对(x，
y)，也就是说，集合 A 为数集，集合 B 为点集，因此 A、B 两个集合中没有公共元素，从而这两个集合的交
集为空集．
【正解】D
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用描述法表示集合,首先要搞清楚集合中代表元素的含义,再看元素的限制条件,明白集合的类型,是数集、点
集还是其他类型的集合；如下面几个集合请注意其区别：
① ；② ；③ ；④ .
1．【2018 年理数全国卷 II】已知集合퐴 = {(푥 ， 푦)|푥2 + 푦2 ≤ 3 ， 푥 ∈ 푍 ， 푦 ∈ 푍 }，则퐴中元素的个数为
A. 9 B. 8 C. 5 D. 4
【答案】A
【解析】 ∵ 푥2 + 푦2 ≤ 3, ∴ 푥2 ≤ 3, ∵ 푥 ∈ 푍, ∴ 푥 = ―1,0,1，当푥 = ―1时，푦 = ―1,0,1；当푥 = 0时，푦 = ―1,0,1；
当푥 = ―1时，푦 = ―1,0,1；所以共有 9 个，选 A.
易错点 2 忽视空集致错
☞典例分析
已知集合 A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若 B⊆A，
求实数 m 的取值范围．
【错解】由 B⊆A，得Error!解得 2≤m≤3.
【错因】上述解法是典型错误解法．
{ }2 2 0x x x− = { }2 2x y x x= − { }2 2y y x x= − ( ){ }2, 2x y y x x= −2
原因是考虑不全面，由集合 B 的含义及 B⊆A，忽略了集合为∅的可能而漏掉解．
因此题目若出现包含关系时，应首先想到有没有出现∅的可能．
【正解】A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且 B⊆A.
①若 B＝∅，则 m＋1>2m－1，解得 m2 成立的必要条件有________．(填上所有正确的序号)
①x>1；②x3；④x0.
【错解】③；因为 x>3⇒x>2，所以 x>2 的一个必要条件为 x>3.
【错因】错解的主要原因是没弄清“a 是 b 的必要条件”和“a 的必要条件是 b”的真正含义，前者说明 b⇒a；
后者等价于“b 是 a 的必要条件”，即 a⇒b.
【正解】①⑤；因为 x>2⇒x>1，所以 x>2 的一个必要条件为 x>1.同理 x>2⇒x>0，
所以 x>2 的一个必要条件为 x>0.
☞易错点击
充分条件与必要条件的三种判定方法
(1)定义法：正、反方向推理，若 p⇒q，则 p 是 q 的充分条件(或 q 是 p 的必要条件)；若 p⇒q，且 q⇏p，则
p 是 q 的充分不必要条件(或 q 是 p 的必要不充分条件)．
(2)集合法：利用集合间的包含关系．例如，若 A⊆B，则 A 是 B 的充分条件(B 是 A 的必要条件)；若 A＝B，
则 A 是 B 的充要条件．
2{ | }, { | 3 2 0},A x x a B x x x= < = − + < ,A B B∩ = a
1a < 1a ≤ 2a > 2a ≥
{ } { } { }2| , | 3 2 0 |1 2A x x a B x x x x x= < = − + < = < < ,A B B B A∩ = ∴ ⊆ 2a ≥3
(3)等价法：将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题．
3．命题 p：“向量 a 与向量 b 的夹角 θ 为锐角”是命题 q：“a·b>0”的________条件．
【错解】若向量 a 与向量 b 的夹角 θ 为锐角，
则 cos θ＝
a·b
|a||b|>0，即 a·b>0，反之也成立，所以 p 是 q 的充要条件．
【错因】判断两个命题是否可以相互推导时，要注意特殊情况的判断，以防判断出现错误．
【正解】若向量 a 与向量 b 夹角 θ 为锐角，则 cos θ＝
a·b
|a||b|>0⇒a·b>0；
而 a·b>0 时，θ＝0°也成立，但此时 a 与 b 夹角不为锐角．故 p 是 q 的充分不必要条件．
易错点 4 对含有一个量词的命题否定不完全
☞典例分析
已知命题 p：存在一个实数 x0，使得 x20－x0－21”的充分不必要条件；
②命题：“∀x∈R，sinx≤1”的否定是“∃x0∈R，sinx0>1”；
③“若 x＝π
4，则 tanx＝1”的逆命题为真命题；
④若 f(x)是 R 上的奇函数，则 f(log32)＋f(log23)＝0.
A．1B．2C．3D．4[来源:学,科,网 Z,X,X,K]
p¬
p¬
p¬
p¬
p¬
¬
¬ ¬ ¬ ¬
¬ ¬4
答案 A
解析 (1)对于①，x2＋x－2>0⇔x>1 或 x0”是“x>1”的必要不充分条件，所以①
错误；对于③，“若 x＝π
4，则 tanx＝1”的逆命题为“若 tanx＝1，则 x＝π
4”，∵tanx＝1 推出的是 x＝π
4＋
kπ，k∈Z.所以③错误．对于④，log32≠－log23，所以④错误．②正确．故选 A.
命题的否定和否命题是两个不同的概念：命题的否定只否定命题的结论，真假与原命题相对立
一、集合
1．集合的运算性质及重要结论
(1)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A.
(2)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.
(3)A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U.
(4)A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.
(5)若有限集 A 中有 n 个元素,则集合 A 的子集个数为 2n,真子集的个数为 2n－1.
(6)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B .
(7)奇数集： .
2．集合运算中的常用方法
(1)若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解；
(2)若已知的集合是点集，用数形结合法求解；
(3)若已知的集合是抽象集合，用 Venn 图求解．
(1)集合中元素的互异性常常容易忽略,求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问
题．
(2)空集是任何集合的子集,在涉及集合关系时,必须优先考虑空集的情况,否则会造成漏解．
( ) ( )U UA B A B U⇔ = ∅ ⇔ =
{ } { } { }2 1, 2 1, 4 1.x x n n x x n n x x n n= + ∈ = = − ∈ = = ± ∈Z Z Z5
(3)已知两个集合间的关系求参数时,关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数所
满足的关系.
(4)解决以集合为背景的新定义问题,要抓住两点：
①紧扣新定义．首先分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,并能够应用到具体的解题
过程之中,这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；
②用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素,在关键之处用好集合的
运算与性质．
二、常用逻辑用语
1、充分条件与必要条件的三种判定方法
(1)定义法：正、反方向推理，若 p⇒q，则 p 是 q 的充分条件(或 q 是 p 的必要条件)；若 p⇒q，且 q⇏p，
则 p 是 q 的充分不必要条件(或 q 是 p 的必要不充分条件)．
(2)集合法：利用集合间的包含关系．例如，若 A⊆B，则 A 是 B 的充分条件(B 是 A 的必要条件)；若 A＝
B，则 A 是 B 的充要条件．
(3)等价法：将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题．
2、命题的否定和否命题
（1）命题的否定和否命题是两个不同的概念：命题的否定只否定命题的结论，真假与原命题相对立
（2）命题 p∨q 的否定是( p)∧( q)；命题 p∧q 的否定是( p)∨( q)．
（3）“∀x∈M，p(x)”的否定为“∃x 0∈M， p(x 0)”；“∃x0∈M，p(x 0)”的否定为“∀x∈M，
p(x)”．
3、命题真假的判断
（1.）四种命题中原命题与逆否命题同真同假，逆命 题与否命题同真同假．
（2）命题 p∨q，只要 p，q 有一真，即为真；命题 p∧q，只有 p，q 均为真， 才为真；p 和 p 为真
假对立的命题．
(3)判断命题的真假要先明确命题的构成．由命题的真假求某个参数的取值范围，还可以考虑从集合的角
度来思考，将问题转化为集合间的运算．[
1．已知集合 A＝{x|x＋1>0}，B＝{－2，－1,0,1}，则(∁RA)∩B 等于( )
A．{－2，－1} B．{－2}
¬ ¬ ¬ ¬
¬ ¬
¬ ¬6
C．{－1,0,1} D．{0,1}
答案 A
解析 A＝{x|x>－1}，所以∁RA＝{x|x≤－1}，
所以有(∁RA)∩B＝{－2，－1}，故选 A.
2．已知集合 M＝{x|log2x
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