云南师范大学附属中学2021届高三高考适应性月考卷（一）数学（理）试题 含答案详解及评分标准

秘密★启用前 理科数学试卷 注意事项: 1.答题前,考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写 清楚. 2.每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回，满分 150 分，考试用时 120 分钟. 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的) 1.已知集合 ， 则 M N= A. B. (0, 1) C. D. 2.在复平面内，复数 ( 为复数单位)对应的点在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限. D.第四象限 3.若随机变量 x～N(1, 4)，P(x≤0)=0.2, 则 P(0 2 3 2 4 2 3 3 2 3 AD = 37 3 97 9 4 3 9 4 3 3 { }na 1 1a = ,m n N ∗∈ 14m na a a= 1 9 m n + 2 3 4 3 8 3 11 4 5 6 8 3 16 3 2 21 2cos( )2 cos 2 x xx x e x ef x x −+ −+ = + 1 2 2019( ) ( ) ( )2020 2020 2020f f f+ + + = xy e= lny x= minPQ PQ min 2PQ = min 3 2 5 2 2PQ< < min 3 22 2PQ< < min 3PQ > 2 2 ( 0)y px p= >角形.下面关于∆PAB 的描述: ①P 点必在抛物线的准线上; ②AP⊥PB; ③设 A(x1，y1), B(x2, y2),则∆PAB 的面积 S 的最小值为 ④PF⊥AB; ⑤PM 平行于 x 轴. 其中正确的个数是 A. 2 B.3 C.4 D.5 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分,共 20 分) 13.设实数 x, y 满足 ,则 z=x+y 的最小值为_________ 14.在 的展开式中，则 x2 的系数为_____________ 15.已知 P 是直线 l: 上一动点，过点 P 作圆 C: 的两条 切线，切点分别为 A、B.则四边形 PACB 面积的最小值为___________。 16.已知有两个半径为 2 的球记为 O1, O2，两个半径为 3 的球记为 O3，O4 这四个球彼此相外 切，现有一个球 O 与这四个球 O1，O2，O3，O4 都相内切,则球 O 的半径为______。 三、解答题(共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分) 在△ABC 中，角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 已知 (1)求角 C; (2)若 , 且 ,求∆ABC 的面积. 18. (本小题满分 12 分) 某市数学教研员为了解本市高二学生的数学学习情 况，从全市高二学生中随机抽取了 20 名学生，对他 们的某次市统测数学成绩进行统计，统计结果如图 4. (1)求 x 的值和数学成绩在 90 分以上的人数; (2)用样本估计总体，把频率作为概率，从该市所有 的中学生(人数很多)中随机选取 4 人,用 ξ 表示所选 4 人中成绩在 110 以上的人数，试写出 ξ 的分布列， 并求出 ξ 的数学期望 2 2 p 0 2 1 0 2 1 0 x y y x x y − ≤  − − ≤  + − ≥ 93( )x x + 2 6 0x y+ + = 2 2 2 3 0x y x+ + − = (sin sin )(sin sin ) (sin sin )sinA C A C A B B+ − = − 5c = sin sin( 2 ) sin 2C C A A+ + =19. (本小题满分 12 分) 如图 5,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AB⊥AC, A1B⊥平面 ABC, AB=AC=1, AA1 =2 (1) 证明:平面 AA1B⊥平面 AA1C1C; (2)求二面角 B-AC1-C 的正弦值. 20. (本小题满分 12 分)已知点 P 是椭圆 C: 上一点，F1、 F2 分别是椭圆的左、右焦点， (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)设直线 l 不经过 P 点且与椭圆 C 相交于 A, B 两点.若直线 PA 与直线 PB 的斜率之和为 1, 问:直线 l 是否过定点?证明你的结论 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 . (1)讨论函数 f(x)的单调性; (2) 当 a>2 时，若函数 y=f(x)的图象与 x 轴交于 A, B 两点，设线段 AB 中点的横坐标为 x0， 证明: . 3( 1, )2 − 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 1 2 4PF PF+ = 2( ) (1 2 ) ln ( 0)f x x a x a x a R a= + − − ∈ ≠且 ' ( ) 0f x >请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑 注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题。如果多 做，则按所做的第一题计分. 22. (本小题满分 10 分) [选修 4-4: 坐标系与参数方程] 在直角坐标系中，曲线 C1 的参数方程: ，曲线 C2 的普通方程: y2=8x， 以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，并取与直角坐标系相同的长度单位，建立 极坐标系 (1)分别求曲线 C1、曲线 C2 的极坐标方程; (2)射线 与曲线 C1、曲线 C2 的交点分别为 P, Q(均异于 O 点)，C,(1, 0)，求∆PQC,的面 积 23. (本小题满分 10 分) [选修 4-5:不等式选讲] (1)求函数 的最大值 m; (2) 若 a>1, b>1, c>1, a+b+c=m， 求 的最小值. 1 cos (sin x y θ θθ = +  = 为参数） = 3 πθ ( ) 2 1 2 3f x x x= − − + 1 1 1 1 1 1a b c + +− − −云南师大附中 2021 届高考适应性月考卷（一） 理科数学参考答案 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C D A C A B A D D C B C 【解析】 1．M 是数集，N 是点集，故选 C． 2． ，故选 D． 3．随机变量 x~ ，正态曲线的对称轴 ，所以 ，故选 A． 4． ，故选 C． 5． ，故选 A． 6 ． 双 曲 线 右 焦 点 ， 即 ， 点 F 到 一 条 渐 近 线 的 距 离 为 b ， 即 ， ∴ ， ，故选 B． 7．由题意， ．所以 ， ，故选 A． 8 ． 由 ， 解 得 ( 舍 负 ) ， 又 由 ， 得 ， 所 以 ，当且仅当 ， 时，等号成立，但是 m， ，故 ， 时，最小值为 ，故选 D． 9．由题意三视图对应的几何体如图 1 所示，所以几何体的体积为正方 体 的 体 积 减 去 2 个 三 棱 锥 的 体 积 ， 即 ，故选 D． 2 i 1 3 i1 i 2 2 − = −+ (1 4)N ， 1x = (0 2) 0.6P x< < = 2 2 1 tan 3cos2 1 tan 5 αα α −= = −+ 2 2π 8 π 3 73π (26 16) (16 10) 1092P += =+ +    (3 0)F ， 3c = 1b = 2 2 2 2a c b= − = 3 2 4 ce a = = 1 1 2 1( )3 3 3 3AD AB BC AB AC AB AB AC= + = + − = +        2 2 2 1| | 3 3AD AB AC = +      37 9 = 37| | 3AD = 2 6 0q q+ − = 2q = 14m na a a= 6m n+ = 1 9 m n + = 1 1 9 8( )6 3m nm n  + +   ≥ 3 2m = 9 2n = *n∈N 2m = 4n = 11 4 3 1 1 162 2 2 2 23 2 3V = − × × × × × = 图 110． ，令 ，则 为 奇函数，所以 关于坐标原点对称，则 关于 成中心对称，则有 ，所以 ，故选 C． 11．令 ，则 ，则存在 ，使得 ， 所以 在 取得最小值， ，在 上单调递减，所以 有 ，故选 B． 12．设 ， ，则过 A，B 的切线方程分别为 ， ， 联立解得 ，所以 P 点必在抛物线的准线上，且 PM 平行于 x 轴，所 以①⑤正确；两条切线的斜率 ，所以 ，②正确；设 AB 的 中点 M，则 PM 平行于 x 轴，则 ， 当 轴时，取等号，所以③错误； ，所以 ，④ 正确，故选 C． 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 题号 13 14 15 16 答案 2 6 【解析】 13 ．不等式组表示的可行域如图 2 所示，当 x ，y 为直线 与 的交点 时， 的 最小值为 . 14． 的展开式的通项公式 ，令 ，解得 ，所以 的系 数为 10206． 2 2 21 2cos e e 4 (e e )22 cos 2 cos 2 x x x xx x x xf x x x − −+ − + − + = = +  + +  2 (e e )( ) cos 2 x xxh x x −−= + ( )h x ( )h x ( )f x 1 22     ， ( )f x + (1 ) 4f x− = 1 2 2019+ + + 40382020 2020 2020f f f      =          … ( ) e lnxF x x= − 1( ) exF x x ′ = − 0 1 2 2 2x  ∈    ， 0 0 0 1( ) e 0xF x x ′ = − = ( )F x 0x 0 0 0 0 0 1( ) e lnxF x x xx = − = + 1 2 2 2       ， min 3 2 5| |2 2PQ< < 1 1( )A x y， 2 2( )B x y， 1 1yy px px= + 2 2yy px px= + 1 2 2 2 y ypP +−    ， 1 2 1 2 1p pk k y y = = − AP PB⊥ 2 2 21 2 1 2 1 2 1 1| || | | |2 2 4 2PAB y y pS PM y y y y pp  += − = + −   △ ≥ AB x⊥ 1 2 1 2 2 12PF AB y y pk k p y y += = −− + PF AB⊥ 2 3 10206 0x y− = 2 1 0x y+ − = 1 1 3 3     ， z x y= + 2 3 93x x  +   39 2 1 9C 3 r r r rT x − + = 39 32 r− = 4r = 3x 图 215 ． 圆 C ： 的 圆 心 为 ， 四 边 形 PACB 的 面 积 ，所以当 PC 最小时，四边形 PACB 面积最小．代入点到 直线的距离公式， ，故四边形 PACB 面积的最小值为 2． 16．如图 3，由对称性知，球 O 的球心在中垂线 MN 上，设球 O 的半径为 R， 在 中，由勾股定理可得 在 中，由勾股 定理可得 ， ，由 ，联立解得 ． 三、解答题（共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分 12 分） 解：（1）已知 ， 由正弦定理， ， 整理得 ， 由余弦定理： ，又 ， 所以 ． ………………………………………………………………（4 分） （2）已知 ， 整理得 ， ， 即 ． ①当 时， 为直角三角形， ； ②当 时， ， 所以 ， 为等边三角形， ． ……………………（12 分） 18．（本小题满分 12 分） 解：（1）x 的值为 ， 2 2 2 3 0x y x+ + − = ( 1 0)− ， S PA AC= = 2 2 22 4PC AC AC PC− = − min| | 5PC = 2Rt O MN△ 2 3MN = 1Rt O MO△ 2 2 1 1MO OO MO= − = 2 2( 2) 2R − − 2 2 4 4NO OO NO= − 2 2( 3) 3R= − − MO NO MN+ = 6R = (sin sin )(sin sin ) (sin sin )sinA C A C A B B+ − = − ( )( ) ( )a c a c a b b+ − = − 2 2 2ab a b c= + − 1cos 2C = 0 πC< < π 3C = sin sin( 2 ) sin 2C C A A+ + = sin( ) sin(π ) sin 2A B B A A+ + − + = sin( ) sin( ) sin 2A B B A A+ + − = 2sin cos 2sin cosB A A A= cos 0A = ABC△ 1 15 5 352 3 6ABCS = × × =△ cos 0A ≠ sin sinB A= a b= ABC△ 5 3 4ABCS =△ 1 0.05 0.1 0.15 0.3 0.0220x − − − −= = 图 3数学成绩在 90 分以上的人数： ． …………………………………………………………（4 分） （2）把频率作为概率，从该市所有的中学生中任取一人， 成绩在 110 以上的概率 ， 所以从该市所有的中学生（人数很多）中随机选取 4 人， 所选 4 人中成绩在 110 以上的人数 ， 随机变量 的取值可能为 0，1，2，3，4， ， ， ， ， ， 随机变量 的分布列 0 1 2 3 4 P 0.4096 0.4096 0.1536 0.0256 0.0016 随机变量 数学期望 ． ……………………………（12 分） 19．（本小题满分 12 分） （1）证明：如图 4， ∵ 平面 ABC， 平面 ABC， ∴ ． 又∵ ，∵ ， ∴ ． 又∵ ， 20 (0.4 0.15 0.05) 12× + + = 0.15 0.05 0.2P = + = (4 0.2)Bξ  ， ξ 4( 0) 0.8 0.4096P ξ = = = 1 3 4( 1) C 0.2 0.8 0.4096P ξ = = × × = 2 2 2 4( 2) C 0.2 0.8 0.1536P ξ = = × × = 3 3 4( 3) C 0.2 0.8 0.0256P ξ = = × × = 4( 4) 0.2 0.0016P ξ = = = ξ ξ ξ ( ) 4 0.2 0.8E ξ = × = 1A B ⊥ AC ⊂ 1A B AC⊥ AB AC⊥ 1AB A B B= 1AC A AB⊥ 平面 1 1AC A ACC⊂ 平面 图 4∴平面 平面 ． ………………………………………………（4 分） （2）解：过点 A 作平面 ABC 的垂线作为 z 轴，AB 为 x 轴，AC 为 y 轴，建立如图 5 所示 的空间直角坐标系， 则 ， ， ， ， ， 设平面 的法向量 ， 则有 令 ， ， 设平面 的法向量 ， 则有 令 ， ， 向量 ， 所成角的余弦值： ． ∴ ， ∴二面角 的正弦值为 ． ……………………………………（12 分） 20．（本小题满分 12 分） （1）解：由 ，得 ， 又 在椭圆上， 代入椭圆方程有 ，解得 ， 所以椭圆 C 的标准方程为 ． ………………………………………（4 分） （2）证明：当直线 l 的斜率不存在时， ， ， ，解得 ，不符合题意； 当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程 ， ， ， 1AA B ⊥ 1 1AAC C (0 0 0)A ， ， (1 0 0)B ， ， (0 1 0)C ，， 1(1 0 3)A ， ， 1(1 1 3)C ，， 1ACC 1 1 1 1( )n x y z= ， ， 1 1 1 1 0 3 0 y x y z = + + = ， ， 1 1z = 1 ( 3 0 1)n = − ， ， 1ABC 2 2 2 2( )n x y z= ， ， 2 2 2 2 0 3 0 x x y z = + + = ， ， 2 1z = 2 (0 3 1)n = − ， ， 1n 2n 1 2 1 2 1cos 4| | | | n n n n θ = =      2 15sin 1 cos 4 θ θ= − = 1B AC C− − 15 4 1 2| | | | 4PF PF+ = 2a = 31 2P −  ， 2 2 1 9 14a b + = 3b = 2 2 14 3 x y+ = 1 1( )A x y， 1 1( )B x y−， 1 1 1 2 1 3 3 2 2 11 y y k k x − − − + = =+ 1 4x = − y kx m= + 1 1( )A x y， 2 2( )B x y， 图 5由 整理得 ， ， ， ． 由 ，整理得 ， 即 ． 当 时，此时，直线 l 过 P 点，不符合题意； 当 时， 有解，此时直线 l： 过定点 ． ……………………………………………………（12 分） 21．（本小题满分 12 分） （1）解：函数 的定义域为 ， ，解得 (舍去)， ． 当 时， 在 上恒成立，所以函数 单调递增； 当 时，在 上 ，函数 单调递减， 在 上 ，函数 单调递增． ……………………………（4 分） （2）证明：由（1）知，当 时，在 上 ，函数 单调递减； 在 上 ，函数 单调递增， 当 时， ，当 时， ， 而当 时， ， 所以函数 的图象与 x 轴有两个交点． 设 ， ，则有 ， 要证 ，只需证 ， 设 ，令 ， 则有 ， 2 23 4 12 0 y kx m x y = +  + − = ， ， 2 2 2(3 4 ) 8 4 12 0k x kmx m+ + + − = 1 2 2 8 3 4 kmx x k −+ = + 2 1 2 2 4 12 3 4 mx x k −= + 2 24 3 0k m∆ = − + > 1 2 1k k+ = 1 2 1 2 5(2 1) ( ) 2 4 02k x x k m x x m − + + − + + − =   ( 4 )(2 2 3) 0m k m k− − − = 3 2m k= + 4m k= 2 24 3 0k m∆ = − + > ( 4)y k x= + ( 4 0)− ， ( )f x { | 0}x x > 22 (1 2 ) (2 1)( )( ) 0x a x a x x af x x x + − − + −′ = = = 1 1 2x = − 2x a= 0a < ( ) 0f x′ > (0 + )∞， ( )f x 0a > (0 )a， ( ) 0f x′ < ( )f x ( )a + ∞， ( ) 0f x′ > ( )f x 0a > (0 )a， ( ) 0f x′ < ( )f x ( )a + ∞， ( ) 0f x′ > ( )f x x → +∞ ( ) +f x → ∞ 0x → ( ) +f x → ∞ 2a > 2( ) ln 0f a a a a a= − − < ( )y f x= 1( 0)A x， 2( 0)B x ， 1 20 x a x< < < 0( ) 0f x′ > 1 2 2x x a+ > 0 x a< < ( ) ( ) (2 )F x f x f a x= − − ( ) 0F a =， 在 上单调递减，又 ， 所以 ，即 ， 又 ，则有 ， 而由已知 ，所以 ． 又 ， ，函数 在 上 单调递增， 所以 ，即 ，命题得证． ……………………………（12 分） 22．（本小题满分 10 分）【选修 4−4：坐标系与参数方程】 解：（1）由曲线 的参数方程 ( 为参数)， 消参得曲线 的直角坐标方程为 ， 由 得曲线 的极坐标方程为 ． 曲线 的极坐标方程为 ， ………………………………（5 分） （2） ， 点 到直线 的距离 ， 所以 ． ………………………………………（10 分） 23．（本小题满分 10 分）【选修 4−5：不等式选讲】 解：（1）由绝对值不等式 ， 所以 ． ………………………………………………………………（5 分） （2）由（1）知： ，即 ，所以 ， 由柯西不等式： ， 当且仅当 ，等号成立． …………………………………………（10 分） 22( )( ) ( ) (2 ) 0(2 ) x aF x f x f a x x a x − −′ ′ ′= + − = ( ) (2 )f x f a x> − 10 x a< < 1 1( ) (2 )f x f a x> − 1 2( ) ( ) 0f x f x= = 2 1( ) (2 )f x f a x> − 12a a x< − 2a x< ( )f x ( )a + ∞， ( )f x 2 12x a x> − 1 2 2x x a+ > 1C 1 cos sin x y θ θ = +  = ， ， θ 1C 2 2( 1) 1x y− + = cos sin x y ρ θ ρ θ =  = ， ， 1C 2cosρ θ= 2C 2sin 8cosρ θ θ= 1 2 2 8cos 13| | | | 2cossin 3PQ θρ ρ θθ= − = − = 1C | |PQ 3 2d = 1 1 13 3| |2 12PQCS PQ d= =△ ( ) | 2 1| | 2 3| | 2 1 2 3| 4f x x x x x= − − + − − − =≤ 4m = 4m = 4a b c+ + = 1 1 1 1a b c− + − + − = 21 1 1 1 1 1 ( 1 1 1) (1 1 1) 91 1 1 1 1 1 a b ca b c a b c  + + = + + − + − + − + + = − − − − − −  ≥ 4 3a b c= = =