2020届河北省保定市高考数学二模试卷（理科） （解析版）

2020 年河北省保定市高考数学二模试卷（理科） 一、选择题（共 12 小题）. 1．设集合 P＝{x|x2﹣4x＞0}，Q＝{x|log2（x﹣1）＜2}，则（∁RP）∩Q＝（　　） A．[0，4] B．[0，5） C．（1，4] D．[1，5） 2．若复数 z 满足（2﹣i）z＝（1+2i）2，则|z|＝（　　） A．3 B． C．2 D． 3．在△ABC 中，“ • ＞0”是“△ABC 为钝角三角形”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 4．已知函数 y＝sin（ωx﹣ ）（ω＞0）的图象相邻两条对称轴之间的距离为 ，则该函 数图象是由 y＝cos2x 的图象经过怎样的变换得到？（　　） A．向左平移 个单位长度 B．向左平移 个单位长度 C．向右平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度 5．七巧板是中国古代劳动人民的发明，其历史至少可以追溯到公元前一世纪，后清陆以湉 《冷庐杂识》卷一中写道“近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余．” 在 18 世纪，七巧板流传到了国外，被誉为“东方魔板”，至今英国剑桥大学的图书馆里 还珍藏着一部《七巧新谱》．完整图案为一正方形（如图）：五块等腰直角三角形、一 块正方形和一块平行四边形，如果在此正方形中随机取一点，那么此点取自阴影部分的 概率是（　　） A． B． C． D． 6．已知 ，则 cos2α＝（　　） A．0 B．1 C． D． 7．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（　　）A． B． C． D． 8． 的展开式中第 3 项与第 7 项的二项式系数用等．则该展开式中 系数为（　　 ） A．56 B．448 C．408 D．1792 9．孙子定理是中国古代求解一次同余式组的方法，是数论中一个重要定理，最早可见于中 国南北朝时期的数学著作《孙子算经》，1852 年英国来华传教士伟烈亚力将其问题的解 法传至欧洲，1874 年英国数学家马西森指出此法符合 1801 年由高斯得出的关于同余式 解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．这个定理讲的是一个关于整除 的问题，现有这样一个整除问题：将 2 至 2021 这 2020 个整数中能被 3 除余 2 且被 5 除 余 1 的数按由小到大的顺序排成一列构成一数列，则此数列的项数是（　　） A．132 B．133 C．134 D．135 10．已知点 在函数 y＝lnx 图象上，若满足 的 n 的最小值为 5，则 m 的取值范围是（　　） A．（10，15] B．（﹣∞，15] C．（15，21] D．（﹣∞，21] 11．已知 F1，F2 分别为双曲线 的左、右焦点，过 F1（﹣c，0） 作 x 轴的垂线交双曲线于 A、B 两点，若∠F1AF2 的平分线过点 ，则双曲线 的离心率为（　　） A．2 B． C．3 D． 12．已知方程 有三个不同的根，则实数 a 的取值范围为（　　）A．（﹣1，e） B． C．（﹣1，1） D． 二、填空题（共 4 小题）. 13．已知向量 ， 满足：| |＝2，| |＝3， 与 夹角为 120°，则| +2 |＝　 　． 14．已知正三棱锥 P﹣ABC，AB＝2 ，PA＝2 ，则此三棱锥外接球的半径为　 　． 15．已知定义域为 R 的函数 有最大值和最小值， 且最大值和最小值的和为 4，则 λ﹣μ＝　 　． 16．已知△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 a2+b2﹣c2＝absinC，acosB+bsinA ＝c， ，则 b＝　 　． 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考 题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题 ：共 60 分． 17．已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，且满足 ． （1）求证：数列 为等比数列； （2）求数列{an﹣n}的前 n 项和 Tn． 18．我国是全球最大的口罩生产国，在 2020 年 3 月份，我国每日口罩产量超一亿只，已基 本满足国内人民的需求，但随着疫情在全球范围扩散，境外口罩需求量激增，世界卫生 组织公开呼吁扩大口罩产能，常见的口罩有 KN90 和 KN95（分别阻挡不少于 90.0%和 95.0%的 0.055 到 0.095 微米的氯化钠颗粒）两种．某口罩厂两条独立的生产线分别生产 KN90 和 KN95 两种口罩，为保证质量对其进行多项检测并评分（满分 100 分），规定总 分大于或等于 85 分为合格，小于 85 分为次品．现从流水线上随机抽取这两种口罩各 100 个进行检测并评分，结果如表： 总分 [75，80） [80，85） [85，90） [90，95） [95，100] KN90 6 14 42 31 7 KN95 4 6 47 35 8 （1）试分别估计两种口罩的合格率； （2）假设生产一个 KN90 口罩，若质量合格，则盈利 3 元，若为次品则亏损 1 元；生产 一个 KN95 口罩，若质量合格，则盈利 8 元，若为次品则亏损 2 元，在（1）的前提下，①设 X 为生产一个 KN90 口罩和生产一个 KN95 口罩所得利润的和，求随机变量 X 的分 布列和数学期望； ②求生产 4 个 KN90 口罩所得的利润不少于 8 元的概率． 19．如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，底面是边长 2 的正方形，PA＝PD＝ ，E 为 PA 中 点，点 F 在 PD 上且 EF⊥平面 PCD，M 在 DC 延长线上，FH∥DM，交 PM 于 H，且 FH＝1 （1）证明：EF∥平面 PBM； （2）设点 N 在线段 BC 上，若二面角 E﹣DN﹣A 为 60°，求 BN 的长度． 20．已知椭圆 的离心率为 ，且以椭圆上的点和长轴两端点为 顶点的三角形的面积的最大值为 ． （1）求椭圆 C 的方程； （2）经过定点 Q（m，0）（m＞2）的直线 l 交椭圆于不同的两点 M，N，点 M 关于 x 轴的对称点为 M'，试证明：直线 M'N 与 x 轴的交点 S 为一个定点，且|OQ|•|OS|＝4（O 为原点）． 21．已知函数 ， （1）讨论 f（x）的单调性； （2）若函数 h（x）＝f（x）﹣2lnx 有两个不同的极值点 x1，x2（x1＜x2），求证：f（x1 ）+f（x2）﹣x1x2＞8（5ln2﹣2）； （3）设 a＝﹣1，函数 的反函数为 k（x），令 ，i＝1，2， … ， n ﹣ 1 ， n∈N* 且 n ≥ 2 ， 若 x∈[ ﹣ 1 ， 1] 时 ， 对 任 意 的 n∈N* 且 n ≥ 2 ， 恒成立，求 m 的最小值．（二）选考题：共 10 分．请考生从第 22、23 题中任选一题作答，并用 2B 铅笔将答题卡上 所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进 行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分．[选修 4-4：坐标系与参数方程] 22．已知曲线 C 的极坐标方程是 ρ＝2，以极点为原点，极轴为 x 轴非负半轴建立平面直角 坐标系，直线 l 的参数方程为 （t 为参数）． （1）写出曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程； （2）在（1）中，设曲线 C 经过伸缩变换 得到曲线 C1，设曲线 C1 上任意一 点为 M（x0，y0），当点 M 到直线 l 的距离取最大值时，求此时点 M 的直角坐标． [选修 4-5：不等式选讲] 23．已知 f（x）＝x2+2|x﹣1|． （1）求不等式 的解集； （ 2 ） 若 f （ x ） 的 最 小 值 为 M ， 且 a+b+c ＝ M （ a ， b ， c∈R ） ， 求 证 ： ．参考答案 一、选择题（共 12 小题）. 1．设集合 P＝{x|x2﹣4x＞0}，Q＝{x|log2（x﹣1）＜2}，则（∁RP）∩Q＝（　　） A．[0，4] B．[0，5） C．（1，4] D．[1，5） 【分析】可以求出集合 P，Q，然后进行交集和补集的运算即可． 解：∵P＝{x|x＜0 或 x＞4}，Q＝{x|1＜x＜5}， ∴∁RP＝{x|7≤x≤4}，（∁RP）∩Q＝（1，4]． 故选：C． 2．若复数 z 满足（2﹣i）z＝（1+2i）2，则|z|＝（　　） A．3 B． C．2 D． 【分析】根据复数的基本运算法则进行化简即可． 解：∵（2﹣i）z＝（1+2i）2，∴z＝ ＝ ＝ ＝﹣2+i， ∴|z|＝ ＝ ， 故选：B． 3．在△ABC 中，“ • ＞0”是“△ABC 为钝角三角形”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【分析】利用平面向量的数量积运算法则化简已知的不等式，得到两向量的夹角为锐角， 从而得到三角形的内角为钝角，即可得到三角形为钝角三角形；反过来，三角形 ABC 若 为钝角三角形，可得 B 不一定为钝角，故原不等式不一定成立，可得前者是后者的充分 不必要条件． 解：∵ ，即| |•| |cosθ＞0， ∴cosθ＞0，且 θ∈（0，π）， 又两个向量的夹角 θ 为三角形的内角 B 的补角， 反过来，△ABC 为钝角三角形，不一定 B 为钝角， 故选：A．4．已知函数 y＝sin（ωx﹣ ）（ω＞0）的图象相邻两条对称轴之间的距离为 ，则该函 数图象是由 y＝cos2x 的图象经过怎样的变换得到？（　　） A．向左平移 个单位长度 B．向左平移 个单位长度 C．向右平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度 【分析】先求出函数 y＝sin（ωx﹣ ）的周期，再利用 求得 ω，从而得 y＝sin （2x﹣ ），然后利用诱导公式将其变形为 y＝ ，最后利用三角函数的平 移变换法则即可得解． 解：由题可知，函数 y＝sin（ωx﹣ ）的最小正周期 T＝ ＝π， ∴ ， ∴该函数图象是由 y＝cos2x 的图象向右平移 个单位所得． 故选：C． 5．七巧板是中国古代劳动人民的发明，其历史至少可以追溯到公元前一世纪，后清陆以湉 《冷庐杂识》卷一中写道“近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余．” 在 18 世纪，七巧板流传到了国外，被誉为“东方魔板”，至今英国剑桥大学的图书馆里 还珍藏着一部《七巧新谱》．完整图案为一正方形（如图）：五块等腰直角三角形、一 块正方形和一块平行四边形，如果在此正方形中随机取一点，那么此点取自阴影部分的 概率是（　　） A． B． C． D． 【分析】先设大正方形的边长为 4，则阴影部分可看做一个等腰直角三角形，边长为 2 ，另外一部分为梯形，上底为 ，下底为 2 ，高 ，然后分别求出面积，根据与面 积有关的几何概率公式可求． 解：设大正方形的边长为 4，则面积为 4×4＝16，阴影部分可看做一个等腰直角三角形，边长为 2 ，面积 ×2 × ＝8， 故概率 P＝ ＝ ． 故选：C． 6．已知 ，则 cos2α＝（　　） A．0 B．1 C． D． 【分析】利用两角和与差的正弦、余弦函数公式化简已知等式可得 cosα＝sinα，进而根 据二倍角的余弦函数公式即可求解． 解：∵ ， ∴ cosα+ sinα＝ cosα+ sinα，可得（ ﹣ ）cosα＝（ ﹣ ）sinα，可得 cosα ＝sinα， 故选：A． 7．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（　　） A． B． C． D． 【分析】利用三视图画出几何体的直观图，结合三视图的数据，求解几何体的表面积即 可． 解：由题意可知几何体是一个 的圆锥与一个三棱锥的组合体， 圆锥的底面半径为 1，高为 1，三棱锥的底面是等腰直角三角形，腰长为 1，高为 6；PA ＝ ，PO＝2，BO＝OC＝1，AC＝ ，PC＝ ，S△PAC＝ ＝ 故选：D．8． 的展开式中第 3 项与第 7 项的二项式系数用等．则该展开式中 系数为（　　 ） A．56 B．448 C．408 D．1792 【分析】先求出 n 的值，再利用二项展开式的通项公式，求得该展开式中 系数． 解：∵ 的展开式中第 3 项与第 7 项的二项式系数用等，∴ ＝ ， ∴2+6＝n，即 n＝8． 中第 5 项与第 7 项的二项式系数用等．则该展开式中 系数， 故选：B． 9．孙子定理是中国古代求解一次同余式组的方法，是数论中一个重要定理，最早可见于中 国南北朝时期的数学著作《孙子算经》，1852 年英国来华传教士伟烈亚力将其问题的解 法传至欧洲，1874 年英国数学家马西森指出此法符合 1801 年由高斯得出的关于同余式 解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．这个定理讲的是一个关于整除 的问题，现有这样一个整除问题：将 2 至 2021 这 2020 个整数中能被 3 除余 2 且被 5 除 余 1 的数按由小到大的顺序排成一列构成一数列，则此数列的项数是（　　） A．132 B．133 C．134 D．135 【分析】列举出该数列的前几项，可知该数列 {an} 为等差数列，求出等差数列 的首项和公差，进而可得出数列 {an} 的通项公式，然后求解满足不等 式 2≤an≤2021 的正整数 n 的个数，即可得解． 解：设所求数列为 {an}，该数列为 11、26、41、 ， 所以，数列 {an} 为等差数列，且首项为 a1＝11，公差为 d＝26﹣11＝15， 解不等式 2≤an≤2021，即 2≤15n﹣5≤2021， 则满足 的正整数 n 的个数为 135， 故选：D． 10．已知点 在函数 y＝lnx 图象上，若满足的 n 的最小值为 5，则 m 的取值范围是（　　） A．（10，15] B．（﹣∞，15] C．（15，21] D．（﹣∞，21] 【分析】根据题意，求出 an 与 Sn 的表达式，利用 Sn＞m 时 n 的最小值为 5，列出不等 式 S4≤m＜S5，求出 m 的取值范围． 解：∵点（n，an）（n∈N*）在 y＝lnx 的图象上， ∴an＝lnn， 又 Sn＞m 时 n 的最小值为 5， 即 10＜m≤15． 故选：A． 11．已知 F1，F2 分别为双曲线 的左、右焦点，过 F1（﹣c，0） 作 x 轴的垂线交双曲线于 A、B 两点，若∠F1AF2 的平分线过点 ，则双曲线 的离心率为（　　） A．2 B． C．3 D． 【分析】利用已知条件，结合角的平分线的性质以及双曲线的定义，列出关系式，求解 双曲线的离心率即可． 解：F1，F2 分别为双曲线 的左、右焦点，过 F5（﹣c，0）作 x 轴的垂线交双曲线于 A、B 两点， 若∠F1AF2 的平分线过点 ，可得 ，|AF1|＝ |AB|＝ ＝ ，|AF2|＝2• ， 解得 e＝ ＝ ． 故选：D．12．已知方程 有三个不同的根，则实数 a 的取值范围为（　　） A．（﹣1，e） B． C．（﹣1，1） D． 【分析】原式变形为 ，令 ，则 m2+（1﹣a）m﹣a﹣1＝0， 作出函数 y＝m（x）的图象，分析可知 m1∈（0，1），m2∈（﹣∞，0），由根的分布建 立不等式组，解出即可． 解：原式变形为 ，令 ，则 ，即 m2+（1﹣a）m﹣ a﹣1＝0， 而 ，易知函数 m（x）在（﹣∞，1）单调递增，在（8，+∞）单调递减， 作出函数 y＝m（x）的图象如下图所示， 由图象可知，必有 m1∈（0，1），m2＝3 或 0 或 m2＜0， 故 m1∈（0，1），m2∈（﹣∞，0），由根的分布可知 ，解得 ． 故选：D． 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．已知向量 ， 满足：| |＝2，| |＝3， 与 夹角为 120°，则| +2 |＝　 　． 【分析】可先求出 ，然后进行数量积的运算即可求出 的值，从而可 得出 的值． 解：∵ ，∴ ， ∴ ． 故答案为： ． 14．已知正三棱锥 P﹣ABC，AB＝2 ，PA＝2 ，则此三棱锥外接球的半径为　 　． 【分析】由正三棱锥的棱长可得棱锥的高及底面外接圆的半径，再由外接球的半径和高， 底面外接圆的半径之间的关系求出外接球的半径． 解：在正三棱锥中，取底面三角形 ABC 的外接圆的圆心 E，则底面外接圆的半径 r＝AE ＝ AQ＝ × ＝2． 连 接 PE 可 得 PE ⊥ 面 ABC ， 如 图 所 示 ： 所 以 棱 锥 的 高 PE ＝ ＝ ＝7； 故答案为： ． 15．已知定义域为 R 的函数 有最大值和最小值， 且最大值和最小值的和为 4，则 λ﹣μ＝　﹣2　． 【分析】先确定 λ＝0，再根据 f（x）﹣μ 是奇函数，得出 μ＝2． 解：f（x）＝ +λex+μ， ∵f（x）有最大值和最小值，则 λ＝0，否则，f（x）没有最大或最小值， 设 f（x）的最大值为 m，最小值为 n，则 m+n＝4， ∴m﹣μ+n﹣μ＝0，即 2μ＝m+n＝4，∴μ＝8． 故答案为：﹣2． 16．已知△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 a2+b2﹣c2＝absinC，acosB+bsinA ＝c， ，则 b＝　3 　．【分析】由已知 a2+b2﹣c2＝absinC，acosB+bsinA＝c，利用余弦定理，正弦定理可求角 C ，B 的三角函数值，进而求 b． 【解答】解；∵a2+b2﹣c2＝absinC，∴3abcosC＝absinC，则 tanC＝2，∴sinC＝ ，cosC ＝ ． ∵acosB+bsinA＝c，∴sinAcosB+sinBsinA＝sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB， ∴sinB＝sin（A+C）＝ ，∵ ，则由正弦定理得 b＝ ＝ ＝ 2 ， 故答案为：3 ． 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考 题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题 ：共 60 分． 17．已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，且满足 ． （1）求证：数列 为等比数列； （2）求数列{an﹣n}的前 n 项和 Tn． 【分析】本题第（1）题先将 n＝1 代入表达式计算出 a1＝ ，当 n≥2 时，由 2Sn+an﹣n ＝0，可得 2Sn﹣1+an﹣1﹣（n﹣1）＝0，两式相减，再化简整理可得 an＝ an﹣1+ ，然后 计算 an﹣ 并转化可证得数列 是以﹣ 为首项， 为公比的等比数列； 第（2）题先根据第（1）题的结果计算出数列 的通项公式，以及数列{an}的通 项公式和数列{an﹣n}的通项公式，然后根据通项公式的特点运用分组求和法计算前 n 项 和 Tn． 【解答】（1）证明：由题意，当 n＝1 时，2S1+a1﹣4＝0， ∵a1＝S1，∴3a1﹣1＝0，解得 a6＝ ， 2Sn﹣1+an﹣1﹣（n﹣2）＝0， 整理，得 an＝ an﹣1+ ， ∵a1﹣ ＝ ﹣ ＝﹣ ，（2）解：由（4）知，an﹣ ＝﹣ •（ ）n﹣1， ∴an﹣n＝﹣ •（ ）n﹣1+ ﹣n＝﹣ •（ ）n﹣n+ ， ＝[﹣ •（ ）1﹣2+ ]+[﹣ •（ ）2﹣2+ ]+…+[﹣ •（ ）n﹣n+ ] ＝﹣ • ﹣ + ＝ （ ﹣1）﹣ ． 18．我国是全球最大的口罩生产国，在 2020 年 3 月份，我国每日口罩产量超一亿只，已基 本满足国内人民的需求，但随着疫情在全球范围扩散，境外口罩需求量激增，世界卫生 组织公开呼吁扩大口罩产能，常见的口罩有 KN90 和 KN95（分别阻挡不少于 90.0%和 95.0%的 0.055 到 0.095 微米的氯化钠颗粒）两种．某口罩厂两条独立的生产线分别生产 KN90 和 KN95 两种口罩，为保证质量对其进行多项检测并评分（满分 100 分），规定总 分大于或等于 85 分为合格，小于 85 分为次品．现从流水线上随机抽取这两种口罩各 100 个进行检测并评分，结果如表： 总分 [75，80） [80，85） [85，90） [90，95） [95，100] KN90 6 14 42 31 7 KN95 4 6 47 35 8 （1）试分别估计两种口罩的合格率； （2）假设生产一个 KN90 口罩，若质量合格，则盈利 3 元，若为次品则亏损 1 元；生产 一个 KN95 口罩，若质量合格，则盈利 8 元，若为次品则亏损 2 元，在（1）的前提下， ①设 X 为生产一个 KN90 口罩和生产一个 KN95 口罩所得利润的和，求随机变量 X 的分 布列和数学期望； ②求生产 4 个 KN90 口罩所得的利润不少于 8 元的概率． 【分析】（1）利用古典概型概率计算公式能求出生产 KN90 口罩合格率和生产 KN95 口 罩合格率． （2）（i）随机变量 X 的所有可能取值为﹣3，1，7，11，分别求出相应的概率，由此能 求出随机变量 X 的分布列和数学期望． （ii）设“生产 4 个 KN90 口罩所得的利润不少于 8 元”为事件A，事件 A 包括“生产 4个 KN90 口罩全合格”和“生产 4 个 KN90 口罩只三个合格”，由此 n 次独立重复试验 中事件 A 恰好发生 k 次概率计算公式能求出生产 4 个 KN90 口罩所得的利润不少于 8 元 的概率． 解：（1）由题意知生产 KN90 口罩合格率为：P1＝ ， 生产 KN95 口罩合格率为：P2＝ ． P（X＝﹣3）＝ ＝ ， P（X＝5）＝ ， ∴X 的分布列为： （ii）设“生产 4 个 KN90 口罩所得的利润不少于 8 元”为事件 A， ∴生产 4 个 KN90 口罩所得的利润不少于 8 元的概率为： P（A）＝（ ）4+ ＝ ． 19．如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，底面是边长 2 的正方形，PA＝PD＝ ，E 为 PA 中 点，点 F 在 PD 上且 EF⊥平面 PCD，M 在 DC 延长线上，FH∥DM，交 PM 于 H，且 FH＝1 （1）证明：EF∥平面 PBM； （2）设点 N 在线段 BC 上，若二面角 E﹣DN﹣A 为 60°，求 BN 的长度． 【分析】（1）取 PB 的中点 G，连结 EG，HG，推导出四边形 EFHG 为平行四边形，EF ∥GH，由此能证明 EF∥平面 PBM． （2）由 EF⊥平面 PCD，得 EF⊥CD，AD⊥CD，从而 CD⊥平面 PAD，进而平面 ABCD ⊥平面 PAD，取 AD 的中点 O，连结 PO，以 O 为原点，ON 为 x 轴，OD 为 y 轴，OP 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出 BN．解：（1）证明：取 PB 的中点 G，连结 EG，HG， 则 EG∥AB，且 EG＝1， ∴EG∥FH，EG＝FH．∴四边形 EFHG 为平行四边形，∴EF∥GH， ∴EF∥平面 PBM． 又 AD⊥CD，EF 与 AD 相交，∴CD⊥平面 PAD， 取 AD 的中点 O，连结 PO，∵PA＝PD，∴PO⊥AD， 在等腰△PAD 中，PO＝ ＝ ， 则 O（0，0，0），A（0，﹣3，0），D（0，1，0），P（0，3，4）， ＝（0，﹣ ，2）， ＝（2，a﹣6，0）， 则 ，取 y＝2，得 ＝（1﹣a，2， ）， ∵二面角 E﹣DN﹣A 为 60°， ∴BN＝a﹣（﹣1）＝2﹣ ． 20．已知椭圆 的离心率为 ，且以椭圆上的点和长轴两端点为 顶点的三角形的面积的最大值为 ． （1）求椭圆 C 的方程； （2）经过定点 Q（m，0）（m＞2）的直线 l 交椭圆于不同的两点 M，N，点 M 关于 x 轴的对称点为 M'，试证明：直线 M'N 与 x 轴的交点 S 为一个定点，且|OQ|•|OS|＝4（O 为原点）． 【分析】（1）由椭圆的离心率公式，由椭圆上的点为短轴的端点时，它和长轴两端点为顶点的三角形的面积取得最大值，应用三角形的面积公式和 a，b，c 的关系，解方程可 得 a，b，进而得到椭圆方程； （2）由题意可得直线 l 的斜率存在，设为 k，可设直线 y＝k（x﹣m），联立椭圆方程， 设 M（x1，y1），N（x2，y2），M'（x1，﹣y1），S（n，0），应用韦达定理和判别式大 于 0，然后讨论直线 l 的斜率为 0 时，直线 MN 与 x 轴重合，满足结论；再讨论 k 不为 0 ，应用三点共线的条件：斜率相等，化简整理可得 mn＝4．即可得证． 解：（1）由题意可得 e＝ ＝ ， 当椭圆上的点为短轴的端点时，它和长轴两端点为顶点的三角形的面积取得最大值，可 得 •（2a）b＝4 ，即 ab＝2 ， 则椭圆的方程为 + ＝1； 联立直线 y＝k（x﹣m）和椭圆方程 3x2+4y2＝12，可得（3+4k2）x2﹣3k2mx+4k4m2﹣12＝ 0， 所以 x1+x2＝﹣ ，x7x2＝ ， 即 y3（x1﹣n）+y1（x2﹣n）＝0，即 k（x2﹣m）（x1﹣n）+k（x1﹣m）（x3﹣n）＝0， 代入韦达定理即 2• ﹣（n+m）•（﹣ ）+2mn＝0，化简可得 ＝ 0， 当斜率 k＝0 时，直线 MN 与 x 轴重合，满足结论． 综上可得，直线 M'N 与 x 轴的交点 S 为一个定点（ ，0），且|OQ|•|OS|＝4． 21．已知函数 ， （1）讨论 f（x）的单调性； （2）若函数 h（x）＝f（x）﹣2lnx 有两个不同的极值点 x1，x2（x1＜x2），求证：f（x1 ）+f（x2）﹣x1x2＞8（5ln2﹣2）； （3）设 a＝﹣1，函数 的反函数为 k（x），令 ，i＝1，2， … ， n ﹣ 1 ， n∈N* 且 n ≥ 2 ， 若 x∈[ ﹣ 1 ， 1] 时 ， 对 任 意 的 n∈N* 且 n ≥ 2 ，恒成立，求 m 的最小值． 【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论 a 的范围，判断函数的单调性即可； （2）求出 h（x）的导数，根据 h′（x）＝0 有 2 个不相等的正实数根，求出 a 的范围， 求出 y＝f（x1）+f（x2）﹣x1x2 的解析式，令 u（a）＝（a+2）ln（2a）﹣2a，（a＞8）， 结合函数的单调性证明即可； （3）代入 a 的值，问题转化为﹣m≤ + +…+ ，根据函数的单调性 得到关于 m 的不等式，解出即可． 解：（1）函数的定义域是（0，+∞）， f′（x）＝ ﹣ ﹣1＝﹣ ， ①a≤0 时，由 f′（x）＞0，解得：x＜2，由 f′（x）＜7，解得：x＞2， 故 f（x）在（0，2）递增，在（2，+∞）递减； ②0＜a＜2 时，由 f′（x）＞0，解得：a＜x＜6，由 f′（x）＜0，解得：x＞2 或 x＜a， 故 f（x）在（0，a）递减，在（a，2）递增，在（6，+∞）递减； ③a＝2 时，f′（x）≤0，f（x）在（0，+∞）递减； ④a＞4 时，由 f′（x）＞0，解得：2＜x＜a，由 f′（x）＜0，解得：x＞a 或 x＜2， （7）证明：h（x）＝f（x）﹣2lnx＝alnx+ ﹣x，x＞0， 由已知函数有 2 个不同的极值点 x1，x2，知道 h′（x）＝4 有 2 个不相等的正实数根， 即 ，解得：a＞8， ＝（a+2）lnx1+ ﹣x7+（a+2）lnx2+ ﹣x2﹣x1x2 ＝（a+2）ln（2a）+ ﹣a﹣2a＝（a+2）ln（2a）﹣2a， 则 u′（a）＝ln（2a）+（a+2） ﹣2＝ln（2a）+ ﹣1， 故 u（a）在（8，+∞）递增， （3）a＝﹣8 时，f（x）+ +x＝lnx，则 k（x）＝ex， 对 x∈[﹣1，1]，k1（x）k2（x）…kn﹣6（x）＝ … ≥e﹣m 恒成立，∵y＝ 在 x∈[﹣2，1]递减， 当 x＝1 时，[ + +…+ ]min＝ + +…+ ＝ ， 显然当 n＝2 时， ＝ ，即﹣m≤ ，m≥﹣ ， 故 m 的最小值是﹣ ． （二）选考题：共 10 分．请考生从第 22、23 题中任选一题作答，并用 2B 铅笔将答题卡上 所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进 行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分．[选修 4-4：坐标系与参数方程] 22．已知曲线 C 的极坐标方程是 ρ＝2，以极点为原点，极轴为 x 轴非负半轴建立平面直角 坐标系，直线 l 的参数方程为 （t 为参数）． （1）写出曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程； （2）在（1）中，设曲线 C 经过伸缩变换 得到曲线 C1，设曲线 C1 上任意一 点为 M（x0，y0），当点 M 到直线 l 的距离取最大值时，求此时点 M 的直角坐标． 【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换 ． （2）利用三角函数关系式的恒等变换和点到直线的距离公式的应用求出结果． 解：（1）曲线 C 的极坐标方程是 ρ＝2，根据 ρ2＝x2+y7，转换为直角坐标方程为 x2+y2＝ 4． 直线 l 的参数方程为 （t 为参数）．消去参数得到 ． 把 椭 圆 转 换 为 参 数 方 程 为 （ θ 为 参 数 ） ， 设 点 M （ ）到直线 l： 的距离： 当且仅当 ，即 时等号成立，即 M（ ）． [选修 4-5：不等式选讲] 23．已知 f（x）＝x2+2|x﹣1|．（1）求不等式 的解集； （ 2 ） 若 f （ x ） 的 最 小 值 为 M ， 且 a+b+c ＝ M （ a ， b ， c∈R ） ， 求 证 ： ． 【分析】（1）根据 ，分 x＜0，0＜x≤1 和 x＞1 三种情况解不等式即可； （ 2 ） 先 求 出 f （ x ） 的 最 小 值 为 1 ， 从 而 得 到 a+b+c ＝ M ＝ 1 ， 然 后 根 据 ，进一步证明 成 立． 解：（1）当 x＜0 时， 等价于 x2+2|x﹣1|＞﹣2，该不等式显然成立； 当 0＜x≤5 时， 等价于 ，此时不等组的解集为∅， 综上，不等式 的解集为 ． 当 x＝1 时，f（x）取得最小值为 2； ∴f（x）最小值为 1，∴a+b+c＝M＝1， ∴ ， ∴ ．