第 07 讲-幂函数与二次函数
一、 考情分析
1. 通过具体实例，结合 y＝x，y＝1
x
，y＝x2，y＝ x，y＝x3 的图象，理解它们的变化规律，了解
幂函数；
2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题．
二、 知识梳理
1.幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，形如 y＝xα 的函数称为幂函数，其中 x 是自变量，α 为常数.
(2)常见的 5 种幂函数的图象
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当 α>0 时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当 α0) y＝ax2＋bx＋c(a 0，
Δ < 0 时恒有 f(x)>0，当{a < 0，
Δ < 0 时，恒有 f(x)
1x = ( )f x (1,1)
1x = − 3x = ( )f x
( )1 1
( 1) 3 5
f a b
f a b
= − + =
− = + =
1
2
a
b
=
=
21, 2, ( ) 2 2a b f x x x∴ = = = − +
( ) ( ) 2 22, (3 ) 3 23
x x
x
f xg x x gx x
= = + − = + −
( ) 23 3 3 2 3 03
x x x x
xg t t− ⋅ = + − − ⋅ ≥
2
2 21 (3 ) 3x xt ≤ + − [ ]0,2x∈
[ ]1 1, 0,2 , [ ,1]3 9xm x m= ∈ ∈
2 21 1 1( ) 2 2 1 2( ) , [ ,1]2 2 9h m m m m m= − + = − + ∈时，不等式 在 上有解.
实数 的取值范围 .
规律方法 求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形
式，一般选择规律如下：
考点三 二次函数的图象及应用
【例 3-1】（2020·全国高一专题练习）函数 y＝ax2＋bx 与 y＝ax＋b(ab≠0)的图象只可能是( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】令 ， 的对称轴为 。根据图象知，A 选项
不对 ；B 选项，若 成立，则 ，此时 图象不对；C 选项，若 成立，
则 ，此时 图象不对；D 选项显然是正确的，故选 D.
【例 3-2】（2018·安徽省高三期中（理））已知函数 ，且
，则( )
A． ，都有 B． ，都有
C． ，使得 D． ，使得
【答案】B
【解析】由 可知 ，抛物线开口向上．因为 ，
即 1 是方程 的一个根，所以 ，都有 ，选 B．
max ( ) 1t h m≤ = ( )3 3 0x xg t− ⋅ ≥ [ ]0,2x∈
∴ t 1t ≤
( ) ( ) ( )2 , 0f x ax bx g x ax b ab= = ≠＋ ＋ ( )f x
2
b
a
− 0b =
( )g x 0, 0, 02
ba b a
> > − < ( )f x ( )g x
0, 0, 02
ba b a
− > ( )f x
( ) 2f x ax bx c= + +
, 0a b c a b c> > + + =
( )0,1x∀ ∈ ( ) 0f x > ( )0,1x∀ ∈ ( ) 0f x <
( )0 0,1x∃ ∈ ( )0 0f x = ( )0 0,1x∃ ∈ ( )0 0f x >
, 0a b c a b c> > + + = 0, 0a c> < ( ) ( )0 0, 1 0f c f a b c= < = + + =
2 0ax bx c+ + = ( )0,1x∀ ∈ ( ) 0f x min( ) (1) 1 2 1f x f a= = + = − 1a = −
2a− < − min( ) ( 2) 4 4 1f x f a= − = − = − 5
4a =
1a = ±
2( ) ( 2) 3f x x a x= + − −
( )f x [ ]2,4− a
5a = [ 1,1]x∈ − ( ) 2 4f x m x> + − m
( )f x 2
2
ax
−= −
( )f x [ ]2,4− 2 42
a −∴− ≥ 2 22
a −− ≤ − 6a ≤ − 6a ≥
∴ a ( , 6] [6, )−∞ − +∞
5a = [ ]1,1x∈ − ( ) 2 4f x m x> + − 2 1x x m+ + >
( ) 2 1g x x x= + + ( )ming x m>
( )g x [ ]1 1,12x = − ∈ − ( )min
1 3
2 4g x g = − =
3
4 m>的范围为 ．
规律方法 1.二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和
中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想求解.
2.由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键
(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数.
(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离.这两
个思路的依据是：a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.
[方法技巧]
1.幂函数 y＝xα(α∈R)图象的特征
α>0 时，图象过原点和(1，1)点，在第一象限的部分“上升”；α 1 1
2
x x
e
≥
*x N∀ ∈ p
1 13 3 2 3 3 2 3x x x x− −+ ≥ × = 13 3x x−=
1
2x = q
p q∧ ( )p q¬ ∧ ( )p q∧ ¬ ( ) ( )p q¬ ∧ ¬
( ) ( ) 22 4 21 m mf x m x − += − ( )0, ∞+
( ) 2xg x t= − [ )1 1,6x ∈ [ )2 1,6x ∈ ( ) ( )1 2f x g x= t
ϕ 28t ≥ 1t ≤ 28t > 1t < 1 28t≤ ≤
0m = ( ) 2f x x= [ )1 1,6x ∈ ( ) [ )1 1,36f x ∈
[ )2 1,6x ∈ ( ) [ )2 2 ,64g x t t∈ − − 2 1{64 36
t
t
− ≤
− ≥ 1 28t≤ ≤
[ ]0,1x∈ ( ) ( )21f x mx= − ( )
2
mg x x= +
mA． B． C． D．
【答案】B
【解析】当 时,又因为 为正实数,
函数 的图象二次函数,
在区间 为减函数,在区间 为增函数;
函数 ,是斜率为 的一次函数.
最小值为 ,最大值为 ;
①当 时,即 时,
函数 在区间 为减函数,
在区间 为增函数,
的图象与 的图象有且只有一个交点,
则 , 即
,解得 ,
所以
②当 时,即 时,
函数 在区间 为减函数,在区间 为增函数,
在区间 为增函数,
的图象与 的图象有且只有一个交点,
则 , 即
[ )2,+∞ ( ] 50,2 ,+2
∞
5 ,2
+∞
( ] [ )20,1 ,+ ∞
[ ]0,1x∈ m
( ) ( )21f x mx= −
10, m
1 ,1m
æ öç ÷ç ÷è ø
( )
2 2
m mg x x x= + = + 1
( )min 2
mg x = ( )max 1 2
mg x = +
1 1m
≥ 0 1m< ≤
( ) ( )21f x mx= − [ ]0,1
( )
2
mg x x= + [ ]0,1
( )f x ( )g x
( ) ( )max minf x g x≥ ( ) ( )max min0 0f g≥
( )20 1 2
mm× − ≥ 2m ≤
0 1m< ≤
10 1m
< < 1m >
( ) ( )21f x mx= − 10, m
1 ,1m
æ öç ÷ç ÷è ø
( )
2
mg x x= + [ ]0,1
( )f x ( )g x
( ) ( )max minf x g x≥ ( ) ( )max min0 0f g≥的图象与 的图象有且只有一个交点
,
解得 或
综上所述：正实数 的取值范围为 .
6．（2020·会泽县第一中学校高一月考）已知点 在幂函数 的图象上，设
，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由已知得： ，解得： ，所以 ，
因为 ， ， ，
又 ，所以
由 在 上递增，可得： ，
所以 .
7．（2020·深圳市高级中学高三月考（文））已知幂函数 的图象过函数
的图象所经过的定点，则 的值等于（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【解析】由于 为幂函数，则 ，解得： ，
( ) ( )21f x mx= − ( )
2
mg x x= +
( ) ( )
( ) ( )
1
0 0
1 1
m
f g
f g
>
≥
m ( ] 50,2 ,+2
∞
(2,8) ( ) nf x x=
3 2, (ln ),3 2a f b f c fπ = = =
, ,a b c
b a c< < a b c< < b c a< < a c b< <
8 2n= 3n = 3( )f x x=
3 13
< 2 12
< ln ln 1eπ > =
3 2 2 3 3 2 12 18 03 2 6 6
− −− = = < 3 2 ln3 2
π< <
3( )f x x= R 3 2 (ln )3 2f f f π < ≠且 b
1
2
± 2
2
± 2±
1( ) (2 1) ag x a x += − 2 1 1a − = 1a =函数 ， 且 ，当 时， ，故 的图像所经过的定
点为 ，
所以 ，即 ，解得： ,
8．（2020·全国高一课时练习）已知 ，且 ，若 ，则函数
的大致图像为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意，令 ，故 ，解得 或 （舍去），
故 ，故 ，故 的大致图像为 A，故选 A
9．（2020·北京高三期末）已知函数 ,若存在区间 ,使得函数 f(x)在区间
上的值域为 则实数 的取值范围为（ ）
1( ) 2
x bf x m −= − ( 0,m > 1)m ≠ x b= 1 1( ) 2 2
b bf b m −= − = ( )f x
1( , )2b
1( ) 2g b = 2 1
2b = 2
2b = ±
, (1, )m n∈ +∞ m n> 2 6log log 13m nn m+ = 2( )
m
nf x x=
logmt n= 62 13t t
+ = 1
2t = 6t =
n m= 2 1m
n
= ( )f x x=
( ) 1f x x k= + + [ ] [ ), 1,a b ∈ − +∞
[ ],a b [ ]1, 1 ,a b+ + kA． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据函数的单调性可知， ，即可得到 ，即可知
是方程 的两个不同非负实根，所以 ，解得 ．
10．（2020·四川省成都七中高一月考）已知 若幂函数 的图象关于 轴对称，
且在区间 内单调递减，则 __________．
【答案】
【解析】因为幂函数 的图象关于 轴对称，则 必为偶数，
又 在区间 内单调递减，则 为负数，
综合得 .
故答案为： ．
11．（2018·郁南县连滩中学高一期中）已知幂函数 的图象经过点 ，则该幂函数的解析式
为 .
【答案】
【解析】设 过点 ，所以 ， .
所以解析式为：
12．（2020·河南省高三其他（文））幂函数 的图象关于 轴对称，则实数
_______.
【答案】2
【解析】函数 是幂函数，
解得： 或 ，
( )1,− +∞ ( ]1,0− 1 ,4
− +∞
1 ,04
−
( )
( )
1
1
f a a
f b b
= + = +
1 1 0
1 1 0
a a k
b b k
+ − + − =
+ − + − =
1, 1a b+ +
2 0x x k− − =
1 2
1 4 0
0
k
x x k
∆ = + >
= − ≥
1 04 k− < ≤
12, 1, ,1,2,3 ,2
α −
−
∈ ( ) af x x= y
( )0, ∞+ α =
2−
( ) af x x= y α
( ) af x x= ( )0, ∞+ α
2α = −
2−
( )y f x= 1 1,4 2
1
2y x=
( )y f x xα= = 1 1,4 2
( ) 1 1( )4 2f x xα α= = = 1
2
α =
1
2y x=
( )2( ) 3 3 mf x m m x= − + y m =
( )2( ) 3 3 mf x m m x= − + 2 3 3 1,m m∴ − + =
1m = 2m =当 时，函数 的图象不关于 轴对称，舍去，
当 时，函数 的图象关于 轴对称，
∴实数 ．
13．（2019·西藏自治区山南二中高一期中）函数 在 上是减函数，则实数 a
的取值范围是___________
【答案】
【解析】因为函数 在 上是减函数，
所以对称轴 ，即 .
14．（2020·全国高三月考（文））已知函数 ，若函数 在区间 上单调
递增，则实数 的取值范围是________．
【答案】
【解析】当 时， ，
∵ 开口向下，对称轴 ，在对称轴的左边单调递增，
∴ ，解得： ；
当 时， 是以 2 为底的对数函数，是增函数，故 ；
综上所述，实数 的取值范围是： ；
15．（2020·嘉祥县第一中学高二期中）已知幂函数 在 上单调递增，函数
；
（1）求 的值；
（2）当 时，记 、 的值域分别是 、 ，若 ，求实数 的取值范围；
【解析】(1) 函数 为幂函数，
则 ，解得： 或 .
当 时， 在 上单调递增，满足条件.
1m = y x= y
2m = 2y x= y
2m =
2( ) 2( 1) 2f x x a x= + − + ( ],4−∞
3a ≤ −
2( ) 2( 1) 2f x x a x= + − + ( ],4−∞
( 1) 4x a= − − ≥ 3a ≤ −
2
2
4 , 4( )
log , 4
x x xf x
x x
− + ≤= >
( )y f x= ( , 1)a a +
a
( ,1] [4, )−∞ ∪ +∞
4x ≤ 2 2( ) 4 ( 2) 4f x x x x= − + = − − +
2( ) ( 2) 4f x x= − − + 2x =
1 2a + ≤ 1a ≤
4x > ( )f x 4a ≥
a ( ,1] [4, )−∞ ∪ +∞
22 4 2( ) ( 1) m mf x m x − += − (0, )+∞
( ) 2xg x k= −
m
[1,2]x∈ ( )f x ( )g x A B A B A∪ = k
22 4 2( ) ( 1) m mf x m x − += −
2( =11)m − 0m = 2m =
0m = 2( )f x x= (0, )+∞当 时， 在 上单调递减，不满足条件.
综上所述 .
(2)由(1)可知, ,则 、 在 单调递增,
所以 在 上的值域 , 在 的值域 .
因为 ,即 ,
所以 ，即 ，所以 .
所以实数 的取值范围是 .
16．（2019·瓦房店市实验高级中学高一月考）已知函数 .
（1）若对任意的实数 都有 成立，求实数 的值；
（2）若 在区间 上为单调增函数，求实数 的取值范围；
（3）当 时，求函数 的最大值.
【解析】（1）由题意知函数 的对称轴为 1，即
（2）函数 的图像的对称轴为直线 ;
在区间 上为单调递增函数，
得，
（3）函数图像开口向上，对称轴 ，
当 时， 时，函数取得最大值为：
当 时， 时，函数取得最大值为：
当 时， 或－1 时，函数取得最大值为：
17．（2020·九台市第四中学高一期末）设函数 ．
（1）当 时，求满足 的 的取值范围;
（2）若 在区间 上是增函数，求实数 的取值范围．
2m = 2( )f x x−= (0, )+∞
0m =
2( )f x x= ( )f x ( )g x [1,2]
( )f x [1,2] [1,4]A = ( )g x [1,2] [2 ,4 ]B k k= − −
A B A∪ = B A⊆
2 1
4 4
k
k
− ≥
− ≤
1
0
k
k
≥
≤ 0 1k≤ ≤
k [0,1]
( ) 2 2f x x ax a= − +
x ( ) ( )1 1f x f x+ = − a
( )f x [ )1,+∞ a
[ ]1,1x∈ − ( )f x
2( ) 2 1f x x ax= − + 1a =
2( ) 2 1f x x ax= − + x a=
( )y f x= [ )1,+∞
1a ≤
x a=
0a < 1x = max( ) 2 2f x a= −
0a > 1x = − max( ) 2 2f x a= +
0a = 1x = max( ) 2f x =
( ) ( )2 2 2f x x a x a= − + +
1a = ( ) 0f x ≤ x
( )f x [ )2 ∞− +， a【解析】（1）当 时，由 得 ，
即 ，解得 ．
（2）因为 的图象开口向上且对称轴为 ，
则要 在 是增函数，只需 ，
所以 ．
18．（2020·内蒙古自治区高二月考（文））已知 在区间 上的值域为 。
(1)求实数 的值；
(2)若不等式 当 上恒成立，求实数 k 的取值范围。
【解析】（1）
当 时， 在 上单调递增
，即 ，与 矛盾。故舍去。
当 时， ，即 ，故
此时 ，满足 时其函数值域为 。
当 时， 在 上单调递减
，即 ，舍去。
综上所述： 。
（2）由已知得 在 上恒成立
在 上恒成立
令 ，且 ，则上式
恒成立。记
时 单调递减，
1a = ( ) 0f x ≤ 2 3 2 0x x− + ≤
( )( )1 2 0x x− − ≤ 1 2x≤ ≤
( )f x 2
2
ax
+=
( )f x [ )2− + ∞， 2 22
ax
+= ≤ −
6a ≤ −
( ) 2 2 1g x x ax= − + [ ]13， [ ]0,4
a
( )2 4 0x xg k− ⋅ ≥ [ )x 1,∈ +∞
( ) ( )2 21g x x a a= − + −
1a < ( )g x [ ]1,3
( ) ( )min 1 2 2 0g x g a∴ = = − = 1a = 1a <
1 3a≤ ≤ ( ) ( ) 2
min 1 0g x g a a= = − = 1a = ± 1a =
( ) ( )21g x x= − [ ]1,3x∈ [ ]0,4
3a > ( )g x [ ]1,3
( ) ( )min 3 10 6 0g x g a= = − = 5
3a =
1a =
( )2
2 2 2 1 •4 0x x xk− × + − ≥ [ )1,x∈ +∞
⇔
21 12 12 2x xk ≤ − +
[ )1,x∈ +∞
1
2xt = 10, 2t ∈
⇔
2 12 1, 0, 2k t t t ≤ − + ∈
( ) 2 2 1h t t t= − +
10, 2t ∈ ( )h t ( )min
1 1
2 4h t h ∴ = = 故
所以 的取值范围为 。
19．（2018·高三月考（理））已知幂函数 在 上单调递增，函数
.
（1）求 的值；
（2）当 ， 时，记 ， 的值域分别为集合 ， ，设命题 ，命题 ，若命题
是 成立的必要条件，求实数 的取值范围.
【解析】（1）依题意得： ， 或 ，
当 时， 在 上单调递减，
与题设矛盾，舍去，
.
（2）由（1）得： ，
当 ， 时， ， ，即 ， ，
当 ， 时， ， ，即 ， ，
若命题 是 成立的必要条件，则 ，
则 ，即 ，
解得： .
20．（2019·高三月考（理））巳知幂函数 的图象过(2， ).
(Ⅰ)求 m 的值与函数 的定义域；
(Ⅱ)已知 ，求 的值.
【解析】（1）幂函数 的图象过 ，
∴
∴ ，函数的定义域为 .
1
4k ≤
k
22 4 2( ) ( 1) m mf x m x − += − (0, )+∞
( ) 2xg x k= −
m
[1x∈ 2] ( )f x ( )g x A B :p x A∈ :q x B∈
p q k
2( 1) 1m − = 0m⇒ = 2m =
2m = 2( )f x x−= (0, )+∞
0m∴ =
2( )f x x=
[1x∈ 2) ( ) [1f x ∈ 4) [1A = 4)
[1x∈ 2) ( ) [2g x k∈ − 4 )k− [2B k= − 4 )k−
p q B A⊆
2 1
4 4
k
k
− ≥
− ≤
1
0
k
k
≤
≥
0 1k≤ ≤
( ) mf x x= 2
( )f x
1 1 1( ) lg2 1 2 1x
xg x mx
−= + + +− + ( ) ( )g m g m+ −
( ) mf x x= ( )2, 2 2 2m =
1
2m =
( )f x x= [ )0,+∞（2）设
则
∴
∴ 为奇函数，
∴
1 1 1( ) lg2 1 2 1x
xh x x
−= + +− +
( ) ( )g x h x m= +
1 1 1 1 1 1( ) ( ) lg lg2 1 2 1 2 1 2 1x x
x xh x h x x x−
− ++ − = + + + + +− + − −
1 1 1 1 1 21 lg lg 1 lg1 02 1 2 1 1 1 2 1 1 2
x
x x x x
x x
x x−
− + = + + + + = + + + = − − + − − −
( )h x ( ) ( ) 0h m h m+ − =
1( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 12g m g m h m h m m m+ − = + − + = = × =
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