专题2.2 解三角形-2021年高考数学（文）尖子生培优题典（解析版）

2021 学年高考数学（文）尖子生同步培优题典 专题 2.2 解三角形 姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 注意事项： 一、选择题（在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（2020·全国高三其他（文））在 中，内角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，若 ， 且 ，则 （ ）. A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解： 可化为 ，所以 即 ，所以 得 ，又 ，所以 ，即 所以 ， 得 ， 有 ， 得 ，得 . ABC A B C a b c tan 21tan B b C c − = π 3A = C = π 6 π 4 5π 12 7π 12 tan 21tan B b C c − = sin cos 21cos sin B C b B C c − = sin cos 2sin1cos sin sin B C B B C C − = sin cos 2sin sin cos sin sin B C B C B C C += sin cos 2sin cos sin cosB C B B C B= + ( )sin sin 2B C B− = π 3A = 2π 3B C+ = 2π 3B C= − 2π 2πsin 2 sin 23 3C C     − = −         2π 4πsin 2 sin 23 3C C   − = −       3 1 3 1cos2 sin 2 cos2 sin 22 2 2 2C C C C+ = − + cos2 0C = π 4C =故选：B . 2．（2020·宁夏原州高三其他（文））在 中， ， ， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由余弦定理得 .由正弦定理得 ，解得 . 考点：解三角形. 3．（2020·福建高三其他（文））在等腰 中， ， ， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设等腰 的边长 ， ∵ ， ∴ ， 即 ， ABC 4ABC π∠ = 2AB = 3BC = sin BAC∠ = 10 10 10 5 3 10 10 5 5 2 2 9 2 2 3 cos 5, 54b b π= + − ⋅ ⋅ ⋅ = = 3 5 sin sin 4 BAC π=∠ 3 10sin 10BAC∠ = ABC 120C = ° 6AB BC⋅ = − 2AD DC=  BD CA⋅ =  10 3 − 10 3 22 3 2 3 ABC CA CB x= = 120C = ° 2 2 2 2 2 212 cos120 32AB CA CB CA CB x x x x x = + − × × = + − ⋅ ⋅ − =    3AB x=又∵ ，解得 ， 又∵ ， ∴ ， 故选：B. 4．（2020·陕西省商丹高新学校高三其他（文））在 中，若 ，则 的形状是 （ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【解析】 由已知 ， 或 ，即 或 ， 由正弦定理，得 ，即 ，即 ， 均为 的内角， 或 或 ， 为等腰三角形或直 角三角形，故选 D. 5．（2020·湖北武汉高三其他（文）） 中， ， 为 的中点， ， ， 2 33 cos150 3 62AB BC x x x  ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ − = −       2x = 1 3BD CD CB CA CB= − = −     21 1 4 1 102 23 3 3 2 3CA CB CA CA CA CBBD CA    − ⋅ = − ⋅ = − × × −⋅ = =               ABC∆ cos 1 cos2 cos 1 cos2 b C C c B B += + ABC∆ 2 2 2 2 1 cos2 2cos cos cos 1 cos2 2cos cos cos C C C b C B B B c B + = = =+ cos cos C b B c ∴ = cos 0cos C B = 90C =  cos cos C b B c = cos cos,cos cos b B C sinB c C B sinC = ∴ = sin cos sin cosC C B B= 2 2sin C sin B= ,B C ABC∆ 2 2C B∴ = 2 2 180 ,C B B C= = ∴ = 90B C+ =  ABC∆∴ ABC∆ 2 5BC = D BC 4BAD π∠ = 1AD =则 （ ） A． B． C． D．2 【答案】D 【解析】在 中，由正弦定理得 ，得 ，又 ，所以 为锐角，所 以 ， ， 在 中，由余弦定理可得 ， . 故选：D 6．（2020·湖北荆门高三期末（文））在△ABC 中，若 ，则△ABC 的面积 S 是 ( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 是三角形内角， ，∴ ， 由正弦定理 得 ， 又 ，即 ， AC = 2 5 2 2 6 5− ABD∆ sin sin 4 AD BD B π= 10sin 10B = BD AD> B 3 10cos 10B = 5cos cos 4 5ADC B π ∴ ∠ = + =   ADC∆ 2 2 2 2 cos 4AC AD DC AD DC ADC= + − ⋅ ∠ = 2AC∴ = 1tan 150 13A C BC°= = =， ， 3 3 8 − 3 3 4 − 3 3 8 + 3 3 4 + A 1tan 3A = 10sin 10A = sin sin a c A C = sin 1 sin150 10 sin 210 10 a Cc A × °= = = 2 2 2 2 cosc a b ab C= + − 2 25 1 2 cos150 1 32 b b b b= + − ° = + +， （ 舍去）， ∴ ． 故选：A． 7．（2020·河北桃城衡水中学高三三模（文））在 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.若 ， ， ，当 的周长最短时，b 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题可知： ， 则 ， 所以 ， 又 ，所以 ，记 的周长为 则 则 当且仅当 或 （舍）取等号 2 33 02b b+ − = 3 3 2b − += 3 3 2b − −= 1 1 3 3 3 3sin 1 sin1502 2 3 8ABCS ab C∆ − −= = × × ° = ABC 60A∠ = ° 1b > 1 2c a= + ABC 2 2 2 21 2 + 1 2+ 60A∠ = ° 1 2c a= + 2 2 2 2 cosa b c bc A= + − 2 2 2 1 1 2 2    = + −      +  + aa bab 1b > 2 1 2 4 1 − + = − bb a b ABC l 2 1 2 42 1 1 2 − + = + + = ⋅ +− + bb l a b c bb ( ) ( ) ( ) ( ) 3 9 3 9 93 1 2 3 1 3 22 1 2 2 1 2 2 = − + + ≥ − ⋅ + = +− −l b bb b ( ) ( ) 3 23 1 12 1 2 − = ⇒ = +−b bb 21 2 −所以当 的周长最短时，b 的值为 故选：C 8．（2020·湖北东西湖华中师大一附中高三其他（文））在锐角 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ， ，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由 可得： ，∴ . ， ∴ ， ， ， ∴ ，又 ， ，∴ ， ABC 21 2 + ABC∆ A B C a b c cos cos 2 3sin 3sin B C A b c C + = cos 3sin 2B B+ = a c+ 3 , 32      3 , 32      3 , 32       3 , 32      cos cos 2 3sin 3sin B C A b c C + = cos cos sin cos sin cos sin c B b C C B B C bc b C + += ( )sin 2 3sin sin 3sin B C A b C C += = 3 2b = 1 3cos 3sin 2 cos sin2 2B B B B  + = +    2sin 26B π = + =   2 6 6 3B π π π< + < 6 2B π π+ = 3B π= 1sin b B = 2 3A C π+ = 20 3 2C A π π< = − < 0 2A π< < 6 2A π π<   + > −  + − > 2 6b< < 2 2 2 2 6cos 2 b c a bA bc b + − −= =所以 ，则 . 故答案为： . 25．（2020·辽宁高三其他（文））在平面五边形 中，已知 ， ， ， ， ， ，当五边形 的面积 时，则 的取值范围为 __________． 【答案】 【解析】【详解】 由题意可设： ，则： ， 则：当 时，面积有最大值 ； 当 时，面积有最小值 ； 结合二次函数的性质可得： 的取值范围为 . 三、解答题（请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 26．（2020·福建高三其他（文））在 中， ， ， 在 上，且满足 . （1）求证： 为 的中点； （2）若 ，求 的面积. ( ) ( )( )2 2 2 2 2 2 21 sin 4 1 cos 12 8 12 2 64ABC S b c A b A b b b= = − = − + − < <  ( ]2 0,48ABC S ∈ △ (0,4 3ABCS ∈ △ (0,4 3 ABCDE 120A∠ = ° 90B∠ = ° 120C∠ = ° 90E∠ = ° 3AB = 3AE = ABCDE [6 3,9 3)S ∈ BC )3,3 3 BC DE a= = ( ) )21 3 1 3 9 18 39 3 3 3 3 3 6 3,9 32 2 2 2 4 4 4ABCDES a a a a = × × + × × + − = + − ∈ 3 3a = 9 3 3a = 6 3 BC )3,3 3 ABC 7AB = 3AC = D BC sin 7 sin 3 CAD BAD ∠ =∠ D BC 3 2=AD ABC【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】（1）在 中，由正弦定理得 ， ① 在 中，由正弦定理得 ， ② 又 ， ， 将① ②，得 ， ， ， 所以 ，即 为 的中点. （2）设 ，在 和 中，由余弦定理可得 ， ， 因为 ， 所以 ，故 ，即 在 中，由余弦定理可得， ， 所以 . 故 . 27．（2020·全国高三三模（文））已知 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 ， . （1）若 ，求 的面积； 7 2 ACD∆ sin sin CD AC CAD ADC =∠ ∠ ABD∆ sin sin BD AB BAD ADB =∠ ∠ sin sinADB ADC∠ = ∠ sin 7 sin 3 CAD BAD ∠ =∠ ÷ 3 7 CD AC BD AB = 7AB = 3AC = CD BD= D BC BD DC x= = ABD∆ ACD∆ 2 2 2 2+ +18 49cos 2 6 2 BD AD AB xADB BD AD x − −∠ = =⋅ 2 2 2 2 +18 9cos 2 6 2 CD AD AC xADC CD AD x + − −∠ == =⋅ cos ADB cos DB 0∠ + ∠ =C 22 22 0x − = 11x = 2 11=BC ABC∆ 2 2 2+ 49+9 44 1cos 2 2 7 3 3 − −∠ = = =⋅ × × AB AC BCBAC AB AC 2 2sin 3BAC∠ = 1 1 2 2sin 7 3 7 22 2 3 = ⋅ ∠ = × × × =ABCS AB AC BAC△ ABC A B C a b c 8b = 6 2c = tan 2 2B = ABC（2）若点 是线段 上靠近 的三等分点，且 ，求 的值. 【答案】（1） ；（2） 【解析】解：（1）依题意， ，又 ， 解得 ， 由正弦定理 ，即 ，所以 ，所以 所以 所以 （2）设 ，则 ，因为 ，所以 由 M BC C MAB MBA∠ = ∠ a 8 2 10 sintan 2 2 cos BB B = = 2 2sin cos 1B B+ = ( )0,B π∈ 2 2sin 3B = 1cos 3B = sin sin b c B C = 8 6 2 sin2 2 3 C = sin 1C = 2C π= ( )2 26 2 8 2 2a = − = 1 1 2 2 8 8 22 2ABCS ab= = × × =  MC x= 2BM x= MAB MBA∠ = ∠ 2AM x= cos cosMAB CMA∠ = − ∠所以 解得 ，则 28．（2020·全国高三其他（文））在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ， 为 的中点，且 ． （1）求 的值； （2）求 的取值范围.． 【答案】（1） ；（2） . 【解析】（1）因为 ， 由正弦定理，得 ． 因为 ，所以 ． 所以 为钝角，所以 ． （2）如图所示， 设 ， 因为 ，由余弦定理，可得 ， ， ( ) ( ) ( ) ( )22 2 2 2 22 2 6 2 2 8 2 2 2 2 2 x x x x x x x x + − + −= −⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 10 3x = 3 10a BC MC= = = ABC A B C a b c 2c = D AB 3 sin 4 cos 0c A a C+ = cosC CD 3cos 5C = − 1 ,12     3 sin 4 cos 0c A a C+ = 3 sin sin 4 sin cos 0C A A C+ = sin 0A ≠ 4tan 3C = − C 3cos 5C = − ADC α∠ = 2c = 2 2 1 2 cosa CD CD α= + + 2 2 1 2 cosb CD CD α= + −所以 ． 又由 ， 可得 ， 所以 ． 因为 ， 所以 ， 解得 ． 所以 ， 即 ， 解得 ， 即 的取值范围是 ． 29．（2020·高三月考（文））在锐角 中， 分别为 所对的边，已 知 . （1）求 的值； （2） 为 中点， ， ，求 的面积. 【答案】（1） ；（2） 2 2 22 2CD a b+ = + 2 2 2 2 cosc a b ab C= + − 2 2 64 5a b ab= + + 2 2 4a b+ < 2 2 2a b ab+ ≥ ( ) ( )2 2 2 2 2 23 84 5 5a b a b a b≤ + + + = + 2 2 5 2a b+ ≥ 2 25 42 a b≤ + < 25 2 2 42 CD≤ + < 1 12 CD≤ < CD 1 ,12     ABC , ,a b c , ,A B C∠ ∠ ∠ ( )3 cos cosb c A a C− = cos A E BC 2 2AE = 2c = ABC 1 3 28 2 9【解析】（1）由正弦定理得： ， 即 ， ， ， . （2） 为 中点， ， 两边平方得： ， ，解得： ， 由（1）知： ，又 ， ， . 30．（2020·黑龙江南岔高三期末（文））在 中， ， ， 的对边分别为 ， ， ， 若 ， （1）求 的大小；（2）若 ， ，求 ， 的值. 【答案】（1） （2） ， 或 ， . 【解析】详解：（1）由已知得 ，∴ . ∵ ，∴ . ∵ ，所以 ，∴ ，所以 ( )3sin sin cos sin cosB C A A C− = ( )3sin cos sin cos sin cos sin sinB A A C C A A C B= + = + = 0, 2B π ∈   sin 0B∴ ≠ 1cos 3A∴ = E BC 2 AE AB AC → → → ∴ = + 2 2 2 4 2 cosAE AB AC AB AC BAC → → → → → = + + ∠ 2 432 4 3b b∴ = + + 14 3b = 1cos 3A = 0, 2A π ∈   2 2sin 3A∴ = 1 1 14 2 2 28 2sin 22 2 3 3 9ABCS bc A∴ = = × × × =△ ABC∆ A∠ BÐ C∠ a b c cos (2 )cosb C a c B= − BÐ 7b = 4a c+ = a c 3 π 1 3 3 1 sin cos 2sin cos sin cosB C A B C B= ⋅ − ⋅ ( )sin 2sin cosB C A B+ = ⋅ B C A+ = π − sin 2sin cosA A B= ⋅ ( ), 0,A B π∈ sin 0A ≠ 1cos 2B = 3B π=（2）∵ ，即 ，∴ ∴ ，又∵ ，∴ ， 或 ， 31．（2020·陕西西安高三三模（文））在△ABC 中角 A，B，C 所对的边分别为 a、b、c，满足 ． （1）求 的值； （2）设△ABC 外接圆半径为 R，且 ，求 b 的取值范围． 【答案】（1） ；（2） . 【解析】（1）因为 ，所以 ，即 ， 所以 ，因为 ，所以 又因为 ，解得： . （2）因为 ，由正弦定理得 ，可得 ， 由余弦定理可得： ， ∵ ，∴ ， 所以 的取值范围为 . ． 2 2 2 2 cosb a c ac B= + − ( )27 3a c ac= + − 3 16 7 9ac = − = 3ac = 4a c+ = 1a = 3c = 3a = 1c = 22cos 1 cos cos 2 2 sin cos2 C A B A B= − + cos B ( )sin +sin 1R A C = 1 3 2 3 ,23      22cos 1 cos cos 2 2 sin cos2 C A B A B= − + cos cos cos 2 2 sin cosC A B A B+ = cos( ) cos cos 2 2 sin cosA B A B A B− + + = sin sin 2 2 sin cosA B A B= sin 0A ≠ sin 2 2 cos 0B B= > 2 2sin cos 1B B+ = 1cos 3B = ( )sin +sin 1R A C = 2a c+ = 2c a= − 2 2 2 2 2 22 cos 3b a c ac B a c ac= + − = + − 2 2 22 8 4(2 ) (2 ) ( 1)3 3 3a a a a a= + − − − == − + 0 2a< < 2 3 23 b≤ < b 2 3 ,23     32．（2020·云南高三一模（文））在锐角三角形 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 ． （Ⅰ）求角 A 的大小； （Ⅱ）若 ，求 面积的最大值． 【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） ． 【解析】（Ⅰ）由 及正弦定理得： ， 因为 ， ，所以 ， ， 所以 ，又 ，所以 ； （Ⅱ）由正弦定理 ， ， ， 由 得： ， 即 ①，由余弦定理得， 3 3 4 sin ssin sin inC Bb c a B C+ = 2 sin 2 sin 3b B c C bc a+ = + ABC 3A π= 3 3 4 3 3 4 sin ssin sin inC Bb c a B C+ = 3sin sin 3sin sin 4sin sin sinB C C B A B C+ = 0 B< 2C π< sin 0B ≠ sin 0C ≠ 3sin 2A = 0 2A π< < 3A π= 2 sin s 3 in si 3nB C b a A c a= = = 3sin 2 bB a = 3sin 2 cC a = 2 sin 2 sin 3b B c C bc a+ = + 3 32 2 32 2 b cb c bc aa a + = + 2 2 2 3 3b c a abc+ − =，则 ，解得 ， 带入①式可得 ， 即 ，得 ，当且仅当 时，取等号， ， 面积的最大值为 ． 33．（2020·安徽金安高三其他（文））△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且满足 ， ． （1）求角 的大小； （2）求△ 周长的最大值． 【答案】（1） （2）最大值为 【解析】 ：（1）由已知，得 ． 由正弦定理，得 ， 即 ． 因为 ， 所以 ． 因为 ，所以 ． 因为 ，所以 ． 2 2 2 3 33cos 2 2 6 abcb c aA abc bc + −= = = 3 1 6 2a = 3a = 2 2 3b c bc+ − = 2 2 3 2b c bc bc= + ≥+ 3bc ≤ b c= 1 3 3sin2 4ABCS bc A= ≤△ ABC 3 3 4 ABC A B C a b c 2a = cos (2 )cosa B c b A= − A ABC 3A π= 6 cos cos 2 cosa B b A c A+ = 2ccosAacosB bcosA+ = sin cos sin cos 2sin cosA B B A C A+ = 2sinCcosAsinAcosB sinBcosA+ = ( )sin 2sin cosA B C A+ = ( )sin A B 2sinCcosA+ = ( ) ( )sin sin sinA B C Cπ+ = − = ( ) ( )sin A B sin π C sinC+ = − = sin 2sin cosC C A= sinC 2sinCcosA= sin 0C ≠ sinC 0≠ 1cos 2A = 0 A π< < π 3 3A π=（2）由余弦定理 ， 得 ， 即 ．因为 ， 所以 ． 即 （当且仅当 时等号成立）． 所以 ． 故△ 周长 的最大值为 ． 34．（2020·重庆九龙坡高三其他（文））已知函数 ． （Ⅰ）求函数 的对称轴方程； （Ⅱ）在 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 ， ，求 的取值范 围． 【答案】（Ⅰ） （Ⅱ） 【解析】（Ⅰ） 2 2 2 2 cosa b c bc A= + − 2 2 2 2a b c bccosA= + − 2 24bc b c+ = + ( )2 3 4b c bc+ = + 2 2 b cbc + ≤    ( ) ( )2 23 44b c b c+ ≤ + + 4b c+ ≤ 2b c= = 2b c= = 6a b c+ + ≤ ABC a b c+ + 6 ( ) 2 3sin cos 2sin cos4 4f x x x x x π π   = + + +       ( )f x 2 2 6 3 π + =   Bf 1a c+ = b ,6 2 kx k Z π π= + ∈ 3 13 b≤ < ( ) 3sin 2 sin 22f x x x π = + +   3sin2 cos2x x= + 2sin 2 6x π = +  由 ，得 则函数 的对称轴方程为 （Ⅱ） ，即 ，当且仅当 时取等号，即 由余弦定理可知 ，即 ， 由三角形的任意两边之和大于第三边可知， 即 35．（2020·高二开学考试（文））已知：在 中， ， ， 分别提角 ， ， 所对的边长， . 判断 的形状； 若 ， ，求 的面积. 【答案】 等腰三角形或直角三角形； . 解： ，则 ，即 ， . 2 ,6 2x k k Z π π π+ = + ∈ ,6 2 kx k Z π π= + ∈ ( )f x ,6 2 kx k Z π π= + ∈ 22sin 2cos2 6 2 3 Bf B B π π   + = + = =       1cos 3B = 1 2a c ac= +  1 2a c= = 1 4ac ≤ 2 2 2 2 cosb a c ac B= + − 2 2 22 8 8 1( ) 2 ( ) 13 3 3 3b a c ac ac a c ac ac= + − − = + − = −  3 3b ≥ 1 a c b= + > 3 13 b≤ < ABC a b c A B C ( ) 0cos cos a b A C A + =+ ( )1 ABC ( )2 6C π= 6 2c = − ABC ( )1 ( )2 1 ( )1 ( ) 0cos cos a b A C A + =+ 0cos cos a b B A + =− cos cosa A b B= ∴ sin 2 sin 2A B=， 是 的内角， ，或 , 为等腰三角形或直角三角形. 由 及 知， 为等腰三角形， . 根据余弦定理 ，得 ， 解得 ， ， 的面积 .  A B ABC ∴ A B= 2A B π+ = ∴ ABC ( )2 ( )1 6C π= ABC a b= 2 2 22 cosa b ab C c+ − = ( ) 22 3 8 4 3a− = − 2 4a = ∴ 2a = ∴ ABC 1 1 1sin 2 2 12 2 2S ab C= = × × × =