考点 10 函数模型及其应用
考点解读
从近几年高考可以看出，越来越注重对应用问题的理解以及阅读能力的考查，而对函数模型的考查可以涉
及此部分知识点，所以我们要引起重视，具体掌握以下几点：
（1）了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类
型增长的含义.
（2）了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的
广泛应用.
一、常见的函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 ( 为常数， )
反比例函数模型 ( 为常数且 )
二次函数模型 （ 均为常数， ）
指数函数模型 （ 均为常数， ， ， ）
对数函数模型 （ 为常数， ）
幂函数模型 （ 为常数， ）
( )f x ax b= + ,a b 0a ≠
( ) kf x bx
= + ,k b 0k ≠
2( )f x ax bx c= + + , ,a b c 0a ≠
( ) xf x ab c= + , ,a b c 0a ≠ 0b > 1b ≠
( ) logaf x m x n= + , ,m n a 0, 0, 1m a a≠ > ≠
( ) nf x ax b= + , ,a b n 0, 1a n≠ ≠二、几类函数模型的增长差异
函数
性质
在(0，＋∞)上的增
减性
单调递增 单调递增 单调递增
增长速度 先慢后快，指数爆炸 先快后慢，增长平缓
介 于 指 数 函 数 与
对数函数之间,相
对平稳
图象的变化
随 x 的增大，图象与 轴接近
平行
随 x 的增大，图象与 轴接近
平行
随 n 值变化而各有
不同
值的比较 存在一个 ，当 时，有
三、函数模型的应用
解函数应用题的一般步骤，可分以下四步进行：
（1）认真审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；
（2）建立模型：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
（3）求解模型：求解数学模型，得出数学结论；
（4）还原解答：将利用数学知识和方法得出的结论，还原到实际问题中.
用框图表示如下：
建模
审题、转化、抽象
问题 解决 解模 运算
还原
结合实际意义
( )1xy a a= > ( )log 1ay x a= > ( )0ny x n= >
y x
0x 0x x> log n x
a x x a< <
实际问题 数学问题
数学问题答案实际问题结论考向一 二次函数模型的应用
在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位.根据实际问题建立二次函数解析式后，可以利用配方法、
判别式法、换元法、函数的单调性等来求函数的最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等问
题.
典例 1 因新冠肺炎疫情影响，呼吸机成为紧缺商品，某呼吸机生产企业为了提高产品的产量，投入 万
元安装了一台新设备，并立即进行生产，预计使用该设备前 年的材料费、维修费、人工工资等共
为（ ）万元，每年的销售收入 万元.设使用该设备前 年的总盈利额为 万元.
（1）写出 关于 的函数关系式，并估计该设备从第几年开始盈利；
（2）使用若干年后，对该设备处理的方案有两种：案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以 10 万元的
价格处理；方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以 50 万元的价格处理；问哪种方案处理较为合
理？并说明理由.
【解析】（1）由题意得：
由 得 即 ，
解得
由 ，设备企业从第 3 年开始盈利.
（2）方案一总盈利额
，当 时，
故方案一共总利润 ，此时
方案二：每年平均利润
，当且仅当 时等号成立
故方案二总利润 ，此时
90
( )n n∈ *N
25 52 n n+ 55 n ( )f n
( )f n n
2 25 5( ) 55 90 ( 5 ) 50 902 2f n n n n n n= − − + = − + −
( ) 0f n > 25 50 90 02 n n− + − > 2 20 36 0n n− + <
2 18n< <
n∈ *N
25( ) ( 10) 1602f n n= − − + 10n = max( ) 160f n =
160 10 170+ = 10n =
( ) 5 36 550 ( ) 50 2 36 202 2
f n nn n
= − + − × =≤ 6n =
6 20 50 170× + = 6n =比较两种方案，获利都是 170 万元，但由于第一种方案只需要 10 年，而第二种方案需要 6 年，故选择第二
种方案更合适.
【名师点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查基本不等式求最值，属于中档题.
（1）利用 年的销售收入减去成本，求得 的表达式，由 ，解一元二次不等式求得从第 年
开始盈利.
（2）方案一：利用配方法求得总盈利额的最大值，进而求得总利润；
方案二：利用基本不等式求得 时年平均利润额达到最大值，进而求得总利润.
比较两个方案获利情况，作出合理的处理方案.
1．某市自来水厂向全市生产与生活供水，蓄水池（蓄量足够大）在每天凌晨 0 点时将会有水 15 千吨，水
厂每小时向池中注水 2 千吨，同时从池中向全市供水，若已知 小时内供水总量为 千
吨，且当蓄水量少于 3 千吨时，供水就会出现紧张现象.
（1）一天内将在哪个时间段内出现供水紧张现象？
（2）若将每小时向池内注水 2 千吨改为每小时向池内注水 千吨，求 的最小值，使得供水紧
张现象消除.
考向二 指数函数、对数函数模型的应用
（1）在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示.通常可以表
示为 (其中 N 为基础数，p 为增长率，x 为时间)的形式.求解时可利用指数运算与对数运算的
关系.
（2）已知对数函数模型解题是常见题型，准确进行对数运算及指数与对数的互化即可.
典例 2 一片森林原来面积为 a,计划每年砍伐一些树,且使森林面积每年比上一年减少 p%,10 年后森林面积
变为 .为保护生态环境,森林面积至少要保留原面积的 ,已知到今年为止,森林面积为 .
n ( )f n ( ) 0f n > 3
6n =
( )0 24x x≤ ≤ 10 x
( )2a a > a
( )1 xy N p= +
2
a 1
4
2
2 a（1）求 p%的值;
（2）到今年为止,该森林已砍伐了多少年?
（3）今后最多还能砍伐多少年?
【解析】（1）由题意得 ,即 ,
解得 .
（2）设经过 m 年，森林面积变为 ,
则 ,即 ，解得 m=5,
故到今年为止,已砍伐了 5 年.
（3）设从今年开始,以后还可砍伐 n 年,则 n 年后的森林面积为 ,
令 ,即 , , ,解得 n≤15,
故今后最多还能砍伐 15 年.
典例 3 某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量 与时间 之间的
关系为 ．已知 后消除了 的污染物，试求：
（1） 后还剩百分之几的污染物．
（2）污染物减少 所需要的时间．（参考数据： ， ， ）
【解析】（1）由 ，可知 时， ，
当 时， ，
所以 ，
当 时， ，
所以 个小时后还剩 的污染物．
（2）当 时，有 ，
( )101 % 2
aa p− = ( )10 11 % 2p− =
1
101% 1 ( )2p = −
2
2 a
( ) 21 % 2
ma p a− =
1
10 21 1 1( ) )2 2 10, 2(
m m= =
( )2 1 %2
na p−
( )2 11 %2 4
na p a− ≥ ( ) 21 % 4
np− ≥
3
10 2(1 1( ) )2 2
n
≥ 3
10 2
n ≤
( )mg / LP ( )ht
0e ktP P −= 5h 10%
10h
50% ln2 0.7≈ ln3 1.1≈ ln5 1.6≈
0e ktP P −= 0t = 0P P=
5t = ( ) 5 5
0 01 10% e e 0.9k kP P P − −= − = ⇒ =
1 ln0.95k = −
10t =
1ln0.9 10 ln0.815
0 0 0e e 81%P P P P
× = = =
10 81%
050%P P=
1ln0.95
0 050% e t
P P=解得 ，
所以污染物减少 所需要的时间为 个小时．
2．人们通常以分贝（符号是 dB）为单位来表示声音强度的等级，其中 0dB 是人能听到的等级最低的声音.
一般地，如果强度为 的声音对应的等级为 dB，则有 ，则 90dB 的声音与 60dB
的声音强度之比为( )
A．100 B．1000
C． D．
3．据观测统计，某湿地公园某种珍稀鸟类的现有个数约 只，并以平均每年 的速度增加．
（1）求两年后这种珍稀鸟类的大约个数；
（2）写出 （珍稀鸟类的个数）关于 （经过的年数）的函数关系式；
（3）约经过多少年以后，这种鸟类的个数达到现有个数的 倍或以上？（结果为整数）(参考数据：
， )
考向三 分段函数模型的应用
（1）在现实生活中，很多问题的两变量之间的关系，不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式
构成分段函数．如出租车票价与路程之间的关系，就是分段函数．
（2）分段函数主要是每一段上自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其作为几个不同问题，将各段的规
律找出来，再将其合在一起．要注意各段变量的范围，特别是端点．
（3）构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理，不重不漏．
典例 4 某公司利用APP线上、实体店线下销售产品퐴，产品퐴在上市20天内全部售完.据统计，线上日销售
量 푓(푡)、 线 下 日 销 售 量 푔(푡)（ 单 位 ： 件 ） 与 上 市 时 间 푡(푡 ∈ 퐍∗)天 的 关 系 满 足 ： 푓(푡) =
1ln ln2 ln2 0.725 5 5 59 ln9 ln10 ln2 ln5 2ln3 0.7 1.6 2 1.1ln10
t
−= × = × = × = ×− + − + − × 35=
50% 35
x ( )f x 12( ) 10lg1 10
xf x −= ×
1
100
1
1000
1000 8%
y x
3
lg 2 0.3010≈ lg3 0.4771≈{ 10푡, 1 ≤ 푡 ≤ 10，
―10푡 + 200, 10 < 푡 ≤ 20， 푔(푡) = ― 푡2 +20푡(1 ≤ 푡 ≤ 20)， 产 品 퐴每 件 的 销 售 利 润 为 ℎ(푡) =
{40, 1 ≤ 푡 ≤ 15，
20, 15 < 푡 ≤ 20 (单位：元)（日销售量 = 线上日销售量 + 线下日销售量）.
（1）设该公司产品퐴的日销售利润为퐹(푡)，写出퐹(푡)的函数解析式；
（2）产品퐴上市的哪几天给该公司带来的日销售利润不低于5000元？
【解析】（1）由题意可得：
当1 ≤ 푡 ≤ 10时，日销售量为10푡 + ( ― 푡2 + 20푡) = ― 푡2 +30푡，日销售利润为：40( ― 푡2 + 30푡)；
当 10 < 푡 ≤ 15时 ， 日 销 售 量 为 ― 10푡 +200 + ( ― 푡2 + 20푡) = ― 푡2 +10푡 +200， 日 销 售 利 润 为 ： 40
( ― 푡2 + 10푡 + 200)；
当 15 < 푡 ≤ 20时 ， 日 销 售 量 为 ― 10푡 +200 + ( ― 푡2 + 20푡) = ― 푡2 +10푡 +200， 日 销 售 利 润 为 ： 20
( ― 푡2 + 10푡 + 200).
综上可得：퐹(푡) = { 40 ⋅ ( ― 푡2 + 30푡)， 1 ≤ 푡 ≤ 10，
40 ⋅ ( ― 푡2 + 10푡 + 200)， 10 < 푡 ≤ 15，
20 ⋅ ( ― 푡2 + 10푡 + 200)，15 < 푡 ≤ 20.
（2）当1 ≤ 푡 ≤ 10时，由40( ― 푡2 +30푡) ≥ 5000，解得5 ≤ 푡 ≤ 10；
当10 < 푡 ≤ 15时，由40( ― 푡2 +10푡 +200) ≥ 5000，解得10 < 푡 ≤ 15；
当15 < 푡 ≤ 20时，20( ― 푡2 +10푡 +200) ≥ 5000，无解.
故第 5 天至第 15 天给该公司带来的日销售利润不低于5000元.
4．十九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽/柴油车，中国正在大力实施一项将
重塑全球汽车行业的计划．2018 年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固
定成本 2500 万元，每生产 x（百辆），需另投入成本 万元，且
．由市场调研知，每辆车售价 5 万元，且全年内生产的车辆当
年能全部销售完．
（1）求出 2018 年的利润 L（x）（万元）关于年产量 x（百辆）的函数关系式；（利润=销售额-成本）
（2）2018 年产量为多少百辆时，企业所获利润最大?并求出最大利润．
考向四 函数模型的比较
( )C x
( )
210 100 0 40
10000501 4500 40
x x x
C x
x xx
+ <
A B y x
4 A B
32mg/m
31.94mg/m
0r 1r
nr ( ) 0.5
0 0 1 )*(5 n p
nr r r r p R n N+− ∈⋅= − ∈，
30.08mg/m
lg 2 0.3=订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已
知该超市某日积压 500 份订单未配货，预计第二天的新订单超过 1600 份的概率为 0.05．志愿者每人每天
能完成 50 份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于 0.95，则至少需要志
愿者
A．10 名 B．18 名
C．24 名 D．32 名
2．【2020 年高考全国Ⅲ卷理数】Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公
布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数 I(t)(t 的单位：天)的 Logistic 模型： ，其
中 K 为最大确诊病例数．当 I( )=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则 约为（ln19≈3）
A．60 B．63
C．66 D．69
3．【2020 年新高考全国Ⅰ卷】基本再生数 R0 与世代间隔 T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一
个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以
用指数模型： 描述累计感染病例数 I(t)随时间 t(单位:天)的变化规律，指数增长率 r 与 R0，T 近
似满足 R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出 R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染
病例数增加 1 倍需要的时间约为(ln2≈0.69)
A．1.2 天 B．1.8 天
C．2.5 天 D．3.5 天
4．【2019 年高考北京理数】李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、
桃，价格依次为 60 元/盒、65 元/盒、80 元/盒、90 元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：
一次购买水果的总价达到 120 元，顾客就少付 x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付
款的 80%．
①当 x=10 时，顾客一次购买草莓和西瓜各 1 盒，需要支付__________元；
②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则 x 的最大值为
__________．
0.23( 53)( )=
1 e tI Kt − −+
*t *t
( e) rtI t =1．【答案】（1）4 时至 9 时出现供水紧张现象；（2） .
【解析】
【分析】
（1）设蓄水量为 y，根据题意求出函数解析式，求解 即可；（2）当每小时向池内注水
千吨时求出函数解析式，利用换元法根据二次函数的图象与性质求出最小值，令最小值大于等于 3 求解
a 即可得 a 的最小值.
【详解】
（1）设蓄水量为 y，根据题意， ， ，
令 ， ，解得 ，则 ，
所以一天内将在 4 时至 9 时出现供水紧张现象.
（2）每小时向池内注水 千吨，则 ，
令 ，则 ， ，
对称轴为 ，因为 ，所以 ，
，
令 ，解得 ，
所以使得供水紧张现象消除的 a 的最小值为 .
【名师点睛】本题考查函数模型的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键，属于中档题.
2．【答案】B
【解析】
【分析】
设 90dB 与 60dB 的声音强度分别为 ，根据 ， 计算即可求解.
【详解】
设 90dB 的声音与 60dB 的声音强度分别为 ，
变式拓展
25
12
3y < ( )2a a >
15 2 10y x x= + − ( )0 24x≤ ≤
15 2 10 3y x x= + − < ( )( )2 3 0x x− − < 2 3x< < 4 9x< <
( )2a a > ( )15 1 0 240y ax x x= ≤ ≤+ −
[0,2 6]t x= ∈ 2x t= ( ) 2 10 15 [0,2 6]f t at t t= − + ∈，
5x a
= 2a > 5 50 2 62a
< < <
( )min 2
5 25 5 2510 15 15f t f aa a a a
= = ⋅ − × + = − +
( )25 15 3 2aa
− + ≥ > 25
12a ≥
25
12
1 2,x x 1( ) 90f x = 2( ) 60f x =
1 2,x x则 ，即 ，解得 .
由 ，即 ，解得 .
因此所求强度之比为 .
故选：B
【点睛】
本题考查了对数的运算法则，对数函数的应用，考查函数在实际问题中的应用，属于容易题.
3．【答案】（1）1166 个；（2） ， ；（3）15 年.
【解析】
【分析】
（1）根据题意求出一年后的只数，再求出两年后的只数即可;
（2）根据珍稀鸟类的现有个数约 只，并以平均每年 的速度增加，列出函数关系即可；
（3）由题意得到不等式 ，化简得到 ，利用对数运算的性质，化简即可
求解.
【详解】
解：（1）依题意，一年后这种鸟类的个数为 ，
两年后这种鸟类的个数为 .
（2）由题意可知珍稀鸟类的现有个数约 只，并以平均每年 的速度增加，
则所求的函数关系式为 ， .
（3）令 ，得： 两边取常用对数得： ，即
考虑到 ，故 ，故
因为
所以
约经过 15 年以后，这种鸟类的个数达到现有个数的 倍或以上.
【点睛】
1( ) 90f x = 1
1210lg 901 10
x
− =×
3
1 10x −=
2( ) 60f x = 2
1210lg 601 10
x
− =×
6
2 10x −=
3
1
6
2
10 100010
x
x
−
−= =
1000 1.08xy = × x∈N
1000 8%
1000 1.08 3 1000x× ≥ × 1.08 3x ≥
1000 1000 8% 1080+ × =
1080 1080 8% 1166+ × ≈
1000 8%
1000 1.08xy = × x∈N
1000 1.08 3 1000x× ≥ × 1.08 3x ≥ lg1.08 lg3x ≥ lg1.08 lg3x ≥
lg1.08 0> lg3
lg1.08x ≥
lg3 lg3
108 lg108 2lg100
x ≥ = −
3 2lg108 lg(3 2 ) 3lg3 2lg 2= × = +
lg3 0.4771 14.33lg3 2lg 2 2 3 0.4771 2 0.301 2x ≥ ≈ ≈+ − × + × −
3本题主要考查了利用指数函数模型解决实际问题，考查学生利用数学知识分析和解决问题的能力，属于
中档题.
4．【答案】（1） ；（2）生产 100 百辆时，该企业获得利润最大，
且最大利润为 1800 万元．
【解析】
【分析】
（1）根据利润的定义，结合投入成本是分段函数，分类讨论求得利润函数.
（2）根据第一问利润函数，分 和 两种情况进行分类讨论，当 时
，用二次函数法求最值，当 时 ，用基本
不等式法求最值，然后这两段中取最大的为函数的最大值即最大利润，此时 x 的取值为最大利润时的产
量.
【详解】
（1）当 时， ；
当 时， ；
∴ ．
（2）当 时， ，
∴当 时， ；
当 时， ，
当且仅当 ，即 时， ；
∴当 时，即 2018 年生产 100 百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为 1800 万元．
【点睛】
本题主要考查了函数的实际应用，还考查了抽象概括和运算求解的能力，属于难题.
5．【答案】C
( )
210 400 2500, 0 40
100002000 , 40
x x x
L x
x xx
− + − < <
= − + ≥
0 40x< < 40x≥ 0 40x< <
2( ) 10( 20) 1500L x x= − − + 40x≥ 10000( ) 2000 ( )= − +L x x x
0 40x< < ( ) 2 25 100 10 100 2500 10 400 2500L x x x x x x= × − − − = − + −
40x≥ 10000 10000( ) 5 100 501 4500 2500 2000 ( )L x x x xx x
= × − − + − = − +
( )
210 400 2500, 0 40
100002000 , 40
x x x
L x
x xx
− + − < <
= − + ≥
0 40x< < 2( ) 10( 20) 1500L x x= − − +
20x = ( ) ( )20 1500maxL x L= =
40x≥ 10000 10000( ) 2000 ( ) 2000 2 2000 200 1800L x x xx x
= − + ≤ − = − =
10000x x
= 100x = ( ) ( )100 1800 1500maxL x L= = >
100x =【解析】
【分析】
观察表中数据，对所给函数进行逻辑推理即可.
【详解】
由题表知，当自变量增加 1 个单位时，函数值依次增加 0.55，0.40，0.16，0.14，0.20，
因此 A、B 不符合题意，当 x 取 1，4 时， 的值分别为 ，与表中数据相差较大.
故选：C.
【点睛】
本题考查函数模型的选取，考查学生逻辑推理与数据分析的能力，是一道容易题.
6．【答案】（1）模型为 较好，理由见解析，相应的函数为 ；（2）8.05 万
件.
【解析】
【分析】
（1）根据单调性排除 ，检验 ，发现数据差距比较大，选择
数据差距较小；
（2）根据（1）计算出的模型方程计算 即可得解.
【详解】
解：（1）符合条件的函数模型是 .
若模型为 ，
由已知得 ，∴ ， ，
∴
所以 ， ，与已知差距较大；
若模型为 ， 为减函数，与已知不符；
若模型为 ，由 ，
∴ ， ，
2 2y x= − 1,14−
( )f x a x b= + 3 5( ) 2 2f x x= +
0.5( ) logf x x a= + ( ) 2xf x a b= × +
( )f x a x b= +
(6)f
( )f x ax b= +
( ) 2xf x a b= × +
(1) 4
(3) 7
f
f
=
=
2 4
8 7
a b
a b
+ =
+ =
1
2a = 3b =
1( ) 2 32
xf x = × +
(2) 5f = (4) 11f =
0,5( ) logf x x a= + ( )f x
( )f x a x b= + (1) 4
(3) 7
f
f
=
=
4
3 7
a b
a b
+ =
+ =
3
2a = 5
2b =∴ ，所以 ， ，与已知符合较好.
所以相应的函数为 .
（2）2020 年预计年产量为
，所以 2020 年产量应为 8.05 万件.
【点睛】
此题考查函数模型的应用，根据拟合效果决策选择的函数模型，并利用模型进行预测.
1．【答案】C
【解析】
由表可知： 随着 的增大而增大，所以 B 不适合；
对于 A， ，所以 A 不接近；
对于 C， , C 接近；
对于 D， D 不接近.
故选 C.
2．【答案】C
【解析】
【分析】
设 ，则 ，再根据对数运算，即可得答案；
【详解】
设 ， ，
，
故选：C.
【点睛】
3 5( ) 2 2f x x= + (2) 5.5f = (4) 8.5f =
3 5( ) 2 2f x x= +
3 5(6) 6 11.52 2f = × + =
11.5 (1 30%) 8.05× − =
考点冲关
v t
2 2log 1.99 2,log 23 0.3,log 4 2≈ ≈ =
2 2 2 21,99 1 3 1 4 1 5.1 11.5, 4, 7.5, 12.52 2 2 2
− − − −≈ = = ≈
26.12 1 18.2.2
− ≈
2 1.99 2 1.98,2 3 2 4,2 4 2 6,2 5.1 2 8.2,2 6.12 2 10.24.× − = × − = × − = × − = × − =
3log 100
Qv k= ⋅ 3
8901 log 100k= ⋅
3log 100
Qv k= ⋅ 3
8901 log 100k= ⋅
∴
23 2
3 3 3
3
log 890 8901002 log 2 log ( ) log 7921890100 100 100 100log 100
Q
Q Qk Q= ⋅ ⇒ = ⇒ = ⇒ = =本题考查利用对数运算法则求解实际问题，考查逻辑推理能力、运算求解能力.
3．【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意函数需满足当 时，是增函数，且 ，且 ，依此用四个函数逐一检验，
只有函数 满足要求.
【详解】
解：对于函数： ，当 时， ，不符合题意；
对于函数： ，当 时， ，不符合题意；
对于函数： ，不满足递增，不符合题意；
对于函数： ，满足 ，增函数，
且 ，
结合图象， 与 的图象如图所示：
所以符合题意，
故选：D.
【点睛】
本题结合现实生活情境，考查了函数模型的应用，解题关键在于弄清题目给定规划，依此用四个函数逐
( ]6,100x∈ 3y ≤ 1
5y x≤
( )11log 3 10x= −
0.04y x= 100x = 4 3y = >
1.015 1xy = − 100x = 3.432 3y = >
tan 119
xy = −
( )11log 3 10y x= − ( ]6,100x∈
( )11 11 11log 3 100 10 log 290 log 1331 3y ≤ × − = < =
1
5y x= ( )11log 3 10y x= −一检验，属于中档题．
4．【答案】B
【解析】
【分析】
根据函数模型，列出关系式，进而结合对数的运算性质，可求出答案.
【详解】
由题意， ， ，
则 ，即 ，
所以 ，即普通列车的声强是高速列车声强的 倍.
故选：B.
【点睛】
本题考查函数模型、对数的运算，属于基础题.
5．【答案】C
【解析】
【分析】
列出函数模型 ，根据题意，列出不等式，求解即可.
【详解】
因为 ，故喝酒后驾驶员 血液中酒精含量为 .
不妨设喝酒后经过的时间为 ， 小时后 血液中酒精含量为 ，
故可得 .
根据题意，若想安全驾驶，则 ，
即可得 ，
即 ，
1295 10lg 10
I
−
=
普
1245 10lg 10
I
−
=
高
12 12
95 45 lg lg lg10 10 10 10
I I I
I− −
− = − =
普 高 普
高
5 lg I
I
= 普
高
510I
I
=普
高
510
( )160 1 0.3 ny = −
1.6 100 160× = 100mL 160mg
n n 100mL y
( )160 1 0.3 ny = −
20y <
160 (1 0.3) 20n× − <
10.7 8
n
n
6n
0x = 8
0 270ba + = 8 180k ba + =
8
8 2
3
k b
k
b
aa a
+
= =
( ) 3
324 8 2 270 803
k b k ba a a+ = = × =
24 C°
0.590 e 14 20
2
x
x
− ⋅ + <
≥令 ，故 ，
所以 ，
故选：B.
【点睛】
本题考查指分段函数在实际中的应用，注意根据散点图选择合适的函数解析式来进行计算，本题属于基
础题.
8．【答案】D
【解析】
【分析】
根据图像，求出指数函数的解析式，再对每个选项进行逐一分析即可.
【详解】
设面积与时间的函数关系为：
由图可知，函数过点 ，故可解得 ，则 .
对①：由函数解析式的求解过程，即可判定底数 ，故①正确；
对②：令 ，则 ，即面积超过 ，故②正确；
对③：令 分别为： ，可解的 ，
则 ，故③正确.
综上所述，正确的有①②③.
故选：D.
【点睛】
本题考查指数型函数模型的应用，涉及待定系数法，对数的运算，属基础题.
9．【答案】①
【解析】
【分析】
把给出的三个模型分别验证，即可找出一个比较合适的模型即可.
【详解】
0.590 e 14 20
2
x
x
− ⋅ + <
≥
0.5 1e 15
2
x
x
− ≈ × =
( 0, 1)xy a a a= > ≠
( )1,2 2a = 2xy =
2a =
5x = 52 32 30y = = > 230m
y 2,3,6 1 2 2 3 21, log 3, log 6t t t= = =
1 2 2 3log 6t t t+ = =符合条件的是① ，
若模型为 ，则由 ，得 ，
即 ，
此时 ， ， ，与已知相差太大，不符合，
若模型为 ，则 是减函数，与已知不符合，
故答案为：①.
【点睛】
本题考查了常见函数模型的应用，需掌握常见函数的性质，属于基础题.
10．【答案】
【解析】由题意可得，当广告费为 万元时， ，产品的生产成本为 （万元），每件
销售价为 （元）， 年销售收入为 （万元）， 年利
润为 （万元），若不投入广告费，则 ，产品的生产成本为 （万元），
每件销售价为 （元）， 年销售收入为 （万元）， 年利润为 （万元），
故企业甲产品的年利润比不投入广告费时的年利润增加了 万元，故答案为 ．
11．【答案】（1）产品应控制在大于 100 台，小于 820 台的范围内；（2）当工厂生产 400 台产品时，赢
利最多
【解析】
【分析】
（1）当 时，解不等式 ；当 时，解不等式 ，两种情
况求并集即可得结果；（2） 时， ，故当 时， 有最大
值 ，而当 时， ，由此可知当工厂生产 400 台产品时，贏利最多.
【详解】
依题意， .设利润函数为 ，则
.
（1）要使工厂有赢利，即解不等式 ，当 时，
( )f x ax b= +
( ) 2xf x a= + ( )1 2 4f a= + = 2a =
( ) 2 2xf x = +
( )2 6f = ( )3 10f = ( )4 18f =
( ) 1
2
logf x x a= + ( )f x
14.5
1 2y = 30 4 64y + =
64 10 0150 50 48.250 02 2
× + × = ∴ 48.25 2 96.5× = ∴
96.5 64 1 31.5− − = 1y = 30 4 34+ =
034 150 510× = ∴ 51 ∴ 51 34 17− =
31.5 17 14.5− = 14.5
0 5x≤ ≤ 20.4 3.2 2.8 0x x− + − > 5x > 8.2 0x− >
0 5x≤ ≤ ( ) ( )20.4 4 3.6f x x= − − + 4x = ( )f x
3.6 5x > ( ) 8.2 5 3.2f x < − =
( ) 2G x x= + ( )f x
( ) ( ) ( ) ( )20.4 3.2 2.8 0 5
8.2 ( 5)
x x xf x R x G x
x x
− + − ≤ ≤= − = − >
( ) 0f x > 0 5x≤ ≤解不等式 ．
即 .
∴ ∴ ，
当 x>5 时，解不等式 ，
得 ， ∴ ，
综上所述，要使工厂赢利， 应满足 ，
即产品应控制在大于 100 台，小于 820 台的范围内．
（2） 时， 故当 时， 有最大值 3.6.
而当 时，
所以，当工厂生产 400 台产品时，赢利最多.
【点睛】
本题主要考查阅读能力及建模能力、分段函数的解析式，属于难题.与实际应用相结合的题型也是高考
命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、
仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.理解本题题意的关键是构造分
段函数，构造分段函数时，做到分段合理、不重不漏，分段函数的最值是各段的最大(最小)者的最大者
(最小者).
12．【答案】（1）50 元；（2）当每瓶售价 18 元时，下月的月总利润最大，最大总利润为 46.3 万元．
【解析】
【分析】
（1）设每瓶定价为 元，依题意，有 ，求解即可；
（2）设每瓶定价为 元，月总利润为 ，得到函数的解析式，化简利用基本不等式求解最
值即可.
【详解】
（1）解：设每瓶定价为 元，依题意，
有 ，
整理得 ，解得 ．
因此要使销售的总收入不低于原收入，每瓶定价最多为 50 元．
（2）设每瓶定价为 元，月总利润为 ，则
20.4 3.2 2.8 0x x− + − >
2 8 7 0x x− + <
1 7x< < 1 5x< ≤
8.2 0x− >
8.2x < 5 8.2x< <
x 1 8.2x< <
0 5x≤ ≤ ( ) ( )20.4 4 3.6f x x= − − + 4x = ( )f x
5x > ( ) 8.2 5 3.2f x < − =
t ( ) ( )8 15 0.2 10 5 8t t− − × − ≥ ×
( )16x x ≥ ( )f x
t
( ) ( )8 15 0.2 10 5 8t t− − × − ≥ ×
2 65 750 0t t− + ≤ 15 50t≤ ≤
( )16x x ≥ ( )f x．
当且仅当 ，即 ，
∴ 或 （舍去），∴ ．
因此当每瓶售价 18 元时，下月的月总利润最大，最大总利润为 46.3 万元．
【点睛】
此题考查函数问题的实际应用，函数的解析式的求法以及基本不等式求解最值的应用，属于中档题.
13．【答案】（1）对于 芯片，毛收入 与投入 的资金关系为： ；对于 芯片，毛收入
与投入 的资金关系为： .（2）9 千万元.
【解析】
【分析】
（1）对于 芯片，
可设 ，利用题设条件可求 ，对于 芯片，根据图象可得关于 的方程，解方
程后可得函数的解析式.
（2）设对 芯片投入资金 （千万元），则对 芯片投入资金 （千万元），则利润
，利用换元法可求该函数的最大值.
【详解】
（1）因为生产 芯片的毛收入与投入的资金成正比，故设 ，
2
0.45 33( ) ( 10) 8 ( 15) ( 16)( 15) 4f x x x xx
= − − − − − −
0.45 33( 10) 8 132( 15) 4x xx
= − − − + −
1 0.45 4.5 524 15 15
xx x x
= − − + +− −
1 0.45( 15 15) 4.5( 15 15) 524 15 15
xx x x
− += − − + − + +− −
1 2.25( 15) 47.84 15x x
= − − + + −
1 2.252 ( 15) 47.84 15x x
≤ − − +−
46.3=
1 2.25( 15)4 15x x
− = − ( )215 9x − =
15 3x − = 15 3x − = − 18x =
A y x ( )1 04y x x= > B
y x ( 0)y x x= >
A
( )0y mx x= > 1
4m = B ,k a
B x A 40 x−
40 24
xL x
−= + −
A ( )0y mx x= >因为每投入 千万元，公司获得毛收入 千万元，故 ，所以 ，
因此对于 芯片，毛收入 与投入 的资金关系为： .
对于 芯片，由图像可知， ，故 .
因此对于 芯片，毛收入 与投入 的资金关系为： .
（2）设对 芯片投入资金 （千万元），则对 芯片投入资金 （千万元），
假设利润为 ，则利润 .
令 ，则 ，
当 即 （千万元）时，有最大利润为 （千万元）.
答：当对 芯片投入 亿，对 芯片投入 千万元时，有最大利润 千万元.
【点睛】
本题考查无理函数在实际中的应用，注意根据解析式的形式换元求最大值，本题属于基础题.
14．【答案】（1） ；（2）6 次.
【解析】
【分析】
（1）先阅读题意，再解方程求出函数模型对应的解析式即可；
（2）结合题意解指数不等式即可.
【详解】
解:（1）由题意得 , ,
所以当 时, ,
即 ,解得 ,
所以 ,
故改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型为 .
（2）由题意可得, ,
1 0.25 1 14 m= × 1
4m =
A y x ( )1 04y x x= >
B
1
2 4a
k
k
=
=
1
2
1
a
k
=
=
B y x ( 0)y x x= >
B x A 40 x−
L 40 2,0 404
xL x x
−= + − < <
( )0,2 10t x= ∈ ( )221 18 2 94 4L t t t= − + + = − − +
2t = 4x = 9
A 3.6 B 4 9
( )0.5 0.5 *2 0.06 5 n
nr n N−= − × ∈
0 2r = 1 1.94r =
1n = ( ) 0.5
1 0 0 1 5 pr r r r += − − ⋅
0.51.94 2 (2 1.94) 5 p+= − − ⋅ 0.5p = −
0.5 0.52 0.06 5 *( )n
nr n−= − × ∈N
( )0.5 0.5 *2 0.06 5 n
nr n−= − × ∈N
0.5 0.52 0.06 5 0.08n
nr −= − × ≤整理得, ,即 ,
两边同时取常用对数,得 ,
整理得 ,
将 代入,得 ,
又因为 ,所以 .
综上,至少进行 6 次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标.
【点睛】
本题考查了函数的应用，重点考查了阅读能力及解决问题的能力，属中档题.
1．【答案】B
【解析】由题意，第二天新增订单数为 ，设需要志愿者 x 名，
， ,故需要志愿者 名.
故选：B
【点晴】本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题.
2．【答案】C
【解析】 ，所以 ，则 ，
所以， ，解得 .
故选：C．
【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.
3．【答案】B
【解析】因为 ， ， ，所以 ，所以 ，
设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加 1 倍需要的时间为 天，
0 5 0 5. . 1 95 0
.
.
2
0 6
n− ≥ 0.5 0.55 32n− ≥
lg320 5 0 5 5. lg. n − ≥
5lg22 11 lg2n ≥ × +−
lg 2 0.3= 5lg2 302 1 1 5.31 lg2 7
× + = + ≈−
*n∈N 6n ≥
直通高考
500 1600 1200 900+ − =
50 0.95900
x ≥ 17.1x ≥ 18
( ) ( )0.23 531 t
KI t
e− −=
+ ( ) ( )0.23 53
0.95
1 t
KI t K
e
∗
∗
− −
= =
+
( )0.23 53 19te
∗ − =
( )0.23 53 ln19 3t∗ − = ≈ 3 53 660.23t∗ ≈ + ≈
0 3.28R = 6T = 0 1R rT= + 3.28 1 0.386r
−= = ( ) 0.38rt tI t e e= =
1t则 ，所以 ，所以 ，
所以 天.
故选：B．
【点睛】本题考查了指数型函数模型的应用，考查了指数式化对数式，属于基础题.
4．【答案】①130；②15
【解析】① 时，顾客一次购买草莓和西瓜各一盒，需要支付 元.
②设顾客一次购买水果的促销前总价为 元，
当 元时，李明得到的金额为 ，符合要求；
当 元时，有 恒成立，
即 ，
因为 ，所以 的最大值为 .
综上，①130；②15.
【名师点睛】本题主要考查函数的最值，不等式的性质及恒成立，数学的应用意识，数学式子变形与
运算求解能力.以实际生活为背景，创设问题情境，考查学生身边的数学，考查学生的数学建模素养.
10.38( ) 0.382t t te e+ = 10.38 2te = 10.38 ln 2t =
1
ln 2 0.69 1.80.38 0.38t = ≈ ≈
10x = ( )60 80 10 130+ − =
y
120y < 80%y×
120y ≥ ( ) 80% 70%y x y− × ≥ ×
( )8 7 , 8
yy x y x− ≥ ≤
min
158
y = x 15
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