考点11 导数的概念及计算-备战2021年高考数学（理）一轮复习考点一遍过

考点 11 导数的概念及计算 考点解读 导数的计算是导数模块知识掌握的基础，必须熟练掌握，高考中特别是对导数的几何意义的考查常会单独 命题，具体要求如下： 1．导数概念及其几何意义 （1）了解导数概念的实际背景. （2）理解导数的几何意义. 2．导数的运算 （1）能根据导数定义求函数 y=C（C 为常数） y ? x , y ? x , y ? x , y ? ， 2 3 1 x ,y ? x 的导数. （2） 能利用下面给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数， 能求简单的 复合函数（仅限于形如 f(ax+b)的复合函数）的导数. ? 常见基本初等函数的导数公式： ( C ) ? ? 0 ( C 为 常 数 ); ( x ) ? ? n x n n ?1 ,n? N? ； (s in x ) ? ? c o s x ; (c o s x ) ? ? ? s in x x x x x ； ( e ) ? ? e ; ( a ) ? ? a ln a ( a ? 0 , 且 a ? 1) ； (ln x ) ? ? 1 x ; (lo g a x ) ? ? 1 x lo g a e ( a ? 0 , 且 a ? 1) . ? 常用的导数运算法则： 法则 1： ? u ? x ? ? v ? x ? ? ?＝ u ? ? x ? ? v ? ? x ? . ? ? 法则 2： ? u ? x ?? ? x ? ? ?＝ u ? ? x ? v ? x ? ＋ u ? x ? v ? ? x ? . v ? ? 法则 3： [ u(x) v(x) ]? ? u ?( x ) v ( x ) ? u ( x ) v ?( x ) v (x) 2 (v ( x ) ? 0) . 一、导数的概念 1．平均变化率 函数 y ? f ( x ) 从 x 1 到 x 2 的平均变化率为 ?y ?x f ( x 2 ) ? f ( x1 ) x 2 ? x1 ，若 ? x ? x 2 ? x1 ， ? y ? f ( x 2 ) ? f ( x 1 ) ，则平 均变化率可表示为 2．瞬时速度 . 一般地，如果物体的运动规律可以用函数 s ? s ( t ) 来描述，那么，物体在时刻 t 的瞬时速度 v 就是物体在 t 到 t ? ? t 这段时间内，当 ? t 无限趋近于 0 时， ?s ?t 无限趋近的常数. 3．瞬时变化率 ?y ?x f ( x0 + ? x ) ? f ( x0 ) ?x 定义式 ?x? 0 lim ? lim ?x? 0 实质 瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于 0 时，平均变化率趋近的值 作用 刻画函数在某一点处变化的快慢 4．导数的概念 一般地，函数 y ? f ( x ) 在 x ? x 0 处的瞬时变化率是 lim ?y ?x ?x? 0 ? lim f ( x0 + ? x ) ? f ( x0 ) ?x ?y ?x ? lim ，我们称它为函 ?x? 0 数 y ? f ( x ) 在 x ? x 0 处的导数，记作 f ? ( x 0 ) 或 y ? | x ? x ，即 f ? ( x 0 ) ? lim 0 f ( x0 + ? x ) ? f ( x0 ) ?x ?x? 0 ?x? 0 . 【注】函数 y ? f ( x ) 在 x ? x 0 处的导数是 y ? f ( x ) 在 x ? x 0 处的瞬时变化率. 5．导函数的概念 如果函数 y ? f ( x ) 在开区间(a，b)内的每一点都是可导的，则称 f ( x ) 在区间(a，b)内可导．这样，对开 区间(a，b)内的每一个值 x，都对应一个确定的导数 f ? ( x ) ，于是在区间(a，b)内 f ? ( x ) 构成一个新的函 数 ， 我 们 把 这个 函 数 称为 函 数 y ? f ( x ) 的 导 函 数 ( 简 称 导数 )， 记 为 f ? ( x ) 或 y ? ， 即 f ? ( x ) ? y ? ? lim f ( x + ? x) ? ?x f ( x) ?x? 0 . 二、导数的几何意义 函数 y ? f ( x ) 在 x ? x 0 处的导数 f ? ( x 0 ) 就是曲线 y ? f ( x ) 在点 ( x 0 , f ( x 0 ) ) 处的切线的斜率 k ，即 k ? f ? ( x 0 ) ? lim f ( x0 + ? x ) ? f ( x0 ) ?x ?x? 0 . 【注】曲线的切线的求法：若已知曲线过点 P(x0，y0)，求曲线过点 P 的切线，则需分点 P(x0，y0)是切点 和不是切点两种情况求解． （1）当点 P(x0，y0)是切点时，切线方程为 y?y0=f′(x0)(x?x0)； （2）当点 P(x0，y0)不是切点时，可分以下几步完成： 第一步：设出切点坐标 P′(x1，f(x1))； 第二步：写出过 P′(x1，f(x1))的切线方程为 y?f(x1)=f′ (x1)(x?x1)； 第三步：将点 P 的坐标(x0，y0)代入切线方程求出 x1； 第四步：将 x1 的值代入方程 y?f(x1)=f′(x1)(x?x1)，可得过点 P(x0，y0)的切线方程． 三、导数的计算 1．基本初等函数的导数公式 函数 f(x)=C(C 为常数) f ( x)=x (n ? N ) n * 导数 f ?( x ) =0 (n ? N ) * f ?( x ) = n x n ?1 f(x)=sinx f(x)=cosx f ( x ) ? a ( a > 0 且 a ? 1) x f ?( x ) = c o s x f ? ( x ) = ? s in x f ? ( x ) ? a ln a ( a > 0 且 a ? 1) x f (x) ? e x f ?( x ) ? e 1 x ln a x f ( x ) ? lo g a x ( a ? 0 且 a ? 1) f ?( x ) = ( a ? 0 且 a ? 1) f(x)=lnx f ?( x ) = 1 x 2．导数的运算法则 （1） ? u ? x ? ? v ? x ? ? ?＝ u ? ? x ? ? v ? ? x ? . ? ? （2） ? u ? x ?? ? x ? ? ?＝ u ? ? x ? v ? x ? ＋ u ? x ? v ? ? x ? . v ? ? （3） [ u(x) v(x) ]? ? u ?( x ) v ( x ) ? u ( x ) v ?( x ) v (x) 2 (v ( x ) ? 0) . 3．复合函数的导数 复合函数 y=f(g(x))的导数和函数 y=f(u)，u=g(x)的导数间的关系为 yx′=yu′?ux′，即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积． 考向一导数的计算 1．导数计算的原则和方法 （1）原则：先化简解析式，使之变成能用八个求导公式求导的函数的和、差、积、商，再求导． （2）方法： ①连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导； ②分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导； ③对数形式：先化为和、差的形式，再求导； ④根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导； ⑤三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导. 2．求复合函数的导数的关键环节和方法步骤 （1）关键环节： ①中间变量的选择应是基本函数结构； ②正确分析出复合过程； ③一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导； ④善于把一部分表达式作为一个整体； ⑤最后结果要把中间变量换成自变量的函数. （2）方法步骤： ①分解复合函数为基本初等函数，适当选择中间变量； ②求每一层基本初等函数的导数； ③每层函数求导后，需把中间变量转化为自变量的函数. 典例 1 求下列函数的导函数： （1） y ? x 4 ? 3 x 2 ? 5 x ? 6 ；