考点 12 导数的应用
考点解读
导数的应用是高考考查的重点，也是考查的难点，是解答题必考题型，在复习过程中，我们要特别掌握以
下几点：
1．导数在研究函数中的应用
（1）了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函
数一般不超过三次）.
（2）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函
数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）.
2．生活中的优化问题
会利用导数解决某些实际问题.
一、导数与函数的单调性
一般地，在某个区间(a，b)内：
（1）如果 ，函数 f (x)在这个区间内单调递增;
（2）如果 ，函数 f (x)在这个区间内单调递减;
（3）如果 ，函数 f (x)在这个区间内是常数函数．
注意：（1）利用导数研究函数的单调性，要在函数的定义域内讨论导数的符号；
（2）在某个区间内， ( )是函数 f (x)在此区间内单调递增(减)的充分条件，而不是必
要条件.例如，函数 在定义域 上是增函数，但 .
（3）函数 f (x)在(a，b)内单调递增(减)的充要条件是 ( )在(a，b)内恒成立，且
在(a，b)的任意子区间内都不恒等于 0.这就是说，在区间内的个别点处有 ，不影响函数 f (x)
在区间内的单调性.
二、利用导数研究函数的极值和最值
1．函数的极值
一般地，对于函数 y=f (x)，
( ) 0f x′ >
( ) 0f x′ <
( )=0f x′
( ) 0f x′ > ( ) 0f x′ <
3( )f x x= ( , )−∞ +∞ 2( ) 3 0f x x′ = ≥
( ) 0f x′ ≥ ( ) 0f x′ ≤ ( )f x′
( ) 0f x′ =（1）若在点 x=a 处有 f ′(a)=0，且在点 x=a 附近的左侧 ，右侧 ，则称 x=a 为 f (x)的
极小值点， 叫做函数 f (x)的极小值.
（2）若在点 x=b 处有 =0，且在点 x=b 附近的左侧 ，右侧 ，则称 x=b 为 f (x)
的极大值点， 叫做函数 f (x)的极大值．
（3）极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值.
2．函数的最值
函数的最值，即函数图象上最高点的纵坐标是最大值，图象上最低点的纵坐标是最小值，对于最值，我
们有如下结论：一般地，如果在区间 上函数 的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有
最大值与最小值.
设函数 在 上连续，在 内可导，求 在 上的最大值与最小值的步骤为：
（1）求 在 内的极值；
（2）将函数 的各极值与端点处的函数值 ， 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一
个是最小值.
3．函数的最值与极值的关系
（1）极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间 的整体而言；
（2）在函数的定义区间 内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或
者没有）；
（3）函数 f (x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点；
（4）对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得.
三、生活中的优化问题
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题.导数是求函数
最值问题的有力工具.
解决优化问题的基本思路是：
( ) 0f ' x < ( ) 0f ' x >
( )f a
( )f ' b ( ) 0f ' x > ( ) 0f ' x <
( )f b
[ , ]a b ( )y f x=
( )f x [ , ]a b ( , )a b ( )f x [ , ]a b
( )f x ( , )a b
( )f x ( )f a ( )f b
[ , ]a b
[ , ]a b考向一 利用导数研究函数的单调性
1．利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性，实质上就是判断或证明不等式
（ ）在给定区间上恒成立．一般步骤为：
（1）求 f ′(x)；
（2）确认 f ′(x)在(a，b)内的符号；
（3）作出结论， 时为增函数， 时为减函数．
注意：研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．
2．在利用导数求函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解题过程中，只能在定义域内讨论，定义
域为实数集 可以省略不写.在对函数划分单调区间时，除必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定
义域内的不连续点和不可导点.
3．由函数 的单调性求参数的取值范围的方法
（1）可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上 (或 )( 在该区间的
任意子区间内都不恒等于 0)恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值
范围；
（2）可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是 (或 )在该区间上存在解集，
这样就把函数的单调性问题转化成了不等式问题；
（3）若已知 在区间 I 上的单调性，区间 I 中含有参数时，可先求出 的单调区间，令 I 是其
单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围.
4．利用导数解决函数的零点问题时，一般先由零点的存在性定理说明在所求区间内至少有一个零点，再利
用导数判断在所给区间内的单调性，由此求解.
典例 1 函数 y= x2 lnx 的单调递减区间为
A．（ 1,1] B．（0,1]
C．[1，+∞） D．（0，+∞）
( ) 0f x′ >
( ) 0f x′ <
( ) 0f x′ > ( ) 0f x′ <
R
( )f x
( ) 0f x′ ≥ ( ) 0f x′ ≤ ( )f x′
( ) 0f x′ > ( ) 0f x′ <
( )f x ( )f x
1
2
−
−【答案】B
【解析】对函数 求导，得 （x>0），令 解得 ，因此函
数 的单调减区间为 ，故选 B.
【名师点睛】本小题考查导数问题，意在考查考生利用导数求函数单调区间，注意函数本身隐含的定义域.
典例 2 已知函数 .
（1）当 时，求函数 的单调递增区间；
（2）若函数 在 上单调递增，求实数 的取值范围.
【解析】由题意得： 的定义域为 ，
（1）当 时， ，则 ，
当 时， ；当 时， ，
的单调递增区间为： .
（2） .
①当 时， 在 上恒成立，
在 上单调递增，可知 满足题意；
②当 时， ，
当 时， ；当 时， ，
在 上单调递减；在 上单调递增，不满足题意.
综上所述： .
【名师点睛】本题考查利用导数求解函数的单调区间、根据函数在区间内的单调性求解参数取值范围的问
题，关键是能够明确导数和函数单调性之间的关系，根据导函数的符号来确定函数的单调性.
21 ln2y x x= − 21 1xy x x x
=′ −= −
2 1 0
0
x
x
x
− ≤
>
(0,1]x∈
21 ln2y x x= − (0,1]
21( ) ln ( 1) 12f x a x x a x= + + + +
1a = − ( )f x
( )f x (0, )+∞ a
( )f x (0, )+∞
1a = − ( ) 21ln 12f x x x= − + + ( ) ( )21 1 0xf x x xx x
−′ = − + = >
∴ ( )0,1x∈ ( ) 0f x′ < ( )1,x∈ +∞ ( ) 0f x′ >
( )f x∴ ( )1,+∞
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2 1 11 0x a x a x a xaf x x a xx x x
+ + + + +′ = + + + = = >
0a ≥ ( ) 0f x′ > (0, )+∞
( )f x∴ (0, )+∞ 0a ≥
0a < 0a− >
∴ ( )0,x a∈ − ( ) 0f x′ < ( ),x a∈ − +∞ ( ) 0f x′ >
( )f x∴ ( )0, a− ( ),a− +∞
[ )0,a∈ +∞1．若 ，则
A． B．
C． D．
2．已知 ．
（1）当 时，求 的单调区间；
（2）若 在 上为单调递增函数，求 的取值范围.
考向二 利用导数研究函数的极值和最值
1．函数极值问题的常见类型及解题策略
（1）函数极值的判断：先确定导数为 0 的点，再判断导数为 0 的点的左、右两侧的导数符号．
（2）求函数 极值的方法：
①确定函数 的定义域．
②求导函数 ．
③求方程 的根．
④检查 在方程的根的左、右两侧的符号，确定极值点．如果左正右负，那么 在这个根处取
得极大值；如果左负右正，那么 在这个根处取得极小值；如果 在这个根的左、右两侧符号
不变，则 在这个根处没有极值．
（3）利用极值求参数的取值范围：确定函数的定义域，求导数 ，求方程 的根的情况，
得关于参数的方程(或不等式)，进而确定参数的取值或范围.
2．求函数 f (x)在[a，b]上最值的方法
（1）若函数 f (x)在[a，b]上单调递增或递减，f (a)与 f (b)一个为最大值，一个为最小值．
（2）若函数 f (x)在区间(a，b)内有极值，先求出函数 f (x)在区间(a，b)上的极值，与 f (a)、f (b)比较，其
中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
（3）函数 f (x)在区间(a，b)上有唯一一个极值点时，这个极值点就是最大(或最小)值点．
注意：（1）若函数中含有参数时，要注意分类讨论思想的应用.
1 2 1x x> >
1 2
2 1e ex xx x> 1 2
2 1e ex xx x<
2 1 1 2ln lnx x x x> 2 1 1 2ln lnx x x x<
( ) ( )( )2 2cos sin cosf x x x k x x x k= − − + ∈R
0k = ( )f x
( )f x π0, 2
k
( )f x
( )f x
( )f x′
( ) 0f x′ =
( )f x′ ( )f x
( )f x ( )f x′
( )f x
( )f x′ ( ) 0f x′ =（2）极值是函数的“局部概念”，最值是函数的“整体概念”，函数的极值不一定是最值，函数的最值也
不一定是极值.要注意利用函数的单调性及函数图象直观研究确定.
3．利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法：
（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，
根据要求得所求范围.一般地， 恒成立，只需 即可； 恒成立，只需
即可.
（2）函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，
然后构建不等式求解.
典例 3 若函数 有极大值和极小值，则 的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】 ，则 .
因为 有极大值和极小值，所以 有两个不等的实数根.
所以 ，即 ，解得 或 .
所以所求 的取值范围是 .
故选 D.
【名师点睛】本题考查函数的极值与导数.三次多项式函数有极大值和极小值的充要条件是其导函数(二次函
数)有两个不等的实数根.求解时，三次函数 有极大值和极小值，则 有两个不等的实数根，答
案易求.
典例 4 已知函数 ．
（1）当 时，试判断函数 的单调性；
（2）若 ，求证：函数 在 上的最小值小于 ．
( )f x a≥ min( )f x a≥ ( )f x a≤
max( )f x a≤
( )3 2( ) 6 1f x x ax a x= + + + + a
( )1,2− ( ) ( ), 1 2,−∞ − +∞
( )3,6− ( ) ( ), 3 6,−∞ − +∞
( )3 2( ) 6 1f x x ax a x= + + + + ( )2( ) 3 2 6f x x ax a′ = + + +
( )f x ( )2( ) 3 2 6 0f x x ax a′ = + + + =
( )24 12 6 0a a= − + >∆ 2 3 18 0a a− − > 3a < − 6a >
a ( , 3) (6, )−∞ − +∞
( )f x ( ) 0f x′ =
21( ) e 2
xf x axx = − +
1a > − ( )f x
1 ea < − ( )f x [1, )+∞ 1
2【解析】（1）由题可得 ，
设 ，则 ，
所以当 时 ， 在 上单调递增，
当 时 ， 在 上单调递减，
所以 ，
因为 ，
所以 ，即 ，
所以函数 在 上单调递增．
（2）由（1）知 在 上单调递增，
因为 ，
所以 ，
所以存在 ，使得 ，即 ，即 ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以当 时 ，
令 ， ，则 恒成立，
所以函数 在 上单调递减，
所以 ，
所以 ，即当 时 ，
故函数 在 上的最小值小于 ．
3．已知函数 ．
（1）当 时，求 的最小值；
（2）若函数 在 上存在极值点，求实数 的取值范围．
考向三 （导）函数图象与单调性、极值、最值的关系
( ) exf ' xx a= − +
( ) ( ) exx xg f ' x a= = − + ( ) e 1xg x′ = −
0x > ( ) 0g x′ > ( )f ' x (0, )+∞
0x < ( ) 0g x′ < ( )f ' x ( ,0)−∞
( ) ( 10)f ' f 'x a≥ = +
1a > −
1 0a+ > ( ) 0f ' x >
( )f x R
( )f ' x [1, )+∞
1 ea < −
( ) e 11 0f ' a= − + <
(1, )t ∈ +∞ ( ) 0f ' t = e 0t t a− + = eta t= −
( )f x [1, )t ( , )t +∞
[1, )x∈ +∞ 2 2 2
min
1 1 1( ) ( ) e e ( e ) e (1 )2 2 2
t t t tf f t at t t t t tx t= = − + = − + − = − +
21( ) e (1 ) 2
xh x xx = − + 1x > ( ) (1 e ) 0xh' x x= − <
( )h x (1, )+∞
21 1( ) e(1 1) 12 2h x < − + × =
21 1e (1 ) 2 2
t t t− + < [1, )x∈ +∞ min
1( ) 2xf <
( )f x [1, )+∞ 1
2
( ) ( )2 2 4xf x x e ax ax a= + + ∈R
1a = ( )f x
( )f x ( )0,+∞ a1．导数与函数变化快慢的关系：如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变
化得快，这时函数的图象就比较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数的图象就“平缓”一些.
2．导函数为正的区间是函数的增区间，导函数为负的区间是函数的减区间，导函数图象与 x 轴的交点的横
坐标为函数的极值点.
典例 5 设函数 （ ， ， ），若函数 在 处取得极值，则下列
图象不可能为 的图象是
【答案】D
【解析】 ，因为函数 在 处取得极值，
所以 是 的一个根，整理可得 ，所以 ，对称轴为
.
对于 A，由图可得 ，适合题意；
对于 B，由图可得 ，适合题意；
对于 C，由图可得 ，适合题意；
对于 D，由图可得 ，不适合题意，
故选 D.
4．已知函数 ，其导函数 的图象经过点 、 ，如图所示，则下列
命题正确的是（ ）
2( )f x ax bx c= + + a b c∈R ( )exy f x= 1x = −
( )y f x=
2( )e ( )e e [ (2 ) ]x x xy f x f x ax a b x b c′ ′= + = + + + + ( )exy f x= 1x = −
1x = − 2 (2 ) 0ax a b x b c+ + + + = c a= 2( )f x ax bx a= + +
, ( 1) 2 , (0)2
bx f a b f aa
= − − = − =
0, (0) 0, ( 1) 0a f f> > − =
0, (0) 0, ( 1) 0a f f< < − =
0, (0) 0, 0 0, ( 1) 02
ba f x b fa
< < = − > ⇒ > ∴ − <
0, (0) 0, 1 2 , ( 1) 02
ba f x b a fa
> > = − < − ⇒ > ∴ − <
( ) 3 2f x ax bx cx= + + ( )y f x′= ( )1,0 ( )2,0A．当 时函数取得极小值 B． 有两个极大值点
C． D．
考向四 生活中的优化问题
1．实际生活中利润最大，容积、面积最大，流量、速度最大等问题都需要利用导数来求解相应函数的最大
值.若在定义域内只有一个极值点，且在极值点附近左增右减，则此时唯一的极大值就是最大值.
2．实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等问题都需要利用导数求解相应函数的最小值.
用料最省、费用最低问题出现的形式多与几何体有关，解题时根据题意明确哪一项指标最省(往往要从几
何体的面积、体积入手)，将这一指标表示为自变量 x 的函数，利用导数或其他方法求出最值，但一定要
注意自变量的取值范围．
典例 6 如图，正三角形 的边长为 ，以等边三角形 为底面， ， ， 分别
是以 ， ， 为底边的全等的等腰三角形.沿黑实线剪开后，分别以 ， ， 为折痕折起
， ， 使得 D，E，F 重合，得到三棱锥.当 的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：
)的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
3
2x = ( )f x
( )1 0f < 0abc <
DEF 5cm ABC DBA ECA△ FBC
AB CA BC BC CA AB
DBA ECA△ FBC ABC
3cm
4 15 4 5
12 5 4 53【答案】D
【解析】由题知， 与 有相同的外接圆圆心，设圆心为 ， ，三棱锥的高为
，连接 交 于 ，如图所示：
因为 ， ，
，
所以 .
.
故 .
令 ， .
当 ， ， 为增函数，当 ， ， 为减函数.
所以当 时， 取得最大值.
故当 时， 的最大值为 .
故选：D.
【名师点睛】本题主要考查利用导数求函数的最值，同时考查了三棱锥的体积问题，属于中档题.首先根据
题意得到 与 有相同的外接圆圆心，设圆心为 ， ，三棱锥的高为 ，连接
DEF△ ABC△ O AB x= ( )0x >
h OD AB G
1 5 5 32 sin 60 3OD = ⋅ =
2
21 1 3
3 2 6OG x x x = − =
5 333 6DG x= −
2 2
2 2 5 3 3 25 533 6 6 3 3h DG OG x x x
= − = − − = −
2 21 3sin 602 4ABCS x x= ⋅ =△
2 4 51 3 25 5 5 53 4 3 3 12V x x x x= ⋅ ⋅ − = −
4 55y x x= − ( )0x > ( )3 4 320 5 5 4y x x x x′ = − = −
( )0,4x∈ 0y′ > y ( )4,x∈ +∞ 0y′ < y
4x = y
4x = V 4 53
DEF ABC O AB x= ( )0x > h交 于 ，从而得到 ， ， ，再利用导数即可得到
体积的最大值.
5．把一块边长为 的正六边形铁皮，沿图中的虚线（虛线与正六边形的对应边垂直）剪去六个
全等的四边形（阴影部分），折起六个矩形焊接制成一个正六棱柱形的无盖容器（焊接损耗忽略），设
容器的底面边长为 .
（1）若 ，且该容器的表面积为 时，在该容器内注入水，水深为 ，若将一根长度
为 的玻璃棒（粗细忽略）放入容器内，一端置于 处，另一端置于侧棱 上，忽略铁皮厚度，
求玻璃棒浸人水中部分的长度；
（2）求该容器的底面边长 的范围，使得该容器的体积始终不大于 .
1．若函数 在区间 内单调递增，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．函数 的图象大致为（ ）
OD AB G 25 5
3 3h x= − 23
4ABCS x=△
4 55 512V x x= −
( )0 cma a >
cmx
16a = 2168 3 cm 5 cm
10 cm A 1DD
a 39000 cm
( ) 2ln 2f x x ax= + − 1 ,22
a
( ], 2−∞ − ( )2,− +∞
12, 8
− −
1 ,8
− +∞
2( ) sinf x x x x= +A． B．
C． D．
3．若 是定义在 上的可导函数，且 ，则（ ）
A． B．
C． D．
4．关于函数 ，下列说法正确的是（ ）
A． 在 单调递增 B． 有极小值为 0，无极大值
C． 的值域为 D． 的图象关于直线 对称
5．设函数 是函数 的导函数，当 时， ，则函数
的零点个数为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知定义在 上的函数 满足 ，且 时， 上恒
成立，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知函数 ，关于 x 的方程 有三个不等实根，则实数 m 的取值范围是（ ）
( )f x (0 )+ ∞， ( ) ( ) xf x xf x e′− >
(2) 2 (1)f f> (2) 2 ( )ef f e>
3 (2) 2 (3)f f< 3 ( ) (3)f fπ π>
( ) | 1| lnf x x x= − −
( )f x 1,e
+∞ ( )f x
( )f x ( 1, )− +∞ ( )y f x= 1x =
( )f x′ ( )( )f x x R∈ 0x ≠ ( ) ( )3 0f xf x x
′ + <
( ) ( ) 3
1g x f x x
= −
3 2
1 0
R ( )f x ( ) ( ) 6 2 0f x f x x sinx− − − + = 0x ( )' 3f x cosx−
( ) 3 6 22 2 4f x f x x cos x
π π π − − + + +
,4
π +∞ ,4
π +∞
,6
π +∞ ,6
π +∞
( ) x
xf x e
= 1( ) ( )f x mf x
− =A． B．
C． D．
8．已知长方体 内接于半球 ，且底面 落在半球的底面上，底面 的四
个顶点落在半球的球面上.若半球的半径为 3， ，则该长方体体积的最大值为（ ）
A． B．
C．48 D．72
9．函数 的单调递减区间是_________.
10．已知定义在 上的函数 满足 ，其中 是函数 的导函数.若
，则实数 的取值范围为_________.
11．已知函数 ，其中 .
（1）若函数 在区间 上单调递增，求 的取值范围；
（2）若 时，不等式 在区间 上恒成立，求实数 的取值范围.
12．已知函数 （ ）．
（1）讨论函数 在定义域内的极值点的个数；
（2）若函数 在 处取得极值， （0， ）， 恒成立，求实数 的最大
值．
1( , )e e
− +∞ 1( , )ee
− +∞
1( , )e e
−∞ − 1( , )ee
−∞ −
1 1 1 1ABCD A B C D− O ABCD 1111 DCBA
AB BC=
12 3 6 6
2( ) 2lnf x x x= −
( )0,+∞ ( )f x ( ) ( ) 0xf x f x′ − < ( )f x′ ( )f x
( ) ( ) ( )2 2020 2020 2f m m f− > − m
( ) sinf x kx x= + k ∈R
( )f x π 5π,3 6
k
1k = c( s) oaxf xx ≥ π0, 2
a
( ) 1 lnf x ax x= − − a∈R
( )f x
( )f x 1x = x∀ ∈ +∞ ( ) 2f x bx≥ − b13．已知函数 ．
（1）当 时，求证： ；
（2）讨论函数 在 R 上的零点个数，并求出相对应的 a 的取值范围．
14．某同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产一小型电子产品需投入固
定成本 2 万元，每生产 万件，需另投入流动成本 万元，当年产量小于 万件时，
（万元）；当年产量不小于 7 万件时， （万元）.已知每件产品售价为 6 元，
假若该同学生产的商品当年能全部售完.
（1）写出年利润 （万年）关于年产量 （万件）的函数解析式；（注：年利润=年销售收入-固定
成本-流动成本）
（2）当年产量约为多少万件时，该同学的这一产品所获年利润最大？最大年利润是多少？
（取 ）.
( ) ( )xf x e x a a= − − ∈R
0a = ( )f x x>
( )f x
x ( )C x 7 21( ) 23C x x x= +
3
( ) 6 ln 17eC x x x x
= + + −
( )P x x
3 20e =15．已知函数 ．
（1）求函数 的单调递增区间；
（2）证明：当 时， ；
（3）确定实数 的所有可能取值，使得存在 ，当 时，恒有 ．
1．【2017 年高考全国Ⅲ卷理数】已知函数 有唯一零点，则 a=
A． B．
C． D．1
2．【2018 年高考全国Ⅱ卷理数】函数 的图像大致为
3．【2018 年高考全国Ⅲ卷理数】函数 的图像大致为
2( 1)( ) ln 2
xf x x
−= −
( )f x
1x > ( ) 1f x x< −
k 0 1x > 0(1, )x x∈ ( ) ( )1f x k x> −
2 1 1( ) 2 (e e )x xf x x x a − − += − + +
1
2
− 1
3
1
2
( ) 2
e ex x
f x x
−−=
4 2 2y x x= − + +4．【2019 年高考天津理数】已知 ，设函数 若关于 的不等式
在 上恒成立，则 的取值范围为
A． B．
C． D．
5．【2019 年高考浙江】已知 ，函数 ．若函数
恰有 3 个零点，则
A．a0
6．【2018 年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数 ，则 的最小值是_____________．
7．【2019 年高考北京理数】设函数 （a 为常数）．若 f（x）为奇函数，则 a=________；
若 f（x）是 R 上的增函数，则 a 的取值范围是___________．
8．【2018 年高考江苏】若函数푓(푥) = 2푥3 ― 푎푥2 +1(푎 ∈ 퐑)在(0, + ∞)内有且只有一个零点，则푓(푥)在[ ― 1,1]
上的最大值与最小值的和为________．
9．【2019 年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数 ， 为 的导数．证明：
a∈R
2 2 2 , 1,( )
ln , 1.
x ax a xf x
x a x x
− + ≤= − >
x ( ) 0f x ≥
R a
[ ]0,1 [ ]0,2
[ ]0,e [ ]1,e
,a b∈R 3 2
, 0
( ) 1 1 ( 1) , 03 2
x x
f x x a x ax x
( ) ( )
2
1 e 0
xxf x x
−′ = > ( )f x (1, )+¥
1 2 1x x> > 1 2
1 2
e ex x
x x
> 1 2
2 1e ex xx x>
( ) ( )ln 1xg x xx
= > ( ) 2
1 ln xg x x
−′ = ( ) 0g x = ex =
1 ex< < ( ) 0g x′ > ex > ( ) 0g x′ < ( )g x ( )1,e
( )e,+∞
( ),0−∞ ( )0,+∞ 4k ≤【解析】
【分析】
（1）将 代入可得 ，然后计算 ，单独研究 ，利用导数
判断函数 的单调性，根据函数 的符号可知函数 的单调性.
（2）转化为 在 上恒成立，构建函数 ，通过分类讨论 ，
， ，辨别函数 的单调性并加以计算，可得结果.
【详解】
（1）当 时， ，
，
设 ， ，所以 在 上单增，
又因为 ，所以 时， ，即 ；
时， ，即 ，
所以 的单调减区间为 ，单调增区间为 ．
（2）
因为 在 上为单调递增函数，所以 在 上恒成立，
令 ， ．
①当 时， 显然成立，满足题意；
②当 时，
，
（ⅰ）当 时，
，
0k = ( ) 2 2cosf x x x= − ( )f x′ ( ) sing x x x= +
( )g x′ ( )g x ( )g x ( )f x
( ) 0f x′ ≥ 0, 2
π
( ) 2 2sin cosh x x x kx x= + − 0k ≤
0 4k< ≤ 4k > ( )h x
0k = ( ) 2 2cosf x x x= −
( ) ( )2 2sin 2 sinf x x x x x′ = + = +
( ) sing x x x= + ( ) 1 cos 0g x x′ = + ≥ ( )g x R
( )0 0g = ( )0,x∈ +∞ ( ) 0g x > ( ) 0f x′ >
( ),0x∈ −∞ ( ) 0g x < ( ) 0f x′ <
( )f x ( ),0−∞ ( )0, ∞+
( ) ( )2 2sin cos sin sin′ = + − + −f x x x k x x x x
( ) 2 2sin cos′ = + −f x x x kx x
( )f x 0, 2
π
( ) 0f x′ ≥ 0, 2
π
( ) 2 2sin cosh x x x kx x= + − π0, 2x ∈
0k ≤ ( ) 2 2sin cos 0= + − ≥h x x x kx x
0k >
( ) ( ) ( )2 2cos cos sin 2 2 cos sinh x x k x x x k x kx x′ = + − − = + − +
0 4k< ≤
( ) ( )2 2 cos sin 2 2cos sin 0h x k x kx x x kx x′ = + − + ≥ − + >所以 在 上单调递增，所以 ，满足题意；
（ⅱ）当 时， ， ，
所以 在 上单增，
因为 ， ，
所以 ，使得 ，
又因为 在 上单增，
所以 时， ，
当 时， ，
所以 为 在 上唯一的极小值点，所以 ，
又因为 所以 ，
所以 时， ，不满足题意．
综上所述， ．
【点睛】
本题考查利用导数研究含参数的函数单调性以及恒成立的问题，熟悉分类讨论的方法以及等价转化的方
法，考查分析能力以及计算能力，属难题.
3．【答案】（1） ；（2） ．
【解析】
【分析】
（1）求导后可得 ，令 ，利用导数可知函数 恒成立，由此可
得函数 在 上单调递减，在 上单调递增，进而得到最小值；
（2）分 及 讨论，当 时， 无极值；当 时，利用导数可知满足题意，进而得出结
( )h x 0, 2
π
( ) ( )0 0h x h≥ =
4k > ( ) ( )2 2 cos sinh x k x kx x′ = + − + ( ) ( )2 2 sin cos 0h x k x kx x′′ = − + ≥
( )h x′ 0, 2
π
( )0 4 0h k′ = − < 2 02 2
kh
π π ′ = + >
0 0, 2x
π ∃ ∈
( )0 0h x′ =
( )h x′ 0, 2
π
( )00,x x∈ ( ) 0h x′ <
0, 2x x
π ∈
( ) 0h x′ >
0x ( )h x 0, 2
π
( ) ( )0h x h x≥
( )0 0h = ( ) ( )0 0 0h x h< =
( )00,x x∈ ( ) 0h x <
4k ≤
( ) 2
min 4 4f x e−= − ( ),0−∞
( ) ( 2)( 2)xx xe x′ = + + ( ) 2xg x xe= + ( ) 0>g x
( )f x ( , 2)−∞ − ( 2, )− +∞
0a 0a < 0a ( )f x 0a − ( ) 0g x′ >
( )g x ( ), 1−∞ − ( )1,− +∞
( ) ( )min
11 2 0g x g e
= − = − + > ( ) 2 0xg x xe= + ≥
2x < − ( ) 0f x′ < 2x > − ( ) 0f x′ >
( )f x ( ), 2−∞ − ( )2,− +∞
( ) ( ) 2
min 2 4 4f x f e−= − = −
( ) ( )( )22 2 4 2 2x x xf x xe x e x a xe x′ = + + + = + +
( ) ( )2 0xh x xe a x= + >
0a ≥ ( ) 2 0xh x xe a= + >
2 0x + > ( )0,x∈ +∞ ( ) ( )( )2 2 0xf x xe a x′ = + + >
( )f x ( )0, ∞+ ( )f x
0a < ( ) ( )1 0xh x x e′ = + > ( )h x ( )0, ∞+
( )0 2 0h a= < ( ) ( )22 2 1 0ah a a e−− = − − > ( ) 2xh x xe a= + ( )0, ∞+
( )0 0 0x x >
( )00,x x∈ ( ) 0h x < ( ) 0f x′ < ( )f x
( )0 ,x x∈ +∞ ( ) 0h x > ( ) 0f x′ > ( )f x
0a < ( )f x ( )0, ∞+ 0x
a ( ),0−∞【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查分类讨论思想及运算求解能力，属于中档
题．
4．【答案】D
【解析】
【分析】
利用导数的图象可以判定函数的单调性及极值情况，结合二次函数图象特点可求 的符号.
【详解】
由导函数的图象可得： 时， 是增函数； 时， 是减函数； 时，
是增函数；所以 A,B 均不正确；
由于 ，所以 C 不正确；
因为 ，结合图象可知 ，所以 ；
故选：D.
【点睛】
本题主要考查导数图象的识别，利用导数图象的符号可得函数的单调性，进而可得极值情况，侧重考查
数学抽象的核心素养.
5．【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）由题意 ，表示出容器的高 ，从而可以表示出容器的底面积 和侧面积 ，根据容器的
表面积为 ，得到关于 的方程，从而得到 的值，设玻璃棒在 上的交点为 ，玻璃棒与
水面交点为 ，过 作 交 于 ，根据 得到 的值；
（2）表示出容器的体积 ，根据 对 恒成立，利用导数求出 的最大值，从而得
到 的范围.
【详解】
, ,a b c
( ),1x∈ −∞ ( )f x ( )1,2x∈ ( )f x ( )2,x∈ +∞
( )f x
( ) ( )01 0f f> =
( ) 23 2f x ax bx c′ = + + 0, 0, 02
ba c a
> > − > 0abc <
25 cm3 0 30a< ≤
AB x= h 1S 2S
2168 3 cm x x 1DD P
Q Q QH AD⊥ AD H AQ QH
AP PD
= AQ
V 9000V ≤ ( )0,x a∀ ∈ V
a解：（1）由题意 ，则 ，设该容器的高为 ，则 .
当 时，容器底面积 ，
侧面积 ，
所以容器表面积 ，整理得 ，
得 或 （舍）.
当玻璃棒一个端点置于 处，另一端置于侧棱 上时，
如图，设玻璃棒在 上的交点为 ，玻璃棒与水面交点为 .
因为 为正六棱柱，所以四边形 为矩形，
在平面 中，过 作 交 于 ，如图所示，
因为 ， ，则 ，因为 ，
所以 即 ，
所以 .
（2）设该容器的体积为 ， .
因为该容器的体积始终不大于 ，
所以 对 恒成立.
AB x= 0 x a< < h ( )3
2h a x= −
16a = 2 2
1
3 3 36 4 2S x x
= × =
( )2 6 3 3 16S xh x x= = −
( )23 3 3 3 16 168 32S x x x= + − = 2 32 112 0x x− + =
4x = 28x =
A 1DD
1DD P Q
1 1 1 1 1 1ABCDEF A B C D E F− 1 1A ADD
1 1A ADD Q QH AD⊥ AD H
10AP = 8AD = 6PD = QH PD∥
AQ QH
AP PD
= 5
10 6
AQ =
25 cm3AQ =
V ( ) ( )2 2
1
3 3 3 9
2 2 4V S h x a x x a x= = × − = −
39000 cm
( )29 90004V x a x= − ≤ ( )0,x a∀ ∈即 对 恒成立，
令 ， ，
令 得 ，则 随 变化的表格如下：
+ 0 -
增 最大值 减
.
所以 ，得 ，得 .
答：该容器底面边长 满足 时，容器的体积始终不大于 .
【点睛】
本题考查求棱柱的表面积和体积，利用导数求函数的最大值，利用导数研究不等式恒成立问题，属于中
档题.
1．【答案】D
【解析】
【分析】
求出函数的导数，问题转化为 a＞- ，而 g（x）=﹣ 在（ ，2）递增，求出 g（x）的最大值，
从而求出 a 的范围即可．
【详解】
易得 f ′（x）= +2ax，
( )2 4000x a x− ≤ ( )0,x a∈
( ) ( )2h x x a x= − ( ) 23 2h x x ax′ = − +
( ) 0h x′ = 2
3
ax = ( )h x x
x
20, 3
a
2
3
a 2 ,3
a a
( )h x′
( )h x
( ) 3
max
2 4
3 27
a ah x h = =
34 400027
a ≤ 30a ≤ 0 30a< ≤
a 0 30a< ≤ 39000 cm
考点冲关
2
1
2x 2
1
2x
1
2
1
x若 f（x）在区间（ ，2）内存在单调递增区间，
则 f ′（x）＞0 在 x∈（ ，2）恒成立，
而 g（x）=﹣ 在（ ，2）递增，
，
故 ，
故选 D．
【点睛】
本题考查函数的导数的应用，函数有解以及函数的最值的求法，可以用变量分离的方法求参数的范围，
也考查转化思想以及计算能力．
2．【答案】A
【解析】
【分析】
先判断函数 为偶函数，然后通过构造函数 ， ，可判断 是单调
递增函数，从而可得到 时， ，即可判断 时， ，
，从而可确定 在 上单调递增，即可得到答案．
【详解】
因为 ，所以 为偶函数，选项 B 错误，
，令 ，则 恒成立，所以 是
单调递增函数，则当 时， ，
故 时， ， ,
即 在 上单调递增，故只有选项 A 正确．
【点睛】
本题考查了函数图象的识别，考查了函数的单调性与奇偶性，属于中档题．
3．【答案】B
【解析】
1
2
1
2
2
1
2x
1
2
( ) ( ) 12 8g x g< = −
1
8a ≥ −
( )f x ( ) ( )f x xg x= ( ) sing x x x= + ( )g x
0x > ( ) ( )0 0g x g> = 0x > ( ) ( )f x xg x=
( ) ( ) ( )= + 0f x g x xg x′ >′ ( )f x ( )0,+¥
( ) ( ) ( )2 2sin sin =f x x x x x x x f x− = − − = + ( )f x
( ) ( )2 sin sinf x x x x x x x= + = + ( ) sing x x x= + ( ) 1 cos 0g x x=′ + ≥ ( )g x
0x > ( ) ( )0 0g x g> =
0x > ( ) ( )f x xg x= ( ) ( ) ( )= + 0f x g x xg x′ >′
( )f x ( )0,+¥【分析】
由已知可得 ，即 ，构造函数 ，从而得到 的单调
性，由单调性进行判断可得答案.
【详解】
由 可得 ，即 ，即 ，
令 ，可得 ，即函数 在 上单调递减，由单调性判断各个选
项，
A．因为 2>1,则 ，即 ，故错误；
B．2 ( ) ( ) 0xf x f x′ − <
2
( ) ( ) 0xf x f x
x
− (2) 2 ( )ef f e>
( ) ( )2 3
2 3
f f> 3 (2) 2 (3)f f>
3 π< ( ) ( )3
3
f f π
π> 3 ( ) (3)f fπ π<
( )g x
( )
( )
1 ln , 1( ) 1 ln 1 ln , 0 1
x x xf x x x x x x
− − ≥= − − = − − < 3 0x > ( ) 0F x′ < ( )y F x= ( )0, ∞+
0x < 3 0x < ( ) 0F x′ > ( )y F x= ( ),0−∞
( ) ( )max 0 1 0F x F= = − < ( )y F x=
( ) ( ) ( )
3 3
1 F xg x f x x x
= − =故选：D.
【点睛】
本题考查函数零点个数的判断， 解题的关键就是要结合导数不等式构造新函数，并利用导数分析函数的
单调性与最值，必要时借助零点存在定理进行判断，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
6．【答案】B
【解析】
【分析】
令 ，利用定义证明其奇偶性，由 得出 的单调性，将所求
不等式变为 ，从而得到 ，利用
函数 的奇偶性以及单调性解不等式即可.
【详解】
由题得 ，
令 ，则 为偶函数
时， ，则 ，则 递增
由 得：
，即 ，
则 ，所以 .
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了利用函数的单调性以及奇偶性解不等式，属于中档题.
7．【答案】D
【解析】
【分析】
( ) ( ) 3g x f x x sinx= − + ( )' 3f x cosx− ( )g x
( ) 3 32 2 2f x x sinx f x x sin x
π π π − + − − − + − ( )
2g x g x
π −
( )g x
( ) ( )3 3f x x sinx f x x sinx− + = − + −
( ) ( ) ( )3g x f x x sinx g x= − + = − ( )g x
0x ( )' 3f x cosx− ( )' 0g x ( )g x
( ) 3 6 22 2 4f x f x x cos x
π π π − − + + +
( ) 3 32 2 2f x x sinx f x x sin x
π π π − + − − − + − ( )
2g x g x
π −
2x x
π − 4x
π
利用导数讨论函数 的性质后可得方程 至多有两个解．因为 有三个不同
的解，故方程 有两个不同的解 ， 且 ， ，最后利用函
数 的图像特征可得实数 的取值范围．
【详解】
，
当 时， ， 在 上为增函数；
当 时， ， 在 上为减函数；
所以 的图像如图所示
又 时， ，又 的值域为 ，
所以当 或 时，方程 有一个解，
当 时，方程 有两个不同的解，
所以方程 即 有两个不同的解 ，
令 ，故 ，解得 .
故选：D.
【点睛】
( )f x ( )t f x= ( ) ( )
1f x mf x
− =
1t mt
− = 1t t= 2t t= 1
10,t e
∈
( )2
1,0t e
∈ −∞
( ) 2 1g t t mt= − − m
( ) 1' x
xf x e
−=
1x < ( )' 0f x > ( )f x ( )0,e
1x > ( )' 0f x < ( )f x ( ),e +∞
( )f x
0x > ( ) 0f x > ( )f x 1, e
−∞
0t ≤ 1t e
= ( )t f x=
10 t e
< < ( )t f x=
1t mt
− = 2 1 0t mt− − = ( )1 2
1 10, , ,0t te e
∈ ∈ −∞
( ) 2 1g t t mt= − −
( )0 0
1 0
g
g e
<
>
1m ee
< −复合方程 的解的个数问题，其实质就是方程组 的解的个数问题，后者可先利
用导数等工具刻画 的图像特征，结合原来方程解的个数得到 的限制条件，再利用常见函数的性
质刻画 的图像特征从而得到参数的取值范围．
8．【答案】A
【解析】
【分析】
设该长方体的高为 h，底面边长为 a，计算出底面外接圆的半径 ，利用勾股定理
得出 ，利用柱体体积公式得出柱体体积 V 关于 h 的函数关系式，然后利用导数可求出 V
的最大值.
【详解】
设长方体 的高为 h，底面棱长为 a，则长方体的底面外接圆直径为 ，所以
.
由勾股定理得 即 得 ，其中 0 ( ) ( )2020 2
2020 2
f m f
m
− >−
( 2020) (2)h m h− > 2020 2m − < 2022m <
m ( )2020,2022故答案为： .
【点睛】
本题主要考查了利用导数求解函数的单调性，以及函数的单调性的应用，着重考查了构造、转化思想，
以及推理与运算能力，属于中档试题.
11．【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）由 在区间 上单调递增，可知 时， 恒成立，求出
的最大值，令 即可；
（2）令 ， ，则 恒成立，讨论 的范围，并通过求导判
断 的单调性，进而可求出答案.
【详解】
（1）由题意， ，
因为 在区间 上单调递增，所以 时， 恒成立，即
，
因为函数 在 上单调递增，所以 ，
所以 .
（2） 时， ，
令 ， ，则 恒成立，
当 时，显然 ，即 ，符合题意；
当 时， ，
( )2020,2022
3
2k ≥ 2a ≤
( )f x π 5π,3 6
π 5π,3 6x ∈ ( ) cos 0f x k x′ = + ≥
cos x− ( )maxcosk x≥ −
( ) sin cosg x x x ax x= + − π0, 2x ∈
( ) 0g x ≥ a
( )g x
( ) cosf x k x′ = +
( )f x π 5π,3 6
π 5π,3 6x ∈ ( ) cos 0f x k x′ = + ≥
cosk x≥ −
cosy x= − π 5π,3 6
cos co 5 3
6 2s πx ≤ − =−
3
2k ≥
1k = ( ) sinf x x x= +
( ) cos c( o) sin sg x ax x xf x x xx a= = + −− π0, 2x ∈
( ) 0g x ≥
0a ≤ sin 0, cos 0x x ax x+ ≥ − ≥ ( ) 0g x ≥
0a > ( ) ( )1 1 cos sing x a x ax x′ = + − +若 ，则 ，显然 ，即 在 上单调递增，则 ，符
合题意；
若 ，令 ，则 ，
因为 ，所以 ，即 在 上单调递增，则
，
若 ，则 ，即 在 上单调递增， ，符合题意；
若 ，则 ，则存在 ，使得 ，
则 时， ，此时 在 上单调递减，从而 ，不能使得
恒成立.
综上所述，实数 的取值范围是 .
【点睛】
本题考查函数的单调性，考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查利用分类讨论的数学思想在解题
中的应用，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于难题.
12．【答案】（1）当 时， 在（0， ）上没有极值点；当 时， 在（0， ）上
有一个极值点；（2） .
【解析】
【分析】
（1）首先求得函数的定义域和导函数 ，对 分成 和 两种情况，讨论 的极值点
个数.
（2）利用 求得 的值，将不等式 分离常数，转化为 ，构造函
数 利用导数求得 的最小值，由此求得 的取值范围，进而求得实数 的最大
值.
0 1a< ≤ 1 0a− ≥ ( ) 0g x¢ > ( )g x π0, 2
( ) ( )0 0g x g≥ =
1a > ( ) ( ) ( )1 1 cos sing x a x axh xx ′ = += − + ( ) ( )2 1 sin cosa x axh xx +′ = −
2 1 0, 0a a− > > ( ) 0h x′ ≥ ( )g x′ π0, 2
( ) ( )2 0 12 2
π πa g g x g a ′ ′ ′− = ≤ ≤ = +
1 2a< ≤ ( ) 2 0g x a′ ≥ − ≥ ( )g x π0, 2
( ) ( )0 0g x g≥ =
2a > 2 0a− < 0
π0, 2x ∈
( )0 0g x′ =
( )00,x x∈ ( ) 0g x¢ < ( )g x ( )00, x ( ) ( )0 0g x g< =
( ) 0g x ≥
a 2a ≤
0a ≤ ( )f x +∞ 0a > ( )f x +∞
2
11 e
−
( )f x′ a 0a ≤ 0a > ( )f x
( )' 1 0f = a ( ) 2f x bx≥ − 1 ln1 x bx x
+ − ≥
( ) 1 ln1 xg x x x
= + − ( )g x b b【详解】
（1） 的定义域为（0， ），
.
当 时， 在（0， ）上恒成立，函数 在（0， ）上单调递减.
∴ 在（0， ）上没有极值点.
当 时，由 ，得 ；
由 ，得 ，
∴ 在（0， ）上递减，在（ ， ）上递增，即 在 处有极小值.
综上，当 时， 在（0， ）上没有极值点；
当 时， 在（0， ）上有一个极值点.
（2）∵函数 在 处取得极值，
∴ ，则 ，从而 .
因此 ，
令 ，则 ，
令 ，得 ，
则 在（0， ）上递减，在（ ， ）上递增，
∴ ，即 .
故实数 的最大值是 .
【点睛】
本小题主要考查利用导数研究函数的极值，考查利用导数求解不等式恒成立问题，考查化归与转化的
数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.
13．【答案】（1）证明见解析；（2） 时，函数 在 上没有零点；当 时，函数 在
( )f x +∞
( ) 1 1axf x a x x
−′ = − =
0a ≤ ( ) 0f x′ ≤ +∞ ( )f x +∞
( )f x +∞
0a > ( ) 0f x′ ≤ 10 x a
< <
( ) 0f x′ > 1x a
>
( )f x 1
a
1
a
+∞ ( )f x 1x a
=
0a ≤ ( )f x +∞
0a > ( )f x +∞
( )f x 1x =
( )1 1 0f a′ = − = 1a = ( ) 1 lnf x x x= − −
( ) 1 ln2 1 xf x bx bx x
≥ − ⇒ + − ≥
( ) 1 ln1 xg x x x
= + − ( ) 2
ln 2xg x x
−′ =
( ) 0g x′ = 2x e=
( )g x 2e 2e +∞
( ) ( )2
2min
1e 1 eg x g= = − 2
11 eb ≤ −
b 2
11 e
−
1a < ( )f x R 1a = ( )f x R上有一个零点；当 时，函数 在 上有两个零点.
【解析】
【分析】
（1）构造函数 ，利用导数研究函数的单调性和最小值，证明最小值大于 .（2）先利
用导数得到 的最小值，然后分类讨论，根据零点存在定理，得到每种情况下 的零点情况.
【详解】
（1）当 时， ，
令 ，则 .
令 ，得 .
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增.
所以 是 的极小值点，也是最小值点，
即
故当 时， 成立.
（2） ，由 ，得 .
所以当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增.
所以 是函数 的极小值点，也是最小值点，
即 .
当 ，即 时， 在 上没有零点.
当 ，即 时， 在 上只有一个零点.
当 ，即 时，因为 ，
所以 在 内只有一个零点；
由（1）得 ，令 ，得 ，
所以 ，于是 在 内有一个零点；
1a > ( )f x R
( ) ( )g x f x x= − 0
( )f x ( )f x
0a = ( ) xf x e x= −
( ) ( ) e e 2x xg x f x x x x x= − = − − = − ( ) e 2xg x′ = −
( ) 0g x′ = ln2x =
ln2x < ( ) 0g x′ < ( )g x ln2x > ( ) 0g x′ > ( )g x
ln2x = ( )g x
( ) ( ) ln2
min ln2 2ln2 2ln 02
eg x g e= = − = >
0a = ( )f x x>
( ) 1xf x e′ = − ( ) 0f x′ = 0x =
0x < ( ) 0f x′ < ( )f x 0x > ( ) 0f x′ > ( )f x
0x = ( )f x
( ) ( )min 0 1f x f a= = −
1 0a− > 1a < ( )f x R
1 0a− = 1a = ( )f x R
1 0a− < 1a > ( ) ( )e e 0a af a a a− −− = − − − = >
( )f x ( )0，−∞
2xe x> x a= 2ae a>
( ) 2 0a af a e a a e a= − − = − > ( )f x ( )0,+∞因此，当 时， 在 上有两个零点.
综上， 时，函数 在 上没有零点；
当 时，函数 在 上有一个零点；
当 时，函数 在 上有两个零点.
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调性，极值和最值，利用零点存在定理判断函数零点个数，属于难题.
14．【答案】（1） ；（2）当年产量约为 万件，该同学的这一产品所
获年利润最大，最大利润为 万元
【解析】
【分析】
（1）根据年利润=年销售收入-固定成本-流动成本，分 和 两种情况，得到 与 x 的
关系式即可；（2）求出两种情况的最大值，作比较即可得到本题答案.
【详解】
（1）产品售价为 元，则万件产品销售收入为 万元.
依题意得，当 时， ，
当 时， ，
.
（2）当 时， ，
当 时， 的最大值为 （万元），
当 时， ，
当 时， 单调递增，当 单调递减，
1a > ( )f x R
1a < ( )f x R
1a = ( )f x R
1a > ( )f x R
2
3
1 4 2,0 73( )
15 , 7
x x x
P x
elnx xx
− + − <
2
0
1 0
x
x x
>
− + + >
1 50 2x
+< <
( )f x 1 5(0, )2
+
( ) ( ) ( 1), (0, )F x f x x x= − − ∈ +∞
(1, )x∈ +∞ ( ) 0F x′ <
( )F x [1, )+∞
(1, )x∈ +∞ ( ) ( )1 0F x F< = (1, )x∈ +∞ ( ) 1f x x< −
1k = 0 1x >
1k > 1x > ( ) 1 ( 1),f x x k x< − < − ( ) ( 1),f x k x< −
0 1x >
1k < ( ) ( ) ( 1), (0, )G x f x k x x= − − ∈ +∞由 得， ．
解得
当 时， ，故 在 内单调递增．
从而当 ， 即
综上吗，k 的取值范围是 .
1．【答案】C
【解析】函数 的零点满足 ，
设 ，则 ，
当 时， ；当 时， ，函数 单调递减；
当 时， ，函数 单调递增，
当 时，函数 取得最小值，为 .
设 ，当 时，函数 取得最小值，为 ，
若 ，函数 与函数 没有交点；
若 ，当 时，函数 和 有一个交点，
即 ，解得 .故选 C.
【名师点睛】函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数
的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样
会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用.
2．【答案】B
( ) 21 (1 ) 11 x k xG x x kx x
− + − += − + − =′
( ) 0G x′ = 2 (1 ) 1 0x k x− + − + =
2 2
1 1
1 (1 ) 4 1 (1 ) 40, 12 2
k k k kx x
− − − + − + − += < = <
2(1, )x x∈ ( ) 0G x′ > ( )G x 2[1, )x
2(1, )x x∈ ( ) (1) 0,G x G> = ( ) ( 1),f x k x> −
( ,1)−∞
直通高考
( )f x ( )2 1 12 e ex xx x a − − +− = − +
( ) 1 1e ex xg x − − += + ( )
( )2 1
1 1 1
1 1
1 e 1e e e e e
x
x x x
x xg x
−
− − + −
− −
−′ = − = − =
( ) 0g x′ = 1x = 1x < ( ) 0g x′ < ( )g x
1x > ( ) 0g x′ > ( )g x
1x = ( )g x ( )1 2g =
( ) 2 2h x x x= − 1x = ( )h x 1−
0a− > ( )h x ( )ag x−
0a− < ( ) ( )1 1ag h− = ( )h x ( )ag x−
2 1a− × = − 1
2a =【解析】 为奇函数，舍去 A；
，∴舍去 D；
时， ， 单
调递增，舍去 C.
因此选 B.
【名师点睛】有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象左右的
位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由
函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的周期性.
3．【答案】D
【解析】函数图象过定点 ，排除 A，B；
令 ，则 ，
由 得 ，得 或 ，此时函数单调递增，
由 得 ，得 或 ，此时函数单调递减，排除 C.
故选 D.
【名师点睛】本题主要考查函数的图象的识别和判断，利用函数图象过的定点及由导数判断函数的单
调性是解决本题的关键.
4．【答案】C
【解析】当 时， 恒成立；
当 时， 恒成立，
令 ，
则
( ) ( ) ( )2
e e0, ,
x x
x f x f x f xx
− −≠ − = = − ∴
( ) 11 e e 0f −= − >
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2
4 3
e e e e 2 2 e 2 e ,
x x x x x xx x x xf x x x
− − −+ − − − + += =′ 2x∴ > ( ) 0f x′ > ( )f x
(0,2)
4 2( ) 2y f x x x= = − + + 3 2( ) 4 2 2 (2 1)f x x x x x′ = − + = − −
( ) 0f x′ > 22 (2 1) 0x x − < 2
2x < − 20 2x< <
( ) 0f x′ < 22 (2 1) 0x x − > 2
2x > 2 02 x− < <
1x = (1) 1 2 2 1 0f a a= − + = >
1x <
2
2( ) 2 2 0 2 1
xf x x ax a a x
= − + ≥ ⇔ ≥ −
2
( ) 1
xg x x
= −
2 2 2(1 1) (1 ) 2(1 ) 1( ) 1 1 1
x x x xg x x x x
− − − − − += − = − = −− − −，
当 ，即 时取等号，
∴ ，则 .
当 时， ，即 恒成立，
令 ，则 ，
当 时， ，函数 单调递增，
当 时， ，函数 单调递减，
则 时， 取得最小值 ，
∴ ，
综上可知， 的取值范围是 .
故选 C.
【名师点睛】本题考查分段函数的最值问题，分别利用基本不等式和求导的方法研究函数的最值，然后
解决恒成立问题.
5．【答案】C
【解析】当 x＜0 时，y＝f（x）﹣ax﹣b＝x﹣ax﹣b＝（1﹣a）x﹣b＝0，得 x = 푏
1 ― 푎，
则 y＝f（x）﹣ax﹣b 最多有一个零点；
当 x≥0 时，y＝f（x）﹣ax﹣b = 1
3x3 ― 1
2（a+1）x2+ax﹣ax﹣b = 1
3x3 ― 1
2（a+1）x2﹣b，
，
当 a+1≤0，即 a≤﹣1 时，y′≥0，y＝f（x）﹣ax﹣b 在[0，+∞）上单调递增，
则 y＝f（x）﹣ax﹣b 最多有一个零点，不合题意；
当 a+1＞0，即 a>﹣1 时，令 y′＞0 得 x∈(a+1，+∞），此时函数单调递增，
令 y′＜0 得 x∈[0，a+1），此时函数单调递减，则函数最多有 2 个零点.
根据题意，函数 y＝f（x）﹣ax﹣b 恰有 3 个零点⇔函数 y＝f（x）﹣ax﹣b 在（﹣∞，0）上有一个零点，
在[0，+∞）上有 2 个零点，
如图：
1 11 2 2 (1 ) 2 01 1x xx x
= − − + − ≤ − − ⋅ − = − −
11 1x x
− = − 0x =
max2 ( ) 0a g x≥ = 0a >
1x > ( ) ln 0f x x a x= − ≥
ln
xa x
≤
( ) ln
xh x x
= 2
ln 1( ) (ln )
xh x x
−′ =
ex > ( ) 0h x′ > ( )h x
0 ex< < ( ) 0h x′ < ( )h x
ex = ( )h x (e) eh =
min( ) ea h x≤ =
a [0,e]
2 ( 1)y x a x= +−′∴ 푏
1 ― 푎＜0 且{ ―푏＞0
1
3(푎 + 1)3 ― 1
2(푎 + 1)(푎 + 1)2 ― 푏＜0，
解得 b＜0，1﹣a＞0，b＞ ― 1
6（a+1）3，
则 a>–1，b 1
2时函数单调递增，
从而得到函数的递减区间为 ，
函数的递增区间为 ，
所以当 时，函数푓(푥)取得最小值，
此时sin푥 = ― 3
2 ,sin2푥 = ― 3
2 ，
所以푓(푥)min = 2 × ( ― 3
2 ) ― 3
2 = ― 3 3
2 ，
故答案是 ― 3 3
2 .
( )5π π2 π ,2 π3 3k k k − − ∈ Z
( )π π2 π ,2 π3 3k k k − + ∈ Z
π2 π ,3x k k= − ∈Z【名师点睛】该题考查的是有关应用导数研究函数的最小值问题，在求解的过程中，需要明确相关的
函数的求导公式，需要明白导数的符号与函数的单调性的关系，确定出函数的单调增区间和单调减区
间，进而求得函数的最小值点，从而求得相应的三角函数值，代入求得函数的最小值.
7．【答案】
【解析】首先由奇函数的定义得到关于 的恒等式，据此可得 的值，然后利用 可得 a 的取
值范围.
若函数 为奇函数，则 即 ，
即 对任意的 恒成立，
则 ，得 .
若函数 是 R 上的增函数，则 在 R 上恒成立，
即 在 R 上恒成立，
又 ，则 ，
即实数 的取值范围是 .
【名师点睛】本题考查函数的奇偶性､单调性､利用单调性确定参数的范围.解答过程中，需利用转化与
化归思想，转化成恒成立问题.注重重点知识､基础知识､基本运算能力的考查.
8．【答案】–3
【解析】由 得 或 ，
因为函数 在 上有且仅有一个零点且 ，所以 ，
因此 解得 .
从而函数 在 上单调递增，在 上单调递减，所以
，
则
故答案为 .
【名师点睛】对于函数零点的个数问题，可利用函数的单调性、草图确定其中参数的取值条件．从图
( ]1 ,0− −∞
a a ( ) 0f x′ ≥
( ) e ex xf x a −= + ( ) ( ),f x f x− = − ( )e e e ex x x xa a− −+ = − +
( )( )1 e e 0x xa −+ + = x
1 0a + = 1a = −
( ) e ex xf x a −= + ( ) e e 0x xf x a −′ = − ≥
2e xa ≤
2e 0x > 0a ≤
a ( ],0−∞
( ) 26 2 0f x x ax= − =′ 0x =
3
ax =
( )f x ( )0,+∞ ( )0 =1f 0, 03 3
a af > =
3 2
2 1 0,3 3
a aa − + = 3a =
( )f x [ ]1,0− [ ]0,1 ( ) ( )max 0 ,f x f=
( ) ( ) ( ){ } ( )min min 1 , 1 1f x f f f= − = −
( ) ( )max minf x f x+ = ( ) ( )0 + 1 1 4 3.f f − = − = −
3−象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向
趋势，分析函数的单调性、周期性等．
9．【解析】（1）设 ，则 ， .
当 时， 单调递减，而 ，可得 在 有唯一零点，
设为 .
则当 时， ；当 时， .
所以 在 单调递增，在 单调递减，故 在 存在唯一极大值点，即
在 存在唯一极大值点.
（2） 的定义域为 .
（i）当 时，由（1）知， 在 单调递增，而 ，所以当 时，
，故 在 单调递减，又 ，从而 是 在 的唯一零点.
（ii）当 时，由（1）知， 在 单调递增，在 单调递减，而 ，
，所以存在 ，使得 ，且当 时， ；当
时， .故 在 单调递增，在 单调递减.
又 ， ，所以当 时， .从而， 在 没有
零点.
（iii）当 时， ，所以 在 单调递减.而 ， ，所以
在 有唯一零点.
（iv）当 时， ，所以 0, 2x π∈ ( ) 0f x > ( )f x 0, 2
π
,2x
π ∈ π ( ) 0f ' x < ( )f x ,2
π π 02f
π > ( ) 0f π <
( )f x ,2
π π
( , )x∈ π +∞ ln( 1) 1x + > ( )f x ( )f x ( , )π +∞综上， 有且仅有2个零点.
【名师点睛】本题考查导数与函数极值之间的关系、利用导数解决函数零点个数的问题.解决零点问题的
关键一方面是利用零点存在性定理或最值点来说明存在零点，另一方面是利用函数的单调性说明在区间
内零点的唯一性，二者缺一不可.
10．【解析】（1） ．
令 ，得 x=0 或 .
若 a>0 ， 则 当 时 ， ； 当 时 ， ． 故 在
单调递增，在 单调递减；
若 a=0， 在 单调递增；
若 a0.所以g（x）在（0，2）单调递增，而g（0）
=1，故当x∈（0，2）时，g（x）>1，不合题意.
（ii）若0
微信/支付宝扫码支付