考点 13 三角函数的基本概念、同角三角函数的基本关系
与诱导公式
考点解读
本考点是高考考查的重点，三角函数模块是高中知识的重要模块之一，而本考点是三角函数知识的基础，
要想熟练掌握三角函数的考查点，必须先打好基础，具体要求我们掌握以下几点：
1．任意角的概念、弧度制
（1）了解任意角的概念.
（2）了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化.
2．三角函数
（1）理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义.
（2）能利用单位圆中的三角函数线推导出 ， 的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出
的图象，了解三角函数的周期性.
（3）理解同角三角函数的基本关系式： ， .
一、角的有关概念
1．定义
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．
2．分类
（1）按旋转方向不同分为正角、负角、零角．
（2）按终边位置不同分为象限角和轴线角．
（ 3 ） 终 边 相 同 的 角 ： 所 有 与 角 终 边 相 同 的 角 ， 连 同 角 在 内 ， 可 构 成 一 个 集 合
．
3．象限角与轴线角
第一象限角的集合为 ；
2
απ ± π α±
sin , cos , tany x y x y x= = =
2 2sin cos 1x x+ = sin tancos
x xx
=
α α
·3{ | }60 ,S k kβ β α= = + ° ∈Z
π2 π 2 π ,2k k kα α < < + ∈ Z第二象限角的集合为 ；
第三象限角的集合为 ；
第四象限角的集合为
终边与 轴非负半轴重合的角的集合为 ；
终边与 轴非正半轴重合的角的集合为 ；
终边与 轴重合的角的集合为 ；
终边与 轴非负半轴重合的角的集合为 ；
终边与 轴非正半轴重合的角的集合为 ；
终边与 轴重合的角的集合为 ；
终边与坐标轴重合的角的集合为 ．
二、弧度制
1．1 弧度的角
把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角．
规定： 是以角 作为圆心角时所对圆弧的长， 为半径．正角的弧度数为正数，负角的弧度
数为负数，零角 的弧度数为零．
2．弧度制
用“弧度”做单位来度量角的单位制叫做弧度制．比值 与所取的 的大小无关，仅与角的大小有关．
3．弧度与角度的换算
．
4．弧长公式
π2 π 2 π π ,2k k kα α + < < + ∈ Z
3π2 π π 2 π ,2k k kα α + < < + ∈ Z
3π2 π 2 π 2π , .2k k kα α + < < + ∈ Z
x { }2 π ,k kα α = ∈Z
x { }2 π π ,k kα α = + ∈Z
x { }π ,k kα α = ∈Z
y π2 π ,2k kα α = + ∈ Z
y π2 π ,2k kα α = − ∈ Z
y ππ ,2k kα α = + ∈ Z
π ,2
k kα α = ∈ Z
,l lr
α = α r
l
r
r
180 π180 π rad ,1rad = 57.3 ,1 = radπ 180
° = ° ≈ ° ° ，其中 的单位是弧度， 与 的单位要统一.
角度制下的弧长公式为： （其中 为扇形圆心角的角度数）.
5．扇形的面积公式
.
角度制下的扇形面积公式为： （其中 为扇形圆心角的角度数）.
三、任意角的三角函数
1．定义
设 是一个任意角，它的顶点与原点重合，始边与 轴非负半轴重合，点 是角 的终边上任
意 一 点 ， 到 原 点 的 距 离 ， 那 么 角 的 正 弦 、 余 弦 、 正 切 分 别 是
．
注意：正切函数 的定义域是 ，正弦函数和余弦函数的定义域都是
.
2．三角函数值在各象限内的符号
三角函数值在各象限内的符号口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦．
3．三角函数线
设角 的顶点与原点重合，始边与 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点 ，过 作 垂直于
轴 于 ． 由 三 角 函 数 的 定 义 知 ， 点 的 坐 标 为 ， 即 ， 其 中
单位圆与 轴的正半轴交于点 ，单位圆在 点的切线与 的终边或其反
向延长线相交于点 ，则 ．我们把有向线段 分别叫做 的余弦线、正弦线、
正切线．
l rα= α l r
π
180
n rl = n
21 1
2 2S lr rα= =
2π
360
n rS = n
α x ( ),P x y α
P ( )0OP r r= > α
sin , cos , tany x y
r r x
α α α= = =
tan y
x
α = ππ ,2k kα α ≠ + ∈ Z
R
α x P P PM
x M P ( )cos , sinα α ( )cos , sinP α α
cos , sin ,OM MPα α= = x A A α
T tan ATα = , ,OM MP AT α各象限内的三角函数线如下：
角所在的象限 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限
图形
4．特殊角的三角函数值
0
0 1 0 0
1 0 0 1
0 1 不存在 0 不存在 0
补充：
四、同角三角函数的基本关系式
1．平方关系
．
2．商的关系
．
3．同角三角函数基本关系式的变形
0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°
α
π
6
π
4
π
3
π
2
2π
3
3π
4
5π
6
π 3π
2 2π
sinα 1
2
2
2
3
2
3
2
2
2
1
2 1−
cosα 3
2
2
2
1
2
1
2
− 2
2
− 3
2
− 1−
tanα 3
3 3 3− 1− 3
3
−
6 2 6 2sin15 cos75 , sin 75 cos15 ,4 4
− +° = ° = ° = ° =
tan15 2 3 , tan 75 2 3 .° = − ° = +
2 2sin cos 1α α+ =
sin
cos tan
α
α α=（1）平方关系的变形： ；
（2）商的关系的变形： ；
（3） ．
五、三角函数的诱导公式
公式 一 二 三 四 五 六
角
2kπ+α
（k∈Z）
π+α −α π−α −α +α
正弦 sin α −sinα −sinα sinα cosα cosα
余弦 cos α −cosα cosα −cosα sinα −sinα
正切 tan α tanα −tanα −tanα
口诀
函数名不变，
符号看象限
函数名改变，
符号看象限
考向一 三角函数的定义
1．利用三角函数的定义求角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标 x、
纵坐标 y、该点到原点的距离 r.若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情
况(点所在象限不同)．
2．利用三角函数线解三角不等式的步骤：①确定区域的边界；②确定区域；③写出解集．
3．已知角 α 的终边所在的直线方程或角 α 的大小，根据三角函数的定义可求角 α 终边上某特定点的坐
标．
4．三角函数值的符号及角的位置的判断．已知一角的三角函数值( ， ， )中任意两个的符
号，可分别确定出角的终边所在的可能位置，二者的交集即为该角的终边位置．注意终边在坐标轴上的特
殊情况.
2 2 2 2sin 1 cos , cos 1 sinα α α α= − = −
sinsin tan cos , cos tan
αα α α α α= ⋅ =
2
2 2 2
1 1 1tan 1, 1cos sin tan
αα α α− = − =
2
π
2
π
sinα cosα tanα典例 1 已知角 的终边上有一点 P（ ，m），且 m，求 与 的值.
【解析】由已知有 ，得 m=0，或 .
当 m=0 时， ；
当 时， ；
当 时， .
【名师点睛】任意角的三角函数值仅与角 α 的终边位置有关，而与角 α 终边上点 P 的位置无关．若角 α 已
经给出，则无论点 P 选择在 α 终边上的什么位置，角 α 的三角函数值都是确定的．
1．已知角 终边上一点的坐标为 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
考向二 象限角和终边相同的角的判断及表示方法
1．已知 θ 所在的象限，求 或 nθ（n N*）所在的象限的方法是：将 θ 的范围用不等式（含有 k）表示，
然后两边同除以 n 或乘以 n，再对 k 进行讨论，得到 或 nθ（n N*）所在的象限．
2．象限角的判定有两种方法：
一是根据图象，其依据是终边相同的角的思想；
二是先将此角化为 k·360°＋α（0°≤α0, 0，∴0 < 훼 < π
2，
∵(sin훼 + cos훼)2 = 1 + 2sin훼cos훼 = 9
5，∴sin훼 + cos훼 = 3 5
5 .②
由①②可得sin훼 = 2 5
5 ，cos훼 = 5
5 ，∴tan훼 = 2.
方法 2：sin2훼 ― 2sin훼cos훼 + cos2훼 = 1
5 = 1
5(sin2훼 + cos2훼)，
∴2sin2훼 ― 5sin훼cos훼 +2cos2훼 = 0，∴2tan2훼 ― 5tan훼 +2 = 0，
∴tan훼 = 2或tan훼 = 1
2，
又1 > sin훼 ― cos훼 = 5
5 > 0，∴π
4 < 훼 < π
2，∴tan훼 > 1，
∴tan훼 = 2.
3．若 tan α＝3，则 ________.
考向四 诱导公式的应用
1．应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断．求任意角的三角函数值的问题，都可以通过
诱导公式化为锐角三角函数的求值问题，具体步骤为“负角化正角”→“正角化锐角”→求值．
2．使用诱导公式时一定要注意三角函数值在各象限的符号，特别是在具体题目中出现类似 的形式时，
需要对 k 的取值进行分类讨论，从而确定出三角函数值的正负．
2 2
2
sin 3cos
sin 2sin cos 5
α α
α α α
+ =+ −
πk α±3．利用诱导公式化简三角函数式的思路：
（1）分析结构特点，选择恰当公式；
（2）利用公式化成单角三角函数；
（3）整理得最简形式．
利用诱导公式化简三角函数式的要求：
（1）化简过程是恒等变形；
（2）结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值．
4．巧用相关角的关系能简化解题的过程．
常见的互余关系有 与 ， 与 ， 与 等；
常见的互补关系有 与 ， 与 等.
典例 4 已知 ,且 ，则
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】∵ ，∴ .
∵ ，∴ ，则 .
∵ ，∴ .故选 A．
典例 5 （1）化简： ；
（2）化简： .
π
3
α− π
6
α+ π
3
α+ π
6
α− π
4
α+ π
4
α−
π
3
θ+ 2π
3
θ− π
4
θ+ 3π
4
θ−
( ) 2sin π 3
α− = − π ,02
α ∈ −
( )tan 2π α− =
2 5
5
2 5
5
−
5
2
5
2
−
( ) 2sin π 3
α− = − 2sin 3
α = −
π ,02
α ∈ −
5cos 3
α = 2 5tan 5
α = −
( )tan 2π tanα α− = − ( ) 2 5tan 2π 5
α− =
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
sin π cos 3π tan π tan 2π
tan 4π sin 5π a
α α α α
α
− − − − −
− +
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
sin 540 cos 360tan 540 tantan 900 sin
x xx xx x
°− °−⋅ °+ ⋅ − ⋅°− −【解析】（1） =
.
（2）原式 .
4．已知 .
（1）化简 ；
（2）若 是第二象限角,且 ,求 的值.
考向五 同角三角函数的基本关系式、诱导公式在三角形中的应用
与三角形相结合时，诱导公式在三角形中经常使用，常用的角的变形有： , ，
等，于是可得 ， 等．
典例 6 已知 .
（1）化简 ；
（2）若角 是 的内角，且 ，求 的值.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1） .
（2）因为 ，又角 是 的内角，则角 为锐角，
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( )
sin π cos 3π tan π tan 2π sin cos tan tan
tan 4π sin 5π tan sina
α α α α α α α α
α α α
− − − − − − −=− + − −
cos tan sinα α α= =
( ) ( )2sin costan tan cos sintan sin
x xx x x xx x
= ⋅ − ⋅ = − ⋅ = −− −
( )
( ) ( )
( ) ( )
3sin 3 cos 2 sin 2
cos sinf
ππ α π α α
α π α π α
− − − = − − −
( )f α
α 1cos 2 3
απ + = −
( )f α
πA B C+ = − 2 2 2π 2A B C+ = −
π
2 2 2 2
A B C+ + = in i(s s n)A B C=+ cos sin2 2
A B C+ =
( )
( ) ( )
( ) ( )
sin cos sin 2
cos sinf
ππ α α α
α π α α
− − + = + −
( )f α
A ABC△ ( ) 3
5f A = tan sinA A−
( ) cosf α α= 8
15
( )
( ) ( )
( ) ( )
sin cos sin sin cos cos2 coscos sin cos sinf
ππ α α α α α αα απ α α α α
− − + = = =+ −
( ) 3cos 5f A A= = A ABC A所以， ， ，
因此， .
【名师点睛】本题考查利用诱导公式化简，同时也考查了利用同角三角函数的基本关系求值，考查计算能
力，属于基础题.
（1）利用诱导公式化简可得 的表达式；
（2）由同角三角函数的基本关系求得 、 的值，进而可求得 的值.
典例 7 在 中，内角퐴，퐵，퐶所对的边分别是푎，푏，푐，若푎 = 2 3， ，tan퐴 = 3
4，则sin퐴 =
______，푏 = ________.
【答案】 ，4 + 3
【解析】由 ,得 ，
,
由正弦定理 .
5．在 中， ，则 （ ）
A．7 B．
C． D．
1．sin 的值是（ ）
A．－ B．
2 4sin 1 cos 5A A= − = sin 4tan cos 3
AA A
= =
4 4 8tan sin 3 5 15A A− = − =
( )f α
sin A tan A tan sinA A−
ABC△ π
3C =
3
5
sin 3tan cos 4
AA A
= = 2 2π 3 4sin cos 1, sin cos2 5 5A A A A A< + = ∴ = =，又 ，
( ) 3 1 4 3 3 4 3sin sin sin cos cos sin 5 2 5 2 10B A C A C A C
+∴ = + = + = × + × =
sin 3 4 3 52 3 4 3sin sin sin 10 3
b a a BbB A A
+= = = × × = +，得
ABC△ 1cos sin 5A A+ = tan 4A
π − =
1
7
−
7± 1
7
±
13
6
π
1
2
1
2C．－ D．
2．若 θ＝－5，则角 θ 的终边在（ ）
A．第四象限 B．第三象限
C．第二象限 D．第一象限
3．若角 的终边经过点 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
4．已知 ，则 的值等于（ ）
A． B．
C． D．
5．已知 ，则“ ”是“ 是直角三角形”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知 是第二象限角， 为其终边上一点且 ，则 的值（ ）
A． B．
C． D．
7．若 ， ，则 的值为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知 ，则 的值构成的集合是（ ）
3
2
3
2
θ 3 4( , )5 5
− sin( ) cos( ) tan(2 )2
π θ π θ π θ+ + − + − =
4
3
4
3
−
3
4
3
4
−
1sin 4 3
πα + = cos 4
π α −
2 2
3
2 2
3
−
1
3
1
3
−
ABC sin cosA B= ABC
θ ( ),2P x 5cosθ 5 x= 2sin cos
sin cos
θ θ
θ θ
−
+
5 5
2
3
2
3
4
( )0,α π∈ ( ) 2sin cos 3
π α α− + = sin cosα α−
2
3
2
3
−
4
3
4
3
−
( ) ( ) ( )sin cos
sin cos
k kA k
π α π α
α α
+ += + ∈Z AA． B．
C． D．
9．已知푎 = tan( ― 휋
5)，푏 = tan(7휋
5 )，푐 = sin( ― 휋
5)，则有（ ）
A．푎 > 푏 > 푐 B．푐 > 푏 > 푎
C．푐 > 푎 > 푏 D．푏 > 푐 > 푎
10．“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是
文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号.如图是折扇的示意图， 为 的一个靠近点 的三
等分点，若在整个扇形区域内随机取一点，则此点取自扇面（扇环）部分的概率是（ ）
A． B．
C． D．
11．一个面积为 1 的扇形，所对弧长也为 1，则该扇形的圆心角是________弧度.
12．若角 α 的终边上有一点 P（－4，a），且 sinα·cosα＝ ，则 a 的值为 .
13．已知 ，则 =______．
14．在△ABC 中，若 ，则 的值为_______．
15．化简下列各式：
（1） ；
（2） .
16．已知角 的顶点在原点，始边与 轴的非负半轴重合，终边在射线 上．
{1, 1,2, 2}− − { 1,1}−
{2, 2}− { }1, 1,0,2, 2− −
M ON N
1
3
2
3
4
9
5
9
2sin +cos = 2
θ θ 1tan tan
θ θ+
7sin cos 13A A+ = − tan A
( ) ( ) ( )
( ) ( )
tan 2 sin 2 cos 6
cos sin 5
π α π α π α
α π π α
− ⋅ − − ⋅ −
− ⋅ −
1 2sin 290 cos430
sin 250 cos790
° °
° °
+
+
α x ( )2 0 0x y x+ = ≥（1）求 的值；
（2）若 ，求 的值．
17．已知 .
（1）化简 ，并求 的值；
（2）若 ，求 的值；
（3）若 ， ，求 的值.
1．【2019 年高考全国Ⅰ卷文数】tan255°=
A．−2− B．−2+
C．2− D．2+
2．【2019 年高考全国Ⅱ卷文数】已知 a∈（0， ），2sin2α=cos2α+1，则 sinα=
A． B．
C． D．
3．【2018 年高考全国Ⅰ卷文数】已知角 的顶点为坐标原点，始边与 轴的非负半轴重合，终边上有两点
2sin cosα α+
( ) 1tan 3
α β+ = ( )
2 2
1 2sin sin 2
sin cos
ππ β β
β β
+ + −
−
2 2
sin(3 )cos(5 )( ) 3cos ( ) sin ( )2 2
f
π α π αα π πα α
− +=
− + +
( )f α ( )6f
π
tan 3α = ( )f α
12( ) 25f α = (0, )α π∈ sin cosα α−
3 3
3 3
π
2
1
5
5
5
3
3
2 5
5
α x， ，且 ，则
A． B．
C． D．
4．【2018 年高考北京卷文数】在平面直角坐标系中， 是圆 上的四段弧（如图），
点 P 在其中一段上，角 以 O푥为始边，OP 为终边，若 ，则 P 所在的圆弧是
A． B．
C． D．
5．【2017 年高考全国Ⅰ卷文数】已知 ，tan α=2，则 = .
6．【2017 年高考北京卷文数】在平面直角坐标系 xOy 中，角 与角 均以 Ox 为始边，它们的终边关于 y
轴对称.若 sin = ，则 sin =_________．
7．【2018 年高考浙江卷】已知角 α 的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，它的终边过点 P
（ ）．
（1）求 sin（α+π）的值；
（2）若角 β 满足 sin（α+β）= ，求 cosβ 的值．
( )1A a， ( )2B b， 2cos2 3
α = a b− =
1
5
5
5
2 5
5
1
, , ,AB CD EF GH 2 2 1x y+ =
α tan cos sinα α α< <
AB CD
EF GH
π(0 )2
∈ ，α πcos ( )4
α −
α β
α 1
3
β
3 4
5 5
− ，-
5
131．【答案】C
【解析】
【分析】
根据三角函数的定义求 ，结合角的范围写出角即可.
【详解】
由诱导公式知， ，
，
所以角 终边上一点的坐标为 ，
故角的终边在第三象限，
所以 ，
由 知， .
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了三角函数的定义，诱导公式，特殊角的三角函数，属于容易题.
2．【答案】B
【解析】
【分析】
由 是第三象限角，知 在第二象限或在第四象限，再由 ，知 ，由此能判
断出 所在象限．
【详解】
是第三象限角，
， ，
变式拓展
tanα
7 1sin sin( ) sin6 6 6 2
π π ππ= + = − = −
7π 3cos cos( ) cos6 6 6 2
π ππ= + = − = −
( )0 2πα α≤ < 1 3( , )2 2
− −
tan 3α =
0 2πα≤ < 4
3
πα =
α
2
α
cos cos2 2
α α= − cos 02
α <
2
α
α
180 360 270 360 ,k k k Zα° ° ° °∴ + ⋅ < < + ⋅ ∈ 90 180 135 180 ,2k k k Z
α° ° ° °∴ + ⋅ < < + ⋅ ∈当 是偶数时，设 ，则 ，此时 在第二象限；
当 是奇数时，设 ，则 ，此时 在第四象限；
∴ 在第二象限或在第四象限，
， ，
∴ 在第二象限．
故选 B．
【点睛】
本题考查角所在象限的判断，属于基础题，关键在于由所在的象限，得出关于 的不等式，再求出
的范围．
3．【答案】
【解析】
由题意知 ，则
.
【点睛】本题考查同角三角函数基本关系式，已知 值，求关于 的齐次式或分式的一般
原则是“分子分母同除以 ”、“整式变分式（分母为 ）”、“常数变式子，即利用
”.
4．【答案】（1） ；（2） .
【解析】
试题分析：
（1）根据诱导公式对 进行化简即可．（2）先由 求得 ，再根据（1）
的结论及同角三角函数关系式求解．
k 2 ,k n n= ∈Z 90 360 135 360 ,2n n n Z
α° ° ° °+ ⋅ < < + ⋅ ∈
2
α
k 2 1,k n n Z= + ∈ 270 360 315 360 ,2n n n Z
α° ° ° °+ ⋅ < < + ⋅ ∈
2
α
2
α
cos cos2 2
α α= − cos 02
α∴ <
2
α
α
2
α
12
35
−
cos 0α ≠
2 2
2
sin 3cos
sin 2sin cos 5
α α
α α α
+
+ −
2 2 2
2 2 2
sin 3cos tan 3
4sin 2sin cos 5cos 4tan 2tan 5
α α α
α α α α α α
+ += =− + − − + −
9 3 12
4 9 2 3 5 35
+= = −− × + × −
tanα sin ,cosα α
cosn α 2 2sin cosα α+
2 21 sin cosα α= +
cosα 2 2
3
−
( )f α 1cos 2 3
π α + = −
1sin 3
α =试题解析：
（1） ．
（2） ，
，
∵ 是第二象限角，
∴ ，
．
5．【答案】A
【解析】
【分析】
根据已知条件求得 ，由此求得 ，进而求得 .
【详解】
由 ①两边平方并化简得 ，由于 ，所以
.
所以 ②.
由①②得 ，所以 .
所以 .
故选：A.
【点睛】
本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查两角差的正切公式，属于中档题.
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
3sin 3 cos 2 sin sin cos cos2 coscos sin cos sinf
ππ α π α α α α αα απ α π α α α
− − − − = = =− − − −
1cos sin2 3
π α α + = − = −
1sin 3
α∴ =
α
2 2 2cos 1 sin 3
α α= − − = −
( ) 2 2cos 3f α α∴ = = −
cos ,sinA A tan A tan 4A
π −
1cos sin 5A A+ = 242sin cos 025A A = − < 0 A π< <
sin 0,cos 0A A> <
( )2 7cos sin cos sin 1 2sin cos 5A A A A A A− = − − = − − = −
3 4cos ,sin5 5A A= − = sin 4tan cos 3
AA A
= = −
4 1tan tan 34tan 744 1 tan tan 14 3
A
A
A
π
π
π
− −− − = = = + ⋅ −1．【答案】B
【解析】
【分析】
由诱导公式和特殊角的三角函数值可得答案.
【详解】
sin ＝sin ＝sin ＝ .
故选：B.
【点睛】
本题考查诱导公式和特殊角三角函数值的应用，属于简单题.
2．【答案】D
【解析】
【分析】
根据 2π－5 与－5 的终边相同，简单判断即可.
【详解】
2π－5 与－5 的终边相同，
∵2π－5∈ ，
∴2π－5 是第一象限角，则－5 也是第一象限角.
故选：D.
【点睛】
本题考查角度终边所在的象限，关键在于终边相同角的表示，属基础题.
3．【答案】A
【解析】由题知 ，则由诱导公式可得
原式 ，故本题答案选 ．
4．【答案】C
考点冲关
13
6
π 2 6
ππ + 6
π 1
2
0, 2
π
4tanθ=- 3
4 4cos cos tan tan 3 3
θ θ θ θ = − − = − = − − = A【解析】
【分析】
根据 ，将所求式子中的角变换后，利用诱导公式变形后，将已知的等式代入即可
求出值．
【详解】
解：因为 ，所以 .
故选：C.
【点睛】
本题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式，灵活变换角度是解本题的关键，属于基础
题．
5．【答案】D
【解析】
【分析】
若 ，则 或 ；若 ，则 ；由充分条件和必要条件
的概念即可得解.
【详解】
若 ，则 或 ，不能推出 是直角三角形；
若 ，则 ，所以 是直角三角形不能推出 ;
所以“ ”是“ 是直角三角形”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
【点睛】
本题考查了三角函数的性质和充分条件、必要条件的概念，属于基础题.
6．【答案】A
【解析】
由题意得 ，解得 ．
4 4 2
π π πα α + + − =
1sin 4 3
πα + =
1cos cos sin4 2 4 4 3
π π π πα α α − = − + = + =
sin cosA B=
2A B
π+ =
2A B
π= +
2A
π= sin cosA B≠
sin cosA B=
2A B
π+ =
2A B
π= + ABC
2A
π= sin cosA B≠ ABC sin cosA B=
sin cosA B= ABC
2
5cos 5 4
x x
x
θ = =
+ 1x = ±又 是第二象限角，
∴ ．
∴ ．
∴ ．选 A．
7．【答案】C
【解析】
【分析】
由诱导公式得 ，两边取平方，可得 ，结合
及象限角的符号，即可求得答案.
【详解】
由诱导公式得 ，
平方得 ，则 ，
所以 ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，
故选 C.
【点睛】
本题考查利用三角函数的诱导公式、同角三角函数的平方关系化简求值，考查 、
和 知一求二的灵活运用.
8．【答案】C
【解析】
【分析】
对 分奇数、偶数进行讨论，利用诱导公式化简可得.
【详解】
为偶数时， ； 为奇数时， ，则 的值构成的集合
θ
1x = −
tan 2θ = −
2sin cos 2tan 1 4 1 5sin cos tan 1 2 1
θ θ θ
θ θ θ
− − − −= = =+ + − +
2sin cos 3
α α+ = 72sin cos 9
α α = −
( )2sin cos 1 2sin cosα α α α− = −
( ) 2sin cos sin cos 3
π α α α α− + = + =
( )2 2sin cos 1 2sin cos 9
α α α α+ = + = 72sin cos 09
α α = − <
( )2 16sin cos 1 2sin cos 9
α α α α− = − =
( )0,α π∈ sin cos 0α α− >
4sin cos 3
α α− =
sin +cosα α
sin -cosα α sin cosα α
k
k sin cos 2sin cosA
α α
α α= + = k sin cos 2sin cosA
α α
α α= − − = − A为 .
【点睛】
本题考查三角式的化简，诱导公式，分类讨论，属于基本题.
9．【答案】D
【解析】
【分析】
首先通过诱导公式，化简三个数，然后判断它们的正负性，最后利用商比法判断
푎,푐的大小，最后选出正确答案.
【详解】
푎 = tan( ― 휋
5) = ― tan휋
5 < 0,푏 = tan(7휋
5 ) = tan(휋 + 2
5휋) = tan2
5휋 > 0,푐 = sin( ― 휋
5) = ― sin휋
5 < 0，
而푎
푐 =
―tan휋
5
―sin휋
5
=
1
cos휋
5
> 1,푐 = sin( ― 휋
5) = ― sin휋
5 < 0⇒푎 < 푐，故本题选 D.
【点睛】
本题考查了诱导公式、以及同角三角函数关系，以及商比法判断两数大小.在利用商比法时，要注意分母
的正负性.
10．【答案】D
【解析】
【分析】
设 ，扇形的圆心角为 ，求出整个扇形的面积和扇环的面积，利用几何概型的概率公式可求得
所求事件的概率.
【详解】
设 ，扇形的圆心角为 ，则整个扇形的面积为 ，
扇环的面积为 ，由几何概型的概率公式得 .
故选：D.
【点睛】
本题考查几何概型概率的计算，解答的关键在于计算出相应平面区域的面积，考查计算能力，属于基
础题.
{ }2, 2−
ON r= α
ON r= α 21
2S rα′ =
2
2 21 1 2 5
2 2 3 18
rS r rα α α = − =
2
2
5
518
1 9
2
r
p
r
α
α
= =11．【答案】
【解析】
【分析】
设扇形的所在圆的半径为 ，圆心角为 ，应用扇形的弧长公式和面积公式，列出方程组，即可求解.
【详解】
设扇形的所在圆的半径为 ，圆心角为 ，
因为扇形的面积为 1，弧长也为 1，
可得 ，即 ，解得 .
故答案为： .
【点睛】
本题主要考查了扇形的弧长公式和面积公式的应用，其中解答中熟练应用扇形的弧长公式和面积公式，
列出方程组是解答的关键，着重考查了运算与求解能力.
12．【答案】 或
【解析】根据三角函数的定义， ， ，所以根据已知条件，
，所以解得： 或 .
13．【答案】-4
【解析】
【分析】
把已知等式两边平方可得 的值，再利用同角三角函数的基本关系化简求得结果
【详解】
解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
1
2
r α
r α
21 12
1
r
r
α
α
⋅ =
=
2 2
1
r
r
α
α
⋅ =
=
12, 2r α= =
1
2
2
4 3
16 4
a
a
− =+
sin cosθ θ
2sin +cos = 2
θ θ
( )2 1sin +cos =1+2sin cos = 2
θ θ θ θ
1sin cos =- 4
θ θ则 .
故答案为：-4.
【点睛】
本题考查同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题
14．【答案】
【解析】
由题意得 ，解得 ，又 ，
故答案为 .
15．【答案】（1）－tanα；（2）－1.
【解析】
【分析】
（1）利用诱导公式，结合同角三角函数关系即可实现化简；
（2）利用诱导公式将角度化简为锐角，再结合同角三角函数关系即可.
【详解】
（1）原式＝
.
（2）原式＝
＝ ＝
＝
＝－1.
1 sin cos 1tan 4tan cos sin cos sin
θ θθ θ θ θ θ θ+ = + = = −
5
12
−
2 2
7sin cos 13
sin cos 1
A A
A A
+ = −
+ =
5sin 13
12cos 13
A
A
=
= −
5
sin 513tan 12cos 12
13
AA A
= = = −
−
5
12
−
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
sin 2 sin coscos 2
cos π α sin π α
π α α απ α
− ⋅ − ⋅ −−
− ⋅ −
sin sin cos
cos cos sin
α α α
α α α
−= − ⋅ ⋅−
tanα= −
) )1 2sin(360 70 cos(360 70
sin(180 70 cos(720 70) )
° ° ° °
° ° ° °
+ − +
+ + +
1 2sin 70 cos70
sin 70 cos70
° °
° °
−
− +
| |cos70 sin 70
cos70 sin 70
° °
° °
−
−
sin 70 cos70
cos70 sin 70
° °
° °
−
−【点睛】
本题考查利用诱导公式进行化简求值，属基础题.
16．【答案】（1） ；（2） ．
【解析】
【分析】
（1）根据三角函数的定义求得 ，由此求得 的值.
（2）先求得 的值，利用诱导公式、同角三角函数的基本关系式化简所求表达式，由此求得所求
表达式的值.
【详解】
（1）因为角 的终边在射线 上，所以可设终边上一点 ，
则根据三角函数的定义有 ， ，
，所以 ．
（2）由 及 ，
解得： ；
所以
.
【点睛】
本小题主要考查三角函数的定义，考查两角和的正切公式，考查诱导公式、同角三角函数的基本关系
式，属于中档题.
3 5
5
− 3
4
tan ,sin ,cosα α α 2sin cosα α+
tan β
α ( )2 0 0x y x+ = ≥ ( )( ), 2 0P a a a− >
2tan 2a
a
α -= =- ( )22
2 2 5sin 52
a
a a
α −= = −
+ −
( )22
5cos 52
a
a a
α =
−
=
+
3 52sin cos 5
α α+ = −
tan 2α =- ( ) tan tan 1tan 1 tan tan 3
α βα β α β
++ = =−
tan 7β =
( ) 2 2
2 2 2 2
1 2sin sin sin cos 2sin cos2
sin cos sin cos
ππ β β β β β β
β β β β
+ + − + − =− −
2
2
tan 1 2tan
tan 1
β β
β
+ −= −
49 1 14 36 3
49 1 48 4
+ −= = =−17．【答案】（1） ， ；（2） ；（3） .
【解析】
【分析】
（1）利用诱导公式化简 表达式，并求得 的值.
（2）利用齐次方程的方法，将 的表达式化为只含 的形式，由此求得 的值.
（3）利用同角三角函数的基本关系式，先求得 的值，根据 的符号，求得
的值.
【详解】
（1）由 ，
所以 ；
（2） ；
（3）由 得， ，
又 ，所以 ，所以 ，
又 ，
所以 .
【点睛】
本小题主要考查利用诱导公式进行化简，考查同角三角函数的基本关系式，考查齐次方程的运用，考
查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.
1．【答案】D
【解析】 =
sin cosα α- ×
3
4
− 3
10
− 7
5
( )f α π
6f
( )f α tanα ( )f α
2(sin cos )α α− sin cosα α−
sin cosα α−
2 2
sin ( cos )( ) sin cossin cos
α αf α α αα α
× -= =- ×+
3( ) sin cos6 6 6 4f
π π π
=- =-
2 2 2
sin cos tan 3( ) sin cos sin cos tan 1 10
α α αf α α α α α α
×=- × =- =- =-+ +
12( ) 25f α =
12sin cos 025α α× =- <
(0, )α π∈ ( , )2
πα π∈ sin cos 0α α− >
2 12 49(sin cos ) =1 2sin cos =1+ 2 25 25α α α α-- ´ =
7sin cos 5
α α− =
直通高考
tan 255 tan(180 75 ) tan 75 tan(45 30 )° = °+ ° = ° = °+ ° tan 45 tan30
1 tan 45 tan30
°+ °
− ° °故选 D.
【名师点睛】本题主要考查三角函数的诱导公式、两角和与差的三角函数、特殊角的三角函数值、运
算求解能力．首先应用诱导公式，将问题转化成锐角三角函数的计算，进一步应用两角和的正切公式
计算求解．题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．
2．【答案】B
【解析】 ， ，
，又 ， ，又 ， ，故
选 B．
【名师点睛】本题是对三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余
弦的正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数
值的正负很关键，切记不能凭感觉．解答本题时，先利用二倍角公式得到正余弦关系，再利用角范围及
正余弦平方和为 1 关系得出答案．
3．【答案】B
【解析】根据条件，可知 三点共线，从而得到 ，
因为 ，解得 ，即 ，
所以 ，故选 B.
【名师点睛】本题主要考查任意角的三角函数和三角恒等变換，考查考生分析问题、解决问题的能力和
运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.
4．【答案】C
【解析】由下图可得：有向线段 为余弦线，有向线段 为正弦线，有向线段 为正切线.
31 3 2 3.
31 3
+
= = +
−
2sin 2 cos2 1α α= +
24sin cos 2cos . 0, , cos 02α α α α α
π ∴ ⋅ = ∈ ∴ > sin 0,α >
2sin cosα α∴ = 2 2sin cos 1α α+ = 2 2 15sin 1,sin 5α α∴ = = sin 0α > 5sin 5
α∴ =
, ,O A B 2b a=
2
2
2
1 2cos2 2cos 1 2 1 31a
= − = ⋅ − =
+
α α 2 1
5a = 5
5a =
52 5a b a a− = − =
OM MP AT对于 A 选项：当点 在 上时， ， ，故 A 选项错误；
对于 B 选项：当点 在 上时， ， ， ，故 B
选项错误；
对于 C 选项：当点 在 上时， ， ， ，故 C
选项正确；
对于 D 选项：当点 在 上且 在第三象限时， ，故 D 选项错误.
综上，故选 C.
【名师点睛】此题主要考查三角函数的定义，解题的关键是能够利用数形结合思想，作出图形，找到
所对应的三角函数线进行比较.逐个分析 A、B、C、D 四个选项，利用三角函数的三
角函数线可得正确结论.
5．【答案】
【解析】由 得 ，
又 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 .
【名师点睛】三角函数求值的三种类型：
（1）给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数．
（2）给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异．
P AB cos ,sinx yα α= = cos sinα α∴ >
P CD cos ,sinx yα α= = tan y
x
α = tan sin cosα α α∴ > >
P EF cos ,sinx yα α= = tan y
x
α = sin cos tanα α α∴ > >
P GH GH tan 0,sin 0,cos 0α α α> < <
sin ,cos ,tanα α α
3 10
10
tan 2α = sin 2cosα α=
2 2sin cos 1α α+ = 2 1cos 5
α =
π(0, )2
α ∈ 5 2 5cos ,sin5 5
α α= =
π π πcos( ) cos cos sin sin4 4 4
α α α− = + π 5 2 2 5 2 3 10cos( )4 5 2 5 2 10
α − = × + × =①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；
②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的．
（3）给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．
6．【答案】
【 解 析 】 因 为 角 与 角 的 终 边 关 于 轴 对 称 ， 所 以 ， 所 以
.
【名师点睛】本题考查了角的对称关系，以及诱导公式，常用的一些对称关系包含：
若 与 的终边关于 轴对称，则 ；
若 与 的终边关于 轴对称，则 ；
若 与 的终边关于原点对称，则 .
7．【答案】（1） ；（2） 或 .
【解析】（1）由角 的终边过点 得 ，
所以 .
（2）由角 的终边过点 得 ，
由 得 .
由 得 ，
所以 或 .
【名师点睛】本题主要考查三角函数的定义、诱导公式、两角差的余弦公式，考查考生分析问题、解
决问题的能力，运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.
求解三角函数的求值问题时，需综合应用三角函数的定义、诱导公式及三角恒等变换.
（1）首先利用三角函数的定义求得 ，然后利用诱导公式，计算 sin（α+π）的值;
（2）根据 sin（α+β）的值，结合同角三角函数的基本关系，计算 的值，要注意该值的正负，
然后根据 ，利用两角差的余弦公式，通过分类讨论，求得 cosβ 的值.
1
3
α β y π 2 π,k kα β+ = + ∈Z
( ) 1sin sin π 2 π sin 3kβ α α= + − = =
α β y π 2 π,k kα β+ = + ∈Z
α β x 2 π,k kα β+ = ∈Z
α β π 2 π,k kα β− = + ∈Z
4
5
56cos 65
β = − 16cos 65
β = −
α 3 4( , )5 5P − − 4sin 5
α = −
4sin( π) sin 5
α α+ = − =
α 3 4( , )5 5P − − 3cos 5
α = −
5sin( ) 13
α β+ = 12cos( ) 13
α β+ = ±
( )β α β α= + − cos cos( )cos sin( )sinβ α β α α β α= + + +
56cos 65
β = − 16cos 65
β = −
sinα
cos( )+α β
( )β α β α= + −
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