考点15 三角恒等变换-备战2021年高考数学（理）一轮复习考点一遍过

1 考点 15 三角恒等变换 考 点 解 读 三角函数公式，即同角基本关系式、诱导公式以及两角和与差的三角函数公式常结合三角函数性质一起考 查，但也要注意单独考查的求值问题，对此，必须首先掌握公式的熟练应用，具体要求如下： 1．和与差的三角函数公式 （1）会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式. （2）能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式. （3）能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公 式，了解它们的内在联系. 2．简单的三角恒等变换 能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要 求记忆）. 一、两角和与差的三角函数公式 1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 （1） ： （2） ： （3） ： （4） ： （5） ： （6） ： 2．二倍角公式 ( )C α β− cos( )α β− = cos cos sin sinα β α β+ ( )C α β+ cos( ) cos cos sin sinα β α β α β+ = − ( )S α β+ sin( )α β+ = sin cos cos sinα β α β+ ( )S α β− sin( )α β− = sin cos cos sinα β α β− ( )T α β+ tan( )α β+ = tan tan π( , , π, )1 tan tan 2 k k α β α β α βα β + + ≠ + ∈− Z ( )T α β− tan( )α β− = tan tan π( , , π, )1 tan tan 2 k k α β α β α βα β − − ≠ + ∈+ Z2 （1） ： （2） ： （3） ： 3．公式的常用变形 （1） ； （2）降幂公式： ； ； （3）升幂公式： ； ； ； （4）辅助角公式： ，其中 ， 二、简单的三角恒等变换 1．半角公式 （1） ； （2） ； （3） . 【注】此公式不用死记硬背，可由二倍角公式推导而来，如下图： 2S α sin 2α = 2sin cosα α 2C α cos2α = 2 2 2 2cos sin 1 2sin 2cos 1α α α α− = − = − 2T α tan 2α = 2 2tan π π π( π , )1 tan 2 2 4 kk k α α αα ≠ + ≠ + ∈− Z且 tan tan tan( )(1 tan tan )α β α β α β± = ±  tan tan tan tantan tan 1 1tan( ) tan( ) α β α βα β α β α β + −= − = −+ − 2 1 cos2sin 2 αα −= 2 1 cos2cos 2 αα += 1sin cos sin 22 α α α= 21 cos2 2cosα α+ = 21 cos2 2sinα α− = 21 sin 2 (sin cos )α α α+ = + 21 sin 2 (sin cos )α α α− = − sin cosa x b x+ 2 2 sin( )a b x ϕ= + + 2 2 2 2 cos ,sina b a b a b ϕ ϕ= = + + tan b a ϕ = sin 2 α = 1 cos 2 α−± cos 2 α = 1 cos 2 α+± tan 2 α = 1 cos sin 1 cos 1 cos 1 cos sin α α α α α α − −± = =+ +3 2．公式的常见变形（和差化积、积化和差公式） （1）积化和差公式： ； ； ； . （2）和差化积公式： ； ； ； . 考向一 三角函数式的化简 1．化简原则 （1）一看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式； （2）二看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”； （3）三看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”，“遇到根式一般要升幂”等． 2．化简要求 （1）使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数名称的种类最少； （2）式子中的分母尽量不含根号. 3．化简方法 （1）切化弦； （2）异名化同名； 1cos cos [cos( ) cos( )]2 α β α β α β= + + − 1sin sin [cos( ) cos( )]2 α β α β α β= − + − − 1sin cos [sin( ) sin( )]2 α β α β α β= + + − 1cos sin [sin( ) sin( )]2 α β α β α β= + − − sin sin 2sin cos2 2 α β α βα β + −+ = sin sin 2cos sin2 2 α β α βα β + −− = cos cos 2cos cos2 2 α β α βα β + −+ = cos cos 2sin sin2 2 α β α βα β + −− = −4 （3）异角化同角； （4）降幂或升幂． 典例 1 化简：sin(훼 + 훽) ⋅ cos훼 ― 1 2[sin(2훼 + 훽) ― sin훽]. 【解析】原式 = sin(훼 + 훽) ⋅ cos훼 ― 1 2 ⋅ 2cos(2훼 + 훽 + 훽) 2 sin(2훼 + 훽 ― 훽 2 ) = sin(훼 + 훽) ⋅ cos훼 ― cos(훼 + 훽)sin훼 = sin (훼 + 훽 ― 훼) = sin훽. 【方法技巧】（1）三角化简的常用方法：异名三角函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次， 切化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化． （2）三角化简的标准：三角函数名称尽量少，次数尽量低，最好不含分母，能求值的尽量求值． （3）在化简时要注意角的取值范围. 1．化简求值： （1） ； （2） . 考向二 三角函数的求值问题 1．给角求值 给角求值中一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察会发现非特殊角与特殊 角之间总有一定的关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合公式将非特殊角的三角函数转化为特殊 角的三角函数，从而得解. 2．给值求值 已知三角函数值，求其他三角函数式的值的一般思路： （1）先化简所求式子． （2）观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)． （3）将已知条件代入所求式子，化简求值． sin 7 sin8 cos15 cos7 sin8 sin15 °+ ° ° °− ° ° 4cos70 tan 20°+ °5 3．给值求角 通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，有以下原则： （1）已知正切函数值，则选正切函数． （2）已知正、余弦函数值，则选正弦或余弦函数．若角的范围是 ，则选正、余弦皆可；若角的范 围是(0，π)，则选余弦较好；若角的范围为 ，则选正弦较好. 4．常见的角的变换 （1）已知角表示未知角 例如： ， ， ， ， ， . （2）互余与互补关系 例如： ， . （3）非特殊角转化为特殊角 例如：15°=45°−30°，75°=45°＋30°. 典例 2 求下列各式的值： （1）cos +cos -2sin cos ; （2）sin 138°-cos 12°+sin 54°. 【解析】（1）cos +cos -2sin cos = cos cos =2cos cos cos = cos cos =0. （2）sin 138°-cos 12°+sin 54°=sin 42°-cos 12°+sin 54°=sin 42°-sin 78°+sin 54°=-2cos 60°sin 18°+sin 54°= sin 54°-sin 18°=2cos 36°sin 18°= = = = = . 【名师点睛】“给角求值”，一般给出的角都是非特殊角，观察发现题中的角与特殊角都有着一定的关系，如 和或差为特殊角，必要时运用诱导公式. π(0, )2 π π( , )2 2 − ( ) ( )α α β β β β α= + − = − − ( ) ( ) ( ) ( )2 ,2α α β α β β α β α β= + + − = + − − (2 )α β α β α+ = + + (2 )α β α β α− = − + 2 2 α β α βα + −= + 2 2 α β α ββ + −= − π 3π( ) ( ) π4 4 α α+ + − = π π π( ) ( )3 6 2 α α+ + − = π 8 3π 8 π 4 π 8 π 8 3π 8 π 4 π 8 π 3π 8 82cos 2 + π 3π 8 8 22 − − π 8 π 4 π 28 − π 8 2 π 28 − π 8 2cos36 sin18 cos18 cos18 ° ° ° ° cos36 sin36 cos18 ° ° ° 2cos36 sin36 2cos18 ° ° ° sin72 2cos18 ° ° 1 26 典例 3 已知 tan(α−β)= ，tan β= ，且 α，β∈(0,π)，则 2α−β= A． B． C． D． 或 【答案】C 【解析】因为 tan 2(α−β)= ， 所以 tan(2α−β)=tan[2(α−β)+β]= =1. 又 tan α=tan[(α−β)+β]= ， 又 α∈(0,π)，所以 0ω π0 2 ϕ< < x∈R ( )f x ( ) 4 5f α = ( )sin 2α13 1．【2020 年高考全国Ⅰ卷理数】已知 ，且 ，则 A． B． C． D． 2．【2020 年高考全国Ⅲ卷理数】已知 2tanθ–tan(θ+ )=7，则 tanθ= A．–2 B．–1 C．1 D．2 3．【2019 年高考全国Ⅱ卷理数】已知 α∈(0， )，2sin2α=cos2α+1，则 sinα= A． B． C． D． 4．【2018 年高考全国Ⅲ卷理数】若 ，则 A． B． C． D． 5．【2019 年高考江苏卷】已知 ，则 的值是 ▲ . 6．【2017 年高考北京卷理数】在平面直角坐标系 xOy 中，角 α 与角 β 均以 Ox 为始边，它们的终边关于 y 轴对称.若 ，则 =___________. 7．【2018 年高考全国Ⅱ理数】已知 ， ，则 __________． 8．【2020年高考江苏】已知 = ，则 的值是 ▲ ． 9．【2020 年高考北京】若函数 的最大值为 2，则常数 的一个取值为________． π( )0,α∈ 3cos2 8cos 5α α− = sinα = 5 3 2 3 1 3 5 9 π 4 2 π 1 5 5 5 3 3 2 5 5 1sin 3 α = cos2α = 8 9 7 9 7 9 − 8 9 − tan 2 π 3tan 4 α α = − +   πsin 2 4 α +   1sin 3 α = cos( )α β− sin cos 1α β+ = cos sin 0α β+ = sin( )α β+ = 2sin ( )4 απ + 2 3 sin 2α ( ) sin( ) cosf x x xϕ= + + ϕ14 10．【2020 年高考浙江】已知 ，则 _______， _______． 11．【2019 年高考浙江卷】设函数 . （1）已知 函数 是偶函数，求 的值； （2）求函数 的值域． 12．【2018 年高考浙江卷】已知角 α 的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，它的终边过点 P （ ）． （1）求 sin（α+π）的值； （2）若角 β 满足 sin（α+β）= ，求 cosβ 的值． 13．【2018 年高考江苏卷】已知 为锐角， ， ． （1）求 的值； （2）求 的值． 14．【2020 年高考天津】在 中，角 所对的边分别为 ．已知 tan 2θ = cos2θ = πtan( )4 θ − = ( ) sin ,f x x x= ∈R [0,2 ),θ ∈ π ( )f x θ+ θ 2 2[ ( )] [ ( )]12 4y f x f x π π= + + + 3 4 5 5 − ，- 5 13 ,α β 4tan 3 =α 5cos( ) 5 + = −α β cos2α tan( )−α β ABC△ , ,A B C , ,a b c15 ． （Ⅰ）求角 的大小； （Ⅱ）求 的值； （Ⅲ）求 的值． 15．【2020年高考浙江】在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，C．已知 ． （Ⅰ）求角B的大小； （Ⅱ）求cosA+cosB+cosC的取值范围． 2 2, 5, 13a b c= = = C sin A πsin(2 )4A+ 2 sin 3 0b A a− =16 1．【答案】（1） ；（2） . 【解析】 【分析】 （1）利用两角差的正弦、余弦、正切公式计算可得； （2）利用同角三角函数的基本关系及诱导公式以及两角和的正弦公式计算可得； 【详解】 （1） . （2） 变式拓展 2 3− 3 sin 7 sin8 cos15 cos7 sin8 sin15 °+ ° ° °− ° ° ( ) ( ) sin 15 8 sin8 cos15 cos 15 8 sin8 sin15 °°− ° + ° °= −°− ° ° sin15 cos8 cos15 cos8 ° ° °= ° ( )tan 45 30= °− ° tan 45 tan30 1 tan 45 tan30 °− °= + ° ° 31 3 31 1 3 − = + × 2 3= − 4cos70 tan 20°+ ° 4cos70 cos20 sin 20 cos20 ° ° °+= ° 4sin 20 cos20 sin 20 cos20 ° °+= ° ° 2sin 40 sin 20 cos20 ° °+= ° ( )2cos50 sin 50 30 cos20 °+ °− °= °17 . 【点睛】 本题考查同角三角函数的基本关系及三角恒等变换公式的应用，属于中档题. 2．【答案】A 【解析】 【分析】 先化简已知得 ，进一步分析得到 得解. 【详解】 由 得 , , 因为 , ,所以 , , 由 ，得 , 所以 . 故选：A. 【点睛】 本题主要考查诱导公式，考查差角的正弦公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 3．【答案】A 【解析】 【分析】 根据平方关系求出 ， 的值，再由 结合两角差的余弦公式计算 3 3sin50 cos502 2 cos20 °+ ° = ° ( )3sin 50 60 cos20 + °°= ° 3= sin( ) sin( )2 πα β α− = − 2 2 πα β− = 1 sintan cos βα β += sin cos cos cos sinα β α α β= + sin( ) cos sin( )2 πα β α α− = = − 0, 2 πβ  ∈   70α °= ,2 2 π πα β  − ∈ −   0,2 2 π πα  − ∈   sin( ) sin( )2 πα β α− = − , 22 2 π πα β α α β− = − ∴ − = 50β °= sinα cos( )α β− cos cos[ ( )]β α α β= − −18 即可. 【详解】 ， 故选：A. 【点睛】 本题主要考查了利用两角差的余弦公式求三角函数值，属于中档题. 4．【答案】（1） ；（2） . 【解析】 【分析】 （1）原式除以 ，分子分母再同时除以 即可得解；（2）由 及 二倍角公式求出 、 ，再由 求出 、 ，代入 的展开式即可得解. 【详解】 （1）原式 ； , 0, , ,02 2 π πα β β   ∈ − ∈ −       2 2 5 5sin 1 5 5 α  ∴ = − =    ,2 2 π πα β  − ∈ −   2 10 3 10cos( ) 1 10 10 α β  ∴ − = − − =    cos cos[ ( )]β α α β∴ = − − cos cos( ) sin sin( )α α β α α β= − + ⋅ − 2 5 3 10 5 10 5 10 5 10  = × + × −    2 2 = 11 10 4 π 2 2cos sinβ β+ 2cos β 2 5cos( ) 5 α β+ = cos2( )α β+ sin 2( )α β+ 1tan 7 β = sin β cos β 2 ) cos[2(s ]co )( α β α β β+ = + − 2 2 2 2 2 2 cos sin sin cos 1 tan tan 11 cos sin 1 tan 10 β β β β β β β β β − + − += = =+ +19 （2） 且 ， ，则 ， ， ， ， ， ， ， 又 ， ， . 【点睛】 本题考查利用同角三角函数的关系化简求值、二倍角公式、两角和的余弦公式、配凑法求三角函数值， 属于中档题. 5．【答案】（1） ；（2） . 【解析】 【分析】 （1）先根据正弦定理化简 得 ，再代入条件 化简得 ，（2）根据正弦定理以及三角形面积公式得 面积为 ，再根据锐角三 角形确定 B 角范围，最后根据正弦函数性质求取值范围. 【详解】 （1）由于 ，由正弦定可得 ， 即 ， 2 5cos( ) 05 α β+ = > (0, )α β π+ ∈ (0, )2 πα β∴ + ∈ 5sin( ) 5 α β+ = 2 4 3cos2( ) 2cos ( ) 1 2 15 5 α β α β∴ + = + − = × − = 4sin2( ) 2sin( )cos( ) 5 α β α β α β+ = + + = 1tan 7 β = (0, )2 πβ ∈ 2 7 2sin ,cos10 10 β β∴ = = 2 ) cos[2( ) ] coc s2( )cos sin2( )sis( no α β α β β α β β α β β+ = + − = + + +∴ 3 7 2 4 2 2= =5 10 5 10 2 × + × (0, )2 πα β+ ∈ (0, )2 πα ∈ 2 (0, )α β π∴ + ∈ 2 = 4 πα β∴ + 2C π= (2, 2 1+  cos cos a b A B = A B= ( )2 2 1sin 2 cos cos 2A C B− = + 2C π= ABC△ 2 sin(2 ) 14B π− + cos cos a b A B = sin cos sin cos 0A B B A− = ( )sin 0A B− =20 ， ， 故 ， ， 又 ， 所以 ， 即 由于 ，所以 ，由于 是三角形的内角， 故 . （2）由 ，所以 ， ， 所以 面积为 由于 为锐角三角形，所以 ，即 ， 解得 ，所以 ， ， 所以 . 即 面积的取值范围是 . 【点睛】 本题考查正弦定理、三角形面积公式、二倍角公式以及辅助角公式，考查基本分析求解能力，属中档题. ( ), 0,A B π∈ A B∴ = 2 2 CA π= − 2 2 CB π= − ( )2 2 1sin 2 cos cos 2A C B− = + ( )2 2 1cos 2 cos sin2 2 2 C CC− = + ( )1 cos 1 cos 12 cos2 2 2 C CC + −− = + ( )2 cos cos 0C C∴ − = 2 cos 0C− ≠ cos 0C = C 2C π= 2 2sin sin sin a b c A B C = = = 2 2 sinb B= 2 2 sinc C= ABC∆ 1 sin 2 2 sin sin2S bc A B C= = 32 2 sin sin( )4B B π= − 2 sin(2 ) 14B π= − + ABC∆ 0 2 0 2 C B π π  <